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diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex index 5e09e42..408a1f7 100644 --- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex +++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex @@ -1,7 +1,26 @@ \section{Analytische Fortsetzung} \label{zeta:section:analytische_fortsetzung} \rhead{Analytische Fortsetzung} -%TODO missing Text +Die analytische Fortsetzung der Riemannschen Zetafunktion ist äusserst interessant. +Sie ermöglicht die Berechnung von $\zeta(-1)$ und weiterer spannender Werte. +So liegen zum Beispiel unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion bei $\Re(s) = 0.5$. +Diese sind relevant für die Primzahlverteilung und sind Gegenstand der Riemannschen Vermutung. + +Es werden zwei verschiedene Fortsetzungen benötigt. +Die erste erweitert die Zetafunktion auf $\Re(s) > 0$. +Die zweite verwendet eine Spiegelung an der $\Re(s) = 0.5$ Linie und erschliesst damit die ganze komplexe Ebene. +Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuation_overview} zu sehen. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex} + \caption{ + Die verschiedenen Abschnitte der Riemannschen Zetafunktion. + Die originale Definition von \eqref{zeta:equation1} ist im grünen Bereich gültig. + Für den blauen Bereich gilt \eqref{zeta:equation:fortsetzung1}. + Um den roten Bereich zu bekommen verwendet die Funktionalgleichung \eqref{zeta:equation:functional} eine Spiegelung an $\Re(s) = 0.5$. + } + \label{zeta:fig:continuation_overview} +\end{figure} \subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0} Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als @@ -42,7 +61,7 @@ Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:a &= \eta(s). \end{align} Dies ist die Fortsetzung auf den noch unbekannten Bereich $0 < \Re(s) < 1$ -\begin{equation} +\begin{equation} \label{zeta:equation:fortsetzung1} \zeta(s) := \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s). diff --git a/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex b/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex index 03224ff..836ab1d 100644 --- a/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex +++ b/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex @@ -1,12 +1,13 @@ \begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=0.9cm, scale=2, dot/.style={fill, circle, inner sep=0, minimum size=0.1cm}] - \draw[->] (-2,0) -- (-1,0) node[dot]{} node[anchor=north]{$-1$} -- (0,0) node[anchor=north west]{$0$} -- (1,0) node[anchor=north west]{$1$} -- (2,0) node[anchor=west]{Re$(s)$}; + \draw[->] (-2,0) -- (-1,0) node[dot]{} node[anchor=north]{$-1$} -- (0,0) node[anchor=north west]{$0$} -- (0.5,0) node[anchor=north west]{$0.5$}-- (1,0) node[anchor=north west]{$1$} -- (2,0) node[anchor=west]{$\Re(s)$}; - \draw[->] (0,-1.2) -- (0,1.2) node[anchor=south]{Im$(s)$}; + \draw[->] (0,-1.2) -- (0,1.2) node[anchor=south]{$\Im(s)$}; \begin{scope}[yscale=0.1] \draw[] (1,-1) -- (1,1); \end{scope} + \draw[dotted] (0.5,-1) -- (0.5,1); \begin{scope}[] \fill[opacity=0.2, red] (-1.8,1) rectangle (0, -1); @@ -14,4 +15,4 @@ \fill[opacity=0.2, green] (1,1) rectangle (1.8, -1); \end{scope} -\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file +\end{tikzpicture} diff --git a/buch/papers/zeta/euler_product.tex b/buch/papers/zeta/euler_product.tex new file mode 100644 index 0000000..a6ed512 --- /dev/null +++ b/buch/papers/zeta/euler_product.tex @@ -0,0 +1,85 @@ +\section{Eulerprodukt} \label{zeta:section:eulerprodukt} +\rhead{Eulerprodukt} + +Das Eulerprodukt stellt die Verbindung der Zetafunktion und der Primzahlen her. +Diese Verbindung ist sehr wichtig, da durch sie eine Aussage zur Primzahlverteilung gemacht werden kann. +Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche eines der grössten ungelösten Probleme der Mathematik ist. + +\begin{satz} + Für alle Zahlen $s$ mit $\Re(s) > 1$ ist die Zetafunktion identisch mit dem unendlichen Eulerprodukt + \begin{equation}\label{zeta:eq:eulerprodukt} + \zeta(s) + = + \sum_{n=1}^\infty + \frac{1}{n^s} + = + \prod_{p \in P} + \frac{1}{1-p^{-s}} + \end{equation} + wobei $P$ die Menge aller Primzahlen darstellt. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] + Der Beweis startet mit dem Eulerprodukt und stellt dieses so um, dass die Zetafunktion erscheint. + Als erstes ersetzen wir die Faktoren durch geometrische Reihen + \begin{equation} + \prod_{i=1}^{\infty} + \frac{1}{1-p^{-s}} + = + \prod_{p \in P} + \sum_{k_i=0}^{\infty} + \left( + \frac{1}{p_i^s} + \right)^{k_i} + = + \prod_{p \in P} + \sum_{k_i=0}^{\infty} + \frac{1}{p_i^{s k_i}}, + \end{equation} + dabei iteriert der Index $i$ über alle Primzahlen $p_i$. + Durch Ausschreiben der Multiplikation und Ausklammern der Summen erhalten wir + \begin{align} + \prod_{p \in P} + \sum_{k_i=0}^{\infty} + \frac{1}{p_i^{s k_i}} + &= + \sum_{k_1=0}^{\infty} + \frac{1}{p_1^{s k_1}} + \sum_{k_2=0}^{\infty} + \frac{1}{p_2^{s k_2}} + \ldots + \nonumber \\ + &= + \sum_{k_1=0}^{\infty} + \sum_{k_2=0}^{\infty} + \ldots + \left( + \frac{1}{p_1^{k_1}} + \frac{1}{p_2^{k_2}} + \ldots + \right)^s. + \label{zeta:equation:eulerprodukt2} + \end{align} + Der Fundamentalsatz der Arithmetik (Primfaktorzerlegung) besagt, dass jede beliebige Zahl $n \in \mathbb{N}$ durch eine eindeutige Primfaktorzerlegung beschrieben werden kann + \begin{equation} + n = \prod_i p_i^{k_i} \quad \forall \quad n \in \mathbb{N}. + \end{equation} + Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit eine Zahl $n$. + Da die Summen alle möglichen Kombinationen von Exponenten und Primzahlen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} enthält haben wir + \begin{equation} + \sum_{k_1=0}^{\infty} + \sum_{k_2=0}^{\infty} + \ldots + \left( + \frac{1}{p_1^{k_1}} + \frac{1}{p_2^{k_2}} + \ldots + \right)^s + = + \sum_{n=1}^\infty + \frac{1}{n^s} + = + \zeta(s) + \end{equation} +\end{proof} + diff --git a/buch/papers/zeta/main.tex b/buch/papers/zeta/main.tex index e0ea8e1..caddace 100644 --- a/buch/papers/zeta/main.tex +++ b/buch/papers/zeta/main.tex @@ -11,6 +11,7 @@ %TODO Einleitung \input{papers/zeta/einleitung.tex} +\input{papers/zeta/euler_product.tex} \input{papers/zeta/zeta_gamma.tex} \input{papers/zeta/analytic_continuation.tex} diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex index 49fea74..db41676 100644 --- a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex +++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex @@ -2,9 +2,8 @@ \rhead{Zusammenhang mit der Gammafunktion} In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie sich die Zetafunktion durch die Gammafunktion $\Gamma(s)$ ausdrücken lässt. -Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ wird später für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht. +Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ ist nicht nur interessant, er wird später auch für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht. -%TODO ref Gamma Wir erinnern uns an die Definition der Gammafunktion in \eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis} \begin{equation*} \Gamma(s) @@ -51,12 +50,12 @@ Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhal &= \frac{1}{e^u - 1}. \end{align} -Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir %TODO formulieren als Satz +Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir den gewünschten Zusammenhang \begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final} \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} \frac{u^{s-1}}{e^u -1} - du. + du \qed \end{equation} |