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path: root/buch/papers
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Diffstat (limited to 'buch/papers')
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex11
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/gamma.tex4
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/quadratur.tex6
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py34
4 files changed, 48 insertions, 7 deletions
diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index b0cc3a3..93d19a3 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -25,13 +25,20 @@ Sturm\--Liouville\--Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
bei
den Laguerre\--Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe
Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}).
-Der Sturm-Liouville-Operator hat die Form
+Der Sturm-Liouville-Operator
\begin{align}
S
=
\frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right).
\label{laguerre:slop}
\end{align}
+und der Laguerre-Operator
+\begin{align}
+\Lambda
+=
+x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
+\end{align}
+sind einander gleichzusetzen.
Aus der Beziehung
\begin{align}
S
@@ -56,7 +63,7 @@ Durch Separation erhalten wir dann
\begin{align*}
\int \frac{dp}{p}
& =
--\int \frac{\nu + 1 - x}{x}dx
+-\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx
\\
\log p
& =
diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
index e3838b0..b15523b 100644
--- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -30,12 +30,12 @@ welches alle Eigenschaften erfüllt, um mit der Gauss-Laguerre-Quadratur
berechnet zu werden.
\subsubsection{Funktionalgleichung}
-Die Funktionalgleichung besagt
+Die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion besagt
\begin{align}
z \Gamma(z) = \Gamma(z+1).
\label{laguerre:gamma_funktional}
\end{align}
-Mittels dieser Gleichung kann der Wert an einer bestimmten,
+Mittels dieser Gleichung kann der Wert von $\Gamma(z)$ an einer bestimmten,
geeigneten Stelle evaluiert werden und dann zurückverschoben werden,
um das gewünschte Resultat zu erhalten.
diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index 60fad7f..be69dee 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
\label{laguerre:section:quadratur}}
{\large \color{red} TODO: Einleitung und kurze Beschreibung Gauss-Quadratur}
\begin{align}
-\int_a^b f(x) w(x)
+\int_a^b f(x) w(x) \, dx
\approx
\sum_{i=1}^N f(x_i) A_i
\label{laguerre:gaussquadratur}
@@ -33,7 +33,7 @@ Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wiefolgt umformulieren:
Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen
des verwendeten Polynoms genommen werden.
Das heisst für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen dessen Nullstellen $x_i$ und
-als Gewichte $A_i$ werden die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden.
+als Gewichte $A_i$ die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden.
Dabei sind
\begin{align*}
l_i(x_j)
@@ -57,7 +57,7 @@ A_i
\subsubsection{Fehlerterm}
Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation
\begin{align*}
-\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} dx
+\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} \, dx
=
\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i + R_n
\end{align*}
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py b/buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py
new file mode 100644
index 0000000..89b9256
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py
@@ -0,0 +1,34 @@
+#!/usr/bin/env python3
+# -*- coding:utf-8 -*-
+"""Plot for integrand of gamma function with shifting terms."""
+
+import os
+from pathlib import Path
+
+import matplotlib.pyplot as plt
+import numpy as np
+
+EPSILON = 1e-12
+xlims = np.array([-3, 3])
+
+root = str(Path(__file__).parent)
+img_path = f"{root}/../images"
+os.makedirs(img_path, exist_ok=True)
+
+t = np.logspace(*xlims, 1001)[:, None]
+z = np.arange(-5, 5)[None] + 0.5
+
+
+r = t ** z
+
+fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(6, 4))
+ax.semilogx(t, r)
+ax.set_xlim(*(10.**xlims))
+ax.set_ylim(1e-3, 40)
+ax.set_xlabel(r"$t$")
+ax.set_ylabel(r"$t^z$")
+ax.grid(1, "both")
+labels = [f"$z={zi:.1f}$" for zi in np.squeeze(z)]
+ax.legend(labels, ncol=2, loc="upper left")
+fig.savefig(f"{img_path}/integrands.pdf")
+# plt.show()