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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex index dc0141f..1a2d155 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex @@ -525,7 +525,7 @@ Laplace-Transformation der Potenzfunktion zu berechnen. \begin{satz} Die Laplace-Transformierte der Potenzfunktion $f(t)=t^\alpha$ ist \[ -(\mathcal{L}f)(s) +(\mathscr{L}f)(s) = \frac{1}{s^\alpha} \Gamma(\alpha+1). \qedhere @@ -535,13 +535,13 @@ Die Laplace-Transformierte der Potenzfunktion $f(t)=t^\alpha$ ist \begin{proof}[Beweis] Die Laplace-Transformierte ist das Integral \[ -(\mathcal{L}f)(s) +(\mathscr{L}f)(s) = \int_0^\infty t^\alpha e^{-st}\,dt \] Durch die Substitution $st = u$ oder $t=\frac{u}{s}$ wird daraus \[ -(\mathcal{L}f)(s) +(\mathscr{L}f)(s) = \int_0^\infty \biggl(\frac{u}{s}\biggr)^\alpha e^{-u}\,du = diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex index 5a66e4c..f3ac2ff 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex @@ -526,25 +526,27 @@ Die Koeffizienten $k!/(2k+1)!$ müssen jetzt durch Pochhammer-Symbole mit jeweils $k$ Faktoren ausgedrückt werden. Dazu muss die Fakultät $(2k+1)!$ in zwei Produkte \[ -(2k+1) +(2k+1)! = 2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5\cdot \ldots \cdot 2k \cdot (2k+1) = -(2\cdot 4 \cdot 6\cdot\ldots\cdot 2k) +\underbrace{(2\cdot 4 \cdot 6\cdot\ldots\cdot 2k)}_{\textstyle\text{gerade Faktoren}} \cdot -(3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots \cdot (2k+1)) +\underbrace{(3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots \cdot (2k+1))}_{\textstyle\text{ungerade Faktoren}} \] aufgespaltet werden. -Diese Produkte haben zwar $k$-Faktoren, aber sie sind keine +Diese Produkte haben zwar jeweils $k$ Faktoren, aber sie sind keine Pochhammer-Symbole, weil die Differenz aufeinanderfolgender Faktoren jeweils $2$ ist. -Wir dividieren die geraden Faktoren durch $2$ und dividieren die -ungeraden durch $2$, dadurch ändert sich das Produkt nicht und wird -\[ +Wir dividieren sowohl die geraden Faktoren wie auch die +ungeraden Faktoren durch $2$, damit sich das Produkt nicht ändert, +müssen wird mit $2^{2k}$ kompensieren: +\begin{align*} (2k+1)! -= -(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot k) +&= +2^k(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot k) \cdot +2^k \biggl( \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot @@ -552,26 +554,33 @@ ungeraden durch $2$, dadurch ändert sich das Produkt nicht und wird \ldots\cdot \frac{2k+1}{2} \biggr) -= +\\ +&= +4^k +\cdot (1)_k\cdot \biggl(\frac{3}{2}\biggr)_k -\] +\end{align*} Setzt man dies in die Reihe ein, wird \[ f(z) = \sum_{k=0}^\infty -\frac{(1)_k}{(1)_k\cdot (\frac{3}{2})_k} +\frac{(1)_k}{(1)_k\cdot (\frac{3}{2})_k\cdot 4^k} z^k = -\mathstrut_1F_2(1;1,\frac{3}{2};z). +\mathstrut_1F_2\biggl(1;1,\frac{3}{2};\frac{z}4\biggr). \] Damit lässt sich die Sinus-Funktion als \begin{equation} \sin x = -x\,\mathstrut_1F_2\biggl(\begin{matrix}1\\1,\frac32\end{matrix};-x^2\biggr) +x\cdot \mathstrut_1F_2\biggl( +\begin{matrix}1\\1,\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4 +\biggr) = -x\,\mathstrut_0F_1\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-x^2\biggr) +x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4 +\biggr) \label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper} \end{equation} durch eine hypergeometrische Funktion ausdrücken. @@ -596,12 +605,12 @@ xf(-x^2) = x\,\mathstrut_1F_2\biggl( \begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix} -;x^2 +;\frac{x^2}{4} \biggr) = x\,\mathstrut_0F_1\biggl( \begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix} -;x^2 +;\frac{x^2}4 \biggr). \end{align*} Bis auf das Vorzeichen des Arguments der hypergeometrischen Funktion diff --git a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex index b93bc6e..fcda21b 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex @@ -1356,6 +1356,44 @@ Bessel-Funktionen wie auch die Airy-Funktionen, die sich durch $\mathstrut_0F_1$ ausdrücken, die Besselsche und die Airysche Differentialgleichung wiedergewonnen werden kann. +\begin{beispiel} +Die hyperbolische Funktion +\[ +\sinh x += +x\cdot \mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};\frac{x^2}{4} +\biggr) +\] +hat die Differentialgleichung +\eqref{buch:differentialgleichungen:0F1:dgl} +mit den Parametern +\[ +\varrho=1,\quad +s=\frac14,\quad +\nu=2,\quad +b=\frac32. +\] +Einsetzen der Parameter in +\eqref{buch:differentialgleichungen:0F1:dgl} +liefert +\[ +0 += +x^2f'' ++ +\biggl(-2+\frac12\cdot 2 + 1\biggr) xf' ++ +\biggl(-2^2\frac14x^2 + 1^2 - \frac12 \cdot 2 \cdot 1\biggr) f += +x^2f'' +-x^2f +\] +Daraus ergib sich die bekannte Differentialgleichung +$y''-y=0$ +der hyperbolischen Funktionen. +\end{beispiel} + % % Besselsche Differentialgleichung % |