aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
blob: ac077892163f677be5212c0680b7f8b32a6ea62e (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
%
% hypergeometrisch.tex
%
% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
%
\section{Hypergeometrische Funktionen
\label{buch:rekursion:ssection:hypergeometrische-funktion}}
\rhead{Hypergeometrische Funktionen}
Kann man eine Formel für die Lösung $S_n$ der lineare Differenzengleichung
\[
n^3S_{n}
=
16(n-{\textstyle\frac12})(2n^2-2n+1)S_{n-1}
-256(n-1)^3S_3
\]
mit Anfangswerten $S_0=1$ und $S_1=8$ angeben?
Dies scheint auf den ersten Blick unmöglich kompliziert, man kann aber
zeigen, dass
\[
S_n
=
\sum_{k=0}^n 
\binom{2n-2k}{n-k}^2 \binom{2k}{k}^2
\]
gilt (\cite[p.~xi]{buch:ab}).
Die Lösung ist also eine Summe von Summanden, die sehr viel einfacher
aussehen und vor allem die besondere Eigenschaft haben, dass die
Quotienten aufeinanderfolgender Terme rationale Funktionen von von $k$
sind.
% XXX Quotient berechnen

Eine besonders simple solche Funktion ist die geometrische Reihe, die
im Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch}
in Erinnerung gerufen wird.
Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:reihen}
definiert den Begriff der hypergeometrischen Reihe und zeigt, 
wie sie in eine Standardform gebracht werden können.
In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:beispiele}
schliesslich wird an Hand von Beispielen gezeigt, wie bekannte
Funktionen als hypergeometrische Funktionen interpretiert werden können.

\subsection{Die geometrische Reihe
\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch}}
Die besonders einfache Potenzreihe
\[
f(q)
=
\sum_{k=0}^\infty aq^k
\]
heisst die {\em geometrische Reihe}.
Die Partialsummen 
\[
S_n
=
\sum_{k=0}^n aq^k
\]
kann mit der Differenz
\begin{equation}
(1-q)S_n
=
S_n - qS_n
=
\sum_{k=0}^n aq^k
-
\sum_{k=1}^{n+1} aq^k
=
a -aq^{n+1}
\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:qsumme}
\end{equation}
berechnet werden, die man nach
\begin{equation}
S_n 
=
a\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:geomsumme}
\end{equation}
auflösen kann.

Fü $q<1$ geht $q^n\to 0$ und damit konvergiert
$S_n$  gegen
\[
\sum_{k=0}^\infty aq^k
=
a\frac{1}{1-q}.
\]

Die geometrische Reihe ist charakterisiert dadurch, dass aufeinanderfolgende
Terme den gleichen Quotienten
\[
\frac{aq^{k+1}}{aq^k}
=
q
\]
haben.
Die Berechnung der Summe in 
\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:qsumme}
beruht darauf, dass die Multiplikation mit $q$ einen ``anderen''
Teil der Summe ergibt, der sich in der Differenze weghebt.

\subsection{Hypergeometrische Reihen
\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:reihen}}
Es ist plausibel, dass eine etwas lockerere Bedingung an die
Quotienten aufeinanderfolgender Terme einer Reihe immer noch
ermöglichen wird, interessante Aussagen über die durch die
Reihe beschriebenen Funktionen zu machen.

\begin{definition}
Eine Reihe
\[
f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
\]
heisst {\em hypergeometrisch}, wenn der Quotient aufeinanderfolgender
Koeffizienten eine rationale Funktion von $k$ ist,
wenn also
\[
\frac{a_{k+1}}{a_k}
=
\frac{p(k)}{q(k)}
\]
mit Polynomen $p(k)$ und $q(k)$ ist.
\end{definition}

Die geometrische Reihe ist natürlich eine hypergeometrische Reihe,
wobei $p(k)/q(k)=1$ ist.
Etwas interessanter ist die Exponentialfunktion, durch die Taylor-Reihe
\[
e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}
\]
dargestellt werden kann.
Der Quotient aufeinanderfolgender Koeffizienten ist
\[
\frac{a_{k+1}}{a_k}
=
\frac{1/(k+1)!}{1/k!}
=
\frac{k!}{(k+1)!}
=
\frac{1}{k+1},
\]
eine rationale Funktion mit Zählergrad $0$ und Nennergrad $1$.

Die Kosinus-Funktion wird durch die Taylor-Reihe
\[
\cos x = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}
\]
dargestellt.
Als Potenzreihe in $x$ kann die Kosinus-Reihe nicht hypergeometrisch sein,
die ungeraden Koeffizienten verschwinden und damit undefinierte
Quotienten haben.
Als Reihe in $z=x^2$ ist aber
\[
\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} z^k
\qquad\Rightarrow\qquad
a_k = \frac{(-1)^k}{(2k)!}
\]
hypergeometrisch, weil der Quotient aufeinanderfolgender Koeffizienten
\[
\frac{a_{k+1}}{a_k}
=
\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+2)!}\cdot \frac{(2k)!}{(-1)^k}
=
-\frac{1}{(2k+2)(2k+1)},
\]
eine rationale Funktion mit Zählergrad $0$ und Nennergrad $2$.
Es gibt also eine hypergeometrische Reihe $f(z)$ derart, dass
$\cos x = f(x^2)$ ist.

Seien $p(k)$ und $q(k)$ zwei Polynome derart, dass
\[
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{p(k)}{q(k)}.
\]
Daraus lässt sich der Koeffizient $a_{k+1}$ als
\begin{equation}
a_{k+1}
=
\frac{p(k)}{q(k)}
\cdot
a_k
=
\frac{p(k)}{q(k)}
\cdot
\frac{p(k-1)}{q(k-1)}
\cdot
a_{k-1}
=\dots=
\frac{p(k)}{q(k)}
\frac{p(k-1)}{q(k-1)}
\cdots
\frac{p(1)}{q(1)}
\frac{p(0)}{q(0)}
a_0
\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:ak+1}
\end{equation}
berechnen.
Alle Koeffizienten haben also den Faktor $a_0=f(0)$ gemeinsam.

Die Produkte von Quotienten $p(k)/q(k)$ sollen jetzt weiter
vereinfacht werden.
Sei $n$ der Grad von $p(k)$ und $m$ der Grad von $q(k)$.
Dazu nehmen wir an, dass $a_i$, $i=1,\dots,n$ die Nullstellen von $p(k)$ sind
und $b_j$, $j=1,\dots,m$ die Nullstellen von $q(k)$, dass man also
die Polynome als
\begin{align*}
p(k) &= x(k-a_1)(k-a_2)\cdots(k-a_n)
\\
q(k) &= (k-b_1)(k-b_2)\cdots(k-b_m)
\end{align*}
schreiben kann.
Der Faktor $x$ ist nötig, weil die Polynome $p(k)$ und $q(k)$ nicht
notwendigerweise normiert sind.

Um das Produkt der Quotienten zu vereinfachen, nehmen wir für den Moment
an, dass Zähler und Nenner vom Grad $n=m=1$ ist.
Dann ist nach 
\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:ak+1}
\[
a_{k}
=
x^{k}
\frac{
(k-1-a_1) \cdots (2-a_1)(1-a_1)(0-a_1)
}{
(k-1-b_1) \cdots (2-b_1)(1-b_1)(0-b_1)
}
=
\frac{(-a_1)_k}{(-b_1)_k} x^k.
\]
Die Koeffizienten können daher als Quotienten von Pochhammer-Symbolen
geschrieben werden.
Für Polynome $p(k)$ und $q(k)$ höheren Grades sind die Koeffizienten
von der Form
\[
a_k
=
\frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k}
x^ka_0.
\]
Jede hypergeometrische Reihe kann daher in der Form
\[
a_0
\sum_{k=0}^\infty
\frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k}
x^k
\]
geschrieben werden.

\begin{definition}
\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:def}
Die hypergeometrische Funktion
$\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe
\[
\mathstrut_pF_q
\biggl(
\begin{matrix}
a_1,\dots,a_p\\
b_1,\dots,b_q
\end{matrix}
;
x
\biggr)
=
\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x)
=
\sum_{k=0}^\infty
\frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}.
\]
\end{definition}

Da $(1)_k=k!$ hätte die Definition den Nenner $k!$ in der Reihe
auch durch eines der Pochhammer-Symbole ausdrücken können.
Wird dieser Nenner nicht gebraucht, kann man ihn durch einen 
zusätzlichen Faktor $(1)_k$ im Zähler des Bruchs von Pochhammer-Symbolen
kompensieren, wodurch sich der Grad $p$ des Zählers natürlich um $1$
erhöht.

Die oben analysierte Summe $S$ kann mit der Definition als
\[
S
=
a_0
\,
\mathstrut_{n+1}F_m \biggl(
\begin{matrix}
-a_1,-a_2,\dots,-a_n,1\\
-b_1,-b_2,\dots,-a_m
\end{matrix}; x
\biggr)
\]
beschrieben werden.

\subsection{Beispiele von hypergeometrischen Funktionen
\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:beispiele}}
Viele der bekannten Reihenentwicklungen häufig verwendeter Funktionen
lassen sich durch die hypergeometrischen Funktionen von
Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} ausdrücken.
In diesem Abschnitt werden einige Beispiel dazu gegeben.

\subsubsection{Die geometrische Reihe}
In der geometrischen Reihe fehlt der Nenner $k!$, es braucht
daher einen Term $(1)_k$ im Zähler, um den Nenner zu kompensieren.
Somit ist die geometrische Reihe
\[
\frac{a}{1-x}
=
\sum_{k=0}^\infty
ax^k
=
a\sum_{k=0}^\infty
\frac{(1)_k}{1}
\frac{x^k}{k!}
=
a\,\mathstrut_1F_0(1,x).
\]

\subsubsection{Exponentialfunktion}
Die Exponentialfunktion ist die Reihe
\[
e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}.
\]
In diesem Fall werden keine Quotienten von Pochhammer-Symbolen
benötigt, es ist daher
\[
e^x = \mathstrut_0F_0(x).
\]

\subsubsection{Wurzelfunktion}
Die Wurzelfunktion $x\mapsto \sqrt{x}$ hat keine Taylor-Entwicklung
in $x=0$, aber die Funktion $x\mapsto\sqrt{1+x}$ hat die Taylor-Reihe
\[
\sqrt{1+x}
=
1
+
\frac12 x
-
\frac{1\cdot 1}{2\cdot 4}x^2
+
\frac{1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}x^3
-
\frac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}x^4
+
\dots
\]
Um die Verbindung zu einer hypergeometrischen Funktion herzustellen,
müssen wir den Term $x^k/k!$ abspalten.
Dann wird
\begin{align*}
\sqrt{1+x}
&=
1
+
\frac12 \frac{x}{1!}
-
\frac{1\cdot 1}{2^2}\frac{x^2}{2!}
+
\frac{1\cdot 1\cdot 3}{2^3}\frac{x^3}{3!}
-
\frac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2^4}\frac{x^4}{4!}
+
\dots
\\
&=
1
+
\frac12 \cdot\frac{x}{1!}
-
\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2!}
+
\frac{1}{2}\cdot \frac{1}2\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{x^3}{3!}
-
\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot\frac{x^4}{4!}
+
\dots
\end{align*}
Es ist noch etwas undurchsichtig, warum die ersten beiden Terme
das gleiche Vorzeichen haben und warum der Faktor $\frac12$ in jedem
Term zweimal vorkommt.
Diese Unklarheit kann jedoch beseitigt werden, wenn man den ersten
Faktor als $-\frac12$ schreibt:
\begin{align*}
\sqrt{1+x}
&=
1
-
\biggl(-\frac12\biggr)\cdot\frac{x}{1!}
+
\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2!}
-
\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}2\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{x^3}{3!}
+
\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot\frac{x^4}{4!}
+
\dots
\\
&=
1 + 
\biggl(-\frac12\biggr)\cdot\frac{-x}{1!}
+
\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{(-x)^2}{2!}
+
\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}2\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{(-x)^3}{3!}
+
\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot\frac{(-x)^4}{4!}
+
\dots
\end{align*}
Die Koeffizienten sind aufsteigende Produkte mit $k$ Faktoren, die alle bei
$-\frac12$ beginnen, sie können daher als Pochhammer-Symbole $(-\frac12)_k$
geschrieben werden.
Die Wurzelfunktion ist daher die hypergeometrische Funktion
\[
\sqrt{1\pm x}
=
\sum_{k=0}^\infty
\biggl(-\frac12\biggr)_k \frac{(-x)^k}{k!}
=
\mathstrut_1F_0(-{\textstyle\frac12};\mp x).
\]

\subsubsection{Logarithmusfunktion}
Für $x\in (-1,1)$ konvergiert die Taylor-Reihe
\[
\log(1+x)
=
x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots
\]
der Logarithmusfunktion im Punkt $x=0$.
Die Reihe beginnt nicht mit einem konstanten Term, daher klammern wir
zunächst einen Faktor $x$ aus:
\[
\log(1+x)
=
x\cdot
\biggl(
1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+\dots
\]
Um dies in die Form einer hypergeometrischen Funktion zu bringen,
muss zunächst wieder der Nenner $k!$ hergestellt werden.
\begin{align*}
\log(1+x)
&=
x\cdot\biggl(
1
- \frac{1!}{2} \frac{x}{1!}
+ \frac{2!}{3} \frac{x^2}{2!} 
- \frac{3!}{4} \frac{x^3}{3!}+\dots
\biggr).
\intertext{Den Nenner $k+1$ kann man als Quotienten $k!/(k+1)!$ erhalten,
also}
\log(1+x)
&=
x\cdot\biggl(
1
- \frac{(1!)^2}{2!} \frac{x}{1!}
+ \frac{(2!)^2}{3!} \frac{x^2}{2!} 
- \frac{(3!)^2}{4!} \frac{x^3}{3!}+\dots
\biggr).
\end{align*}
Die Fakultät
\[
(k+1)!
=
1\cdot 2 \cdot 3 \cdot\ldots\cdot k\cdot (k+1)
=
2 \cdot (2 + 1) \cdot (2+2) \cdot\ldots\cdot (2+k-2) \cdot (2+k-1)
=
(2)_{k}
\]
ist auch ein Pochhammer-Symbol, so dass die Logarithmusfunktion
zur hypergeometrischen Funktion
\[
\log(1+x)
=
x\cdot\biggl(
1
+ \frac{(1)_1(1)_1}{(2)_1\frac{(-x)}{1!}
+ \frac{(1)_2(1)_2}{(2)_2} \frac{(-x)^2}{2!} 
+ \frac{(1)_3(1)_3}{(2)_2} \frac{(-x)^3}{3!}+\dots
\biggr)
=
x\cdot
\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}1,1\\2\end{matrix};-x\biggr).
\]


\subsubsection{Trigonometrische Funktionen}
Die Kosinus-Funktion wurde bereits als hypergeometrische Funktion erkannt,
im Folgenden soll dies auch noch für die Sinus-Funktion
durchgeführt werden.
Die Taylor-Reihe der Sinus-Funktion im Punkt $0$ ist
\begin{align*}
\sin x
&=
x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots
\end{align*}
In dieser Reihe fehlen die geraden Potenzen, wir Klammern daher einen
Faktor $x$ aus und schreiben den Rest als eine Funktion von $-x^2$
\begin{align*}
\sin x
&=
x
\biggl(
1+\frac{-x^2}{3!}+\frac{(-x^2)^2}{5!}-\frac{(-x^2)^3}{7!}+\dots
\biggr)
=
x f(-x^2).
\end{align*}
Die Funktion $f(z)$ soll jetzt als hypergeometrische Funktion geschrieben
werden.
Dazu muss zunächst wieder der Nenner $k!$ wiederhergestellt werden:
\[
f(z)
=
1
+
\frac{1!}{3!}\cdot \frac{z}{1!}
+
\frac{2!}{5!}\cdot \frac{z^2}{2!}
+
\frac{3!}{7!}\cdot \frac{z^3}{3!}
+
\dots
\]
Die Koeffizienten $k!/(2k+1)!$ müssen jetzt durch Pochhammer-Symbole
mit jeweils $k$ Faktoren ausgedrückt werden.
Dazu muss die Fakultät $(2k+1)!$ in zwei Produkte
\[
(2k+1)
=
2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5\cdot \ldots \cdot 2k \cdot (2k+1)
=
(2\cdot 4 \cdot 6\cdot\ldots\cdot 2k)
\cdot
(3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots \cdot (2k+1))
\]
aufgespaltet werden.
Diese Produkte haben zwar $k$-Faktoren, aber sie sind keine
Pochhammer-Symbole, weil die Differenz aufeinanderfolgender Faktoren 
jeweils $2$ ist.
Wir dividieren die geraden Faktoren durch $2$ und dividieren die 
ungeraden durch $2$, dadurch ändert sich das Produkt nicht und wird
\[
(2k+1)!
=
(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot k)
\cdot
\biggl(
\frac{3}{2}\cdot
\frac{5}{2}\cdot
\frac{7}{2}\cdot
\ldots\cdot
\frac{2k+1}{2}
\biggr)
=
(1)_k\cdot \biggl(\frac{3}{2}\biggr)_k
\]
Setzt man dies in die Reihe ein, wird
\[
f(z)
=
\sum_{k=0}^\infty
\frac{(1)_k}{(1)_k\cdot (\frac{3}{2})_k}
z^k
=
\mathstrut_1F_2(1;1,\frac{3}{2};z).
\]
Damit lässt sich die Sinus-Funktion als
\[
\sin x
=
x\,\mathstrut_1F_2\biggl(\begin{matrix}1\\1,\frac32\end{matrix};-x^2\biggr)
\]
durch eine hypergeometrische Funktion ausdrücken.

\subsubsection{Hyperbolische Funktionen}
Die für die Sinus-Funktion angewendete Methode lässt sich auch
auf die Funktion 
\begin{align*}
\sinh x
&=
\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
\\
&=
x
\,
\biggl(
1+\frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!}+\frac{x^6}{7!}+\dots
\biggr)
\\
&=
xf(-x^2)
=
x\,\mathstrut_1F_2\biggl(
\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix}
;x^2
\biggr).
\end{align*}
Bis auf das Vorzeichen des Arguments der hypergeometrischen Funktion
ist diese Darstellung identisch mit der von $\sin x$.
Dies illustriert die Rolle der hypergeometrischen Funktionen als
``grosse Vereinheitlichung'' der bekannten speziellen Funktionen.