new material on hypergeometric functions

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index 0000000..ac07789
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
@@ -0,0 +1,603 @@
+%
+% hypergeometrisch.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Hypergeometrische Funktionen
+\label{buch:rekursion:ssection:hypergeometrische-funktion}}
+\rhead{Hypergeometrische Funktionen}
+Kann man eine Formel für die Lösung $S_n$ der lineare Differenzengleichung
+\[
+n^3S_{n}
+=
+16(n-{\textstyle\frac12})(2n^2-2n+1)S_{n-1}
+-256(n-1)^3S_3
+\]
+mit Anfangswerten $S_0=1$ und $S_1=8$ angeben?
+Dies scheint auf den ersten Blick unmöglich kompliziert, man kann aber
+zeigen, dass
+\[
+S_n
+=
+\sum_{k=0}^n 
+\binom{2n-2k}{n-k}^2 \binom{2k}{k}^2
+\]
+gilt (\cite[p.~xi]{buch:ab}).
+Die Lösung ist also eine Summe von Summanden, die sehr viel einfacher
+aussehen und vor allem die besondere Eigenschaft haben, dass die
+Quotienten aufeinanderfolgender Terme rationale Funktionen von von $k$
+sind.
+% XXX Quotient berechnen
+
+Eine besonders simple solche Funktion ist die geometrische Reihe, die
+im Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch}
+in Erinnerung gerufen wird.
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:reihen}
+definiert den Begriff der hypergeometrischen Reihe und zeigt, 
+wie sie in eine Standardform gebracht werden können.
+In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:beispiele}
+schliesslich wird an Hand von Beispielen gezeigt, wie bekannte
+Funktionen als hypergeometrische Funktionen interpretiert werden können.
+
+\subsection{Die geometrische Reihe
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch}}
+Die besonders einfache Potenzreihe
+\[
+f(q)
+=
+\sum_{k=0}^\infty aq^k
+\]
+heisst die {\em geometrische Reihe}.
+Die Partialsummen 
+\[
+S_n
+=
+\sum_{k=0}^n aq^k
+\]
+kann mit der Differenz
+\begin{equation}
+(1-q)S_n
+=
+S_n - qS_n
+=
+\sum_{k=0}^n aq^k
+-
+\sum_{k=1}^{n+1} aq^k
+=
+a -aq^{n+1}
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:qsumme}
+\end{equation}
+berechnet werden, die man nach
+\begin{equation}
+S_n 
+=
+a\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:geomsumme}
+\end{equation}
+auflösen kann.
+
+Fü $q<1$ geht $q^n\to 0$ und damit konvergiert
+$S_n$  gegen
+\[
+\sum_{k=0}^\infty aq^k
+=
+a\frac{1}{1-q}.
+\]
+
+Die geometrische Reihe ist charakterisiert dadurch, dass aufeinanderfolgende
+Terme den gleichen Quotienten
+\[
+\frac{aq^{k+1}}{aq^k}
+=
+q
+\]
+haben.
+Die Berechnung der Summe in 
+\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:qsumme}
+beruht darauf, dass die Multiplikation mit $q$ einen ``anderen''
+Teil der Summe ergibt, der sich in der Differenze weghebt.
+
+\subsection{Hypergeometrische Reihen
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:reihen}}
+Es ist plausibel, dass eine etwas lockerere Bedingung an die
+Quotienten aufeinanderfolgender Terme einer Reihe immer noch
+ermöglichen wird, interessante Aussagen über die durch die
+Reihe beschriebenen Funktionen zu machen.
+
+\begin{definition}
+Eine Reihe
+\[
+f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
+\]
+heisst {\em hypergeometrisch}, wenn der Quotient aufeinanderfolgender
+Koeffizienten eine rationale Funktion von $k$ ist,
+wenn also
+\[
+\frac{a_{k+1}}{a_k}
+=
+\frac{p(k)}{q(k)}
+\]
+mit Polynomen $p(k)$ und $q(k)$ ist.
+\end{definition}
+
+Die geometrische Reihe ist natürlich eine hypergeometrische Reihe,
+wobei $p(k)/q(k)=1$ ist.
+Etwas interessanter ist die Exponentialfunktion, durch die Taylor-Reihe
+\[
+e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}
+\]
+dargestellt werden kann.
+Der Quotient aufeinanderfolgender Koeffizienten ist
+\[
+\frac{a_{k+1}}{a_k}
+=
+\frac{1/(k+1)!}{1/k!}
+=
+\frac{k!}{(k+1)!}
+=
+\frac{1}{k+1},
+\]
+eine rationale Funktion mit Zählergrad $0$ und Nennergrad $1$.
+
+Die Kosinus-Funktion wird durch die Taylor-Reihe
+\[
+\cos x = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}
+\]
+dargestellt.
+Als Potenzreihe in $x$ kann die Kosinus-Reihe nicht hypergeometrisch sein,
+die ungeraden Koeffizienten verschwinden und damit undefinierte
+Quotienten haben.
+Als Reihe in $z=x^2$ ist aber
+\[
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} z^k
+\qquad\Rightarrow\qquad
+a_k = \frac{(-1)^k}{(2k)!}
+\]
+hypergeometrisch, weil der Quotient aufeinanderfolgender Koeffizienten
+\[
+\frac{a_{k+1}}{a_k}
+=
+\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+2)!}\cdot \frac{(2k)!}{(-1)^k}
+=
+-\frac{1}{(2k+2)(2k+1)},
+\]
+eine rationale Funktion mit Zählergrad $0$ und Nennergrad $2$.
+Es gibt also eine hypergeometrische Reihe $f(z)$ derart, dass
+$\cos x = f(x^2)$ ist.
+
+Seien $p(k)$ und $q(k)$ zwei Polynome derart, dass
+\[
+\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{p(k)}{q(k)}.
+\]
+Daraus lässt sich der Koeffizient $a_{k+1}$ als
+\begin{equation}
+a_{k+1}
+=
+\frac{p(k)}{q(k)}
+\cdot
+a_k
+=
+\frac{p(k)}{q(k)}
+\cdot
+\frac{p(k-1)}{q(k-1)}
+\cdot
+a_{k-1}
+=\dots=
+\frac{p(k)}{q(k)}
+\frac{p(k-1)}{q(k-1)}
+\cdots
+\frac{p(1)}{q(1)}
+\frac{p(0)}{q(0)}
+a_0
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:ak+1}
+\end{equation}
+berechnen.
+Alle Koeffizienten haben also den Faktor $a_0=f(0)$ gemeinsam.
+
+Die Produkte von Quotienten $p(k)/q(k)$ sollen jetzt weiter
+vereinfacht werden.
+Sei $n$ der Grad von $p(k)$ und $m$ der Grad von $q(k)$.
+Dazu nehmen wir an, dass $a_i$, $i=1,\dots,n$ die Nullstellen von $p(k)$ sind
+und $b_j$, $j=1,\dots,m$ die Nullstellen von $q(k)$, dass man also
+die Polynome als
+\begin{align*}
+p(k) &= x(k-a_1)(k-a_2)\cdots(k-a_n)
+\\
+q(k) &= (k-b_1)(k-b_2)\cdots(k-b_m)
+\end{align*}
+schreiben kann.
+Der Faktor $x$ ist nötig, weil die Polynome $p(k)$ und $q(k)$ nicht
+notwendigerweise normiert sind.
+
+Um das Produkt der Quotienten zu vereinfachen, nehmen wir für den Moment
+an, dass Zähler und Nenner vom Grad $n=m=1$ ist.
+Dann ist nach 
+\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:ak+1}
+\[
+a_{k}
+=
+x^{k}
+\frac{
+(k-1-a_1) \cdots (2-a_1)(1-a_1)(0-a_1)
+}{
+(k-1-b_1) \cdots (2-b_1)(1-b_1)(0-b_1)
+}
+=
+\frac{(-a_1)_k}{(-b_1)_k} x^k.
+\]
+Die Koeffizienten können daher als Quotienten von Pochhammer-Symbolen
+geschrieben werden.
+Für Polynome $p(k)$ und $q(k)$ höheren Grades sind die Koeffizienten
+von der Form
+\[
+a_k
+=
+\frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k}
+x^ka_0.
+\]
+Jede hypergeometrische Reihe kann daher in der Form
+\[
+a_0
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k}
+x^k
+\]
+geschrieben werden.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:def}
+Die hypergeometrische Funktion
+$\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe
+\[
+\mathstrut_pF_q
+\biggl(
+\begin{matrix}
+a_1,\dots,a_p\\
+b_1,\dots,b_q
+\end{matrix}
+;
+x
+\biggr)
+=
+\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x)
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}.
+\]
+\end{definition}
+
+Da $(1)_k=k!$ hätte die Definition den Nenner $k!$ in der Reihe
+auch durch eines der Pochhammer-Symbole ausdrücken können.
+Wird dieser Nenner nicht gebraucht, kann man ihn durch einen 
+zusätzlichen Faktor $(1)_k$ im Zähler des Bruchs von Pochhammer-Symbolen
+kompensieren, wodurch sich der Grad $p$ des Zählers natürlich um $1$
+erhöht.
+
+Die oben analysierte Summe $S$ kann mit der Definition als
+\[
+S
+=
+a_0
+\,
+\mathstrut_{n+1}F_m \biggl(
+\begin{matrix}
+-a_1,-a_2,\dots,-a_n,1\\
+-b_1,-b_2,\dots,-a_m
+\end{matrix}; x
+\biggr)
+\]
+beschrieben werden.
+
+\subsection{Beispiele von hypergeometrischen Funktionen
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:beispiele}}
+Viele der bekannten Reihenentwicklungen häufig verwendeter Funktionen
+lassen sich durch die hypergeometrischen Funktionen von
+Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} ausdrücken.
+In diesem Abschnitt werden einige Beispiel dazu gegeben.
+
+\subsubsection{Die geometrische Reihe}
+In der geometrischen Reihe fehlt der Nenner $k!$, es braucht
+daher einen Term $(1)_k$ im Zähler, um den Nenner zu kompensieren.
+Somit ist die geometrische Reihe
+\[
+\frac{a}{1-x}
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+ax^k
+=
+a\sum_{k=0}^\infty
+\frac{(1)_k}{1}
+\frac{x^k}{k!}
+=
+a\,\mathstrut_1F_0(1,x).
+\]
+
+\subsubsection{Exponentialfunktion}
+Die Exponentialfunktion ist die Reihe
+\[
+e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}.
+\]
+In diesem Fall werden keine Quotienten von Pochhammer-Symbolen
+benötigt, es ist daher
+\[
+e^x = \mathstrut_0F_0(x).
+\]
+
+\subsubsection{Wurzelfunktion}
+Die Wurzelfunktion $x\mapsto \sqrt{x}$ hat keine Taylor-Entwicklung
+in $x=0$, aber die Funktion $x\mapsto\sqrt{1+x}$ hat die Taylor-Reihe
+\[
+\sqrt{1+x}
+=
+1
++
+\frac12 x
+-
+\frac{1\cdot 1}{2\cdot 4}x^2
++
+\frac{1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}x^3
+-
+\frac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}x^4
++
+\dots
+\]
+Um die Verbindung zu einer hypergeometrischen Funktion herzustellen,
+müssen wir den Term $x^k/k!$ abspalten.
+Dann wird
+\begin{align*}
+\sqrt{1+x}
+&=
+1
++
+\frac12 \frac{x}{1!}
+-
+\frac{1\cdot 1}{2^2}\frac{x^2}{2!}
++
+\frac{1\cdot 1\cdot 3}{2^3}\frac{x^3}{3!}
+-
+\frac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2^4}\frac{x^4}{4!}
++
+\dots
+\\
+&=
+1
++
+\frac12 \cdot\frac{x}{1!}
+-
+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2!}
++
+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}2\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{x^3}{3!}
+-
+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot\frac{x^4}{4!}
++
+\dots
+\end{align*}
+Es ist noch etwas undurchsichtig, warum die ersten beiden Terme
+das gleiche Vorzeichen haben und warum der Faktor $\frac12$ in jedem
+Term zweimal vorkommt.
+Diese Unklarheit kann jedoch beseitigt werden, wenn man den ersten
+Faktor als $-\frac12$ schreibt:
+\begin{align*}
+\sqrt{1+x}
+&=
+1
+-
+\biggl(-\frac12\biggr)\cdot\frac{x}{1!}
++
+\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2!}
+-
+\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}2\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{x^3}{3!}
++
+\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot\frac{x^4}{4!}
++
+\dots
+\\
+&=
+1 + 
+\biggl(-\frac12\biggr)\cdot\frac{-x}{1!}
++
+\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{(-x)^2}{2!}
++
+\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}2\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{(-x)^3}{3!}
++
+\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot\frac{(-x)^4}{4!}
++
+\dots
+\end{align*}
+Die Koeffizienten sind aufsteigende Produkte mit $k$ Faktoren, die alle bei
+$-\frac12$ beginnen, sie können daher als Pochhammer-Symbole $(-\frac12)_k$
+geschrieben werden.
+Die Wurzelfunktion ist daher die hypergeometrische Funktion
+\[
+\sqrt{1\pm x}
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\biggl(-\frac12\biggr)_k \frac{(-x)^k}{k!}
+=
+\mathstrut_1F_0(-{\textstyle\frac12};\mp x).
+\]
+
+\subsubsection{Logarithmusfunktion}
+Für $x\in (-1,1)$ konvergiert die Taylor-Reihe
+\[
+\log(1+x)
+=
+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots
+\]
+der Logarithmusfunktion im Punkt $x=0$.
+Die Reihe beginnt nicht mit einem konstanten Term, daher klammern wir
+zunächst einen Faktor $x$ aus:
+\[
+\log(1+x)
+=
+x\cdot
+\biggl(
+1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+\dots
+\]
+Um dies in die Form einer hypergeometrischen Funktion zu bringen,
+muss zunächst wieder der Nenner $k!$ hergestellt werden.
+\begin{align*}
+\log(1+x)
+&=
+x\cdot\biggl(
+1
+- \frac{1!}{2} \frac{x}{1!}
++ \frac{2!}{3} \frac{x^2}{2!} 
+- \frac{3!}{4} \frac{x^3}{3!}+\dots
+\biggr).
+\intertext{Den Nenner $k+1$ kann man als Quotienten $k!/(k+1)!$ erhalten,
+also}
+\log(1+x)
+&=
+x\cdot\biggl(
+1
+- \frac{(1!)^2}{2!} \frac{x}{1!}
++ \frac{(2!)^2}{3!} \frac{x^2}{2!} 
+- \frac{(3!)^2}{4!} \frac{x^3}{3!}+\dots
+\biggr).
+\end{align*}
+Die Fakultät
+\[
+(k+1)!
+=
+1\cdot 2 \cdot 3 \cdot\ldots\cdot k\cdot (k+1)
+=
+2 \cdot (2 + 1) \cdot (2+2) \cdot\ldots\cdot (2+k-2) \cdot (2+k-1)
+=
+(2)_{k}
+\]
+ist auch ein Pochhammer-Symbol, so dass die Logarithmusfunktion
+zur hypergeometrischen Funktion
+\[
+\log(1+x)
+=
+x\cdot\biggl(
+1
++ \frac{(1)_1(1)_1}{(2)_1} \frac{(-x)}{1!}
++ \frac{(1)_2(1)_2}{(2)_2} \frac{(-x)^2}{2!} 
++ \frac{(1)_3(1)_3}{(2)_2} \frac{(-x)^3}{3!}+\dots
+\biggr)
+=
+x\cdot
+\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}1,1\\2\end{matrix};-x\biggr).
+\]
+
+
+\subsubsection{Trigonometrische Funktionen}
+Die Kosinus-Funktion wurde bereits als hypergeometrische Funktion erkannt,
+im Folgenden soll dies auch noch für die Sinus-Funktion
+durchgeführt werden.
+Die Taylor-Reihe der Sinus-Funktion im Punkt $0$ ist
+\begin{align*}
+\sin x
+&=
+x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots
+\end{align*}
+In dieser Reihe fehlen die geraden Potenzen, wir Klammern daher einen
+Faktor $x$ aus und schreiben den Rest als eine Funktion von $-x^2$
+\begin{align*}
+\sin x
+&=
+x
+\biggl(
+1+\frac{-x^2}{3!}+\frac{(-x^2)^2}{5!}-\frac{(-x^2)^3}{7!}+\dots
+\biggr)
+=
+x f(-x^2).
+\end{align*}
+Die Funktion $f(z)$ soll jetzt als hypergeometrische Funktion geschrieben
+werden.
+Dazu muss zunächst wieder der Nenner $k!$ wiederhergestellt werden:
+\[
+f(z)
+=
+1
++
+\frac{1!}{3!}\cdot \frac{z}{1!}
++
+\frac{2!}{5!}\cdot \frac{z^2}{2!}
++
+\frac{3!}{7!}\cdot \frac{z^3}{3!}
++
+\dots
+\]
+Die Koeffizienten $k!/(2k+1)!$ müssen jetzt durch Pochhammer-Symbole
+mit jeweils $k$ Faktoren ausgedrückt werden.
+Dazu muss die Fakultät $(2k+1)!$ in zwei Produkte
+\[
+(2k+1)
+=
+2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5\cdot \ldots \cdot 2k \cdot (2k+1)
+=
+(2\cdot 4 \cdot 6\cdot\ldots\cdot 2k)
+\cdot
+(3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots \cdot (2k+1))
+\]
+aufgespaltet werden.
+Diese Produkte haben zwar $k$-Faktoren, aber sie sind keine
+Pochhammer-Symbole, weil die Differenz aufeinanderfolgender Faktoren 
+jeweils $2$ ist.
+Wir dividieren die geraden Faktoren durch $2$ und dividieren die 
+ungeraden durch $2$, dadurch ändert sich das Produkt nicht und wird
+\[
+(2k+1)!
+=
+(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot k)
+\cdot
+\biggl(
+\frac{3}{2}\cdot
+\frac{5}{2}\cdot
+\frac{7}{2}\cdot
+\ldots\cdot
+\frac{2k+1}{2}
+\biggr)
+=
+(1)_k\cdot \biggl(\frac{3}{2}\biggr)_k
+\]
+Setzt man dies in die Reihe ein, wird
+\[
+f(z)
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{(1)_k}{(1)_k\cdot (\frac{3}{2})_k}
+z^k
+=
+\mathstrut_1F_2(1;1,\frac{3}{2};z).
+\]
+Damit lässt sich die Sinus-Funktion als
+\[
+\sin x
+=
+x\,\mathstrut_1F_2\biggl(\begin{matrix}1\\1,\frac32\end{matrix};-x^2\biggr)
+\]
+durch eine hypergeometrische Funktion ausdrücken.
+
+\subsubsection{Hyperbolische Funktionen}
+Die für die Sinus-Funktion angewendete Methode lässt sich auch
+auf die Funktion 
+\begin{align*}
+\sinh x
+&=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
+\\
+&=
+x
+\,
+\biggl(
+1+\frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!}+\frac{x^6}{7!}+\dots
+\biggr)
+\\
+&=
+xf(-x^2)
+=
+x\,\mathstrut_1F_2\biggl(
+\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix}
+;x^2
+\biggr).
+\end{align*}
+Bis auf das Vorzeichen des Arguments der hypergeometrischen Funktion
+ist diese Darstellung identisch mit der von $\sin x$.
+Dies illustriert die Rolle der hypergeometrischen Funktionen als
+``grosse Vereinheitlichung'' der bekannten speziellen Funktionen.
+
+