path: root/buch/papers/ellfilter/main.tex

%
% main.tex -- Paper zum Thema Elliptische Filter
%
% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
%
\chapter{Elliptische Filter\label{chapter:ellfilter}}
\lhead{Elliptische Filter}
\begin{refsection}
\chapterauthor{Nicolas Tobler}


\section{Einleitung}

Lineare filter

Filter, Signalverarbeitung


Der womöglich wichtigste Filtertyp ist das Tiefpassfilter.
Dieses soll im Durchlassbereich unter der Grenzfrequenz $\Omega_p$ unverstärkt durchlassen und alle anderen Frequenzen vollständig auslöschen.

Bei der Implementierung von Filtern


In der Elektrotechnik führen Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englich \textit{time-invariant system}).
Die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich $|H(\Omega)|$ eines solchen Systems ist dabei immer eine rationale Funktion, also eine Division von zwei Polynomen.
Die Polynome habe dabei immer reelle oder komplex-konjugierte Nullstellen.


\begin{equation} \label{ellfilter:eq:h_omega}
    | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p}
\end{equation}

$\Omega = 2 \pi f$ ist die analoge Frequenz


% Linear filter
Damit das Filter implementierbar und stabil ist, muss $H(\Omega)^2$ eine rationale Funktion sein, deren Nullstellen und Pole auf der linken Halbebene liegen.

$N \in \mathbb{N} $ gibt dabei die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen.

% In \eqref{ellfilter:eq:h_omega} wird $F_N(w)$ so verzogen, dass $F_N(w) \forall |w| < 1$


Damit ein Filter die Passband Kondition erfüllt muss $|F_N(w)| \leq 1 \forall |w| \leq 1$ und für $|w| \geq 1$ sollte die Funktion möglichst schnell divergieren.
Eine einfaches Polynom, dass das erfüllt, erhalten wir wenn $F_N(w) = w^N$.
Tatsächlich erhalten wir damit das Butterworth Filter, wie in Abbildung \ref{ellfilter:fig:butterworth} ersichtlich.
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=1]{papers/ellfilter/python/F_N_butterworth.pdf}
    \caption{$F_N$ für Butterworth filter. Der grüne Bereich definiert die erlaubten Werte für alle $F_N$-Funktionen.}
    \label{ellfilter:fig:butterworth}
\end{figure}

wenn $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, ist auch $H(\Omega)$ eine rationale Funktion und daher ein lineares Filter. %proof?

\begin{align}
    F_N(w) & =
    \begin{cases}
        w^N                            & \text{Butterworth} \\
        T_N(w)                         & \text{Tschebyscheff, Typ 1}  \\
        [k_1 T_N (k^{-1} w^{-1})]^{-1} & \text{Tschebyscheff, Typ 2}  \\
        R_N(w)                         & \text{Elliptisch (Cauer)}    \\
    \end{cases}
\end{align}

Mit der Ausnahme vom Butterworth filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt.
Alle diese Filter sind optimal für unterschiedliche Anwendungsgebiete.
Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich.
Das Tschebyscheff-1 Filter sind maximal steil für eine definierte Welligkeit im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist.
Es scheint so als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter.

\section{Tschebyscheff-Filter}

Als Einstieg betrachent Wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwand ist mit dem elliptischen Filter.
Genauer ausgedrückt sind die Tschebyscheff-1 und -2 Fitler ein Spezialfall davon.

Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyschff-Polynome $T_N$ relevant sind für das Filter:
\begin{align}
    T_{0}(x)&=1\\
    T_{1}(x)&=x\\
    T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\
    T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\
    T_{n+1}(x)&=2x~T_{n}(x)-T_{n-1}(x).
\end{align}
Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der Trigonometrischen Funktion
\begin{equation} \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials}
    T_N(w) = \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right)
\end{equation}
übereinstimmt.
Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome.
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=1]{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev2.pdf}
    \caption{Die Tschebyscheff-Polynome $C_N$.}
    \label{ellfilter:fig:chebychef_polynomials}
\end{figure}
Da der Kosinus begrenzt zwischen $-1$ und $1$ ist, sind auch die Tschebyscheff-Polynome begrenzt.
Geht man aber über das Intervall $[-1, 1]$ hinaus, divergieren die Funktionen mit zunehmender Ordnung immer steiler gegen $\pm \infty$.
Diese Eigenschaft ist sehr nützlich für ein Filter.
Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Voraussetzungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert.
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=1]{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev.pdf}
    \caption{Die Tschebyscheff-Polynome füllen den erlaubten Bereich besser, und erhalten dadurch eine steilere Flanke im Sperrbereich.}
    \label{ellfiter:fig:chebychef}
\end{figure}


Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist.
Die genauere Betrachtung wird uns dann helfen die elliptischen Filter zu verstehen.

\begin{equation}
    \cos^{-1}(x)
    =
    \int_{0}^{x}
    \frac{
        dz
    }{
        \sqrt{
            1-z^2
        }
    }
\end{equation} %TOdO is it minus dz?

\begin{equation}
    \frac{
        1
    }{
        \sqrt{
            1-z^2
        }
    }
    \in \mathbb{R}
    \quad
    \forall
    \quad
    -1  \leq z \leq 1
\end{equation}
Wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ.
Durch die Quadratwurzel entstehen zwei Reinkomplexe Lösungen
\begin{equation}
    \frac{
        1
    }{
        \sqrt{
            1-z^2
        }
    }
    = i \xi \quad | \quad \xi \in \mathbb{R}
    \quad
    \forall
    \quad
    z \leq -1 \cup z \geq 1
\end{equation}

\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex}
    \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen ebene.}
    \label{ellfilter:fig:arccos}
\end{figure}



\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex}
    \caption{
        $z$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion.
        Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden hat das Tschebyscheff-Polynom.
    }
    % \label{ellfilter:fig:arccos}
\end{figure}





% Analytische Fortsetzung



\section{Jacobische elliptische Funktionen}


Für das elliptische Filter, wird statt der für das Tschebyscheff-Filter benutzen Kreis-Trigonometrie die elliptischen Funktionen gebraucht.
Der begriff elliptische Funktion wird für sehr viele Funktionen gebraucht, daher ist es hier wichtig zu erwähnen, dass es ausschliesslich um die Jacobischen elliptischen Funktionen geht.

Im Wesentlichen erweitern die Jacobi elliptischen Funktionen die trigonometrische Funktionen für Ellipsen.

%TODO $z$ or $u$ for parameter?

neu zwei parameter
$sn(z, k)$
$z$ ist das winkelargument
Im Kreis ist der Radius für alle Winkel konstant, bei Ellipsen ändert sich das.
Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbodenstrecke nicht linear zum Winkel verläuft.
Darum kann hier nicht der gewohnte Winkel verwendet werden.
An deren stelle kommt der parameter $k$ zum Einsatz, welcher durch das elliptische Integral erster Art
\begin{equation}
    z
    =
    F(\phi, k)
    =
    \int_{0}^{\phi}
    \frac{
        d\theta
    }{
        \sqrt{
            1-k^2 \sin^2 \theta
        }
    }
\end{equation}
mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung liegt.




Dabei wird das vollständige und unvollständige Elliptische integral unterschieden.
Beim vollständigen Integral
\begin{equation}
    K(k)
    =
    \int_{0}^{\pi / 2}
    \frac{
        d\theta
    }{
        \sqrt{
            1-k^2 \sin^2 \theta
        }
    }
\end{equation}
wird über ein viertel Ellipsenbogen integriert also bis $\phi=\pi/2$.

Die Jacobischen elliptischen Funktionen können mit der inversen Funktion
\begin{equation}
    \phi = F^{-1}(z, k)
\end{equation}
definiert werden. Dabei ist zu beachten dass nur das $z$ Argument der Funktion invertiert wird also
\begin{equation}
    z = F(\phi, k)
    \Leftrightarrow
    \phi = F^{-1}(z, k).
\end{equation}
Mithilfe von $F^{-1}$ kann $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral dargestellt werden:
\begin{equation}
    \sin(\phi)
    =
    \sin \left( F^{-1}(z, k) \right)
    =
    \sn(u, k)
\end{equation}

\begin{align}
    \sn^{-1}(w, k)
        & =
    \int_{0}^{\phi}
    \frac{
        d\theta
    }{
        \sqrt{
            1-k^2 \sin^2 \theta
        }
    },
    \quad
    \phi = \sin^{-1}(w)
    \\
        & =
    \int_{0}^{w}
    \frac{
        dt
    }{
        \sqrt{
            (1-t^2)(1-k^2 t^2)
        }
    }
\end{align}

Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x < -1$ und $x > 1$ rechtwinklig in die Komplexen zahlen wandert.
Wenn man das gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen.
Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$.
Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$.
\begin{equation}
    \frac{
        1
    }{
        \sqrt{
            (1-t^2)(1-k^2 t^2)
        }
    }
    \in \mathbb{R}
    \quad \forall \quad
    -1 \leq t \leq 1
\end{equation}
Die zweite stelle passiert wenn beide Faktoren unter der Wurzel negativ werden, was bei $t = 1/k$ der Fall ist.




Funktion in relle und komplexe Richtung periodisch

In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch.



%TODO sn^{-1} grafik


\section{Elliptische rationale Funktionen}


\begin{equation}
    R_N(\xi, w) = \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right)
\end{equation}
\begin{equation}
    R_N(\xi, w) = \cd (N~u K_1, k_1), \quad w= \cd(uK, k)
\end{equation}


sieht ähnlich aus wie die trigonometrische darstellung der Tschebyschef-Polynome

der Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for 

%TODO cd^{-1} grafik mit 


\subsection{Degree Equation}

Der $cd^{-1}$ Term muss so verzogen werden, dass die umgebene $cd$ funktion die nullstellen und pole trifft.
Dies trifft ein wenn die Degree Equation erfüllt ist.

\begin{equation}
    N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1}
\end{equation}


Leider ist das lösen dieser Gleichung nicht trivial.
Die Rechnung wird in \ref{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut.


\subsection{Polynome?}

Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann.
Im gegensatz zum $\cos^{-1}$ hat der $\cd^{-1}$ nicht nur Nullstellen sondern auch Pole.
Somit entstehen bei den elliptischen rationalen Funktionen, wie es der name auch deutet, rationale Funktionen, also ein Bruch von zwei Polynomen.




\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=1]{papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pdf}
    \caption{$F_N$ für ein elliptischs filter.}
    \label{ellfilter:fig:elliptic}
\end{figure}





\input{papers/ellfilter/teil0.tex}
\input{papers/ellfilter/teil1.tex}
\input{papers/ellfilter/teil2.tex}
\input{papers/ellfilter/teil3.tex}

% \printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}