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diff --git a/an2e_zf.tex b/an2e_zf.tex index 9f78ac3..2bdef13 100644 --- a/an2e_zf.tex +++ b/an2e_zf.tex @@ -1,6 +1,7 @@ \documentclass[margin=small, twocolumn]{hsrzf} \usepackage{hsrstud} +\usepackage{cancel} \numberwithin{equation}{subsection} @@ -129,9 +130,9 @@ Die selbe gilt umgekehrt f\"ur Divergenz. Wenn \(0 < h(x) \leq f(x)\) Alle normale differenziazionsregeln f\"ur \(f(x)\) gelten. Allgemeiner f\"ur die implizite Funktion \(F(x,y) = 0\) \[ - \dd{y} = y'\dd{x} - \qquad - \pderiv{F}{x} + \pderiv{F}{y} y' = 0 + \dd{y} = y'\dd{x} + \qquad + \pderiv{F}{x} + \pderiv{F}{y} y' = 0 \] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% @@ -482,7 +483,7 @@ Wenn \(\lim_{n\to\infty}R_n = 0\) dann \(f(x) = T(x,a)\), d.h. die Taylor Rehie \section{Differentialgleichungen \brpage{553}} \subsection{Definition} -Eine Funktion \(y = \varphi(x)\) hei{\ss}t \emph{allgemeine} L\"osung der \(n\)-te Ordnung Differentialgleichung +Eine Funktion \(y = \varphi(x)\) hei{\ss}t \emph{allgemeine} L\"osung der implizite \(n\)-te Ordnung Differentialgleichung \[ F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0 \] @@ -492,32 +493,74 @@ auf dem Intervall \(I\), wenn \item \(\forall x \in I: F(x, \varphi, \varphi', \varphi'', \dots, \varphi^{(n)}) = 0\) \end{itemize} -Gegeben seien auch der \emph{Anfangspunkt} \(x_0\), und +Da mehr L\"osungen existieren k\"onnen, es gibt eine Menge von L\"osungen +\[ + Y = \left\{ y \in C^n : F(x, y, y', \dots, y^{(n)}) = 0 \right\} +\] + +Gegeben seien k\"onnen auch der \emph{Anfangspunkt} \(x_0\), und die \emph{Anfangswerte} oder \emph{Anfangsbedingungen} \(y_0 = y(x_0)\), \(y_1 = y'(x_0)\), \dots, \(y_{n-1} = y^{(n-1)}(x_0) \in \mathbb{R}\). -Dann hat man ein \emph{Anfangswertproblem}, der eine \emph{partikul\"are} L\"osung ergibt. +Dann hat man ein \emph{Anfangswertproblem}, die eine L\"osung \(y \in Y\) ergibt. -\subsection{Existenz und Eindeutigkeitssatz} -\subsection{DGL 1. Ordnung \brpage{554}} -\subsubsection{Lineare DGL 1. Ordnung \brpage{556}} -Die funktionen \(f\) und \(g\) seien auf demselben Intervall \(I\) stetig. Die Differentialgleichung +\subsection{Existenz und Eindeutigkeitssatz (Picard-Lindel\"of) \brpage{554,556,560}} +Sei die DGL folgenderm\"a{\ss}en umgeformt +\[ + y^{(n)} = f(x, y, y', \dots, y^{(n-1)}) +\] +Dann hat die DGL eine eindeutige L\"osung, wenn \[ - y' + f(x)y = g(x) + \exists + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0) \text{ stetig} + \quad + \exists + \frac{\partial f}{\partial y^{(k)}}(y_{k}) \text{ stetig} \quad 0 \leq k < n \] -hei{\ss}t \emph{homogen}, wenn \(g\) die Nullfunktion (\(=0\)) auf \(I\) ist, sonst \emph{inhomogen}. \(g\) hei{\ss}t St\"orglied. +d.h. die partielle Ableitung nach \(x, y, y', \cdots\) an der Anfangswerte \(x_0, y_0, y_1, \ldots\) existieren und stetig sind. + +\subsection{Lineare DGL} +Linearit\"at hei{\ss}t +\[ + L(y + z) = L(y) + L(z) \qquad L(\mu y) = \mu L(y) +\] +Wenn \(u_1(x), u_2(x), \ldots \in Y\), eine lineare DGL \(L(y) = 0\) l\"osen d.h. \(L(u_k) = 0\). Dann sind auch alle lineare Kombinationen L\"osungen +\[ + \overbrace{\mu_1 L(u_1)}^{\mu_1 \cdot 0} + \mu_2 L(u_2) + \cdots = 0 = + L(\overbrace{\mu_1 u_1 + \mu_2 u_2 + \cdots}^{\text{lineare Komb.}}) +\] + +\subsubsection{Homogene, inhomogene und partikul\"are L\"osungen} +Seien \(g(x)\) und alle \(a_k(x) \; (0 \leq k \leq n)\) auf den Intervall \(I\) stetig. F\"ur die lineare Differenzialgleichung +\[ + L(y) = \sum_{k=0}^n a_k y^{(k)} = g(x) +\] +\begin{itemize} + \item Wenn \(g(x) = 0\), hei{\ss}en sie und seine L\"osungen \emph{homogen} + \(\iff y_H \in Y_H : L(y_H) = 0\). + \item Wenn \(g(x) \neq 0\), dann hei{\ss}en seine L\"osungen \emph{partikul\"are} L\"osungen + \(\iff y_P \in Y_p : L(y_p) = g(x)\). + \item Wegen Linearit\"at, die Summe von \(\mu y_H \text{ und } y_p\) sind wieder L\"osungen der DGL. Solche L\"osungen nennt man \emph{allgemeine} L\"osungen. \(\iff\) + \begin{align*} + y_H + y_p = y \in Y : L(y) &= L(y_H + y_p) \\ + &= L(y_H) + L(y_p) \\ + &= L(y_p) \\ + &= g(x) + \end{align*} + Der L\"osungsmenge ist dann + \[Y = \{y_H \in Y_H, y_p \in Y_p: y = y_H + y_p\}\] + +\end{itemize} + + +\subsection{DGL 1. Ordnung \brpage{554}} +\subsubsection{Lineare DGL 1. Ordnung \brpage{556}} Die Allgemeine L\"osung ist -% \[ -% y = \exp\left[-\int f(x)\di{x}\right] \left[ -% k + \int g(x)\exp\left( -% \int f(x)\di{x} -% \right)\di{x} \right] \\ -% \] \[ - Y = \left\{ y : y = y_\text{H} + y_\text{P} \text{ mit } y_\text{H} \in Y_\text{H}\right\} + Y = \left\{ y_H \in Y_H : y = y_H + y_P \} \] \[ y = e^{-F}\left[k + \int ge^F\di{x}\right] @@ -549,38 +592,67 @@ Dann soll sie nach \(z\) l\"osen lassen. \end{align*} -\subsection{DGL 2. Ordnung} - -\subsubsection{Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten} +\subsection{Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten \brpage{569}} \[ - y'' + a_1 y' + a_0 y = f(x) + L(y) = y'' + a_1 y' + a_0 y = g(x) \] -Versuch mit \(y = Ae^{\lambda x}\) + +\subsubsection{Homogene L\"osung (\(g=0\))} +Sei angenommen dass \(y = Ce^{\lambda x}\) eine L\"osung ist \begin{align*} - 0 &= A\lambda^2 e^{\lambda x} + a_1 A \lambda e^{\lambda x} + a_0 A e^{\lambda x} \\ + 0 &= C\lambda^2 e^{\lambda x} + a_1 C \lambda e^{\lambda x} + a_0 C e^{\lambda x} \\ 0 &= \lambda^2 + a_1\lambda + a_0 \end{align*} Der \emph{charakteristische Polynom} hat die L\"osungen \[ \lambda_{12} = \frac{1}{2}\left(-a_1 \pm \sqrt{a_1^2 - 4a_0}\right) \] -Falls \(\lambda \in \mathbb{R}\), dann hei{\ss}t er \emph{D\"ampfung}. Sonst ist \(\mathbb{C} \ni \lambda = k \pm\jmath\alpha\), \(\alpha\) nennt man \emph{Frequenz}. Daher hat die L\"osung die Form: +Die homogene L\"osung ist dann +\[ + y_H = Ae^{\lambda_1 x} + Be^{\lambda_2 x} \quad A,B \in\mathbb{R} +\] +Falls \(\lambda \in \mathbb{R}\), dann hei{\ss}t er \emph{D\"ampfung}. Sonst ist \(\mathbb{C} \ni \lambda = k \pm j\alpha\), \(\alpha\) nennt man \emph{Frequenz}. Daher hat die L\"osung die Form: \[ Ce^{k\pm\jmath\alpha} = A\exp\left(\frac{a_1}{2}x\right)\cos(\alpha x) + B\exp\left(\frac{a_1}{2}x\right)\sin(\alpha x) \] +\subsubsection{Inhomogene L\"osung (\(g \neq 0\))} +NB: L\"osungsmethoden f\"ur \(n\)-te Ordnung DGL in \S\ref{sec:inhom-ode-n} k\"onne auch verwendet werden. + +\paragraph{Methode der unbestimmten Koeffizienten} + \paragraph{Faltung} Die Faltung Integral ergibt die partikul\"are Loesung einer 2. Ordunung Differenzialgleichung mit Anfangsbedingungen \(g(x_0) = 0\) und \(g'(x_0) = 1\). \[ y_p = f * g = \int\limits_{x_0}^x g(x + x_0 - t) f(t) \di{t} \] -\subsection{Lineare DGL \(n\)-te Ordnung} +\subsection{Lineare DGL \(n\)-te Ordnung mit konstanten Koeffizienten \brpage{569,567}} +\subsubsection{Homogene L\"osung} +Sei angenommen dass, die L\"osungen Form \(y = Ce^{\lambda x}\) haben, dann +\[ + \sum_{k=0}^n a_k y^{(k)} = 0 + \implies p(\lambda) = \sum_{k=0}^n a_k \lambda^k = 0 +\] +die Nullstellen von \(p(\lambda)\) ergeben \(n\) L\"osungen \(C_ke^{\lambda_k x}\). +Wie schon diskutiert, alle lineare Kombinationen sind wieder L\"osungen. +\[ + y_H = \sum_{k=0}^n C_k e^{\lambda_k x} \quad \forall k < n : C_k \in \mathbb{R} +\] + +\subsubsection{Inhomogene oder partikul\"are L\"osung} \label{sec:inhom-ode-n} + + +\paragraph{Variation der Konstanten} + +\subsection{Systeme von Differenzialgleichungen \brpage{564}} \subsection{Orthogonale Trajektorien} +Sei \(f(x, y, c) = 0\) eine Kurvenschar. Man findet eine DGL \(F(x, y, y') = 0\), die die Kurvenschar beschreibt (ohne die freie Variable \(c\)). +Dann die DGL \(G = F(x, y, -1/y') = 0\) beschreibt die \emph{orthogonale Trajektorien} zur Kurvenschar. Die l\"osung von \(G\) ergibt die Kurvenschar \(g(x,y,c)\) und wieder \(\forall x,y,c : g(x,y,c) \perp f(x,y,c)\). \begin{thebibliography}{3} \bibitem{hsr} diff --git a/build/an2e_zf.pdf b/build/an2e_zf.pdf Binary files differindex 2fd9024..73d8793 100644 --- a/build/an2e_zf.pdf +++ b/build/an2e_zf.pdf |