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diff --git a/an2e_zf.pdf b/an2e_zf.pdf Binary files differindex 295cb19..f6a08ed 100644 --- a/an2e_zf.pdf +++ b/an2e_zf.pdf diff --git a/an2e_zf.tex b/an2e_zf.tex index c0baefc..eda760e 100644 --- a/an2e_zf.tex +++ b/an2e_zf.tex @@ -145,7 +145,7 @@ Allgemeiner f\"ur die implizite Funktion \(F(x,y) = 0\) \section{Differentialgeometrie} -\subsection{Ebene \brpage{250} Kurven} +\subsection{Ebene Kurven \brpage{250}} \subsubsection{Darstellungen und Umwanldung} \begin{figure}[h] @@ -178,6 +178,20 @@ Daher gilt \] Wenn \(\dot{\psi} \neq 0\) ist dann \(x = \phi \circ \psi^{-1}(y)\) +\subsubsection{Bogenl\"ange \brpage{251,514}} \label{sec:arc-length} +Weitere Formeln (z.B. polar) findet man in Tab. \ref{tab:plane-curves-big}. +\[ + \ell = \int\limits_a^b \sqrt{1 + (f')^2} \dd{x} + = \int\limits_{t_0}^{t_1} |\vec{\dot{c}}| \dd{t} +\] + +\subsubsection{Umparametrisierung nach Bogenl\"ange} +Sei die Kurve \(\vec{\Lambda}(t), t \in I\) mindestens einmal differenzierbar, und \(\ell\) die Bogenl\"ange (gem\"a{\ss} \S\ref{sec:arc-length}) im Intervall. Die Umparametrisierung \(\vec{\Lambda}(s)\) ist dann +\[ + s = \ell t \implies \vec{\Lambda}(s) = \vec{\Lambda}(t/\ell) +\] +Die neue Parametrisierung hat \(\vec{\Lambda}' = 1\) (nach \(s\) differenziert), d.h. die erste Ableitung ist der tangent Einheitsvector! + \subsubsection{Tangente und Normalvektor \brpage{251,252}} F\"ur eine ebene Kurve \(\vec{\Lambda}(t)\) \(\tau, t \in I\), der Vektor \(\vec{\dot\Lambda}(\tau)\) ist immer an \(\vec{\Lambda}(\tau)\) tangent. \(\vec{\ddot{\Lambda}}(\tau)\) ist zur Kurve normal. \begin{align*} @@ -213,7 +227,7 @@ Der Kr\"ummungskreis hat Ma{\ss}zahl \(\rho = 1/|\kappa|\) und Mittelpunkt \(P_c P_c = \begin{pmatrix} x_c \\ y_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \frac{1}{\kappa} \vec{\hat{n}} \] -Wobei \(\vec{\hat{n}} = \vec{\ddot{\Lambda}}^0\) ist der Normalenvektor. +Wobei \(\vec{\hat{n}} = \vec{\ddot{\Lambda}}^0\) ist der Normalvektor. \subsubsection{Konvexit\"at} Sei die Kurve \(\Lambda\) durch \(f \in C^2\) auf \([a,b]\) gegeben. @@ -223,8 +237,6 @@ Sei die Kurve \(\Lambda\) durch \(f \in C^2\) auf \([a,b]\) gegeben. \item Hat in \(\Lambda\) in \(P\) einen Wendepunkt, dann \(\kappa(P) = 0\). \end{itemize} - - \subsubsection{Evoluten und Evolventen \brpage{262}} @@ -258,6 +270,11 @@ Sei die Kurve \(\Lambda\) durch \(f \in C^2\) auf \([a,b]\) gegeben. \section*{Notation} Rot markierte Zahlen wie zB \brpage{477} sind Hinweise auf die Seiten im ``Bronstein'' \cite{bronstein} +\begin{itemize} + \item \(C^n\) ist der Menge der glatten \(n\)-mal differenzierb\"aren Funktionen. + \item Das Zeichen \(\forall\) bedeutet ``f\"ur alle'' +\end{itemize} + \section*{License} { \tt An2E-ZF (c) by Naoki Pross @@ -294,7 +311,7 @@ Fl\"ache \brpage{493} Bogenl\"ange \brpage{251,514} & \int\limits_a^b \sqrt{1 + (f')^2} \dd{x} & \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{(r')^2 + r^2} \dd{\varphi} - & \int\limits_{t_0}^{t_1} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \dd{t} = \int\limits_{t_0}^{t_1} |\vec{c}| \dd{t} + & \int\limits_{t_0}^{t_1} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \dd{t} = \int\limits_{t_0}^{t_1} |\vec{\dot{c}}| \dd{t} \\ Kr\"ummung \(\kappa\) \brpage{254} & \frac{f''}{\sqrt{1+(f')^2}^3} |