diff options
| -rw-r--r-- | an2e_zf.pdf | bin | 86769 -> 95883 bytes | |||
| -rw-r--r-- | an2e_zf.tex | 108 |
2 files changed, 108 insertions, 0 deletions
diff --git a/an2e_zf.pdf b/an2e_zf.pdf Binary files differindex f6a08ed..73f5be1 100644 --- a/an2e_zf.pdf +++ b/an2e_zf.pdf diff --git a/an2e_zf.tex b/an2e_zf.tex index eda760e..2dc6f1e 100644 --- a/an2e_zf.tex +++ b/an2e_zf.tex @@ -6,15 +6,25 @@ \numberwithin{equation}{subsection} +\usepackage{multicol} + \usepackage{float} \usepackage{array} \usepackage{booktabs} \usepackage{rotating} +\usepackage{enumitem} \usepackage[margin=2cm, marginpar=0pt]{geometry} \usepackage{graphicx} \usepackage{xcolor} +\usepackage[ + type={CC}, + modifier={by-nc-sa}, + version={4.0}, +]{doclicense} + + %\usepackage{showframe} %\usepackage{tikz} @@ -249,6 +259,104 @@ Sei die Kurve \(\Lambda\) durch \(f \in C^2\) auf \([a,b]\) gegeben. \subsection{Raumkurven \brpage{263}} +\subsection{Kurven 2. Ordnung -- Kegelschnitt \brpage{212}} +Die Polarform f\"ur die allgemeine Gleichung der Kurver 2. Ordnung ist +\begin{equation} \label{eqn:conics-polar} + r = \frac{p}{1 + \varepsilon \cos\varphi} +\end{equation} +Der parameter \(\varepsilon\) \"andert die Gestalt folgendermaßen +\begin{multicols}{2} +\begin{itemize} + \item \(\varepsilon = 0\) Kreis + \item \(\varepsilon \in (0;1)\) Ellipse +\end{itemize} +\columnbreak +\begin{itemize} + \item \(\varepsilon = 1\) Parabel + \item \(\varepsilon > 1\) Hyperbel +\end{itemize} +\end{multicols} + +\subsubsection{Kreis \brpage{204}} +{\renewcommand{\arraystretch}{1.1} +\begin{tabular}{l >{\(\displaystyle}l<{\)}} + Kartesisch & (x - C_x)^2 + (y - C_y)^2 = r^2 \\ + Parameter & x = c_x + R\cos t \quad y = c_y + R\sin t +\end{tabular}} + +\subsubsection{Ellipse \brpage{205}} +{\renewcommand{\arraystretch}{2} +\begin{tabular}{l >{\(\displaystyle}l<{\)}} + Kartesisch & \left(\frac{x - C_x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y - C_y}{b}\right)^2 = 1 \\ + Parameter & x = a\cos t \quad y = b\sin t +\end{tabular}} + +\subsubsection{Hyperbel \brpage{207}} +{\renewcommand{\arraystretch}{2} +\begin{tabular}{l >{\(\displaystyle}l<{\)}} + Kartesisch & \left(\frac{x - C_x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y - C_y}{b}\right)^2 = 1 \\ + Parameter & x = a\cosh t \quad y = b\sinh t +\end{tabular}} + +\subsubsection{Parabel \brpage{210}} +\begin{tabular}{l >{\(\displaystyle}l<{\)}} + Kartesisch & y = ax^2 + bx + c \\ + Parameter & x = t \quad y = at^2 + bt + c +\end{tabular} + + +\section{Reihen} +\subsection{Bemerkenswerte Rehien \brpage{19,477}} +\paragraph{Arithmetische Reihe} Sei \(a_1 \in \mathbb{R}\) und \(d \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\), dann aus der arithmetischen Folge \(\langle a_k \rangle\) mit \(a_k = a_1 + (k-1)d\) erh\"alt man die Reihe \(\langle A_n \rangle\) mit: +\begin{align*} + A_n &= a_1 + \sum_{k=1}^n (k-1)d = a_1 + d + 2d + \cdots + (n-1)d\\ + &= \frac{n}{2}\big( 2a_1 + (n-1)d\big) = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) +\end{align*} + +\paragraph{Geometrische Reihe} Sei \(a_1 \in \mathbb{R}\) und \(q \in \mathbb{R} \setminus \{0;1\}\). Aus der geometrischen Folge \(\langle a_k \rangle\) mit \(a_k = a_1 q^k\) erh\"alt man die Reihe \(\langle G_n \rangle\) mit: +\begin{align*} + G_n = a_1 \sum_{k=1}^n q^{k-1} = a_1 \frac{1-q^n}{1-q} +\end{align*} + +\paragraph{Harmonische Reihe} Aus der folge \(\langle a_k \rangle\) mit \(a_k = 1/k\) erh\"alt man die Reihe \(\langle H_n \rangle\) mit: +\begin{align*} + H_n = \sum_{k=1}^n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} +\end{align*} + +\subsection{Unendlichen \brpage{470,477}} + +\subsubsection{Konvergenzkriterien \brpage{472}} +Sei \(\langle a_n \rangle\) eine Folge die Reihe +\( \displaystyle + s = \sum_{n=1}^\infty a_n +\). + +\paragraph{Cauchy'sches \brpage{475}} + +\paragraph{Wurzelkriterium von Cauchy \brpage{474}} +\[ + \alpha = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} + \qquad + \alpha < 1 \implies \text{ konvergent} +\] + +\paragraph{Quotientenkriterium von d'Alambert \brpage{474}} + +\paragraph{Leibniz'sches \brpage{476}} + +\paragraph{Integralkriterium \brpage{475}} +Sei \(f(x) \geq 0\), \(x \in [1;\infty)\) und \(f\downarrow\). Merkt man dass: +\[ + S = \int\limits_1^n f(x) \dd{x} + \leq \sum_{k=1}^n a_k + \leq \int\limits_2^n f(x-1) \dd{x} = S +\] +Somit folgt: +\[ + \text{konvergiert } \int\limits_1^\infty f(x) \dd{x} + \implies \text{konvergiert } s +\] + \begin{thebibliography}{3} \bibitem{hsr} \texttt{An2E} Vorlesungen an der Hochschule f\"ur Technik Rapperswil und der dazugeh\"orige Skript, |