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diff --git a/fig/bernoulli.tex b/fig/bernoulli.tex index eee20ff..2951074 100644 --- a/fig/bernoulli.tex +++ b/fig/bernoulli.tex @@ -6,18 +6,19 @@ % tube lines \draw[] (0,2) to (1,2) to[out=0, in=180] (4,3) to (5,3); \draw[] (0,0) to (1,0) to[out=0, in=180] (4,2) to (5,2); - - % opening ellipse for A1 + + % cylinders + %% opening ellipse for A1 \draw[blue!10, fill=blue!10] (0,.025) rectangle ++(.75,1.95); \draw[fill=blue!10] (0,1) ellipse (.3 and 1); - % ellipse + %% dashed ellipse \draw[dashed, fill=blue!10] (.75,1) ellipse (.3 and 1); - % closing ellipse + %% closing ellipse \draw[fill=blue!10] (5,2.5) ellipse (.2 and .5); - %% hide half of the ellipse and make dashed + %%% hide half of the ellipse and make dashed \draw[blue!10, fill=blue!10] (4,2.025) rectangle ++(1,.95); \draw[dashed] (5,2.5) ellipse (.2 and .5); - % ellipse for A2 + %% ellipse for A2 \draw[dashed, fill=blue!10] (4,2.5) ellipse (.2 and .5); % vectors diff --git a/fig/ph2hat_zf-figure0.pdf b/fig/ph2hat_zf-figure0.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..5a99916 --- /dev/null +++ b/fig/ph2hat_zf-figure0.pdf diff --git a/fig/ph2hat_zf-figure1.pdf b/fig/ph2hat_zf-figure1.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..d5a832d --- /dev/null +++ b/fig/ph2hat_zf-figure1.pdf diff --git a/fig/ph2hat_zf-figure2.pdf b/fig/ph2hat_zf-figure2.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..aaadd98 --- /dev/null +++ b/fig/ph2hat_zf-figure2.pdf diff --git a/fig/prandtl-boundary.tex b/fig/prandtl-boundary.tex index 90e3657..2258b20 100644 --- a/fig/prandtl-boundary.tex +++ b/fig/prandtl-boundary.tex @@ -5,7 +5,8 @@ \pgfmathsetmacro{\vpos}{2} % block - \draw[fill] (\lpos,0) rectangle ++(\l,-.2); + %% needs \usetikzlibrary{patterns} + \draw[pattern=north west lines, thick] (\lpos,0) rectangle ++(\l,-.2); \draw[<->] (\lpos,-.4) -- node[midway, below] {\(\ell\)} ++(\l,0); % boundary line and area @@ -20,7 +21,7 @@ % height \pgfmathsetmacro{\h}{\k*sqrt(\l)} - \draw[<->] (\lpos,0) ++(\l,0) -- node[midway, right] {\(h\)} ++(0,\h); + \draw[<->] (\lpos,0) ++(\l,0) -- node[midway, right] {\(D_\text{l}\)} ++(0,\h); % velocity vectors \draw[dashed] (\vpos,0) -- ++(0,2); diff --git a/ph2hat_zf.pdf b/ph2hat_zf.pdf Binary files differindex e911a8d..ae7e220 100644 --- a/ph2hat_zf.pdf +++ b/ph2hat_zf.pdf diff --git a/ph2hat_zf.tex b/ph2hat_zf.tex index 0b7e65c..869460e 100644 --- a/ph2hat_zf.tex +++ b/ph2hat_zf.tex @@ -28,9 +28,12 @@ \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{patterns} \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=1.15} +\usepgfplotslibrary{external} +\tikzexternalize[prefix=fig/] \usepackage{xcolor} \usepackage[colorlinks = true, @@ -94,6 +97,8 @@ \newcommand{\unitsof}[1]{\ensuremath{\left[\,#1\,\right]}} +\newcommand{\fromlecture}[1]{\textcolor{red!70!black}{\small\texttt{K.#1}}} + \begin{document} @@ -157,7 +162,7 @@ In ruhenden Fluiden \(\tau = 0\), somit ist die Kraft immer senkrecht. \] \end{definition} -\section{Hydrostatik} +\section{Hydrostatik \fromlecture{1-2}} \begin{definition}[Schweredruck] \begin{equation} \label{eqn:hydrostatic-pressure} @@ -278,7 +283,7 @@ Allgemein an die Grenze gilt: \end{definition} \section{Hydrodynamik} -\subsection{Einf\"uhrung} +\subsection{Einf\"uhrung \fromlecture{3-4}} \begin{definition}[Kontinuit\"atsgleichung] \begin{equation} \label{eqn:continuity} \pderiv{}{t}\int_V \varrho \di{V} @@ -311,6 +316,7 @@ Der Term \(\varrho v^2 / 2\) wird \emph{dynamische Druck} genannt. \resizebox{.9\linewidth}{!}{% \input{fig/bernoulli}% } + \caption{Schematische Darstellung f\"ur die Bernoulli Gleichung} \end{figure} \begin{remark} @@ -333,9 +339,9 @@ Wo die Geschwindigkeit am schnellsten ist, dort ist die Druck am tiefsten. \end{definition} -\subsection{Reale Str\"omungen} +\subsection{Reale Str\"omungen \fromlecture{5-6}} -\begin{definition}[Newtonsche Reibungsgesetz] +\begin{definition}[Newton'sche Reibungsgesetz] Die Proportionalit\"atskonstante \(\eta\) wird \emph{dynamische Viskosit\"at} oder \emph{Z\"ahingkeit} genannt. \begin{gather*} \tau = \eta \deriv{v}{z} @@ -345,6 +351,18 @@ Die Proportionalit\"atskonstante \(\eta\) wird \emph{dynamische Viskosit\"at} od = \si{\newton\second\per\metre} = \si{\pascal\second} \end{gather*} + +\begin{result}[Bernoulli Gleichung bei Newton'scher Reibung] +\[ + p_1 + \varrho g h_1 + \frac{\varrho}{2} v_1^2 + = + p_2 + \varrho g h_2 + \frac{\varrho}{2} v_1^2 + p_\text{v} +\] +In der Praxis wird der Druckverlust \(p_\text{v}\) oft als Verlusth\"ohe \(h_\text{v}\) angegeben, d.h. diejenige H\"ohe, um die der Zufluss angehoben werden muss, um an Ausfluss aus der Stromr\"ohre denselben Druck wie im reibungsfreien Fall zu erzeugen. +\[ + p_\text{v} = \varrho g h_\text{v} +\] +\end{result} \end{definition} \begin{definition}[Formel von Stokes] @@ -387,18 +405,17 @@ Bei einer Zunahme des Rohrradius wird nicht nur die zur Verf\"ugung stehende Que \end{definition} \begin{definition}[Prandtl'sche Grenzschicht] -\(h\) ist die h\"ohe der Schicht in unmittelbarer N\"ahe einer Oberfl\"ache \(A = \ell b\) an ein Fluid, der vorbeistr\"omt, mitgezogen wird. +\(D_\text{l}\) ist die Dicke der Schicht in unmittelbarer N\"ahe einer Oberfl\"ache mit L\"ange \(\ell\) an ein Fluid, der vorbeistr\"omt, der mitgezogen wird. Siehe Abb. \ref{fig:prandtl-boundary}. \[ - h = \frac{\ell}{\sqrt{\mathcal{R}}} = \sqrt{\frac{\eta\ell}{\varrho v}} + D_\text{l} = \frac{\ell}{\sqrt{\mathcal{R}}} = \sqrt{\frac{\eta\ell}{\varrho v}} \] \begin{figure}[h] \centering -\input{fig/prandtl-boundary.tex} -\caption{Laminare Grenzschicht f\"ur eine Plattenstr\"omung} +\input{fig/prandtl-boundary} +\caption{Laminare Grenzschicht f\"ur eine Platte in einem Str\"omungsfeld mit Geschwindigkeit \(v_0\), und \(\ell \gg D_\text{l}\).} +\label{fig:prandtl-boundary} \end{figure} \end{definition} -\subsection{Turbulente Str\"omung} - \begin{definition}[Reynolds Zahl] Ist ein dimensionslose Koeffizient aus der \emph{Navier-Stokes} Gleichung, der das Verh\"altnis zwischen kinetischer Energie des Fluides und dessen innerer Reibung (proportional zur Viskosit\"at) beschreibt. \[ @@ -408,7 +425,7 @@ Ist ein dimensionslose Koeffizient aus der \emph{Navier-Stokes} Gleichung, der d \(v^*, \ell^*\) sind eine charakteristische L\"ange bzw. Geschwindigkeit. Sie sind dimensionslose Variablen f\"ur geometrische und physikalische Gr\"ossen. \begin{result}[Rohrstr\"omung] -Wird bei der Str\"omung durch ein Rohr mit kreisf\"ormigem Querschnitt der Durchmesser \(d\) als charakteristische Abmessung gew\"ahlt, sot ist die Reynolds-Zahl +Wird bei der Str\"omung durch ein Rohr mit kreisf\"ormigem Querschnitt der Durchmesser \(d\) als charakteristische Abmessung gew\"ahlt, somit ist die Reynolds-Zahl \[ \mathcal{R} = \frac{\varrho v d}{\eta} \] @@ -417,14 +434,26 @@ Wird bei der Str\"omung durch ein Rohr mit kreisf\"ormigem Querschnitt der Durch \end{definition} \begin{definition}[Kritische Reynoldszahl \(\mathcal{R}_k\)] +\begin{align*} + \mathcal{R} > \mathcal{R}_k + \quad&\implies\quad\text{Turbulent} \\ + \mathcal{R} \leq \mathcal{R}_k + \quad&\implies\quad\text{Laminar} +\end{align*} + +\begin{result}[Kritische Reynoldszahl f\"ur die Rohrstr\"omung] +\[ + \mathcal{R}_k = 2320 +\] +\end{result} \end{definition} \begin{definition}[Reale Rohrstr\"omung] Turbulente Rohrst\"omung, je nach turbulent oder laminares \(\lambda\) -\[ +\begin{equation} \label{eqn:real-ductstream} \Delta p = \lambda \frac{\varrho\ell}{2d} v^2 -\] +\end{equation} \begin{example}[Turbulente \(\lambda\) nach Blasius] \[ @@ -440,7 +469,7 @@ Das ist tats\"achlich \eqref{eqn:hagen-poiseuille} umformuliert. \end{example} \end{definition} -\subsection{Dynamischer Auftrieb} +\subsection{Wiederstandkr\"afte} \begin{definition}[Auftriebskraft nach Kutta-Jukowski] Dieser Auftrieb ist eine Folgerung vom \emph{Magnus Effekt}. \[ F_A = \varrho v \ell \Gamma @@ -460,8 +489,6 @@ Die Zirkulation ist eine makroskopische Gr\"osse und h\"ang vom Weg ab. \] \end{definition} -\subsection{Tragfl\"ugel} - Induzierter Widerstand \[ F_W = c_W^* \frac{\varrho}{2} v^2 A_\parallel @@ -510,7 +537,7 @@ Der Avogadro-Zahl \(N_A\) entspricht Anzahl von Partikeln in eine Mole, und 1 Mo \end{result} \end{definition} -\section{Ideale Gase} +\subsection{Ideale Gase} \begin{definition}[Universelle Gasgleichung f\"ur ideale Gase] \begin{gather*} pV = nRT = N_A k_B T = \text{ (konstant)} \\ @@ -541,7 +568,7 @@ wobei \(M\) ist die sogenannte Molmasse in \si{\kilo\gram\per\mole}. \end{definition} -\section*{Kapitel 9} +\subsection*{Kapitel 9} Gesetz von Dalton \[ p = \sum_{i = 1}^n p_i @@ -568,8 +595,8 @@ Mol-Masse eines Gas-Gemischs M = \sum_{i = 1}^n q_i M_i \] -\subsection*{Reales Gas} -Van der Waals-Korrektur +\subsection{Reales Gas \fromlecture{9}} +\begin{definition}[Van der Waals-Korrektur] \[ p'V_m' = nRT \qquad @@ -578,23 +605,21 @@ Van der Waals-Korrektur V_m' = V_m - b \] -\begin{figure}[h] \centering - \input{fig/van-der-waals-maxwell-isotherm} -\end{figure} - -Van der Waals-Gleichung +\begin{result}[Van der Waals-Gleichung] \[ \left(p + \frac{n^2 a}{V^2} \right)(V - nb) = nRT \] +\end{result} -Van der Waals-Parameter +\begin{result}[Van der Waals-Parameter] \[ a = \frac{9}{8} R T_k V_{mk} \qquad b = \frac{V_{mk}}{3} \] +\end{result} -Kritische Gr\"ossen +\begin{result}[Kritische Gr\"ossen] \[ V_{mk} = 3b \qquad @@ -602,8 +627,15 @@ Kritische Gr\"ossen \qquad p_k = \frac{a}{27b^2} \] +\end{result} +\end{definition} + + +\begin{figure}[h] \centering + \input{fig/van-der-waals-maxwell-isotherm} +\end{figure} -\section*{Kapitel 10} +\subsection{Energie \fromlecture{10}} \"Anderung innere Energie \[ \Delta U = \Delta W + \Delta Q |