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\theoremstyle{hsr-def}
\newtheorem{definition}{Definition}[section]

\theoremstyle{hsr-sub}
\newtheorem{result}{Folgerung}[definition]
\newtheorem{example}{Beispiel}[definition]

\theoremstyle{hsr-unnum}
\newtheorem{remark}{Bemerkung}[definition]


\newcommand{\dd}[1]{\ensuremath{\mathrm{d}#1}}
\newcommand{\di}[1]{\,\dd{#1}}
\newcommand{\deriv}[2]{\ensuremath{\frac{\dd{#1}}{\dd{#2}}}}
\newcommand{\pderiv}[2]{\ensuremath{\frac{\partial #1}{\partial #2}}}

\renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\uvec}[1]{\ensuremath{\vec{\hat{#1}}}}

\newcommand{\unitsof}[1]{\ensuremath{\left[\,#1\,\right]}}



\begin{document}
\section{Einf\"uhrung}

\begin{definition}[Fluid]
Fl\"ussigkeiten und Gase werden under dem Oberbegriff \emph{Fluide} zusammengefasst.
\end{definition}

% \begin{description}
%     \item[Isotherm]
%     \item[Isobar]
%     \item[Isotrop]
% \end{description}


\begin{definition}[Druck und Schubspannung]
F\"ur einfache F\"alle der Cauchy Spannugstensor kann zu zwei Skalare \(p\) und \(\tau\) vereinfacht werden, sie werden Dr\"uck bzw. Schubspannung genannt.
\begin{align*}
    pA
    &= \vec{F}\cdot\uvec{n}
    = F_\perp
    &
    \tau A
    &= \vec{F}\cdot\uvec{T}
    = F_\parallel
    \stackrel{\text{statik}}{=} 0
    \\
    \unitsof{p} &= \si{\newton\per\square\metre} = \si{\pascal} 
\end{align*}

\begin{result}[Gesetzt von Pascal]
In ruhenden Fluiden \(\tau = 0\), somit ist die Kraft immer senkrecht.
\end{result}
\end{definition}

\begin{definition}[Dichte] Ist die Masse pro Volumeneinheit.
\[
    \varrho = \frac{m}{V} \qquad \unitsof{\varrho} = \si{\kilo\gram\per\cubic\metre}
\]
\end{definition}

\section{Hydrostatik}

\begin{definition}[Schweredruck]
\begin{equation} \label{eqn:hydrostatic-pressure}
    \dd{p} = \varrho \vec{g} \cdot \dd{\vec{y}} = - \varrho g \dd{y}
\end{equation}

\begin{result}[Hydrostatischer Druck]
F\"ur Fl\"ussigkeiten, da die Dichte konstant ist folgt:
\[
    p = \varrho g h
\]
\end{result}

\begin{result}[Schweredruck eines Gase]
Angenommen dass, die Dichte nur von Druck abh\"angt (barotrop)
\[
    \varrho(p) = \varrho_0 \frac{p}{p_0}
\]
Die L\"osung von \eqref{eqn:hydrostatic-pressure} ergibt die \emph{Barometrische H\"ohenformel} f\"ur eine isotherme Atmosp\"are.
\[
    p(h) = p_0 \exp\left(-\frac{\varrho_0}{p_0} gh\right)
\]
\end{result}
\end{definition}

\begin{definition}[Gesetz von Boyle-Mariotte]
% \label{def:boyle-mariotte}
F\"ur ein ideales Gas gilt bei konstanter Temperatur
\[
    pV = (\text{konstant})
\]

\begin{result}
Die Dichte ist proportional zum Druck
\[
    \frac{V_2}{V_1} = \frac{p_1}{p_2} = \frac{\varrho_1}{\varrho_2}
\]
\end{result}
\end{definition}


\begin{definition}[Kompressibilit\"at]
Die Druckerh\"ohung \(\Delta p\) bewirkt in einem Fluid stets eine Volumenabname.
Die relative Volumen\"anderung ist proportional zur Druck\"anderung
\[
    \Delta V / V = - \kappa \Delta p
\]

\begin{remark}
    Eine ideale Fl\"ussigkeit ist reibungsfrei und inkompressibel.
\end{remark}

\begin{remark}
    In einer idealen Fl\"ussigkeit ist die Dichte konstant.
\end{remark}
\end{definition}

\begin{definition}[Statische Auftriebskraft] Auch als Archimedische Prinzip bekannt.
\[
    F_A = G_f = \varrho_f  V_k g
    \qquad
    \uvec{F}_a = - \uvec{g}
\]
Der auftrieb eines in ein Fluid eingetauchen K\"orper ist gleich dem Gewicht des von ihm verdr\"angten Fluids.
\end{definition}

\subsection{Grenzfl\"acheneffekte}

\begin{definition}[Oberfl\"achenspannung]
Zwischen zwei Atomen oder Molek\"ulen tritt die \emph{Van der Waals}-Kraft.
An der Oberfl\"ache der Fl\"ussigkeit ist der mittlere Abstand der Molek\"ule etwas gr\"osser als im Innern. Das bewirkt eine Parallel zur Oberfl\"ache gerichtete anzihende Kraft zwischen den Molek\"ulen.
\[
    \sigma = \frac{F}{\ell}
    \qquad
    \unitsof{\sigma} = \si{\newton\per\metre}
\]
\begin{remark}
Die Oberfl\"achenspannung kann auch als \emph{spezifische Oberf\"achenenergie} bezeichnet werden.
\[
    \sigma
    = \frac{\Delta W}{\Delta A} 
    = \frac{F\Delta s}{\ell \Delta s}
    = \frac{F}{\ell}
\]
Die \emph{Oberfl\"achenenergie} ist ein Ma{\ss} f\"ur die Energie, die zum Aufbrechen der chemischen Bindungen notwendig ist, wenn eine neue Oberfl\"ache einer Fl\"ussigkeit oder eines Festkörpers erzeugt wird.
\end{remark}

\begin{result}[Grenzfl\"achenspannung]
Bei einer Vergr\"osserung der Grenzfl\"ache muss Arbeit geleistet werden, da die Grenzfl\"achenenergie vergr\"ossert wird.
Es gibt dann auch die Grenzfl\"achenspannungen 
\(
    \sigma_\text{sl},
    \sigma_\text{sg},
    \sigma_\text{lg}
\) (fl\"ussig = liquid, fest = solid, gas) die zwischen Festk\"orper und Fl\"ussigkeit wirken. \(\varphi\) ist dann der \emph{Kontaktwinkel}, und die Geometrie ergibt die Beziehung
\[
    \sigma_\text{sg} = \sigma_\text{sl} + \sigma_\text{lg} \cos \varphi
\]
\end{result}

\begin{example}[Druck in Seifenblase]
\[
    p = \frac{2\sigma}{r}
\]
\end{example}
\end{definition}

\begin{definition}[Kapillarit\"at]
Allgemein an die Grenze gilt:
\[
    F_\text{Oberfl\"ache} = F_{G,\text{Fl\"ussigkeit}}
\]
\begin{example}[In einem Rohr (Zylinder)]
\[
    2\pi r\sigma = \varrho\pi r^2 hg \implies  h = \frac{2\sigma}{\varrho g r}
\]
\end{example}
\end{definition}

\section{Hydrodynamik}
\subsection{Einf\"uhrung}
\begin{definition}[Kontinuit\"atsgleichung]
\begin{equation} \label{eqn:continuity}
    \pderiv{}{t}\int_V \varrho \di{V} 
    = \oint_{\partial V} \varrho \vec{v}\cdot\di{\vec{s}}
\end{equation}

\begin{result}[Ideales Fluid]
Da die Dichte konstant ist (inkompressibel), man kann \eqref{eqn:continuity} durch \(\varrho\) teilen und folgt:
\[
    \dot{V} = \int_A \vec{v}\cdot\di{\vec{s}} = vA
    \qquad
    \unitsof{\dot{V}} = \si{\cubic\metre\per\second}
\]
\end{result}

% \begin{remark}[Differentialform]
% \[
%     \nabla \cdot (\varrho \vec{v}) + \pderiv{\varrho}{t} = 0
% \]
% \end{remark}
\end{definition}

\begin{definition}[Bernoulli Gleichung]
Der Term \(\varrho v^2 / 2\) wird \emph{dynamische Druck} genannt.
\[
    p + \varrho g h + \frac{\varrho}{2} v^2 = (\text{Konstant})
\]

\begin{remark}
Bernoulli gilt f\"ur inkompressible Fluide, und gen\"ugt f\"ur Fl\"ussigkeite und Gase, sofern \(v \ll \) Schallgeschwidigkeit.
\end{remark}

\begin{result}
\begin{gather*}
    p_1 + \varrho g h_1 + \frac{\varrho}{2} v_1^2
    =
    p_2 + \varrho g h_2 + \frac{\varrho}{2} v_1^2
    \\
    \text{oder}\quad -\Delta p = \varrho g \Delta h + \frac{\varrho}{2} \Delta \left( v^2 \right)
\end{gather*}
\end{result}

\begin{result}
Wo die Geschwindigkeit am schnellsten ist, dort ist die Druck am tiefsten.
\end{result}

\end{definition}

\subsection{Reale Str\"omungen}

\begin{definition}[Newtonsche Reibungsgesetz]
Die Proportionalit\"atskonstante \(\eta\) wird \emph{dynamische Viskosit\"at} oder \emph{Z\"ahingkeit} genannt.
\begin{gather*}
    \tau = \eta \deriv{v}{z}
    \stackrel{!}{=} \frac{F_\parallel}{A}  \\
    \unitsof{\eta}  
    = \si{\kilo\gram\per\metre\second}
    = \si{\newton\second\per\metre}
    = \si{\pascal\second}
\end{gather*}
\end{definition}

\begin{definition}[Formel von Stokes]
(Stokes'sche Reibung) Reibungskraft einer Kugel im \"Ol 
\[
    F_R = 6\pi\eta Rv_0
\]
\end{definition}

\begin{definition}[Laminare Rohrstr\"omung]
Lauten die Gleichgewichtsbedingungen f\"ur die Kr\"afte innerhalb des Zylinders.
\begin{align*}
    F_\text{Res,Druck} - F_\text{Reib} & = 0 \\
    \pi r^2 (p_1 - p_2) - 2\pi rl\tau &= 0
\end{align*}

\begin{result}[Geschwindigkeitsverteilung] 
Innerhalb des Zylinders (\(r\) von \(0\) bis \(R\))
\[
    v(r) = \frac{\Delta p}{4\eta\ell}\left(R^2-r^2\right)
\]
\end{result}

\begin{result}[Gesetz von Hagen Poiseuille]
\[
    \dot{V} = \frac{\pi\Delta p R^4}{8\eta\ell}
\]
\end{result}

\begin{remark}
Bei einer Zunahme des Rohrradius wird nicht nur die zur Verf\"ugung stehende Querschnittsfl\"ache gr\"osser, sondern zugleich w\"achst in der Rohrmitte auch die maximale Geschwindigkeit.
\end{remark}
\end{definition}

\subsection{Turbulente Str\"omung}

\begin{definition}[Reynolds Zahl]
Ist ein dimensionslose Koeffizient aus der \emph{Navier-Stokes} Gleichung, der das Verh\"altnis zwischen kinetischer Energie des Fluides und dessen innerer Reibung (proportional zur Viskosit\"at) beschreibt.
\[
    \mathcal{R} = \frac{E_k}{E_r} = \frac{\varrho}{\eta} v^*\ell^*
    %\frac{\Delta p}{\tau}
\]
\(v^*, \ell^*\) sind eine charakteristische L\"ange bzw. Geschwindigkeit. Sie sind dimensionslose Variablen f\"ur geometrische und physikalische Gr\"ossen.

\begin{result}[Rohrstr\"omung]
Wird bei der Str\"omung durch ein Rohr mit kreisf\"ormigem Querschnitt der Durchmesser \(d\) als charakteristische Abmessung gew\"ahlt, sot ist die Reynolds-Zahl
\[
    \mathcal{R} = \frac{\varrho v d}{\eta}
\]
\end{result}

\begin{result}[Kritische \(\mathcal{R}\)]

\end{result}
\end{definition}

\begin{definition}[Druckwiederstand]
\end{definition}


Druckdifferenz
\[
    \Delta p \propto \varrho \Delta v \cdot \bar{v}
\]

Schubspannung
\[
    \tau \propto \eta\frac{\Delta V}{\ell}
\]


Prandtl'sche Genzschicht
\[
    D = \sqrt{\frac{\eta\ell}{\varrho v}}
\]

Druckabfall laminar
\[
    \Delta p = 32\eta\ell \frac{v}{d^2}
\]

\(\lambda\) nach Blasius, \emph{turulent}
\[
    \lambda_\text{t} = \frac{0.316}{\sqrt[4]{\mathcal{R}}}
\]

\(\lambda\) nach Hagen-Poiseuille, \emph{laminar}
\[
    \lambda_\text{l} = \frac{64}{\mathcal{R}}
\]

Turbulente Rohrst\"omung, je nach turbulent oder laminares \(\lambda\) 
\[
    \Delta p = \lambda \frac{\varrho\ell}{2d} v^2
\]

\section*{Kapitel 6}
Druckwiederstand
\[
    F_D = c_W \frac{\varrho}{2}v^2 A_\perp
\]

Auftriebskraft nach Kutta-Jukowski
\[
    F_A = \varrho v \ell \Gamma
\]

Zirkulation
\[
    \Gamma = \oint \vec{v} \di{\vec{l}}
\]

Induzierter Widerstand
\[
    F_W = \dot{c}_W \frac{\varrho}{2} v^2 A_\parallel
\]

Dynamischer Auftrieb
\[
    F_A = c_A \frac{\varrho}{2} v^2 A_\perp
\]

Gleitwinkel
\[
    \tan(\varphi) = \frac{F_W}{F_A} = \frac{c_W}{c_A} = \frac{v_V}{v_H}
\]

\begin{thebibliography}{2}
\bibitem{hsr}
	\textsc{Hochschule f\"ur Technik Rapperswil (HSR)}.
    \textit{\texttt{Ph2HAT} Vorlesungen und die dazugeh\"orige Unterlagen,}
	Sourlier David,
	Fr\"uhlingssemester 2020,
	Rapperswil.

\bibitem{bucher-ruh}
	\textsc{Arthur Ruh, Benno Bucher}.
	\textit{Physik 1: Mechanik, Fluide, W\"armelehre}.
	Vol I, HSR, 2014, Rapperswil.

\bibitem{feynman1}
	\textsc{Richard Feynman}.
	\textit{Mainly Mechanics, radiation, and heat}.
	\textit{The Feynman Lectures on Physics},
	Leighton, Sands,
	New Millenium Edition,
	Vol I,
	Basic Books,
	California Institute of Technology (Caltech).

\bibitem{feynman2}
	\textsc{Richard Feynman}.
	\textit{Mainly electromagnetism and matter}.
	\textit{The Feynman Lectures on Physics},
	Leighton, Sands,
	New Millenium Edition,
	Vol II,
	Basic Books,
	California Institute of Technology (Caltech).
	
\end{thebibliography}


\section*{License}
{ \tt
Ph2HAT-ZF (c) by Naoki Pross
\\\\
Ph2HAT-ZF is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 Unported License.
\\\\
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\\\\
{\small\url{http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/}}
}

\end{document}