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diff --git a/techwsw/tex/convertitori.tex b/techwsw/tex/convertitori.tex index 7f89574..2943b3f 100644 --- a/techwsw/tex/convertitori.tex +++ b/techwsw/tex/convertitori.tex @@ -1,4 +1,6 @@ -\section{Convertitori {\tt AD - DA}} +%!TEX root = essence_of_hwsw.tex + +\section{Convertitori AD \(\longleftrightarrow{}\) DA} \subsection{Quantizzazione dei dati} Il processo di digitalizzazione dei segnali analogici introduce il concetto di @@ -10,10 +12,11 @@ raggruppati in un certo numero di fasce delimitate da livelli fissi detti \emph{livelli di quantizzazione}; a ciascuna fascia di valori analogici corrisponder\`a un valore digitale. La distanza fra due livelli di quantizzazione continui costituisce il \emph{passo di quantizzazione} -$Q$\footnote{Definito spesso anche come $LSB$}, a cui corrisponde il valore del -bit meno significativo. $$ Q = \frac{V_{ref}}{2^n} \qquad FS = Q\cdot 2^n = -V_{ref}$$ Un dato digitale ad $n$ bit pu\`o esprimere $2^n$ valori; il valore -digitale $2^n$ viene pertanto associato al valore di fondo scala $FS$ o $FSR$ +\(Q\)\footnote{Indicato spesso anche come \(LSB\)}, a cui corrisponde il valore del +bit meno significativo. +\[ Q = \frac{V_{ref}}{2^n} \qquad FS = Q\cdot 2^n = V_{ref} \] +Un dato digitale ad \(n\) bit pu\`o esprimere \(2^n\) valori; il valore +digitale \(2^n\) viene pertanto associato al valore di fondo scala \(FS\) o \(FSR\) (Full scale range) della grandezza analogica. % diagramma segnale analogico lineare -> digitalizzato @@ -23,8 +26,8 @@ digitale $2^n$ viene pertanto associato al valore di fondo scala $FS$ o $FSR$ \begin{tikzpicture}% \begin{axis}[ width=.5\linewidth, - xlabel = { Time $t$}, - ylabel = { Input (analog) ~ $v_a(t)$}, + xlabel = { Time \(t\)}, + ylabel = { Original ~ \(v_a(t)\)}, xmajorgrids = false, ymajorgrids = true, grid style = dashed, @@ -53,8 +56,8 @@ digitale $2^n$ viene pertanto associato al valore di fondo scala $FS$ o $FSR$ \begin{axis}[ % axis lines = left, width=.5\linewidth, - xlabel = { Time $t$}, - ylabel = { Output (digitalized)~ $v'_a(t)$}, + xlabel = { Time \(t\)}, + ylabel = { Reconstructed ~ \(v'_a(t)\)}, xmajorgrids = false, ymajorgrids = true, grid style = dashed, @@ -82,17 +85,17 @@ digitale $2^n$ viene pertanto associato al valore di fondo scala $FS$ o $FSR$ \paragraph{Risoluzione.} In un ADC i valori digitali in uscita non riproducono dunque fedelmente il segnale di ingresso ma ne danno una rappresentazione approssimata tanto pi\`u precisa quanto minore \`e il passo di quantizzazione -$Q$. Il numero di bit $n$ in uscita di un convertitore AD, cos\`i come il +\(Q\). Il numero di bit \(n\) in uscita di un convertitore AD, cos\`i come il numero dei bit di ingresso di un convertitore DA viene generalmente chiamato \emph{risoluzione}\footnote{Ogni tanto indicato anche come il valore del passo -di quantizzazione, dunque $R = 2^{-n}$}. -$$ R = \log_2{\frac{V_{ref}}{Q}} = n$$ +di quantizzazione, dunque \(R = 2^{-n}\)}. +\[ R = \log_2{\frac{V_{ref}}{Q}} = n \] \paragraph{Errore di quantizzazione.} Avendo quantizzato il segnale analogico, ogni valore non campionato sar\`a sostituito dall'ultimo valore misurato (effetto `scaletta'). Perci\`o nel punto il cui l'errore del segnale digitale sar\`a massimo rispetto a quello analogico, l'errore sar\`a di esattamente: -$$\varepsilon = \frac{1}{2}Q \qquad \varepsilon_\% = \frac{1}{2^{n+1}}$$ +\[ \varepsilon = \frac{1}{2}Q \qquad \varepsilon_\% = \frac{1}{2^{n+1}} \] \subsection{Campionamento} Un altro concetto implicito nella conversione AD \`e quello di @@ -109,14 +112,14 @@ possibilit\`a di ricostruire fedelmente il segnale analogico originario. \emph{Shannon}, stabilisce che la frequenza di campionamento deve essere maggiore o uguale al doppio di quella componente di frequenza pi\`u elevata del segnale in esame. In altre parole, intuibilmente la frequenza di campionamento -$f_c$ per un segnale $v_a(t)$ deve essere \emph{sempre} essere magiore del -\emph{doppio} della frequenza maggiore dell'armonica del segnale $f_M$. +\(f_c\) per un segnale \(v_a(t)\) deve essere \emph{sempre} essere magiore del +\emph{doppio} della frequenza maggiore dell'armonica del segnale \(f_M\). -$$ f_c \geq 2f_M $$ +\[ f_c \geq 2f_M \] -Per ricostruire fedelmente il segnale $v_a(t)$ occorrer\`a trattare il segnale -campionato $v'_a(t)$ con un filtro passa-basso la cui risposta sia piatta fino -alla frequenza $f_M$ ed attenuante alla frequenza di campionamento $f_c$. +Per ricostruire fedelmente il segnale \(v_a(t)\) occorrer\`a trattare il segnale +campionato \(v'_a(t)\) con un filtro passa-basso la cui risposta sia piatta fino +alla frequenza \(f_M\) ed attenuante alla frequenza di campionamento \(f_c\). \begin{figure}[H] \centering @@ -125,11 +128,12 @@ alla frequenza $f_M$ ed attenuante alla frequenza di campionamento $f_c$. \def\ymax{5} \def\ymin{-30} \def\fw {200} + \begin{axis}[ width = \linewidth, height = 4cm, ylabel = {Attenuazione}, - xlabel = {Frequenza $f$}, + xlabel = {Frequenza \(f\)}, xticklabels = \empty, yticklabels = \empty, ymin = \ymin, ymax = \ymax, @@ -160,24 +164,24 @@ alla frequenza $f_M$ ed attenuante alla frequenza di campionamento $f_c$. \end{tikzpicture} \end{figure} -Bench\`e la frequenza di campionamento minima sia $f_c = 2f_M$, in pratica si +Bench\`e la frequenza di campionamento minima sia \(f_c = 2f_M\), in pratica si preferisce campionare ad una frequenza maggiore per migliorare le prestazioni del filtro, siccome i filtri reali attenuano maggiormente le frequenze pi\`u distanti dalla frequenza di taglio. \subsection{Sampling and Hold (Circuiti SH)} -Dal momento che i convertitori A/D impiegano un tempo $t_{conv}$ finito +Dal momento che i convertitori A/D impiegano un tempo \(t_{conv}\) finito (generalmente da 20 ms a 1 ns) per digitalizzare un segnale analogico in ingresso eventuali variazioni del segnale durante il processo di conversione possono determinare errori significativi. Se la variazione del segnale -analogico $v_a$ durante il tempo di conversione $t_{conv}$ \`e superiore al -valore di $Q$, il dato digitale di uscita non mantiene la risoluzione +analogico \(v_a\) durante il tempo di conversione \(t_{conv}\) \`e superiore al +valore di \(Q\), il dato digitale di uscita non mantiene la risoluzione specificata. Occorre quindi che sia rispettata la relazione \[ - max\Big (\dfrac{{\rm d}v}{{\rm d}t}\Big ) \approx - max\Big (\frac{\Delta v_a}{\Delta t}\Big ) + \max\Big (\dfrac{{\rm d}v}{{\rm d}t}\Big ) \approx + \max\Big (\frac{\Delta v_a}{\Delta t}\Big ) \quad \leq \quad \frac{Q}{t_{conv}} \] @@ -190,15 +194,14 @@ processo di conversione il valore acquisito. \begin{figure}[H] \centering \placeholderfig{fig:circ:hs} - \caption{Circuito di sampling e hold} - \label{fig:circ:hs} + \caption{Circuito di sampling e hold\label{fig:circ:hs}} \end{figure} -Durante il campionamento il segnale di controllo $V_c$ chiude l'interruttore -analogico consentendo al condensatore $C$ di caricarsi al valore di $v_a$; il +Durante il campionamento il segnale di controllo \(V_c\) chiude l'interruttore +analogico consentendo al condensatore \(C\) di caricarsi al valore di \(v_a\); il tempo di carica del condensatore \`e assai ridotta siccome le uniche resistenze -in gioco sono la resistenza in uscita dell'opamp $U_1$ e la $r_{on}$ -dell'interruttore. Idealmente da quando $V_c$ apre l'interruttore il +in gioco sono la resistenza in uscita dell'opamp \(U_1\) e la \(r_{on}\) +dell'interruttore. Idealmente da quando \(V_c\) apre l'interruttore il condensatore rimane carico per un tempo infinito, permettendo al circuito di misura di convertire il campione. In realt\`a sono presenti delle lievi perdite dalle correnti di polarizzazione, dall'interruttore e dal condensatore stesso. @@ -212,26 +215,25 @@ elaborazione o di trasmissione, si deve ricorre a tecniche di \`e ottenibile semplicemente aggiungendo all'ingresso un \emph{multiplexer}, un circuito con pi\`u entrate ed una sola uscita, con delle linee di controllo che permettono di selezionare quale linea viene collegata all'uscita. -\subsection{Convertitori digitale $\rightarrow$ analogico ({\tt DA})} +\subsection{Convertitori digitale \(\rightarrow\) analogico ({\tt DA})} \subsubsection{Convertitore a resistori pesati} -Nella figura \ref{fig:dac:wr} \`e illustrato il circuito DAC con il principio +Nella figura~\ref{fig:dac:wr} \`e illustrato il circuito DAC con il principio di funzionamento pi\`u semplice. L'ingresso \`e costituito da un segnale -binario di $n$ bit; ciascun bit controlla uno dei commutatori $S_0, S_1, \dots -S_{n-1}$ in modo tale che ciascun resistore viene collegato alla tensione di -riferimento $V_{ref}$ o a massa a seconda del valore 1 o 0 del bit. +binario di \(n\) bit; ciascun bit controlla uno dei commutatori \(S_0, S_1, \dots +S_{n-1}\) in modo tale che ciascun resistore viene collegato alla tensione di +riferimento \(V_{ref}\) o a massa a seconda del valore 1 o 0 del bit. \begin{figure}[H] \centering \placeholderfig{fig:dac:wr} - \caption{Convertitore a resistori pesati} - \label{fig:dac:wr} + \caption{Convertitore a resistori pesati\label{fig:dac:wr}} \end{figure} -La corrente $I_f$ che si ottiene collegando e scollegando gli interruttori \`e +La corrente \(I_f\) che si ottiene collegando e scollegando gli interruttori \`e definita dalla somma delle correnti di ogni ramo. \[ I_f = \frac{2^0 V_{ref}}{R}S_0 + \frac{2^1 V_{ref}}{R}S_1 - + \frac{2^2 V_{ref}}{R}S_2 + \dots + \frac{2^{n-1} V_{ref}}{R}S_{n-1} + + \frac{2^2 V_{ref}}{R}S_2 + \cdots + \frac{2^{n-1} V_{ref}}{R}S_{n-1} \] La tensione in uscita \`e generata dall'amplificatore \`e descrivibile quindi come: @@ -251,21 +253,20 @@ esso richiede resistori di valore estremamente disomogeneo. \subsubsection{Convertitore a scala R-2R} Un miglioramento rispetto al convertitore a resistori pesati \`e illustrato -nella figura \ref{fig:dac:r2r}; il convertitore a scala R-2R utilizza solo +nella figura~\ref{fig:dac:r2r}; il convertitore a scala R-2R utilizza solo resistori di due valori R e 2R. Si osservi che la resistenza vista da ciascuno -degli ingressi $S$ vale sempre 3R, indipendentemente dalla configurazione dei +degli ingressi \(S\) vale sempre 3R, indipendentemente dalla configurazione dei bit di ingresso. \begin{figure}[H] \centering \placeholderfig{fig:dac:r2r} - \caption{Convertitore a scala R-2R} - \label{fig:dac:r2r} + \caption{Convertitore a scala R-2R\label{fig:dac:r2r}} \end{figure} La tensione in uscita per un convertitore a scala R-2R \`e descritta in forma generale dalla seguente relazione. \[ V_o = -\frac{V_{ref}}{2^n}\cdot\frac{R_f}{3R}\cdot - (2^{n-1} S_{n-1} + \dots + 2^2S_2 + 2^1S_1 + 2^0S_0) + (2^{n-1} S_{n-1} + \cdots + 2^2S_2 + 2^1S_1 + 2^0S_0) \] In notazione ridotta: \[ @@ -287,14 +288,13 @@ l'operazionale quando il commutatore \`e attivo. \begin{figure}[H] \centering \placeholderfig{fig:dac:r2rinv} - \caption{Convertitore a scala R-2R invertita} - \label{fig:dac:r2rinv} + \caption{Convertitore a scala R-2R invertita\label{fig:dac:r2rinv}} \end{figure} La tensione in uscita per un convertitore a scala R-2R invertita \`e descritta in forma generale dalla seguente relazione. \[ V_o = -\frac{V_{ref}}{2^n}\cdot\frac{R_f}{R}\cdot - (2^{n-1} S_{n-1} + \dots + 2^2S_2 + 2^1S_1 + 2^0S_0) + (2^{n-1} S_{n-1} + \cdots + 2^2S_2 + 2^1S_1 + 2^0S_0) \] \subsubsection{Caratteristiche e parametri dei convertitori DA} @@ -303,7 +303,7 @@ I convertitori D/A in commercio accettano in ingresso dati digitali in formato parallelo o anche seriale espressi in codici diversi, binario, binario con offset, in complemento a due, BCD, con un numero di biti compreso generalmente tra 8 e 16. I livelli elettrici dei dati di ingresso variano conla tecnologia -con cui sono realizzato i convertitori e possono essere TTL, CMOD, ECL. +con cui sono realizzato i convertitori e possono essere TTL, CMOD, ECL\@. % I valori della tensione di alimentazione e della tensione di riferimento % (interna o esterna) dipendono dalla tecnologia con cui sono realizzati i @@ -349,20 +349,20 @@ dato digitale di ingresso devono produrre ingrementi uguali del segnale di uscita; pertanto la curva di trasferimento ingresso-uscita \`e una retta. \emph{L'errore di linearit\`a} esprime la massima deviazione della curva di trasferimento reale da quella ideale. Generalmente l'errore di linearit\`a \`e -espresso in frazioni del passo di quantizzazione $Q$ (es $\dfrac{1}{4}Q$). Si -noti che un errore di linearit\`a pari a $\pm\dfrac{1}{2}Q$ \`e il massimo +espresso in frazioni del passo di quantizzazione \(Q\) (es \(\dfrac{1}{4}Q\)). Si +noti che un errore di linearit\`a pari a \(\pm\dfrac{1}{2}Q\) \`e il massimo consentito affinch\`e all'aumento del dato digitale di ingresso corrisponda un aumento del segnale di uscita. \paragraph{Tempo di assestamento} (\emph{Settling time}). \`E definito come il tempo necessario affinch\`e il segnale analogico di uscita dopo una data commutazione degli ingressi, si assesti e si mantenga in un determinato intorno -(generalmente ) +(generalmente) -\subsection{Convertitori analogico $\rightarrow$ digitale ({\tt AD})} +\subsection{Convertitori analogico \(\rightarrow \) digitale ({\tt AD})} \subsubsection{Convertitore a comparatori in parallelo} \subsubsection{Convertitore ad approssimazioni successive} \subsubsection{Convertitore a rampa digitale} \subsubsection{Convertitore a doppia rampa} -\subsubsection{Convertitore $\Sigma\Delta$ (Sigma-Delta)} +\subsubsection{Convertitore \(\Sigma\Delta \) (Sigma-Delta)} \subsubsection{Caratteristiche e parametri dei convertitori AD}
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