zweite Leseung Kapitel 3 und 4

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diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex
index b4c602e..b94ae48 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex
@@ -29,7 +29,7 @@ Zu diesen sogenannten Galois-Körpern können wir dann weitere Elemente
 hinzufügen, wie das in Abschnitt ~\ref{buch:section:wurzeln} 
 gezeigt wird.
 Diese Technik, die auch für den Körper $\mathbb{Q}$ funktioniert, erlaubt
-dafür zu sorgen, dass in einem Körper gewisse algebraische Gleichungen
+dafür zu sorgen, dass in einem Körper vorgebebene algebraische Gleichungen
 lösbar werden.
 
 \input{chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex}
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
index a75046f..7586273 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
@@ -8,6 +8,8 @@
 \rhead{Der euklidische Algorithmus}
 Der euklidische Algorithmus bestimmt zu zwei gegebenen ganzen
 Zahlen $a$ und $b$ den grössten gemeinsamen Teiler $g$.
+Wir schreiben $g|a$ für ``$g$ ist Teiler von $a$'' oder ``$g$ teilt $a$'',
+gesucht ist also die grösste ganze Zahl $g$ derart, dass $g|a$ und $g|b$.
 
 \begin{definition}
 \label{buch:endliche-koerper:def:ggt}
@@ -28,18 +30,16 @@ In diesem Abschnitt soll der Algorithmus zunächst für ganze Zahlen
 vorgestellt werden, bevor er auf Polynome verallgemeinert und dann
 in Matrixform niedergeschrieben wird.
 Die Matrixform ermöglicht, einfach zu implementierende iterative
-Algorithmen für die Zahlen $s$ und $t$ un später auch für die
+Algorithmen für die Zahlen $s$ und $t$ und später auch für die
 Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zu finden.
 
 %
 % Der euklidische Algorithmus für ganze Zahlen
 %
 \subsection{Grösster gemeinsamer Teiler ganzer Zahlen}
-Gegeben sind zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ und wir dürfen annehmen,
-dass $a\ge b$.
+Gegeben sind zwei ganze Zahlen $a$ und $b$.
+Wir dürfen annehmen, dass $a\ge b$.
 Gesucht ist der grösste gemeinsame Teiler $g$ von $a$ und $b$.
-Wir schreiben $g|a$ für ``$g$ ist Teiler von $a$'' oder ``$g$ teilt $a$'',
-gesucht ist also die grösste ganze Zahl $g$ derart, dass $g|a$ und $g|b$.
 
 Ist $b|a$, dann ist offenbar $b$ der grösste gemeinsame Teiler von $a$
 und $b$.
@@ -70,7 +70,15 @@ neuen Quotienten $q_1$ und einen neuen Rest $r_1$ liefert mit $a_1-q_1b_1=r_1$.
 So entstehen vier Folgen von Zahlen $a_k$, $b_k$, $q_k$ und $r_k$ derart,
 dass in jedem Schritt gilt
 \begin{align*}
-a_k - q_kb_k &= r_k & g&|a_k & g&|b_k & a_k &= b_{k-1} & b_k = r_{k-1}.
+a_k - q_kb_k &= r_k
+&&\wedge &
+g&|a_k
+&&\wedge &
+g&|b_k
+&&\wedge &
+a_k &= b_{k-1}
+&&\wedge &
+b_k = r_{k-1}.
 \end{align*}
 Der Algorithmus bricht im Schritt $n$ ab, wenn $r_{n+1}=0$.
 Der letzte nicht verschwindende Rest $r_n$ muss daher der grösste gemeinsame
@@ -109,7 +117,8 @@ Wir können sie aber verwenden, um die Zahlen $s$ und $t$ zu bestimmen.
 Wir drücken die Reste im obigen Beispiel durch die Zahlen $a_k$, $b_k$ und
 $q_k$ aus und setzen sie in den Ausdruck $g=a_5-q_5b_5$ ein, bis wir
 einen Ausdruck in $a_0$ und $b_0$ für $g$ finden:
-\begin{align*}
+\[
+\begin{aligned}
 r_5&=a_5-q_5 b_5=a_5-1\cdot b_5& g &= a_5 - 1 \cdot b_5 = b_4 - 1 \cdot r_4
 \\
 r_4&=a_4-q_4 b_4=a_4-2\cdot b_4&   &= b_4 - (a_4 -2b_4) 
@@ -126,7 +135,8 @@ r_1&=a_1-q_1 b_1=a_1-3\cdot b_1&   &= -7b_1 + 17(a_1-3b_1)
 \\
 r_0&=a_0-q_0 b_0=a_0-3\cdot b_0&   &= 17b_0 - 58(a_0t-3b_0)
                                     = -58a_0+191b_0
-\end{align*}
+\end{aligned}
+\]
 Tatsächlich gilt
 \[
 -58\cdot 76415 + 191 \cdot 23205 = 85,
@@ -339,7 +349,7 @@ berechnen.
 % Vereinfachte Durchführung des euklidischen Algorithmus
 %
 \subsection{Iterative Durchführung des erweiterten euklidischen Algorithmus
-\label{buch:endlichekoerper:subsection:matrixschreibweise}}
+\label{buch:endlichekoerper:subsection:erweitertereuklidischeralgo}}
 Die Durchführung des euklidischen Algorithmus mit Hilfe der Matrizen
 $Q(q_k)$ ist etwas unhandlich.
 In diesem Abschnitt sollen die Matrizenprodukte daher in einer Form
@@ -348,6 +358,8 @@ dargestellt werden, die leichter als Programm zu implementieren ist.
 In Abschnitt~\ref{buch:endlichekoerper:subsection:matrixschreibweise}
 wurde gezeigt, dass das Produkt der aus den Quotienten $q_k$ gebildeten
 Matrizen $Q(q_k)$ berechnet werden muss.
+Im Folgenden soll ein rekursiver Algorithmus zu seiner Berechnung
+hergeleitet werden.
 Dazu beachten wir zunächst, dass die Multiplikation mit der Matrix
 $Q(q_k)$ die zweite Zeile in die erste Zeile verschiebt:
 \[
@@ -372,7 +384,7 @@ Die Matrizen
 \[
 Q_k = Q(q_k)Q(q_{k-1})\cdots Q(q_0)
 \]
-haben daher jeweils für aufeinanderfolgende Werte vo $k$ eine Zeile
+haben daher jeweils für aufeinanderfolgende Werte von $k$ eine Zeile
 gemeinsam.
 Wir bezeichnen die Einträge der ersten Zeile der Matrix $Q_k$ mit
 $c_k$ und $d_k$.
@@ -389,7 +401,7 @@ Q(q_k)
 \begin{pmatrix}
 c_{k-1}&d_{k-1}\\
 c_{k}  &d_{k}
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}.
 \]
 Daraus ergeben sich die Rekursionsformeln
 \begin{equation}
@@ -445,6 +457,15 @@ um die Spalten zur Berechnung der Koeffizienten $c_k$ und $d_k$
 Wir schreiben die gefundenen Zahlen in eine Tabelle:
 \begin{center}
 \label{buch:endlichekoerper:beispiel1erweitert}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\fill[color=darkgreen!30] (1.8,-0.4) rectangle (3.5,0.4);
+\node at (3.10,0) {$\displaystyle
+\color{darkgreen}
+\begin{pmatrix}
+\phantom{-33}\,\,&\phantom{-233}\\
+\phantom{-33}\,\,&\phantom{-233}
+\end{pmatrix}\;=Q_2$};
+\node at (0,0) {$\displaystyle
 \renewcommand{\arraystretch}{1.1}
 \begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
 \hline
@@ -460,7 +481,8 @@ k&   a_k&   b_k&    q_k&  r_k&     c_k&     d_k\\
 6&   340&    85&      4&    0&     -58&     191\\
 7&    85&     0&       &     &     273&    -899\\
 \hline
-\end{tabular}
+\end{tabular}$};
+\end{tikzpicture}
 \end{center}
 Aus den letzten zwei Spalten der Tabelle kann man ablesen, dass
 \begin{align*}
@@ -471,9 +493,10 @@ wie erwartet.
 Die gesuchten Zahlen $s$ und $t$ sind also $s=-58$ und $t=191$.
 \end{beispiel}
 
-Die Matrizen $Q_k$ kann man auch as der Tabelle ablesen, sie bestehen
+Die Matrizen $Q_k$ kann man auch aus der Tabelle ablesen, sie bestehen
 aus den vier Elementen in den Zeilen $k$ und $k+1$ in den
 Spalten $c_k$ und $d_k$.
+Die Matrix $Q_2$ ist beispielhaft grün hervorgehoben.
 Auf jeder Zeile gilt $b_k = c_ka_0 + d_kb_0$, für $k>0$ ist dies
 $c_ka_0+d_kb_0=r_{k-1}$.
 
@@ -527,7 +550,7 @@ durch das Problem der Teilbarkeit der Koeffizienten.
 Dieses Problem entfällt, wenn man die Koeffizienten aus einem
 Bereich wählt, in dem Teilbarkeit kein Problem ist, also in einem Körper.}
 verhält
-sich bezüglich Teilbarkeit ganz genau gleich wie die ganzen Zahlen.
+sich bezüglich Teilbarkeit ganz ähnlich wie die ganzen Zahlen.
 Insbesondere ist der euklidische Algorithmus genauso wie die
 Matrixschreibweise auch für Polynome durchführbar.
 
@@ -595,7 +618,7 @@ ta+sb
 -4X^2+4X+8,
 \end{align*}
 und dies ist tatsächlich der gefundene grösste gemeinsame Teiler.
-Die zweite Zeile von $Q$ gibt uns die Polynomfaktoren, mit denen
+Die zweite Zeile von $Q$ gibt uns die Faktoren, mit denen
 $a$ und $b$ gleich werden:
 \begin{align*}
 q_{21}a+q_{22}b
@@ -609,20 +632,23 @@ q_{21}a+q_{22}b
 \qedhere
 \end{align*}
 Man kann natürlich den grössten gemeinsamen Teiler auch mit Hilfe einer
-Faktorisierung der Polynome $a$ und $b$ finden:
+Faktorisierung der Polynome $a$ und $b$ finden.
+Um die Übersicht zu erleichtern, werden gleiche Faktoren jeweils untereinander
+geschrieben und fehlende Faktoren als Platzhalter in grau dargestellt.
+\def\grau#1{\bgroup\color{gray!50}#1\egroup}
 \begin{align*}
 &\text{Faktorisierung von $a$:}&
-a  &=         (X-3) (X-2)\phantom{(X-1)}(X+1)         (X+2) \phantom{(X+3)}\\
+a    &=      (X-3)      (X-2)\grau{(X-1)}     (X+1)       (X+2) \grau{(X+3)}\\
 &\text{Faktorisierung von $b$:}&
-b  &=\phantom{(X-3)}(X-2)         (X-1) (X+1)\phantom{(X+2)}         (X+3) \\
+b    &=\grau{(X-3)}     (X-2)      (X-1)      (X+1) \grau{(X+2)}      (X+3) \\
 &\text{gemeinsame Faktoren:}&
-g  &=\phantom{(X-3)}(X-2)\phantom{(X-1)}(X+1)\phantom{(X+2)}\phantom{(X+3)}
+g    &=\grau{(X-3)}     (X-2)\grau{(X-1)}     (X+1) \grau{(X+2)}\grau{(X+3)}
     = X^2 -X + 2\\
 &&
-v=a/g&=         (X-3)\phantom{(X-2)(X-1)(X+1)} (X+2) \phantom{(X+3)}
+v=a/g  &=    (X-3)\grau{(X-2)      (X-1)      (X+1)}      (X+2) \grau{(X+3)}
     = X^2-X-6 \\
 &&
-u=b/g&=\phantom{(X-3)(X-2)} (X-1)\phantom{(X+1)(X+2)}(X+3)
+u=b/g&=\grau{(X-3)      (X-2)}     (X-1)\grau{(X+1)       (X+2)}      (X+3)
     = X^2+2X-3
 \end{align*}
 Aus den letzten zwei Zeilen folgt
@@ -702,7 +728,7 @@ Q(q_n)^{-1}
 \]
 Eine mögliche Lösung für die Matrix $K$ in
 \eqref{buch:eindlichekoerper:eqn:uvmatrix}
-ist der die Matrix
+ist daher die Matrix
 \[
 K
 =
@@ -715,7 +741,9 @@ Q(q_n).
 Insbesondere ist die Matrix $K$ die Inverse der früher gefundenen
 Matrix $Q$.
 
-Die Berechnung der Matrix $K$ als Inverse von $Q$ ist nicht schwierig.
+Die Berechnung der Matrix $K$ als Inverse von $Q$ ist nicht schwierig,
+aber eingebaut in den bereits etablierten iterativen Prozess fällt
+sie noch leichter.
 Genauso wie es möglich war, das Produkt $Q$ der Matrizen
 $Q(q_k)$ iterativ zu bestimmen, muss es auch eine Rekursionsformel
 für das Produkt der inversen Matrizen $Q(q_k)^{-1}$ geben.
@@ -938,7 +966,9 @@ Man weiss zusätzlich noch, dass der euklidische Algorithmus genau drei
 Schritte braucht, es gibt also genau drei Quotienten, die in die
 Berechnung der Zahlen $e_k$ und $f_k$ einfliessen.
 
-Im ersten Schritt des euklidischen Algorithmus ist der Quotient
+In den folgenden Zeilen wird der euklische Algorithmus für die Polynome
+$n(X)$ und $r(X)$ durchgeführt.
+Im ersten Schritt ist der Quotient
 $n(X) / r(X)$ zu bestimmen, der Grad $1$ haben muss.
 \begin{align*}
 a_0=n(X)           &= X^{12}+12
@@ -961,7 +991,7 @@ a_2 &= 10X^{10} + 5X^9 + 6X^8 + 8X^7 + \dots
 \\
 b_2 &= 5X^9 + 10 X^8 + \dots
 \\
-q_2 &= 2X+10
+q_2 &= 2X+10.
 \end{align*}
 Aus den Polynomen $q_k$ können jetzt die Faktoren $u$ und $v$
 bestimmt werden:
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
index 7ffef0b..1d4a9c9 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
@@ -80,14 +80,14 @@ Beim Rechnen mit Resten modulo $n$ können Vielfache von $n$ ignoriert werden.
 Zum Beispiel gilt 
 \[
 \begin{aligned}
-48&\equiv -1\mod 7& 48&=-1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$}
+48&\equiv -1\mod 7&&\Leftrightarrow& 48&=-1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$}
 \\
-3\cdot 5=15&\equiv 1\mod 7 & 3\cdot 5&=1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.}
+3\cdot 5=15&\equiv\phantom{-}1\mod 7&&\Leftrightarrow & 3\cdot 5&=\phantom{-}1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.}
 \end{aligned}
 \]
 Das Beispiel zeigt, dass man mindestens in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ mit
 Resten ganz ähnlich rechnen kann wie in $\mathbb{Q}$.
-In $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ scheinen $3$ und $5$ multiplikative inverse
+In $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ scheinen $3$ und $5$ multiplikative Inverse
 zu sein.
 
 Tatsächlich kann man auf den Restklassen eine Ringstruktur definieren.
@@ -97,7 +97,6 @@ Der Rest $a$ kann jede Zahl der Form $a+kn$ darstellen.
 Ebenso kann der Rest $b$ jede Zahl der Form $b+ln$ darstellen.
 Deren Summe ist $a+b+(k+l)n\equiv a+b\mod n$.
 Der Repräsentant des Restes hat also keinen Einfluss auf die Summe.
-
 Ebenso ist das Produkt der beiden Repräsentaten 
 $(a+kn)\cdot(b+ln) = ab + (al+bk)n + kln^2=ab + (al+bk+kln)n\equiv ab\mod n$
 für jede Wahl von $k$ und $l$.
@@ -105,7 +104,7 @@ Auch die Multiplikation ist also unabhängig vom gewählten Repräsentanten.
 
 \begin{definition}
 Die Menge $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ist ein Ring,
-heisst der {\em Restklassenring modulo $n$}.
+er heisst der {\em Restklassenring modulo $n$}.
 \end{definition}
 
 \subsubsection{Division in $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$}
@@ -288,7 +287,7 @@ Primzahl ist.
 Wir betrachten dazu die Menge der nicht einfarbigen, geschlossenen
 Perlenketten der Länge $p$ mit $a$ Farben.
 Einge dieser Perlenketten unterscheiden sich nur durch eine
-Drehung um einzelne Perlen.
+Drehung um eine gewisse Anzahl Perlen.
 Sei $G$ die Menge der nicht einfarbigen, geschlossenen
 Perlenketten, die sich nicht nur um eine Drehung unterscheiden.
 
@@ -362,14 +361,11 @@ $(p-1)!\equiv -1\mod p$.
 
 \begin{proof}[Beweis]
 Wenn $p$ keine Primzahl ist, dann lässt sich $p$ in Faktoren
-$p=n_1\cdot n_2=p$ zerlegen.
-Beide Faktoren kommen in der Liste $1,2,\dots,p-1$ vor.
-Insbesondere haben $p=n_1n_2$ und $(p-1)!$ mindestens einen
-der Faktoren $n_1$ oder $n_2$ gemeinsam, wir können annehmen,
-dass $n_1$ dieser Faktor ist.
-Es folgt, dass der grösste gemeinsame Teiler von $p$ und $(p-1)!$
-grösser als $n_1$ ist, auch $(p-1)!$ ein Vielfaches von $n_1$ in
-$\mathbb{F}_p$.
+$p=n_1\cdot n_2$ zerlegen.
+Dies bedeutet auch, dass $n_1$ und $n_2$ Nullteiler sind in
+$\mathbb{F}_p$, es ist also $n_1n_2=0\in\mathbb{F}_p$.
+Beide Faktoren kommen in der Liste der Zahlen $1,2,\dots,p-1$ vor.
+Daher muss auch $1\cdot2\cdot\dots\cdot(p-1)=(p-1)!=0\in\mathbb{F}_p$ sein.
 Insbesondere kann $(p-1)!$ nicht $-1\in\mathbb{F}_p$ sein.
 
 Ist andererseits $p$ eine Primzahl, dann sind die Zahlen $1, 2,\dots,p-1$
@@ -382,7 +378,7 @@ Daher ist auch $(a+1)(a-1)=0$, in $\mathbb{F}_p$ muss daher einer
 der Faktoren $0$ sein, also $a=-1$ oder $a=1$ in $\mathbb{F}_p$.
 
 Zu jeder Zahl $a\in\{2,\dots,p-2\}$ liegt die Inverse $a^{-1}$
-ebenfalls in diesen Bereich und ist verschieden von $a$: $a^{-1}\ne a$.
+ebenfalls in diesem Bereich und ist verschieden von $a$: $a^{-1}\ne a$.
 Das Produkt der Zahlen
 $2\cdot 3 \cdot\ldots\cdot (p-2)$ besteht also aus zueinander inversen
 Paaren.
@@ -467,7 +463,7 @@ Ein Körper mit Charakteristik $0$ enthält immer unendliche viele
 Elemente.
 
 \subsubsection{Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten}
-Als Beispiel für die Auswrikung der Charakteristik auf die Arithmetik
+Als Beispiel für die Auswirkung der Charakteristik auf die Arithmetik
 in einem endlichen Körper betrachten wir die Teilbarkeitseigenschaften
 der Binomialkoeffizienten.
 
@@ -500,9 +496,10 @@ Rest bei Teilung durch $2$ der Binomialkoeffizienten.
 \index{Binomialkoeffizient}%
 Man kann daraus ablesen, dass $\binom{n}{m}\equiv 0\mod 2$ für $n=2^k$ 
 und $0<m<n$.
+
 Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:fig:binomial5} zeigt das Pascal-Dreieck
 auch noch für $p=5$.
-Hier ist auch schön die Selbstähnlichkeit des Pascal-Dreiecks erkennbar.
+Auch hier ist schön die Selbstähnlichkeit des Pascal-Dreiecks erkennbar.
 \index{Selbstähnlichkeit}%
 \index{Pascal-Dreieck}%
 Ersetzt man die ``5er-Dreiecke'' durch ein volles Dreieck mit der Farbe
@@ -530,7 +527,7 @@ Für den Binomialkoeffizienten gilt
 =
 \frac{p\cdot (p-1)\cdot(p-2)\cdot\ldots\cdot (p-m+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot m}.
 \]
-Für $m<p$ kann keiner der Faktoren im Nenner $p$ sein, der Faktor $p$
+Für $m<p$ kann keiner der Faktoren im Nenner die Zahl $p$ sein, der Faktor $p$
 im Zähler kann also nicht weggekürzt werden, so dass der Binomialkoeffizient
 durch $p$ teilbar sein muss.
 
@@ -569,6 +566,18 @@ Sei $p$ eine Primzahl, dann ist
 für $0<m<p^k$
 \end{satz}
 
+Die Aussage von Satz~\ref{buch:endliche-koerper:satz:binomk} kann man 
+auch im Körper $\mathbb{F}_p$ formulieren, in dem auch der Beweis
+etwas eleganter formuliert werden kann:
+
+\begin{satz}
+\label{buch:endliche-koerper:satz:binomFp}
+In $\mathbb{F}_p$ gilt
+\[
+\binom{p^k}{m}=0
+\]
+für beliebige $k>0$ und $0<m<p^k$.
+\end{satz}
 \begin{proof}[Beweis]
 Wir wissen aus Satz \ref{buch:endliche-koerper:satz:binom}, dass 
 \begin{equation}
@@ -601,17 +610,6 @@ Damit ist
 \eqref{buch:endliche-koerper:eqn:a+b^p^k} für alle $k$ bewiesen.
 \end{proof}
 
-Die Aussage von Satz~\ref{buch:endliche-koerper:satz:binomk} kann man 
-auch im Körper $\mathbb{F}_p$ formulieren:
-
-\begin{satz}
-\label{buch:endliche-koerper:satz:binomFp}
-In $\mathbb{F}_p$ gilt
-\[
-\binom{p^k}{m}=0
-\]
-für beliebige $k>0$ und $0<m<p^k$.
-\end{satz}
 
 \subsubsection{Frobenius-Automorphismus}
 Die Abbildung $x\mapsto x^n$ ist weit davon entfernt, sich mit den
@@ -629,7 +627,7 @@ a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \dots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + b^n
 gibt es zwischen den Termen an den Enden des Ausdrucks noch viele
 Zwischenterme, die normalerweise nicht verschwinden.
 
-Ganz anders sieht die Situation aus, wenn $n=p$ ist.
+Ganz anders sieht die Situation in $\mathbb{F}_p$ aus, wenn $n=p$ ist.
 Nach Satz~\ref{buch:endliche-koerper:satz:binomFp} verschwinden die
 Binomialkoeffizienten der Zwischenterme der Summe
 \eqref{buch:endliche-koerper:fig:binomischeformel}
@@ -638,12 +636,17 @@ Daher gilt
 \index{Frobenius-Automorphismus}%
 
 \begin{satz}[Frobenius-Automorphismus]
+\label{buch:endliche-koerper:satz:frobenius}
 In einem Körper $\Bbbk$ der Charakteristik $p$ ist die Abbildung
 $x\mapsto x^p$ ist ein Automorphismus, der den Primkörper 
 $\mathbb{F}_p\subset\Bbbk$ fest lässt.
 \end{satz}
 
-\begin{proof}[Beweis]
+\begin{definition}
+Der Automorphismus $x\mapsto x^p$ heisst {\em Frobenius-Automorphismus}.
+\end{definition}
+
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{buch:endliche-koerper:satz:frobenius}]
 Wir müssen uns nur noch davon überzeugen, dass $\mathbb{F}_p\subset\Bbbk$
 fest bleibt.
 Nach dem kleine Satz von Fermat~\ref{buch:endliche-koerper:satz:fermat}
@@ -651,6 +654,3 @@ ist $a^p=a$ für alle $a\in\mathbb{F}_p$, der Frobenius-Automorphismus
 lässt also alle Elemente von $\mathbb{F}_p$ fest.
 \end{proof}
 
-\begin{definition}
-Der Automorphismus $x\mapsto x^p$ heisst {\em Frobenius-Automorphismus}.
-\end{definition}
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
index e3731d5..1118387 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
@@ -15,12 +15,13 @@ erweitert haben.
 Es ist aber auch möglich, nur die Zahl $\sqrt{2}$ hinzuzufügen,
 so entsteht der Körper $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.
 Das Problem dabei ist, was denn eigentlich $\sqrt{2}$ überhaupt ist.
-Solange man die reellen Zahlen nicht hat, hat man auch $\sqrt{2}$ nicht.
+Solange man die reellen Zahlen nicht hat, hat man auch die
+gewohnte Realisation von $\sqrt{2}$ nicht.
 Das Problem wird akut bei den endlichen Körpern wie zum Beispiel
 $\mathbb{F}_3$,
 da man diese nicht in $\mathbb{R}$ einbetten kann, also keine
 bekannte Menge von Zahlen existiert, in der wir die Wurzel $\sqrt{2}$
-finden könnte.
+finden könnten.
 
 Im Altertum fiel dieses Problem zunächst den Pythagoreern auf.
 Wenn $\sqrt{2}$ kein Bruch ist, was ist es dann?
@@ -46,7 +47,7 @@ Zunächst wird in Abschnitt~\ref{buch:subsection:koerpererweiterungen}
 gezeigt, dass man immer eine Matrix $M_\alpha$ finden kann, welche
 genau die algebraischen Eigenschaften einer Nullstelle $\alpha$ eines
 Polynoms hat.
-Die Frage ``Was ist $\alpha$?'' erhält also die Antwort ``Eine Matrix''.
+Die Frage ``Was ist $\alpha$?'' erhält also die Antwort ``eine Matrix''.
 Mit diesem Bild lassen sich alle Körperoperationen realisieren, die
 Inverse kann zum Beispiel als die inverse Matrix mit dem
 Gauss-Algorithmus berechnet werden.
@@ -62,7 +63,7 @@ genauer zu charakterisieren.
 
 \subsection{Irreduzible Polynome
 \label{buch:subsection:irreduziblepolynome}}
-Die Zahlen, die man dem Körper hinzufügen möchte, müssen Nullstellen
+Die Zahlen, die man dem Körper $\Bbbk$ hinzufügen möchte, müssen Nullstellen
 eines Polynoms sein.
 Wir gehen daher davon aus, dass $f\in \Bbbk[X]$ ein Polynom mit
 Koeffizienten in $\Bbbk$ ist, dessen Nullstelle $\alpha$ hinzugefügt
@@ -89,7 +90,8 @@ Zusätzlich kann verlangt werden, dass das Polynom normiert ist.
 
 \begin{definition}
 Ein Polynom $f\in \Bbbk[X]$ heisst {\em irreduzibel}, wenn es sich nicht
-in zwei Faktoren $g,h\in \Bbbk[X]$ mit $f=gh$ zerlegen lässt.
+in zwei Faktoren $g,h\in \Bbbk[X]$ geringeren Grades mit $f=gh$ zerlegen
+lässt.
 \index{irreduzibles Polynom}%
 \end{definition}
 
@@ -101,10 +103,10 @@ Das Polynom $f(X)=X^2-2$ ist in $\mathbb{Q}[X]$, es hat die beiden
 Nullstellen $\sqrt{2}$ und $-\sqrt{2}$.
 Beide Nullstellen haben die exakt gleichen algebraischen Eigenschaften,
 sie sind mit algebraischen Mitteln nicht zu unterscheiden.
-Nur die Vergleichsrelation ermöglicht, die negative Wurzel von der
+Nur die Ordnungsrelation ermöglicht, die negative Wurzel von der
 positiven zu unterscheiden.
 Das Polynom kann in $\mathbb{Q}$ nicht faktorisiert werden, denn die
-einzig denkbare Faktorisierung ist $(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$, die
+einzige denkbare Faktorisierung ist $(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$, die
 Faktoren sind aber keine Polynome in $\mathbb{Q}[X]$.
 Also ist $f(X) = X^2 - 2$ ein irreduzibles Polynom über $\mathbb Q$.
 
@@ -130,9 +132,11 @@ X^2 -2 \mod 23,
 \begin{beispiel}
 Die Zahl 
 \[
-\alpha = \frac{1+i\sqrt{3}}2
+\alpha = \frac{-1+i\sqrt{3}}2\in\mathbb{C}
 \]
+\label{buch:endliche-koerper:eqn:1iwurzel3}
 ist eine Nullstelle des Polynoms $f(X)=X^3-1\in\mathbb{Z}[X]$.
+Der Ausdruck für
 $\alpha$ enthält aber nur Quadratwurzeln, man würde also eigentlich
 erwarten, dass $\alpha$ Nullstelle eines quadratischen Polynoms ist.
 Tatsächlich ist $f(X)$ nicht irreduzibel,  es ist nämlich
@@ -178,7 +182,7 @@ konstruiert werden soll.
 
 \subsubsection{Erweiterung mit einem irreduziblen Polynom}
 Sei $m\in\Bbbk[X]$ ein irreduzibles Polynome über $\Bbbk$ mit dem Grad
-$\deg m=n$,
+$\deg m=n>1$,
 wir dürfen es als normiert annehmen und schreiben es in der Form
 \[
 m(X)
@@ -238,7 +242,7 @@ Basisvektoren von $\Bbbk(\alpha)$ wirkt:
 \alpha^2&\mapsto \alpha^3 \\
         &\phantom{m}\vdots\\
 \alpha^{n-2}&\mapsto \alpha^{n-1}\\
-\alpha^{n-1}&\mapsto \alpha^n = -m_0-m_1\alpha-m_2\alpha^2-\dots-m_{n-1}\alpha^{n-1}
+\alpha^{n-1}&\mapsto \alpha^n = -m_0-m_1\alpha-m_2\alpha^2-\dots-m_{n-1}\alpha^{n-1}.
 \end{aligned}
 \right.
 \]
@@ -255,8 +259,7 @@ M_{\alpha}
     &    &    &      & 1 &-m_{n-1}
 \end{pmatrix}.
 \]
-%TODO: Was ist hier die Aussage?
-Aufgrund der Konstruktion die Lineare Abbildung $m(M_\alpha)$,
+Aufgrund der Konstruktion wird die lineare Abbildung $m(M_\alpha)$,
 die man erhält, wenn
 man die Matrix $M_\alpha$ in das Polynom $m$ einsetzt, jeden Vektor
 in $\Bbbk(\alpha)$ zu Null machen.
@@ -264,7 +267,9 @@ Als Matrix muss daher $m(M_\alpha)=0$ sein.
 Dies kann man auch mit einem Computeralgebra-System nachprüfen.
 
 \begin{beispiel}
-In einem früheren Beispiel haben wir gesehen, dass
+In dem früheren Beispiel auf
+Seite~\pageref{buch:endliche-koerper:eqn:1iwurzel3}
+haben wir gesehen, dass
 $\alpha=\frac12(-1+\sqrt{3})$ 
 eine Nullstelle des irreduziblen Polynomes $m(X)=X^2+X+1$ ist.
 Die zugehörige Matrix $M_\alpha$ ist
@@ -317,7 +322,7 @@ M_\alpha^2+M_\alpha+I
 \]
 Die Matrix ist also eine mögliche Realisierung für das ``mysteriöse''
 Element $\alpha$.
-Es hat alle algebraischen Eigenschaften von $\alpha$.
+Sie hat alle algebraischen Eigenschaften von $\alpha$.
 \end{beispiel}
 
 Die Menge $\Bbbk(\alpha)$ kann durch die Abbildung $\alpha\mapsto M_\alpha$
@@ -335,12 +340,14 @@ Diese Abbildung ist ein Algebrahomomorphismus.
 Die Menge $\Bbbk(M_\alpha)$ ist also das Bild des
 Körpers $\Bbbk(\alpha)$ in der Matrizenalgebra $M_n(\Bbbk)$.
 
-\subsubsection{Inverse}
-Im Moment wissen wir noch nicht, wie wir $\alpha^{-1}$ berechnen sollten.
-Wir können aber auch die Matrizendarstellung verwenden.
-Für Matrizen wissen wir selbstverständlich, wie Matrizen invertiert
+\subsubsection{Inverse mit der inversen Matrix}
+Im Moment wissen wir noch nicht, wie wir Elemente in $\Bbbk(\alpha)$ 
+invertieren sollen.
+%$\alpha^{-1}$ berechnen sollten.
+Wir können dafür aber die Matrizendarstellung verwenden.
+Für Matrizen wissen wir selbstverständlich, wie sie invertiert
 werden können.
-Tatsächlich kann man die Matrix $M_\alpha$ direkt invertieren:
+Tatsächlich kann man die Matrix $M_\alpha$ z.~B.~direkt invertieren:
 \[
 M_\alpha^{-1}
 =
@@ -527,8 +534,8 @@ werden:
 \hline
 \end{tabular}
 \end{align*}
-Für die Durchführung braucht man die Inversen in $\mathbb{F}_7$
-der Pivot-Elemente, sie sind $2^{-1}=4$ und $3^{-1}=5$.
+Für die Durchführung braucht man die Inversen
+der Pivot-Elemente in $\mathbb{F}_7$, sie sind $2^{-1}=4$ und $3^{-1}=5$.
 Im rechten Teil des Tableau steht jetzt die inverse Matrix
 \[
 A^{-1}
@@ -544,28 +551,29 @@ Daraus können wir jetzt das inverse Element
 b(\alpha) = 6\alpha+5\alpha^2
 \]
 ablesen.
-Das Produkt $b(X)\cdot a(X)$ ist
+Zur Kontrolle berechnen wir das Produkt $b(X)\cdot a(X)$, es ist
 \begin{align*}
 (1+2X+2X^2)(6X+5X^2)
 &=
 10X^4 + 22X^3 + 17X^2 + 6X
 \\
 &=
-3X^4+X^3+3X^2+6X
+3X^4+X^3+3X^2+6X.
 \intertext{
-Diese Polynom muss jetzt mit dem Minimalpolynom $m(X)$ reduziert
+Dieses Polynom muss jetzt mit dem Minimalpolynom $m(X)$ reduziert
 werden, wir subtrahieren dazu $3Xm(X)$ und erhalten}
 &=
 -5X^3-3X^2-3X
 \\
 &=
-2X^3+4X^2+4X
+2X^3+4X^2+4X.
 \intertext{Die vollständige Reduktion wird erreicht, indem wir nochmals
 $2m(X)$ subtrahieren:}
 &=
 -6 \equiv 1\mod 7,
 \end{align*}
-das Element $b(\alpha)=6\alpha+5\alpha^2$ ist also das Inverse Element von
+das Element $b(\alpha)=6\alpha+5\alpha^2$ ist also tatsächlich
+das inverse Element von
 $a(\alpha)=1+2\alpha+2\alpha^2$ in $\mathbb{F}_7(\alpha)$.
 \label{buch:endlichekoerper:beispiel:inversemitmatrix}
 \end{beispiel}
@@ -588,9 +596,9 @@ Beispiel auf $\varphi(m) = m(M_\alpha) = 0$ abgebildet.
 
 Der Kern von $\varphi$ besteht aus allen Polynomen $p\in\Bbbk[X]$,
 für die $p(M_\alpha)=0$ gilt.
-Da aber alle Matrizen $E,M_\alpha,\dots,M_\alpha^{n-1}$ linear
+Da aber alle Matrizen $I,M_\alpha,\dots,M_\alpha^{n-1}$ linear
 unabhängig sind, muss ein solches Polynom den gleichen Grad haben
-we $m$, und damit ein Vielfaches von $m$ sein.
+wie $m$, und damit ein Vielfaches von $m$ sein.
 Der Kern besteht daher genau aus den Vielfachen von $m(X)$,
 $\ker\varphi = m(X)\Bbbk[X]$.
 
@@ -641,7 +649,7 @@ welches $I$ echt enhält.
 Sei $a\in J\setminus I$.
 Da $R/I$ ein Körper ist, ist $a+I$ invertierbar, es gibt also ein
 $b\in R$ mit $ab+I=1+I$.
-Da $a\in J$ folgt $Ra\subset J$.
+Da $a\in J$ ist, folgt $Ra\subset J$.
 Andererseits ist $1\in Ra$, also ist $J=R$ und das Ideal $J$ ist maximal.
 \end{proof}
 
@@ -652,10 +660,10 @@ somit ist $\Bbbk[X]/m\Bbbk[X]\cong \Bbbk(M_\alpha) \cong \Bbbk(\alpha)$.
 Die algebraische Konstruktion hat gezeigt, dass die arithmetischen
 Operationen im Körper $\Bbbk(\alpha)$ genau die Operationen 
 in $\Bbbk[X]/m\Bbbk[X]$ sind.
-Eine Zahl in $\Bbbk(\alpha)$ wird also durch ein Polynom vom 
+Eine ``Zahl'' in $\Bbbk(\alpha)$ wird also durch ein Polynom vom 
 $n-1$ dargestellt.
-Addieren und Subtrahieren erfolgen Koeffizientenweise in $\Bbbk$.
-Bei der Multiplikation entsteht möglicherwise ein Polynom grösseren
+Addieren und Subtrahieren erfolgen koeffizientenweise in $\Bbbk$.
+Bei der Multiplikation entsteht möglicherweise ein Polynom grösseren
 Grades, mit dem Polynomdivisionsalgorithmus kann der Rest bei Division
 durch $m$ ermittelt werden.
 
@@ -739,8 +747,8 @@ Dies ist derselbe Rest wie wir mit dem Divisionsalgorithmus
 gefunden haben.
 \end{beispiel}
 
-Diese Form des Reduktionsalgorithmus ist besonders leicht durchzuführen
-in einem Körper $\mathbb{F}_2$, da dort die Addition und die Subtraktion
+Diese Form des Reduktionsalgorithmus ist in einem Körper $\mathbb{F}_2$
+besonders leicht durchzuführen, da dort die Addition und die Subtraktion
 der Koeffizienten übereinstimmen.
 Die Multiplikation mit $X$ ist nichts anders als ein Shift der
 Koeffizienten.
@@ -919,5 +927,5 @@ Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:beispiel:inversemitmatrix}
 Besonders einfach ist die Rechung für $\Bbbk=\mathbb{F}_2$.
 Dieser Spezialfall ist für die praktische Anwendung in der Kryptographie
 von besonderer Bedeutung, daher wird er im 
-In Kapitel~\ref{buch:chapter:kryptographie} genauer untersucht.
+Kapitel~\ref{buch:chapter:kryptographie} genauer untersucht.