Diverse Anpassungen/Korrekturen

1 files changed, 235 insertions, 14 deletions

diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex
index 4aa8204..d11b3f6 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil2.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex
@@ -1,49 +1,270 @@
-\section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger Spannungszustand}}
+\section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger_Spannungszustand}}
 \rhead{Proportionalität Spannung-Dehnung}
 Wie im Kapitel Spannungsausbreitung beschrieben herrscht in jedem Punkt ein anderer Spannungszustand.
 Um die Spannung im Boden genauer untersuchen zu können für man einen infinitesimalen Würfel ein.
 \begin{figure}
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken\infinitesimalerWürfel.jpg}
-	\caption{infinitesimaler Würfel}
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.jpg}
+	\caption{Infinitesimaler Würfel}
 	\label{fig:infintesimaler-wurfel}
 \end{figure}
 
 Sobald eine Kraft von oben wirkt hat man auch Kräfte die seitlich wirken.
 
-An diesem infinitesimalen Würfel hat man ein räumliches Koordinatensystem, die Achsen (1,2,3).
+An diesem infinitesimalen Würfel hat man ein räumliches Koordinatensystem, die Achsen $(1,2,3)$.
 Jede dieser 6 Flächen dieses Würfels hat damit 3 Pfeile.
 Geschrieben werden diese mit $\sigma$ mit jeweils zwei Indizes gibt.
 Die Indizes geben uns an, in welche Richtung der Pfeil zeigt.
-Zur Notation wird die Voigt`sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus:
+Der erste Index ist die Achse auf welcher man sich befindet.
+Der zweite Index gibt an, in welche Richtung der Pfeil zeigt.
+Zur Notation wird die Voigt'sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus:
 
 \[
 \overline{\sigma}
 =
-\left[ \begin{array}{rrr}
+\begin{pmatrix}
 	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
 	\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
-	\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \\ 
-\end{array}\right]
+	\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
 =
-\left[ \begin{array}{rrr}
+\begin{pmatrix}
 	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
-	 & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+	& \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
 	sym &  & \sigma_{33} \\ 
-\end{array}\right]
+\end{pmatrix}
 \Rightarrow
 \overrightarrow{\sigma}
 =
-\left(\begin{array}{c}\sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{23}\\\sigma_{13}\\\sigma_{12}\end{array}\right)
+\begin{pmatrix}
+  \sigma_{11}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{33}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
 \]
 
-Voigt`sche Notation besagt, dass man diesen Spannungstensor als Vektor aufschreiben darf.
+Voigt'sche Notation besagt, dass man diesen Spannungstensor als Vektor aufschreiben darf.
 Die Reihenfolge folgt der Regel von Ecke links oben, diagonal zur Ecke rechts unten.
 Danach ist noch $\sigma_{23}$, $\sigma_{13}$ und $\sigma_{12}$ aufzuschreiben.
 
 Eine weitere Besonderheit ist die Symmetrie der Matrix.
+So entspricht $\sigma_{23}$ dem Wert $\sigma_{32}$ oder $\sigma_{13}$ dem Wert $\sigma_{31}$.
+Dies ist dadurch bedingt, dass die Kräfte in seitlicher Richtung im Boden die gleichen Werte annehmen.
+Man hat in dieser Berechnung ein isotropes Material.
+Im infinitesimalen Körper muss ein Gleichgewicht vorherrschen.
+Ist kein Gleichgewicht vorhanden, würde sich der Körper zu drehen beginnen.
+Es macht somit keinen Unterschied, ob man auf der Achse 2 in Richtung drei geht,
+oder auf der Achse 3 in Richtung 2.
 
-?????Was könnte man hier noch zu den Pfeilen erklären vom Würfel???????
+Da die Spannung proportional zur Dehnung ist, kann man die ganze Voigt'sche Notation auch mit der Dehnung ausdrücken.
+Auch hier wandelt man das ganze gemäss der Reihenfolge in einen Vektor um.
 
+\[
+\bar{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
+	\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
+	                 & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	\text{sym}       &                  & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{33} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+
+Mit der hergeleiteten Beziehung für die Spannungsgleichung anhand vom E-Modul,
+der allgemeinen linearen Spannungsgleichung kann man diese Beziehungen neu aufschreiben.
+Man benötigt dazu den zuvor berechneten Dehnungsvektor.
+Die Gleichung besagt:
+Spannungsvektor $=$ Elastitzitätstensor $\times$ Dehnungsvektor
+
+\[
+\overrightarrow{\sigma}
+=
+\overline{\overline{C}}\cdot \overrightarrow{\varepsilon}
+\]
+
+Die Vektoren haben je 6 Einträge. Um das ganze auszudrücken braucht es einen 6 x 6 Elastizitätstensor. (Kann man das noch weiter erklären weshalb?????)
+Das ganze sieht dann wie folgt aus:
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} \\
+	\sigma_{22} \\
+	\sigma_{33} \\
+	\sigma_{23} \\
+	\sigma_{13} \\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
+	C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
+	C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
+	C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
+	C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\
+	C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{33} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+IST DIESE REIHENFOLGE KORREKT???? BEI DEHNUNG
+
+Die Spannung $\sigma_{11}$ besteht somit aus Anteilen von all diesen sechs Konstanten und den verschiedenen Dehnungen.
+Zuvor bei der Voigt'schen Notation hat man jedoch gesehen, dass die Tensoren symmetrisch sind.
+Folglich muss auch dieser Elastizitätstensor symmetrisch sein.
+Das sind folgendermassen aus:
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} \\
+	\sigma_{22} \\
+	\sigma_{33} \\
+	\sigma_{23} \\
+	\sigma_{13} \\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	  C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
+	         & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
+	         &        & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ 
+	         &        &        & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ 
+             &        &        &        & C_{55} & C_{56} \\
+  \text{sym} &        &        &        &        & C_{66} 
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{33} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Die Konstanten $C$ kann man nun anders ausdrücken.
+Und zwar bewerkstelligt man dies mithilfe vom Hook'schen Gesetz.
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{33}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
+\begin{pmatrix}
+	1- 2\nu & \nu     & \nu     & 0           & 0           & 0\\
+	    \nu & 1- 2\nu & \nu     & 0           & 0           & 0\\
+        \nu & \nu     & 1- 2\nu & 0           & 0           & 0\\
+          0 & 0       & 0       & \frac{1}{2} & 0           & 0\\
+          0 & 0       & 0       & 0           & \frac{1}{2} & 0\\
+          0 & 0       & 0       & 0           & 0           & \frac{1}{2}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11}\\
+	\varepsilon_{22}\\
+	\varepsilon_{33}\\
+	\varepsilon_{23}\\
+	\varepsilon_{13}\\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Mithilfe der Poissonzahl, welche uns die Querdehnung angibt,
+sprich wie viel sich der Körper in Querrichtung verformt und dem E-Modul kann man alle Konstanten ausdrücken.
+Bei einigen fällt auf, dass diese 0 werden. Der Tensor besagt also,
+dass diese jeweiligen Konstanten keinen Einfluss auf unsere Spannung haben.
+Als Beispiel kann man sich $\sigma_{33}$ anschauen.
+Es ist ersichtlich, dass die Konstante $C_{31}$, $C_{32}$, $C_{33}$, $C_{35}$  und $C_{36}$ keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ haben.
+Dies kann wie folgt erklärt werden. Auf Achse 3 geht $\sigma_{33}$ in Richtung 3.
+Der Einfluss von $C_{31}$, Achse 3 in Richtung 1 hat keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$
+
+Von  $\overline{\overline{C}}$ bildet man nun die Inverse Matrix $\overline{\overline{C}}~^{-1}$ stellt sich die ganze Gleichung um.
+
+\[
+\vec{\varepsilon}
+=
+\overline{\overline{C}}~^{-1}\cdot \vec{\sigma}
+\]
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11}\\
+	\varepsilon_{22}\\
+	\varepsilon_{33}\\
+	\varepsilon_{23}\\
+	\varepsilon_{13}\\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{1}{E}
+\begin{pmatrix}
+	1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0\\
+	-\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0\\
+	-\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0\\
+	0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0 & 0\\
+	0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0\\
+	0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{33}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Die zwei Blöcke links unten und rechts oben sind immer noch vorhanden.
+Im Vergleich wo wir die Inverse noch nicht gemacht haben hat sich das nicht geändert.
+Um die Einflüsse der Parameter zu veranschaulichen schreibt man folgende Gleichung.
+
+\[
+\varepsilon_{22}
+=
+\frac{1}{E}\sigma_{22} - \frac{\nu}{E}\sigma_{11} - \frac{\nu}{E}\sigma_{33}
+\]
+
+$\varepsilon_{22}$ beschreibt die Dehnung in Achse 2 und in Richtung 2.
+In erster Linie hängt $\varepsilon_{22}$ von $\sigma_{22}$ ab.
+Wenn die Poisson - Zahl grösser wird oder $\sigma_{11}$ oder $\sigma_{33}$, dann wird dadurch die Dehnung $\varepsilon_{22}$ kleiner.
+Das heisst, auf Kosten von Verformung in anderer Richtung als Achse 2 Richtung 2 erfolgt die Verformung an anderer Stelle.
+Wiederum hat die Schubspannung auf $\sigma_{11}$ keinen Einfluss.
 
+Nun kennt man die Beziehung der 6 Dehnungen mit den 6 Spannungen.
+In der Geotechnik wäre das aufgrund der vielen Komponenten sehr umständlich um damit Berechnungen zu machen.
+Es braucht daher eine Vereinfachung mit Invarianten, welche im nächsten Kapitel beschrieben sind.