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author: Reto <reto.fritsche@ost.ch> 2021-08-31 23:42:02 +0200
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--- a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex
+++ b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex
@@ -6,208 +6,172 @@
 \section{Quaternionen}
 \rhead{Quaternionen}
 
-Wie die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind, sind die Quaternionen eine Erweiterung der komplexen Zahlen für den dreidimensionalen Raum. Sie haben, wie die komplexen Zahlen, eine dreh-streckende Eigenschaft.
+Wie die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind, sind die Quaternionen eine Erweiterung der komplexen Zahlen für den dreidimensionalen Raum. Sie haben, wie die komplexen Zahlen, eine drehstreckende Eigenschaft.
 Sie finden beispielsweise in der Computergrafik und Robotik Anwendung.
 Die Quaternionen
 \begin{align}
-	q = w + xi + yj + zk \quad w,x,y,z \in \mathbb{R}\enspace q \in \mathbb{H}
+q = w + xi + yj + zk \quad w,x,y,z \in \mathbb{R}\enspace q \in \mathbb{H}
 \end{align}
 können dabei eine Drehstreckung mit
 \begin{align} \label{QuatRot}
-	\begin{split} 
-		v \mapsto v'' = qvq^{-1}
-	\end{split}
+\begin{split} 
+v \mapsto v'' = qvq^{-1}
+\end{split}
 \end{align}
 erreichen, falls $q,v,q^{-1} \in \mathbb{H}$ und die Zusammenhänge
 \begin{align}
-	\operatorname{Re}(q) = \operatorname{Re}(q^{-1})\quad \operatorname{Im}(q) = -\operatorname{Im}(q^{-1})
+\operatorname{Re}(q) = \operatorname{Re}(q^{-1})\quad\text{und}\quad \operatorname{Im}(q) = -\operatorname{Im}(q^{-1})
 \end{align}
-gelten. Auffallend ist bei der abbildenden Funktion \eqref{QuatRot} schon die Ähnlichkeit zu \eqref{rotGA} im Kapitel Rotation. Man könnte sich nun fragen wieso es drei imaginäre Einheiten $i,j,k$ gibt und nicht zwei, was doch näherliegender wäre. Der Grund liegt darin, weil es in der dritten Dimension drei Drehachsen gibt, anstatt nur eine. Wie im Kapitel Rotation beschrieben können wir auch hier die drei Drehungen durch Linearkombinationen von drei Bivektoren beschreiben. In der geometrischen Algebra ist es leicht herauszufinden wie viele Imaginärteile für jede weitere Dimension existieren. Dabei muss man nur die Anzahl der unabhängigen Bivektoren ermitteln. In der vierten Dimension würden es beispielsweise durch alle Vektorkombinationen von $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4$ insgesamt 8 Bivektoren existieren (Nicht 16, da $\mathbf{e}_{ij} = -\mathbf{e}_{ji}$ nicht unabhängig voneinander sind).
+gelten. Auffallend ist bei der abbildenden Funktion \eqref{QuatRot} schon die Ähnlichkeit zur Funktion \eqref{rotGA} im Abschnitt Drehung. Man könnte sich nun fragen wieso es drei imaginäre Einheiten $i,j,k$ gibt und nicht zwei, was doch näherliegender wäre. Der Grund liegt darin, weil es in drei Dimensionen drei Drehachsen gibt, anstatt nur eine. Wie im Abschnitt Drehung beschrieben, können wir auch hier die drei Drehungen durch Linearkombinationen von drei Bivektoren beschreiben. In der geometrischen Algebra ist es leicht herauszufinden, wie viele Imaginärteile für jede weitere Dimension existieren. Dabei muss man nur die Anzahl der unabhängigen Bivektoren ermitteln. In vier Dimensionen würden es beispielsweise durch alle Vektorkombinationen von $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4$ insgesamt 8 Bivektoren existieren (Nicht 16, da $\mathbf{e}_{ij} = -\mathbf{e}_{ji}$ nicht unabhängig voneinander sind).
 
-Ohne die geometrische Algebra, haben wir jetzt aber leider ein kleines Problem. Für die Darstellung der Quaternionen bräuchten wir insgesamt vier Achsen. Drei für die imaginären Einheiten und eine für die reelle Einheit. Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden eines Quaternion auf einen Vektor. Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst durch
+Ohne die geometrische Algebra, haben wir jetzt aber leider ein kleines Problem. Für die Darstellung der Quaternionen bräuchten wir insgesamt vier Achsen. Drei für die imaginären Einheiten und eine für die reelle Einheit. Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden einer Quaternion auf einen Vektor. Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst durch
 \begin{align}
-	\mathbf{v} = x\mathbf{\hat{x}} + y\mathbf{\hat{y}} + z \mathbf{\hat{z}} \in \mathbb{R}^3 \enspace\mapsto\enspace v = 0 + xi + yj + zk \in \mathbb{H}
+\mathbf{v} = x\mathbf{\hat{x}} + y\mathbf{\hat{y}} + z \mathbf{\hat{z}} \in \mathbb{R}^3 \enspace\mapsto\enspace v = 0 + xi + yj + zk \in \mathbb{H}
 \end{align}
 ineinander umgewandelt werden, um damit zu rechnen.
 
 \subsection{Geometrische Algebra}
 Die geometrische Algebra kann beide Probleme beheben. Die Quaternionen können, wie schon im zweidimensionalen Fall durch die gerade Grade $G_3^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{H}$ dargestellt werden. Da wir uns jetzt aber in $G_3(\mathbb{R})$ befinden haben wir drei Basisvektoren $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ und können somit drei Bivektoren $\mathbf{e}_{12}, \mathbf{e}_{23}, \mathbf{e}_{31}$ bilden.
 \begin{definition}
-	Die Multivektoren mit Drehstreckenden Eigenschaften in $G_3(\mathbb{R})$ sind
+	Die Multivektoren mit drehstreckenden Eigenschaften in $G_3(\mathbb{R})$ sind
 	\begin{align}
-		\mathbf{q} = w + x\mathbf{e}_{12} + y\mathbf{e}_{23} + z\mathbf{e}_{31} \quad w,x,y,z \in \mathbb{R}\enspace \mathbf{q} \in \mathbb{G}_3^+.
+	\mathbf{q} = w + x\mathbf{e}_{12} + y\mathbf{e}_{23} + z\mathbf{e}_{31} \quad w,x,y,z \in \mathbb{R}\enspace \mathbf{q} \in \mathbb{G}_3^+.
 	\end{align}
 \end{definition}
 
 Die Probleme werden dadurch gelöst, da wir die Bivektoren im Raum nicht durch einzelne Achsen darstellen müssen, sondern sie als eine orientiere Fläche darstellen können. Anstatt die Vektoren in Quaternionen umzurechnen, können wir jetzt die Vektoren separat im gleichen Raum, wie in Abbildung \ref{BildQuaternionen} gezeigt, darstellen. 
 \begin{figure}
 	\centering
-	\begin{tikzpicture}
-		% Koordinatensystem
-		\draw[thin,gray!40] (-3,-2) grid (3,3);
-		\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
-		\draw[<->] (0,-2)--(0,3) node[above]{$a_2$};
-		\draw[<->] (3,3)--(-2,-2) node[left]{$a_3$};
-		
-		% v Vektor
-		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,-1) node[anchor=north]{$\boldsymbol{v}$};
-		
-		% q Quaternion
-		\draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(0.75,0)--(0.75,0.75)--(0,0.75)
-		node[xshift=0.375cm, yshift=-0.5cm, blue]{$x\boldsymbol{e_{12}}$};
-		\draw[->] (0.7,0.55) arc (0:310:0.15);
-		
-		\draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(-1,-1)--(-1,0.71)--(0,1.71)
-		node[xshift=-0.5cm, yshift=-1.5cm, blue]{$y\boldsymbol{e_{23}}$};
-		\draw[->] (-0.1,1.1) arc (0:310:0.15);
-		
-		\draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(-0.71,-0.71)--(0.29,-0.71)--(1,0)
-		node[xshift=-0.7cm, yshift=-0.2cm, blue]{$z\boldsymbol{e_{31}}$};
-		\draw[->] (0,-0.5) arc (0:310:0.15);
-		
-		% Basisvektoren
-		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{e_1}$};
-		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north west, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_2}$};
-		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(-0.71,-0.71) node[anchor=south, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_3}$};
-	\end{tikzpicture}
+	\includegraphics{papers/clifford/3d/dq.pdf}
 	\caption{Darstellung eines Quaternion $\mathbf{q}$ und eines Vektors $\mathbf{v}$ im selben Raum}
 	\label{BildQuaternionen}
 \end{figure}
-Wie schon im zweidimensionalen Fall \eqref{GAdrehstreck} beschreibt im dreidimensionalen Fall mit drei Bivektoren
+
+Betrachten wir nun das Produkt
 \begin{align}
-	\mathbf{qv} &= (w + x\mathbf{e}_{12} + y\mathbf{e}_{23} + z\mathbf{e}_{31})(a\mathbf{e}_1+b\mathbf{e}_2+c\mathbf{e}_3)\\
-	&= \underbrace{w(a\mathbf{e}_1+b\mathbf{e}_2+c\mathbf{e}_3)}_{w\mathbf{v}} + \underbrace{x(-a\mathbf{e}_2+b\mathbf{e}_1}_{x\mathbf{v}_{\angle 90^\circ, \parallel \mathbf{e}_{12}}}+c\mathbf{e}_{123}) + \underbrace{y(-b\mathbf{e}_3+c\mathbf{e}_2}_{y\mathbf{v}_{\angle 90^\circ, \parallel \mathbf{e}_{23}}}+a\mathbf{e}_{123}) + \underbrace{z(a\mathbf{e}_3-c\mathbf{e}_1}_{z\mathbf{v}_{\angle 90^\circ, \parallel \mathbf{e}_{31}}}-b\mathbf{e}_{123})
+\mathbf{qv} &= (w + x\mathbf{e}_{12} + y\mathbf{e}_{23} + z\mathbf{e}_{31})(a\mathbf{e}_1+b\mathbf{e}_2+c\mathbf{e}_3)\\
+&= \underbrace{w(a\mathbf{e}_1+b\mathbf{e}_2+c\mathbf{e}_3)}_{\displaystyle{w\mathbf{v}}} + \underbrace{x(-a\mathbf{e}_2+b\mathbf{e}_1}_{\displaystyle{x\mathbf{v}_{\angle 90^\circ, \parallel \mathbf{e}_{12}}}}+c\mathbf{e}_{123}) + \underbrace{y(-b\mathbf{e}_3+c\mathbf{e}_2}_{\displaystyle{y\mathbf{v}_{\angle 90^\circ, \parallel \mathbf{e}_{23}}}}+a\mathbf{e}_{123}) + \underbrace{z(a\mathbf{e}_3-c\mathbf{e}_1}_{\displaystyle{z\mathbf{v}_{\angle 90^\circ, \parallel \mathbf{e}_{31}}}}-b\mathbf{e}_{123}).
 \end{align}
-jeder Bivektoranteil, um wie viel der um 90° gedrehte zu der Ebene parallele Teil des Vektors gestreckt wird. Dabei dreht jeder Bivektor den Vektor um eine andere Achse und man sieht die dreh-streckende Eigenschaft ähnlich zu den komplexen Zahlen. Der störende Trivektoranteil $(xc+ya+zb)\mathbf{e}_{123}$ bekommt man aber nur weg, indem man noch wie in der Rotationsformel \eqref{QuatRot} den Inversen Quaternion $\mathbf{q}^{-1}$ anschliessend multipliziert, wobei die dreh-gestreckten parallelen Anteile nochmals um den gleichen Faktor dreh-gestreckt werden. Da nur so der Trivektoranteil wegfällt, sieht man, dass die Rotationsformel, der einzige Vernünftige weg ist, mit Quaternionen zu arbeiten.
+Wie schon im zweidimensionalen Fall \eqref{GAdrehstreck}, beschreibt im dreidimensionalen Fall mit drei Bivektoren jeder Bivektoranteil um wie viel der um 90° gedrehte zu der Ebene parallele Teil des Vektors gestreckt wird. Dabei dreht jeder Bivektor den Vektor um eine andere Achse und man sieht die drehstreckende Eigenschaft ähnlich zu den komplexen Zahlen. Der störende Trivektoranteil $(xc+ya+zb)\mathbf{e}_{123}$ bekommt man aber nur weg, indem man, wie in der Drehungsgleichung \eqref{QuatRot}, mit der Inversen Quaternion $\mathbf{q}^{-1}$  multipliziert, wobei die drehgestreckten parallelen Anteile nochmals drehgestreckt werden. Da nur so der Trivektoranteil wegfällt, sieht man, dass die Drehungsformel, der einzige vernünftige Weg ist, mit Quaternionen zu arbeiten.
 
-In der Computergraphik und Robotik macht eine Drehstreckung aber nicht viel Sinn. Wieso sollte ein Objekt bei einer Drehung zusätzlich noch grösser werden? Darum verwendet man sogenannte Einheitsquaternionen, welche den Betrag $|\mathbf{q}|=1$ haben und somit rotieren sie die Objekte bzw. Vektoren lediglich.
+In der Computergraphik und Robotik macht eine Drehstreckung aber nicht viel Sinn. Wieso sollte ein Objekt bei einer Drehung zusätzlich noch grösser werden? Darum verwendet man sogenannte Einheitsquaternionen, welche den Betrag $|\mathbf{q}|=1$ haben und somit drehen sie die Objekte bzw. Vektoren lediglich.
 \begin{definition}
 	Die Einheitsquaternionen sind definiert als
 	\begin{align}
-		\mathbf{q} = \cos(\alpha) + sin(\alpha)(\tilde{x}\mathbf{e}_{12} + \tilde{y}\mathbf{e}_{23} + \tilde{z}\mathbf{e}_{31})
+	\mathbf{q} = \cos(\alpha) + \sin(\alpha)(\tilde{x}\mathbf{e}_{12} + \tilde{y}\mathbf{e}_{23} + \tilde{z}\mathbf{e}_{31})
 	\end{align}
 \end{definition}
 Zudem setzten wir $\tilde{x}^2+\tilde{y}^2+\tilde{z}^2=1$, damit
 \begin{align}
-	|\mathbf{q}| = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2(\tilde{x}^2+\tilde{y}^2+\tilde{z}^2) } = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2} = 1.
+|\mathbf{q}| = \sqrt{\cos(\alpha)^2 + \sin(\alpha)^2(\tilde{x}^2+\tilde{y}^2+\tilde{z}^2) } = \sqrt{\cos(\alpha)^2 + \sin(\alpha)^2} = 1.
 \end{align}
-Der Winkel $\alpha$ beschreibt dabei, wie im Bild \ref{BildQuaternionBeispiel2} gezeigt den halben Winkel, um welchen der parallelen Anteil $\mathbf{v_{\parallel}}$ des Vektors $\mathbf{v}$ zur kombinierten Bivektorebene $sin(\alpha)^2(\tilde{x}\mathbf{e}_{12} + \tilde{y}\mathbf{e}_{23} + \tilde{z}\mathbf{e}_{31})$ gedreht wird.
+Der Winkel $\alpha$ beschreibt dabei, wie im Bild \ref{BildQuaternionBeispiel2} gezeigt, den halben Winkel, um welchen der parallelen Anteil $\mathbf{v_{\parallel}}$ des Vektors $\mathbf{v}$ zur kombinierten Bivektorebene $sin(\alpha)(\tilde{x}\mathbf{e}_{12} + \tilde{y}\mathbf{e}_{23} + \tilde{z}\mathbf{e}_{31})$ gedreht wird.
 
-Um einen Vektor zu drehen, verwendet man die in Kapitel Rotation hergeleitete Formel 
+Um einen Vektor zu drehen, verwendet man die in Abschnitt 18.4 hergeleitete Formel 
 \begin{align} \label{QuatRotGA}
-	\begin{split} 
-		\mathbf{v}'' = \mathbf{qvq}^{-1},
-	\end{split}
+\begin{split} 
+\mathbf{v}'' = \mathbf{qvq}^{-1},
+\end{split}
 \end{align}
 wobei wie auch schon bei den Quaternionen gelten muss, dass
 \begin{align} \label{GAReIm}
-	\operatorname{Re}(\mathbf{q}) = \operatorname{Re}(\mathbf{q}^{-1}) \enspace\text{und}\enspace \operatorname{Im}(\mathbf{q}) = -\operatorname{Im}(\mathbf{q}^-1).
+\operatorname{Re}(\mathbf{q}) = \operatorname{Re}(\mathbf{q}^{-1}) \quad\text{und}\quad \operatorname{Im}(\mathbf{q}) = -\operatorname{Im}(\mathbf{q}^{-1}).
 \end{align}
-Der Grund für die Zusammenhänge \eqref{GAReIm} kann man durch die hergeleitete vereinfachte Rotationsformel \eqref{GAvereinfRot} sehen, weil durch den negierten Winkel $\theta$ der Reelle bzw. Grad 0 Anteil
+Der Grund für die Zusammenhänge \eqref{GAReIm} kann man durch die hergeleitete vereinfachte Drehungsgleichung \eqref{GAvereinfRot} sehen, weil durch den negierten Winkel $\theta$ der Reelle bzw. Grad 0 Anteil
 \begin{align}
-	\operatorname{Re}(e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}) = \operatorname{Re}(e^{\theta \mathbf{e}_{12}})
+\operatorname{Re}(e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}) = \operatorname{Re}(e^{\theta \mathbf{e}_{12}})
 \end{align}
-und der Imaginäre bzw. Grad 2 Anteil
+und der imaginäre bzw. Grad 2 Anteil
 \begin{align}
-	\operatorname{Im}(e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}) = -\operatorname{Im}(e^{\theta \mathbf{e}_{12}})
+\operatorname{Im}(e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}) = -\operatorname{Im}(e^{\theta \mathbf{e}_{12}})
 \end{align}
-ist. Durch die geometrische Algebra sieht man nun wieso es wichtig ist bei Quaternionen für eine reine Drehstreckung mit $\mathbf{q}$ und $\mathbf{q}^{-1}$ beidseitig zu multiplizieren, sonst werden die senkrechten Anteile zu den Bivektorebenen ebenfalls beeinflusst, wie man im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{RotAufPerpPar}) sehen kann.
+ist. Durch die geometrische Algebra sieht man nun, wieso es wichtig ist, bei Quaternionen für eine reine Drehstreckung mit $\mathbf{q}$ und $\mathbf{q}^{-1}$ beidseitig zu multiplizieren, sonst werden die senkrechten Anteile zu den Bivektorebenen ebenfalls beeinflusst, wie man im Abschnitt Drehung bei der Formel \eqref{RotAufPerpPar} sehen kann.
 \begin{beispiel}
-	Eine Drehung eines Vektors $\mathbf{v}= 1\mathbf{e}_2$ um 90 Grad um die $\mathbf{e}_1$-Achse und danach 90 Grad um die $\mathbf{e}_2$-Achse. Dafür nehmen wir zuerst einen Einheitsquaternion 
+	Eine Drehung eines Vektors $\mathbf{v}= 1\mathbf{e}_2$ um 90 Grad um die $\mathbf{e}_1$-Achse und danach 90 Grad um die $\mathbf{e}_2$-Achse. Dafür nehmen wir zuerst die Einheitsquaternion 
 	\begin{align}
-		\mathbf{q}_{23} &= \cos(\pi/4) + sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{23}) =  e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{23}} &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{23})\\
-		\mathbf{q}_{23}^{-1} &&= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1- \mathbf{e}_{23})
+	\mathbf{q}_{23} &= \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{23}) =  e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{23}} &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{23})\\
+	\mathbf{q}_{23}^{-1} &&= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1- \mathbf{e}_{23})
 	\end{align}
-	welcher um die $\mathbf{e}_{2}$-$\mathbf{e}_{3}$-Ebene um 90 Grad dreht und danach Einheitsquaternion 
+	welche um die $\mathbf{e}_{2}$-$\mathbf{e}_{3}$-Ebene um 90 Grad dreht und danach die Einheitsquaternion 
 	\begin{align}
-		\mathbf{q}_{31} &= \cos(\pi/4) + sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{31}) =  e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{31}} &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31})\\
-		\mathbf{q}_{31}^{-1} &&= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31})
+	\mathbf{q}_{31} &= \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{31}) =  e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{31}} &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31})\\
+	\mathbf{q}_{31}^{-1} &&= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31}),
 	\end{align}
-	welcher um die $\mathbf{e}_{3}$-$\mathbf{e}_{1}$-Ebene  um 90 Grad dreht. Um die vollständige Rotation zu beschreiben können die  Einheitsquaternion multipliziert werden, wobei die Reihenfolge der Ausführung beachtet werden muss. Somit ist
+	welche um die $\mathbf{e}_{3}$-$\mathbf{e}_{1}$-Ebene  um 90 Grad dreht. Um die vollständige Drehung zu beschreiben, können die Einheitsquaternionen multipliziert werden, wobei die Reihenfolge der Ausführung beachtet werden muss. Somit ist
 	\begin{align} \label{FormelBeispielQuaternion}
-		\mathbf{q} &= \mathbf{q}_{31}\mathbf{q}_{23} = \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31})\textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{23}) &= \textstyle{\frac{1}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31} + \mathbf{e}_{23} + \mathbf{e}_{12})\\
-		\mathbf{q}^{-1} &= \mathbf{q}_{23}^{-1}\mathbf{q}_{31}^{-1} = \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1- \mathbf{e}_{23})\textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 -\mathbf{e}_{31}) &= \textstyle{\frac{1}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31} - \mathbf{e}_{23} - \mathbf{e}_{12}).
+	\mathbf{q} &= \mathbf{q}_{31}\mathbf{q}_{23} = \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31})\textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{23}) &= \textstyle{\frac{1}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31} + \mathbf{e}_{23} + \mathbf{e}_{12})\\
+	\mathbf{q}^{-1} &= \mathbf{q}_{23}^{-1}\mathbf{q}_{31}^{-1} = \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1- \mathbf{e}_{23})\textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 -\mathbf{e}_{31}) &= \textstyle{\frac{1}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31} - \mathbf{e}_{23} - \mathbf{e}_{12}).
 	\end{align}
-	Wenn wir nun den Quaternion $\mathbf{q}$ auf den Vektor $\mathbf{v}$ anwenden
+	Wenn wir nun die Quaternion $\mathbf{q}$ auf den Vektor $\mathbf{v}$ anwenden, erhalten wir
 	\begin{align}
-		\mathbf{v}'' = \mathbf{qvq}^{-1} &= \textstyle{\frac{1}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31} +  \mathbf{e}_{23} +  \mathbf{e}_{12})(1\mathbf{e}_2)\textstyle{\frac{1}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31} -  \mathbf{e}_{23} -  \mathbf{e}_{12})\\ 
-		&= \textstyle{\frac{1}{4}}(\mathbf{e}_2 +  \mathbf{e}_{123} -  \mathbf{e}_3 +  \mathbf{e}_1)(1 - \mathbf{e}_{31} -  \mathbf{e}_{23} -  \mathbf{e}_{12})\\
-		&= (\textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}})\mathbf{e}_1 + (\textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}} - \textstyle{\frac{1}{4}} - \textstyle{\frac{1}{4}})\mathbf{e}_2 +\\ &(-\textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}} - \textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}})\mathbf{e}_3 + (\textstyle{\frac{1}{4}} - \textstyle{\frac{1}{4}} - \textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}})\mathbf{e}_{123}\\
-		&= 1e_1 
+	\mathbf{v}'' = \mathbf{qvq}^{-1} &= \textstyle{\frac{1}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31} +  \mathbf{e}_{23} +  \mathbf{e}_{12})(1\mathbf{e}_2)\textstyle{\frac{1}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31} -  \mathbf{e}_{23} -  \mathbf{e}_{12})\\ 
+	&= \textstyle{\frac{1}{4}}(\mathbf{e}_2 +  \mathbf{e}_{123} -  \mathbf{e}_3 +  \mathbf{e}_1)(1 - \mathbf{e}_{31} -  \mathbf{e}_{23} -  \mathbf{e}_{12})\\
+	&= (\textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}})\mathbf{e}_1 + (\textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}} - \textstyle{\frac{1}{4}} - \textstyle{\frac{1}{4}})\mathbf{e}_2 +\\ &\qquad(-\textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}} - \textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}})\mathbf{e}_3 + (\textstyle{\frac{1}{4}} - \textstyle{\frac{1}{4}} - \textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}})\mathbf{e}_{123}\\
+	&= 1e_1. 
 	\end{align}
 	Anders betrachtet könnte man von der Formel \eqref{FormelBeispielQuaternion} sehen, dass der Drehwinkel
 	\begin{align}
-		\alpha = \arccos(w) = \arccos(\textstyle{\frac{1}{2}}) = 60°
+	\alpha = \arccos(w) = \arccos(\textstyle{\frac{1}{2}}) = 60^\circ
 	\end{align}
 	und die Ebene der kombinierten Bivektoren wie in Abbildung \ref{BildQuaternionBeispiel2} aussieht.
-	Somit kann man sich ebenfalls Vorstellen, wie der parallele Anteil zur Ebene insgesamt um 120° rotiert wird während der senkrechte Anteil unverändert bleibt
+	Somit kann man sich ebenfalls vorstellen, wie der parallele Anteil zur Ebene insgesamt um 120° gedreht wird, während der senkrechte Anteil unverändert bleibt.
 \end{beispiel}
 
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics{papers/clifford/3d/qq.pdf}
+	
+	\caption{Beispiel für Drehung um 90 Grad je um die $\mathbf{e}_1$- und $\mathbf{e}_2$-Achse.}
+	\label{BildQuaternionBeispiel}
+\end{figure}
 
 \begin{figure}
 	\centering
-	\begin{tikzpicture}
-		% q Quaternion
-		\draw[line width=0,fill=blue!40] (-0.75,-1)--(1.5,-0.5)--(0.55,1.35)--(-1.5,1)
-		node[xshift=0.375cm, yshift=-0.5cm, blue]{$\boldsymbol{q}$};
-		\draw[->] (-0.7, 0.5) arc (310:0:0.15);
-		
-		% Koordinatensystem
-		\draw[thin,gray!40] (-3,-2) grid (3,3);
-		\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
-		\draw[<->] (0,-2)--(0,3) node[above]{$a_2$};
-		\draw[<->] (3,3)--(-2,-2) node[left]{$a_3$};
-		
-		% Basisvektoren
-		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(2,0) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{e_1}$};
-		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,2) node[anchor=north west, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_2}$};
-		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(-1.41,-1.41) node[anchor=south, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_3}$};
-		
-		% v Vektor
-		\draw[line width=2pt,black,-stealth](-0.05,0)--(-0.05,2) node[anchor=east]{$\boldsymbol{v}$};
-		% vpar Vektor
-		\draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(-0.33,1.25) node[anchor=east]{$\boldsymbol{v_{\parallel}}$};
-		% vperp Vektor
-		\draw[line width=2pt,green,-stealth](-0.33,1.25)--(0,2) node[anchor=east, xshift = -0.05, yshift = -0.3cm]{$\boldsymbol{v_{\perp}}$};
-		% v'' Vektor
-		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0.05)--(2,0.05) node[anchor=north, xshift = 0.25cm]{$\boldsymbol{v}''$};
-		% vpar'' Vektor
-		\draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1.66,-0.75) node[anchor=east, yshift = -0.2cm, xshift = -0.1cm]{$\boldsymbol{v_{\parallel}''}$};
-		% vperp'' Vektor
-		\draw[line width=2pt,green,-stealth](1.66,-0.75)--(2,0) node[anchor=east, xshift = 0.5cm, yshift = -0.65cm]{$\boldsymbol{v_{\perp}''}$};
-		
-		\coordinate (A) at (0,0);
-		\coordinate (B) at (-0.33,1.25);
-		\coordinate (C) at (1.66,-0.75);
-		\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=2, draw,  thick, angle radius=0.75cm, purple}}
-		\draw pic ["120° $=2\alpha$", anglestyle] {angle = C--A--B};
-	\end{tikzpicture}
+	\includegraphics{papers/clifford/3d/drehung.pdf}
 	\caption{Beim Beispiel wird der parallele Anteil um 120° gedreht während der senkrechte Anteil zur kombinierten Ebene (Bivektoraddition) gleich bleibt}
 	\label{BildQuaternionBeispiel2}
 \end{figure}
 
 \subsection{Interpolation}
-In der Computergrafik wird Interpolation verwendet, um eine flüssige Drehbewegung zu erreichen. Dabei wird die gewünschte Drehbewegungen des Objektes in kleinere aufgeteilt. Man kann dabei mit zwei verschiedenen Systemen arbeiten. 
+In der Computergrafik wird Interpolation verwendet, um eine flüssige Drehbewegung zu erreichen. Dabei wird die ganze gewünschte Drehbewegungen des Objektes in kleinere Drehbewegungen aufgeteilt, wobei diese zeitlich nacheinander auf das Objekt angewendet werden. Als Vergleich könnte man sagen, dass ein Film auch nur Bilder sind, welche zeitlich nacheinander gezeigt werden. Man kann dabei mit zwei verschiedenen Systemen arbeiten. 
 \begin{itemize}
-	\item Mit den Eulerschen Winkeln, welche für die Meisten zwar intuitiver sind, aber dafür Nachteile haben, worauf ich in diesem Abschnitt eingehen werde. Dabei kann eine ganze Drehbewegung $\mathbf{v}'' = R\mathbf{v}$ durch die Drehmatrix $R$
-	\begin{align}
-		\begin{split}
-			&R = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_x(\alpha)\\
-			&R = 
-			\begin{pmatrix} 
-				\cos(\gamma) & -\sin(\gamma) & 0\\ \sin(\gamma) & \cos(\gamma) & 0 \\ 0 & 0 & 1 
-			\end{pmatrix}
-			\begin{pmatrix}
-				\cos(\beta) &  0 & \sin(\beta)\\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\beta) & 0 & \cos(\beta)
-			\end{pmatrix}
-			\begin{pmatrix} 
-				1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha)\\ 0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha)
-			\end{pmatrix}
-		\end{split}
+	\item Mit den Eulerschen Winkeln, welche für die Meisten zwar intuitiver sind, aber dafür Nachteile haben, worauf ich in diesem Abschnitt eingehen werde. Dabei kann eine ganze Drehbewegung $\mathbf{v}'' = R\mathbf{v}$ durch die Drehmatrix
+	\begin{align} \label{GADrehmatrix}
+	R = 
+	\underbrace{
+		\begin{pmatrix} 
+		\cos(\gamma) & -\sin(\gamma) & 0\\ \sin(\gamma) & \cos(\gamma) & 0 \\ 0 & 0 & 1 
+		\end{pmatrix}
+	}_{\displaystyle{R_z(\gamma)}}
+	\underbrace{
+		\begin{pmatrix}
+		\cos(\beta) &  0 & \sin(\beta)\\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\beta) & 0 & \cos(\beta)
+		\end{pmatrix}
+	}_{\displaystyle{R_y(\beta)}}
+	\underbrace{
+		\begin{pmatrix} 
+		1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha)\\ 0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha)
+		\end{pmatrix}
+	}_{\displaystyle{R_x(\alpha)}}
 	\end{align}
-	dargestellt werden. Wichtig dabei zu sehen ist, dass die Drehbewegungen durch die einzelnen Matrizen nacheinander ausgeführt werden. Das bedeutet, wenn man die Reihenfolge vertauscht, bekommt man eine völlig andere Drehung. Man kann die Auswirkungen der Reihenfolge gut bei einem Gimbal (REF zu BILD) sehen. Die Matrix ganz links ist die, welche als letztes Angewendet wird. Somit bildet sie die Drehung des äusseren Rings, welche auch die zwei inneren Ringe und das Objekt mitdreht. Die Matrix ganz rechts hingegen bildet nur die Drehung des inneren Rings, welche nur das Objekt selber dreht. Man kann dabei erkennen, dass vorgehen dabei sehr intuitiv ist, aber es kompliziert sein kann eine gewünschte Drehbewegung auszuführen, da sich beim Drehen der äusseren Achse, sich auch die Inneren drehen. Das bedeutet, wenn man sich eine Drehbewegung um die anfängliche x Achse mit $R_x(\alpha_2)$ wünscht, und vorher eine beliebige Drehung $R = R_z(\gamma_1) R_y(\beta_1) R_x(\alpha_1)$ ausgeführt hat, bekommt man nicht das richtige Ergebnis, da die anfängliche x-Achse durch die Drehmatrizen $R_z(\gamma_1)$ und $R_y(\beta_1)$ zu einer neuen, lokalen x-Achse wurde. 
-	\item Andererseits mit den Quaternionen, welche die besondere Eigenschaft haben, dass eine Drehung immer um die globale Achsen ausgeführt wird, egal in welcher Rotationsposition sich das Objekt befindet.
+	dargestellt werden. Wichtig dabei zu sehen ist, dass die Drehbewegungen durch die einzelnen Matrizen nacheinander ausgeführt werden. Das bedeutet, wenn man die Reihenfolge vertauscht, bekommt man eine völlig andere Drehung. Man kann die Auswirkungen der Reihenfolge gut bei einem Gimbal im Bild \ref{BildReihenfolgeGimbal} sehen. Die Matrix ganz links in der Gleichung \eqref{GADrehmatrix} ist die, welche als letztes Angewendet wird. Somit bildet sie die Drehung des äusseren Rings, welche auch die zwei inneren Ringe und das Objekt mitdreht. Die Matrix ganz rechts hingegen bildet nur die Drehung des inneren Rings, welche nur das Objekt mitdreht. Man kann dabei erkennen, dass Vorgehen dabei sehr intuitiv ist, aber es kompliziert sein kann, eine gewünschte Drehbewegung auszuführen, da sich beim Drehen der äusseren Achse, sich auch die inneren drehen. Das bedeutet, wenn man sich eine Drehbewegung um die anfängliche x Achse mit $R_x(\alpha_2)$ wünscht, und vorher eine beliebige Drehung $R = R_z(\gamma_1) R_y(\beta_1) R_x(\alpha_1)$ ausgeführt hat, bekommt man nicht das richtige Ergebnis, da die anfängliche $x$-Achse durch die Drehmatrizen $R_z(\gamma_1)$ und $R_y(\beta_1)$ zu einer neuen, lokalen $x$-Achse wurde. 
+	\item Mit den Quaternionen, welche die besondere Eigenschaft haben, dass eine Drehung immer um die globale Achsen ausgeführt wird, egal in welcher Drehungsposition sich das Objekt befindet.
 \end{itemize}
 Für Spielentwickler ist es darum meist sinnvoller Quaternionen für Drehbewegungen anzuwenden, als sich mit komplizierten Berechnungen mit Eulerschen Winkeln herumzuschlagen.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=10cm]{papers/clifford/Bilder/ReihenfolgeGimbal.png}
+	\caption{Das Gimbal Lock tritt ein, wenn zwei Drehachsen in der gleichen Ebene liegen. Dies ist im rechten Bild bei der grünen und blauen Achse der Fall. Der rote Kreis würde sich an der oberen Halterung genau in die gleiche Richtung drehen, wie der grüne Kreis an der unteren Halterung. Man verliert somit eine Drehrichtung.}
+	\label{BildReihenfolgeGimbal}
+\end{figure}
+
 \subsection{Gimbal-Lock}
-Ein weiterer Nachteil der Eulerschen Winkel ist das Gimbal-Lock. Es entsteht dann, wenn der äussere Ring Deckungsgleich über denn Inneren gedreht wird. Dabei verliert das Gimbal eine Drehrichtung, da der äussere und Innere Ring nun die gleiche Drehrichtung besitzen. Dies kann beispielsweise Probleme bei Spielen bei der Berechnung der Interpolation führen. Man hat das bei älteren Spielen dann gesehen, wenn plötzlich Gliedmassen bei den Spielermodellen in unnatürlichen Richtungen gesprungen sind.
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+Ein weiterer Nachteil der Eulerschen Winkel ist das Gimbal-Lock. Es entsteht dann, wenn zwei Ringe Deckungsgleich übereinander gedreht werden, wie man im Bild \eqref{BildReihenfolgeGimbal} sieht. Dabei verliert das Gimbal eine Drehrichtung, da der äussere und Innere Ring nun die gleiche Drehrichtung besitzen. Dies kann beispielsweise Probleme bei Spielen bei der Berechnung der Interpolation führen. Man hat dies bei älteren Spielen wie im Bild \ref{BildGimbalLock} dann gesehen, wenn plötzlich Gliedmassen bei den Spielermodellen in unnatürliche Richtungen gesprungen sind.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=10cm]{papers/clifford/Bilder/GimbalLock.png}
+	\caption{Interpolationsfehler durch Gimbal-Lock}
+	\label{BildGimbalLock}
+\end{figure}
+\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/11_Fazit.tex b/buch/papers/clifford/11_Fazit.tex
index 7352399..79a683d 100644
--- a/buch/papers/clifford/11_Fazit.tex
+++ b/buch/papers/clifford/11_Fazit.tex
@@ -6,4 +6,4 @@
 \section{Fazit}
 \rhead{Fazit}
 
-Die geometrische Algebra ist dafür ausgelegt geometrische Operationen, wie die Spiegelung oder Rotation, einfach zu beschreiben. Dadurch kann sie als gute alternative zu der linearen Algebra angewendet werden, um graphische Probleme zu lösen. Sie kann zudem zum Verständnis hinter der Rotierenden Eigenschaften der komplexen Zahlen und Quaternionen beitragen und die Zusammenhänge zwischen den komplexen Zahlen und den Quaternionen besser zeigen.
-\ No newline at end of file
+Die geometrische Algebra ist dafür ausgelegt, geometrische Operationen, wie die Spiegelung oder Drehung, einfach zu beschreiben. Dadurch kann sie als gute Alternative zu der linearen Algebra angewendet werden, um grafische Probleme zu lösen. Sie kann zudem zum Verständnis der drehenden Eigenschaften der komplexen Zahlen und Quaternionen beitragen und die Zusammenhänge zwischen den komplexen Zahlen und den Quaternionen zeigen.
+\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex
index 4438aeb..4e82f28 100644
--- a/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex
+++ b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex
@@ -10,33 +10,33 @@ Was ist der beste Weg um einen Computeralgorithmus für die Rechenoperationen in
 \begin{beispiel}
 	Der Algorithmus weiss, dass er $a\mathbf{e}_1\cdot b\mathbf{e}_1$ zu $ab\cdot1$ vereinfachen kann. Dies ermöglicht zum Beispiel die Vereinfachung
 	\begin{align}
-		3\mathbf{e}_1 \cdot 2\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 \Rightarrow 6 + 3\mathbf{e}_2
+	3\mathbf{e}_1 \cdot 2\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 \Rightarrow 6 + 3\mathbf{e}_2
 	\end{align}
 \end{beispiel}
 Ein textueller Algorithmus ist aber sehr ineffizient. Die Pauli-Matrizen bilden eine elegante und schnellere Alternative, welche für die dreidimensionale Clifford-Algebra verwendet werden können und alle Operationen aus der Clifford-Algebra gleich wie die Matrixoperationen ausführen lassen.
 \begin{definition} \label{def:defPauli} 
 	Die Matrizen
 	\begin{align} \label{Pauli}
-		\mathbf{e}_0 = E = 
-		\begin{pmatrix}
-			1 & 0 \\
-			0 & 1
-		\end{pmatrix},\quad
-		\mathbf{e}_1 =
-		\begin{pmatrix}
-			0 & 1 \\
-			1 & 0
-		\end{pmatrix},\quad
-		\mathbf{e}_2 =
-		\begin{pmatrix}
-			0 & -j \\
-			j & 0
-		\end{pmatrix},\quad
-		\mathbf{e}_3 =
-		\begin{pmatrix}
-			1 & 0 \\
-			0 & -1
-		\end{pmatrix}	
+	\mathbf{e}_0 = E = 
+	\begin{pmatrix}
+	1 & 0 \\
+	0 & 1
+	\end{pmatrix},\quad
+	\mathbf{e}_1 =
+	\begin{pmatrix}
+	0 & 1 \\
+	1 & 0
+	\end{pmatrix},\quad
+	\mathbf{e}_2 =
+	\begin{pmatrix}
+	0 & -j \\
+	j & 0
+	\end{pmatrix},\quad
+	\mathbf{e}_3 =
+	\begin{pmatrix}
+	1 & 0 \\
+	0 & -1
+	\end{pmatrix}	
 	\end{align}
 	heissen Pauli-Matrizen ($\mathbf{e}_0$ = Skalare)
 \end{definition}
@@ -44,85 +44,85 @@ Die Matrix-Multiplikationen der Pauli-Matrizen führt auf die gleichen algebrais
 \begin{definition} \label{def:defPauli2} 
 	Die Bivektoren und Trivektoren hergeleitet aus den Pauli-Matrizen sind
 	\begin{align} \label{Pauli2}
-		\mathbf{e}_{12} =  
-		\begin{pmatrix}
-			j & 0 \\
-			0 & -j
-		\end{pmatrix}\quad
-		\mathbf{e}_{23} =
-		\begin{pmatrix}
-			0 & j \\
-			j & 0
-		\end{pmatrix}\quad
-		\mathbf{e}_{31} =
-		\begin{pmatrix}
-			0 & 1 \\
-			-1 & 0
-		\end{pmatrix}\enspace\text{und}\enspace
-		\mathbf{e}_{123} =
-		\begin{pmatrix}
-			j & 0 \\
-			0 & j
-		\end{pmatrix}.
-	\end{align}
-\end{definition}
-Dabei ist wichtig, dass sich die Matrizen gleich verhalten, wie es die Clifford-Algebra für die Basiselemente definiert hat. Zum Beispiel gilt in der Clifford-Algebra $\mathbf{e}_1^2=\mathbf{e}_0$ und $\mathbf{e}_{12}^2=-\mathbf{e}_0$, genau die selbe Relation gilt auch für die zugehörigen Matrizen, wie man durch die Matrizenrechnungen
-\begin{align}
-	\mathbf{e}_1^2 &=
+	\mathbf{e}_{12} =  
 	\begin{pmatrix}
-		0 & 1 \\
-		1 & 0
-	\end{pmatrix}^2 = 
+	j & 0 \\
+	0 & -j
+	\end{pmatrix}\quad
+	\mathbf{e}_{23} =
 	\begin{pmatrix}
-		1 & 0 \\
-		0 & 1
-	\end{pmatrix}= \mathbf{e}_0 \quad\text{und}\\
-	\mathbf{e}_{12}^2 &=
+	0 & j \\
+	j & 0
+	\end{pmatrix}\quad
+	\mathbf{e}_{31} =
 	\begin{pmatrix}
-		j & 0 \\
-		0 & -j
-	\end{pmatrix}^2 = 
+	0 & 1 \\
+	-1 & 0
+	\end{pmatrix}\enspace\text{und}\enspace
+	\mathbf{e}_{123} =
 	\begin{pmatrix}
-		-1 & 0 \\
-		0 & -1
-	\end{pmatrix} = -\mathbf{e}_0 
+	j & 0 \\
+	0 & j
+	\end{pmatrix}.
+	\end{align}
+\end{definition}
+Dabei ist wichtig, dass sich die Matrizen gleich verhalten, wie es die Clifford-Algebra für die Basiselemente definiert hat. Zum Beispiel gilt in der Clifford-Algebra $\mathbf{e}_1^2=\mathbf{e}_0$ und $\mathbf{e}_{12}^2=-\mathbf{e}_0$, genau die selbe Relation gilt auch für die zugehörigen Matrizen, wie man durch die Matrizenrechnungen
+\begin{align}
+\mathbf{e}_1^2 &=
+\begin{pmatrix}
+0 & 1 \\
+1 & 0
+\end{pmatrix}^2 = 
+\begin{pmatrix}
+1 & 0 \\
+0 & 1
+\end{pmatrix}= \mathbf{e}_0 \quad\text{und}\\
+\mathbf{e}_{12}^2 &=
+\begin{pmatrix}
+j & 0 \\
+0 & -j
+\end{pmatrix}^2 = 
+\begin{pmatrix}
+-1 & 0 \\
+0 & -1
+\end{pmatrix} = -\mathbf{e}_0 
 \end{align}
-bestätigt. Man kann bei den Definitionen \ref{def:defPauli} und \ref{def:defPauli2} sehen, dass alle Matrizen linear unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass wenn man die Matrizen der Basiselemente normal addiert und zu einer Matrix zusammenfasst, kann man anschliessend die einzelnen Anteile der Basiselemente wieder herausgelesen.
+bestätigt. Man kann bei den Definitionen \ref{def:defPauli} und \ref{def:defPauli2} sehen, dass alle Matrizen linear unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass wenn man die Matrizen der Basiselemente normal addiert und zu einer Matrix zusammenfasst, kann man anschliessend die einzelnen Anteile der Basiselemente wieder herauslesen.
 \begin{hilfssatz}
 	Ein beliebiger Multivektor
 	\begin{align} \label{MultiVektorAllg}
-		M = a_0\mathbf{e}_0 + a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_3 + a_{12}\mathbf{e}_{12} + a_{23}\mathbf{e}_{23} + a_{31}\mathbf{e}_{31} + a_{123}\mathbf{e}_{123}
+	M = a_0\mathbf{e}_0 + a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_3 + a_{12}\mathbf{e}_{12} + a_{23}\mathbf{e}_{23} + a_{31}\mathbf{e}_{31} + a_{123}\mathbf{e}_{123}
 	\end{align}
 	erhält durch das einsetzten der Formel Matrizen \eqref{Pauli} und \eqref{Pauli2} die Form
 	\begin{align}
-		M =
-		\begin{pmatrix}
-			(a_0+a_3) + (a_{12}+a_{123})j & (a_1+a_{31})+(-a_2+a_{23})j \\
-			(a_1-a_{31})+(a_2+a_{23})j & (a_0-a_3)+(-a_{12}+a_{123})j
-		\end{pmatrix}.\label{MultivektorMatirx}
+	M =
+	\begin{pmatrix}
+	(a_0+a_3) + (a_{12}+a_{123})j & (a_1+a_{31})+(-a_2+a_{23})j \\
+	(a_1-a_{31})+(a_2+a_{23})j & (a_0-a_3)+(-a_{12}+a_{123})j
+	\end{pmatrix}.\label{MultivektorMatirx}
 	\end{align}
 \end{hilfssatz}
 Die Anteile treten zudem immer paarweise auf und können somit immer je durch zwei Gleichungen bestimmt werden.
 \begin{beispiel}
 	Die Matrix
 	\begin{align}
-		M &= 
-		\begin{pmatrix}
-			1 & 0 \\
-			0 & -1j
-		\end{pmatrix}
+	M &= 
+	\begin{pmatrix}
+	1 & 0 \\
+	0 & -1j
+	\end{pmatrix}
 	\end{align}
 	soll als Multivektor in der Form \eqref{MultiVektorAllg} geschrieben werden. Dafür entnehmen wir aus \eqref{MultivektorMatirx} die Gleichungen
 	\begin{align}
-		a_0 + a_3 = 1,\quad a_0 - a_3 = 0,\quad a_{12}+a_{123} = 0\enspace\text{und}\enspace -a_{12}+a_{123}=-1
+	a_0 + a_3 = 1,\quad a_0 - a_3 = 0,\quad a_{12}+a_{123} = 0\enspace\text{und}\enspace -a_{12}+a_{123}=-1,
 	\end{align}
 	aus denen man auf
 	\begin{align}
-		a_0 = \dfrac{1}{2},\quad a_3 = \dfrac{1}{2},\quad a_{12}=\dfrac{1}{2}\enspace\text{und}\enspace a_{123}=-\dfrac{1}{2}
+	a_0 = \dfrac{1}{2},\quad a_3 = \dfrac{1}{2},\quad a_{12}=\dfrac{1}{2}\enspace\text{und}\enspace a_{123}=-\dfrac{1}{2}
 	\end{align}
 	schliessen kann. Da die restlichen Realteile und Imaginärteile 0 sind, werden die anderen Anteile ebenfalls 0 sein. Daher ist
 	\begin{align}
-		M = \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_0+ \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_3 + \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_{12} - \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_{123}.
+	M = \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_0+ \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_3 + \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_{12} - \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_{123}.
 	\end{align}
 \end{beispiel}
 Die Clifford-Algebra ist bei der Darstellung durch Matrizen kein Ausnahmefall. Es lässt sich theoretisch jede algebraische Struktur durch Matrizen darstellen.
 \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/7_Spiegelung.tex b/buch/papers/clifford/7_Spiegelung.tex
index 549848c..c79d908 100644
--- a/buch/papers/clifford/7_Spiegelung.tex
+++ b/buch/papers/clifford/7_Spiegelung.tex
@@ -6,55 +6,55 @@
 \section{Spiegelung}
 \rhead{Spiegelung}
 
-Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere Operationen, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Spiegelung auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen.
+Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere Operationen, wie beispielsweise die später beschriebene Drehung, ableiten kann. Da die geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Spiegelung auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen.
 \begin{figure}
 	\centering
 	\begin{tikzpicture}
-		\draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3);
-		\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
-		\draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$};
-		\draw[blue, line width=1.0pt] (0,3)--(0,-1) node[anchor=south east]{$\sigma_u$};
-		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
-		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$};
-		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$};
-		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{e_2}$};
-		\draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,2)--(2,2) node[xshift=-1cm, yshift=
-		0.25cm]{$\boldsymbol{v_{\perp u}}$};
-		\draw[line width=1.5pt,red,-stealth](-2,2)--(0,2) node[xshift=-1cm, yshift=
-		0.25cm]{$\boldsymbol{v_{\perp u}}$};
-		\draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0.05)--(1,0.05) node[xshift=-0.5cm, yshift=-0.25cm]{$\boldsymbol{\hat{u}}$};
+	\draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3);
+	\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
+	\draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$};
+	\draw[blue, line width=1.0pt] (0,3)--(0,-1) node[anchor=south east]{$\sigma_u$};
+	\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
+	\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$};
+	\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$};
+	\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{e_2}$};
+	\draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,2)--(2,2) node[xshift=-1cm, yshift=
+	0.25cm]{$\boldsymbol{v_{\parallel u}}$};
+	\draw[line width=1.5pt,red,-stealth](-2,2)--(0,2) node[xshift=-1cm, yshift=
+	0.25cm]{$\boldsymbol{v_{\parallel u}}$};
+	\draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0.05)--(1,0.05) node[xshift=-0.5cm, yshift=-0.25cm]{$\boldsymbol{\hat{u}}$};
 	\end{tikzpicture}
 	\caption{Spiegelung des Vektors $\mathbf{v}$ an der Spiegelebene $\sigma_u$ mit dem Normalenvektor $\mathbf{\hat{u}}$}
 	\label{BildSpiegelung}
 \end{figure}
 
 \subsection{Linearen Algebra}
-Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Spiegelung an einer Ebene wie folgt beschreiben kann.
+Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Spiegelung an einer Ebene, wie in Abbildung \ref{BildSpiegelung} gezeigt, wie folgt beschreiben kann.
 \begin{definition}
 	Die Abbildung der Spiegelung in der linearen Algebra mit dem Normalenvektor $\mathbf{\hat{u}}$ zur Spiegelebene ist
 	\begin{equation} \label{RefLinAlg}
-		\mathbf{v} = \mathbf{v_{\perp u}} + \mathbf{v_{\parallel u}} \enspace\mapsto\enspace \mathbf{v'} =  \mathbf{v_{\perp u}} - \mathbf{v_{\parallel u}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\parallel u}}.
+	\mathbf{v} = \mathbf{v_{\perp u}} + \mathbf{v_{\parallel u}} \enspace\mapsto\enspace \mathbf{v'} =  \mathbf{v_{\perp u}} - \mathbf{v_{\parallel u}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\parallel u}}.
 	\end{equation}
 \end{definition}
 Es scheint für diese Formel \eqref{RefLinAlg} aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen mit weiteren Spiegelebenen anzufügen. Weil man $\mathbf{v_{\parallel u}}$ auch als Skalarprodukt $\mathbf{v_{\parallel u}} = \mathbf{\hat{u}} \cdot \mathbf{v}$ schreiben kann, ist es leicht diese Abbildung auch als Matrix darzustellen. Sei $\mathbf{\hat{u}}$ ein Normalenvektor auf die Spiegelungsebene, also $\mathbf{\hat{u}}\perp \sigma_u$, und sei ausserdem normiert $|\mathbf{\hat{u}}| = 1$, dann kann man die Spiegelung durch die Matrix
 \begin{align}
-	S = E - 2\mathbf{\hat{u}\hat{u}}^t
+S = E - 2\mathbf{\hat{u}\hat{u}}^t
 \end{align}
-beschrieben werden. In der zweiten und dritten Dimension ergibt die Berechnung
+beschrieben werden. In zwei und drei Dimensionen ergibt die Berechnung
 \begin{align} \label{Spiegelmatrizen}
-	S_2 = \begin{pmatrix}
-		1-2u_1^2 & -2u_1u_2 \\
-		-2u_1u_2 & 1-2u_2^2
-	\end{pmatrix}\enspace\text{und}\enspace
-	S_3 = \begin{pmatrix}
-		1-2u_1^2 & -2u_1u_2 & -2u_1u_3\\
-		-2u_1u_2 & 1-2u_2^2 & -2u_2u_3\\
-		-2u_1u_3 & -2u_2u_3 & 1-2u_3^2\\
-	\end{pmatrix}.
+S_2 = \begin{pmatrix}
+1-2u_1^2 & -2u_1u_2 \\
+-2u_1u_2 & 1-2u_2^2
+\end{pmatrix}\quad\text{und}\quad
+S_3 = \begin{pmatrix}
+1-2u_1^2 & -2u_1u_2 & -2u_1u_3\\
+-2u_1u_2 & 1-2u_2^2 & -2u_2u_3\\
+-2u_1u_3 & -2u_2u_3 & 1-2u_3^2\\
+\end{pmatrix}.
 \end{align}
-Diese Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S_n\in \text{O}(n)$ an. Die Matrizengruppe $\text{O}(n)$ haben die Eigenschaft $S_n^t S_n = E$, was bedeutet, dass die Länge und Winkel bei der Abbildung beibehalten bleiben. Zusätzlich sind die Spiegelmatrizen symmetrisch, es gilt $S_n^t = S_n$. Somit liefert zweimal dieselbe Spiegelung wieder die identische Abbildung, wie man aus
+Diese Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S_n\in \text{O}(n)$ an. Die Matrizengruppe $\text{O}(n)$ hat die Eigenschaft $S_n^t S_n = E$, was bedeutet, dass die Länge und Winkel bei der Abbildung beibehalten bleiben. Zusätzlich sind die Spiegelmatrizen symmetrisch, es gilt $S_n^t = S_n$. Somit liefert zweimal dieselbe Spiegelung wieder die identische Abbildung, wie man aus
 \begin{align}
-	S_n^t S_n = S_n^2 = E
+S_n^t S_n = S_n^2 = E
 \end{align}
 schliessen kann.
 
@@ -63,33 +63,38 @@ Wir definieren zuerst die Inverse eines Vektors, welche in dieser Form nicht in
 \begin{definition}
 	Die Inverse eines Vektors wird definiert als
 	\begin{align} \label{InverseGA}
-		\mathbf{u}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2}. 
+	\mathbf{u}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2}. 
 	\end{align}
 \end{definition}
 Diese Definition ist sinnvoll, da wegen $\mathbf{u}^2 = |\mathbf{u}|^2$ folgt
 \begin{align}
-	\mathbf{uu}^{-1} = \mathbf{u} \frac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2} = \frac{\mathbf{u}^2}{|\mathbf{u}|^2} = \frac{|\mathbf{u}|^2}{|\mathbf{u}|^2} = 1.
+\mathbf{uu}^{-1} = \mathbf{u} \frac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2} = \frac{\mathbf{u}^2}{|\mathbf{u}|^2} = \frac{|\mathbf{u}|^2}{|\mathbf{u}|^2} = 1.
 \end{align}
 Der Vektor $\mathbf{u}^{-1}$ in \eqref{InverseGA} ist also tatsächlich das inverse Element im Sinne des Produktes in der geometrischen Algebra.
 Die geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel \eqref{RefLinAlg} für eine Spiegelung eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen erweitert werden kann.
 \begin{definition}
 	Die Abbildung der Spiegelung in der geometrischen Algebra mit dem senkrechten Vektor $\mathbf{u}$ zur Spiegelungsebene $\sigma_u$ ist 
 	\begin{align}\label{RefGA}
-		\mathbf{v} \enspace\mapsto\enspace \mathbf{v}' = -\mathbf{uvu}^{-1}
+	\mathbf{v} \enspace\mapsto\enspace \mathbf{v}' = -\mathbf{uvu}^{-1}
 	\end{align}
 \end{definition}
-Diese Abbildung muss stimmen, weil man durch die Schlussfolgerungen \eqref{uperpv} und \eqref{uparallelv} die Zusammenhänge
+Um zu überprüfen, ob die Spiegelungsgleichung \eqref{RefGA} wirklich eine Spiegelung ist, setzen wir zuerst in diese Gleichung $\mathbf{v} = \mathbf{v_{\perp u}} + \mathbf{v_{\parallel u}}$ ein. Wir bekommen somit
 \begin{align}
-	\mathbf{uv_{\perp u}} = -\mathbf{v_{\perp u}u} \enspace\text{und}\enspace \mathbf{uv_{\parallel u}}=\mathbf{v_{\parallel u}u}
+\mathbf{v}' = -\mathbf{uv_{\perp u}u}^{-1} - \mathbf{uv_{\parallel u}u}^{-1}.
 \end{align}
-der geometrischen Produkte findet und somit die Abbildung aus der geometrischen Algebra \eqref{RefGA} wegen
+Danach können wir mit Hilfe der aus der Schlussfolgerung \eqref{uperpv} und \eqref{uparallelv} hergeleiteten Zusammenhänge
 \begin{align}
-	\mathbf{v}' = -\mathbf{uvu}^{-1} = -\mathbf{uv_{\perp u}u}^{-1} - \mathbf{uv_{\parallel u}u}^{-1} = -(-\mathbf{v_{\perp u}}\underbrace{\mathbf{u})\mathbf{u}^{-1}}_{1} -(\mathbf{v_{\parallel u}}\underbrace{\mathbf{u})\mathbf{u}^{-1}}_{1} = \mathbf{v_{\perp u}} - \mathbf{v_{\parallel u}}
+\mathbf{uv_{\perp u}} = -\mathbf{v_{\perp u}u} \quad\text{und}\quad \mathbf{uv_{\parallel u}}=\mathbf{v_{\parallel u}u},
 \end{align}
+die Gleichung weiter umformen zu
+\begin{align}
+\mathbf{v}' = -(-\mathbf{v_{\perp u}}\underbrace{\mathbf{u})\mathbf{u}^{-1}}_{1} -(\mathbf{v_{\parallel u}}\underbrace{\mathbf{u})\mathbf{u}^{-1}}_{1} = \mathbf{v_{\perp u}} - \mathbf{v_{\parallel u}}.
+\end{align}
+Man sieht, dass das Resultat $\mathbf{v}' = \mathbf{v_{\perp u}} - \mathbf{v_{\parallel u}}$
 gleichbedeutend zu der Definition \eqref{RefLinAlg} der Spiegelung ist.
 
 Verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird die Gleichung \eqref{RefGA} zu
 \begin{align}
-	\mathbf{v'} = -\mathbf{\hat{u}v\hat{u}}
+\mathbf{v'} = -\mathbf{\hat{u}v\hat{u}}
 \end{align}
-vereinfacht. Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension, durch andere Matrizen \eqref{Spiegelmatrizen} beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da bis auf das Vektorprodukt in der dritten Dimension keine Multiplikation von Vektoren definiert ist. 
-\ No newline at end of file
+vereinfacht. Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension, durch andere Matrizen \eqref{Spiegelmatrizen} beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da bis auf das Vektorprodukt in drei Dimensionen keine Multiplikation von Vektoren definiert ist. 
+\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
index 1d5e889..43d8f8a 100644
--- a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
+++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
@@ -3,64 +3,76 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Rotation}
-\rhead{Rotation}
+\section{Drehung}
+\rhead{Drehung}
 
-Eine Rotation kann man aus zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen bilden. Das kann vielleicht zuerst eine verwirrende Aussage sein, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Spiegelung schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Spiegelung, wie bei einer Rotation, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Spiegelung invertiert wird. Stellt man sich beispielsweise ein Objekt im Dreidimensionalen vor und spiegelt dieses an einer Fläche, dann ist es unmöglich nur durch eine Rotation (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zweimal invertiert wurde.
-\\(Hier wird noch ein Bild für das Verständnis eingefügt)
+Eine Drehung kann man aus zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen bilden. Das kann vielleicht zuerst eine verwirrende Aussage sein, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Spiegelung schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Spiegelung, wie bei einer Drehung, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Spiegelung invertiert wird. Stellt man sich, wie im Bild \ref{BildSpiegRot} dargestellt, beispielsweise ein Objekt vor und spiegelt dieses an einer Ebene, dann ist es unmöglich, nur durch eine Drehung (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zweimal invertiert wurde.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=10cm]{papers/clifford/images/spiegelung.pdf}
+	\caption{Der wesentliche Unterschied zwischen Spiegelung und Drehung ist die Umkehrung der Orientierung}
+	\label{BildSpiegRot}
+\end{figure}
 
 \begin{figure}
 	\centering
 	\begin{tikzpicture}
-		\draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3);
-		\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
-		\draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$};
-		\draw[line width=1.0pt,green,-stealth](2,2)--(-2,2) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{-2v_{\parallel u}}$};
-		\draw[line width=1.0pt,green,-stealth](-2,2)--(-2.828,0) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{-2v'_{\parallel w}}$};
-		\draw[blue, line width=1.0pt] (0,3)--(0,-1) node[anchor=south east]{$\sigma_u$};
-		\draw[red, line width=1.0pt] (-3,1.24)--(2.21,-1) node[anchor=south]{$\sigma_w$};
-		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
-		\draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(2.5, 0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$};
-		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$};
-		\draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,0)--(0.957, 2.31) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{w}$};
-		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2.828,0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v''}$};
-		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$};
-		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{e_2}$};
-		
-		\coordinate (A) at (0,0);
-		\coordinate (B) at (2.5,0);
-		\coordinate (C) at (0.957, 2.31);
-		\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, purple, draw,  thick, angle radius=1cm}}
-		\draw pic ["$\theta$", anglestyle] {angle = B--A--C};
-		\coordinate (D) at (0,0);
-		\coordinate (E) at (1,1);
-		\coordinate (F) at (-1, 0);
-		\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, purple,  draw,  thick, angle radius=1.25cm}}
-		\draw pic ["$2\theta$", anglestyle] {angle = E--D--F};
+	\draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3);
+	\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
+	\draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$};
+	\draw[line width=1.0pt,green,-stealth](2,2)--(-2,2) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{-2v_{\parallel u}}$};
+	\draw[line width=1.0pt,green,-stealth](-2,2)--(-2.828,0) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{-2v'_{\parallel w}}$};
+	\draw[blue, line width=1.0pt] (0,3)--(0,-1) node[anchor=south east]{$\sigma_u$};
+	\draw[red, line width=1.0pt] (-3,1.24)--(2.21,-1) node[anchor=south]{$\sigma_w$};
+	\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
+	\draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(2.5, 0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$};
+	\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$};
+	\draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,0)--(0.957, 2.31) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{w}$};
+	\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2.828,0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v''}$};
+	\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$};
+	\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{e_2}$};
+	
+	\coordinate (A) at (0,0);
+	\coordinate (B) at (2.5,0);
+	\coordinate (C) at (0.957, 2.31);
+	\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, purple, draw,  thick, angle radius=1cm}}
+	\draw pic ["$\theta$", anglestyle] {angle = B--A--C};
+	\coordinate (D) at (0,0);
+	\coordinate (E) at (1,1);
+	\coordinate (F) at (-1, 0);
+	\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, purple,  draw,  thick, angle radius=1.25cm}}
+	\draw pic ["$2\theta$", anglestyle] {angle = E--D--F};
 	\end{tikzpicture}
-	\caption{Rotation des Vektors $\textbf{v}$ um $2\theta$}
-	\label{BildRotation}
+	\caption{Drehung des Vektors $\textbf{v}$ um $2\theta$}
+	\label{BildDrehung}
 \end{figure}
 
 \subsection{Linearen Algebra}
 In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $\text{SO}(n)$ beschrieben. Beispielsweise besteht $\text{SO}(2)$  aus den Matrizen
 \begin{align}
-	D = 
-	\begin{pmatrix}
-		\cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\
-		-\sin(\alpha) & \cos(\alpha) 
-	\end{pmatrix},\quad
-	\alpha \in [0, 2\pi).
-\end{align}
-Diese Drehmatrizen gehören der speziellen orthogonalen Matrizengruppe $D\in \text{SO}(n) = \text{SL}_n(\mathbb{R})\enspace \cap \enspace \text{O}(n)$ an. $\text{SL}_n(\mathbb{R})$ beinhaltet die Matrizen mit scherenden Eigenschaften. Diese Drehmatrizen haben die Eigenschaft $D^t D = E \enspace \land \enspace \det(D)=1$. Da $\det(D) = 1$ und nicht $-1$ sein kann fallen alle Spiegelungen aus der Menge heraus. $\det(D) = -1$ bedeutet, dass eine Orientierungsinversion stattfindet.  
-\\(BILD Mengen Spezieller Matrizen von Herrn Müller Präsentation)
+D = 
+\begin{pmatrix}
+\cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\
+-\sin(\alpha) & \cos(\alpha) 
+\end{pmatrix},\quad
+\alpha \in [0, 2\pi).
+\end{align}
+Diese Drehmatrizen gehören der speziellen orthogonalen Matrizengruppe $D\in \text{SO}(n) = \text{SL}_n(\mathbb{R})\enspace \cap \enspace \text{O}(n)$ an. $\text{SL}_n(\mathbb{R})$ beinhaltet die Matrizen mit scherenden Eigenschaften. Die Drehmatrizen haben die Eigenschaft $D^t D = E \enspace \land \enspace \det(D)=1$. Da $\det(D) = 1$ und nicht $-1$ sein kann fallen alle Spiegelungen aus der Menge heraus. $\det(D) = -1$ bedeutet, dass eine Orientierungsinversion stattfindet. Eine übersichtliche Darstellung der beschriebenen Matrizengruppen sieht man in der Abbildung \ref{BildMatrizenGruppen}
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=10cm]{papers/clifford/Bilder/MatrizenGruppen.png}
+	\caption{Matrizengruppen}
+	\label{BildMatrizenGruppen}
+\end{figure}
 
 \subsection{Geometrische Algebra}
-Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Spiegelungen gebildet werden kann, können wir die Rotation mit der Formel \eqref{RefGA} einfach herleiten.
+Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Drehung durch zwei Spiegelungen gebildet werden kann, können wir die Drehung mit der Formel \eqref{RefGA} einfach herleiten.
 \begin{satz}
-	Durch zwei nacheinander auf einen Vektor $\mathbf{v}$ angewendete Spiegelungen lässt sich eine Rotation 
+	Durch zwei nacheinander auf einen Vektor $\mathbf{v}$ angewendete Spiegelungen lässt sich eine Drehung 
 	\begin{align} \label{rotGA}
-		\mathbf{v}'' = -\mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = -\mathbf{w}(-\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1})
+	\mathbf{v}'' = -\mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = -\mathbf{w}(-\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1})
 	\end{align}
 	beschreiben.
 \end{satz}
@@ -68,120 +80,119 @@ Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachse
 \subsubsection{Exponentialform}
 Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform eines Vektors her. Es wird dabei zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass alle Vektoren $\mathbf{w}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ in der $\mathbf{e}_{1}$-$\mathbf{e}_{2}$-Ebene liegen. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{i}$-$\mathbf{e}_{j}$-Ebenen $(i\not=j)$ erreicht werden. Für die Herleitung ersetzen wir als erstes in der Polarform
 \begin{align}
-	\mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\right)
+\mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\right)
 \end{align}
 eines Vektors einen Faktor 1 durch $1=\mathbf{e}_1^2$ und erhalten beim Sinus
 \begin{align}\label{e1ausklammern}
-	\mathbf{w} &= |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\right). 
+\mathbf{w} &= |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\right). 
 \end{align}
 In einem zweiten Schritt klammern wir $\mathbf{e}_1$ aus, dies ergibt
 \begin{align}
-	\mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right). \label{ExponentialGA}
+\mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right). \label{ExponentialGA}
 \end{align}
 Die Ähnlichkeit des Klammerausdrucks in der Formel \eqref{ExponentialGA} zu der Eulerschen Formel bei den komplexen Zahlen ist nun schon gut erkennbar. Versuchen wir nun mithilfe der Reihenentwicklungen
 \begin{align}
-	\sin(\theta_w)\mathbf{e}_{12}&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n+1}}{(2n+1)!}}\mathbf{e}_{12} =\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots \\
-	\cos(\theta_w)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n}}{(2n)!}} =1-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}-\cdots
+\sin(\theta_w)\mathbf{e}_{12}&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n+1}}{(2n+1)!}}\mathbf{e}_{12} =\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots \\
+\cos(\theta_w)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n}}{(2n)!}} =1-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}-\cdots
 \end{align}
 diesen Zusammenhang auch hier herzustellen. Setzt man diese beiden Reihenentwicklungen in \eqref{ExponentialGA} ein, erhält man
 \begin{align}
-	\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12} &= 1+\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots
+\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12} &= 1+\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots
 \end{align}
 Dies sieht noch nicht wie eine Exponentialreihe aus, da $\mathbf{e}_{12}$ nur in jedem zweiten Term auftritt. Da aber $\mathbf{e}_{12}=-1$ gibt, erhält man für
 \begin{align}
-	e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}} = 1 \mathbf{e}_{12}^0+\theta_w\mathbf{e}_{12}^1+{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}\mathbf{e}_{12}^2+{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}^3+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}\mathbf{e}_{12}^4+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}^5+\cdots
-	\label{ExponentialGA2}
+e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}} = 1 \mathbf{e}_{12}^0+\theta_w\mathbf{e}_{12}^1+{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}\mathbf{e}_{12}^2+{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}^3+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}\mathbf{e}_{12}^4+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}^5+\cdots
+\label{ExponentialGA2}
 \end{align}
 Man sieht, dass die beiden Reihen übereinstimmen. Es folgt somit
 \begin{align}\label{EulerGA}
-	e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}} = \cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12},
+e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}} = \cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12},
 \end{align} 
-es gibt eine Euler-Formel mit $\mathbf{e}_{12}$ anstelle der imaginären Einheit $j$.
+was zeigt, dass es eine Euler-Formel mit $\mathbf{e}_{12}$ anstelle der imaginären Einheit $j$ gibt.
 
 Wenn man jetzt den Vektor \eqref{ExponentialGA} durch die eulersche Schreibweise
 \begin{align}
-	\mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}}
+\mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
 ersetzt, kann die Exponentialform des Vektors ähnlich wie die der komplexen Zahlen interpretieren. Der Einheitsvektor $\mathbf{e}_1$ wird um die Länge $|\mathbf{w}|$ gestreckt und um $\theta_w$ gedreht.
 \subsubsection{Vektormultiplikation}
 Nun werden wir das Vektorprodukt
 \begin{align} \label{VektorproduktformelGA}
-	\mathbf{wu} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}|\mathbf{u}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}
+\mathbf{wu} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}|\mathbf{u}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
 so umformen, dass wir die Drehung nur durch Exponentialterme beschreiben können. Wir tauschen dafür zuerst beim Vektor $\mathbf{w}$ die Reihenfolge von 
-$\mathbf{e}_1$ mit dem Exponentialterm $e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}$, indem wir bei der Gleichung \eqref{e1ausklammern} $1=\mathbf{e}_1^2$ an einer anderen Position
+$\mathbf{e}_1$ mit dem Exponentialterm $e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}$, indem wir bei der Gleichung \eqref{e1ausklammern} $1=\mathbf{e}_1^2$ an einer anderen Position einsetzten. Wir erhalten
 \begin{align} 
-	\mathbf{w} &= |\mathbf{w}|\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\right)\mathbf{e}_1
+\mathbf{w} &= |\mathbf{w}|\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\right)\mathbf{e}_1.
 \end{align}
-einsetzten. Mithilfe der Formel \eqref{EulerGA} und dem Wissen, dass $\mathbf{e}_{21}= -\mathbf{e}_{12}$ können wir die Umformung
+Mithilfe der Formel \eqref{EulerGA} und dem Wissen, dass $\mathbf{e}_{21}= -\mathbf{e}_{12}$ können wir die Umformung
 \begin{align}
-	|\mathbf{w}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1
+|\mathbf{w}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1
 \end{align}
 ausführen. Diese wichtige Umstrukturierung können wir wieder in die Vektorproduktformel \eqref{VektorproduktformelGA} einsetzen un erhalten
 \begin{align}
-	\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}\\
-	&= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e}_{12}}.
+\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}\\
+&= |\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e}_{12}}.
 \end{align}
 Das inverse Vektorprodukt
 \begin{align}
-	\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e}_{12}}
+\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
 kann durch die selbe Methode vereinfacht werden.
 Wenn wir den Winkel zwischen den Vektoren  $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$ definieren erhalten wir als endgültige Form der Vektorprodukte
 \begin{align}\label{wuExpo}
-	\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}\enspace\text{und}\\
-	\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} &= \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \label{wuExpoInv}.
+\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}\enspace\text{und}\\
+\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} &= \dfrac{1}{|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \label{wuExpoInv}.
 \end{align}
 \subsubsection{Umstrukturierte Drehungsgleichung}
-Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein
+Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein, erhalten wir
 \begin{align}
-	\mathbf{v''} = (|\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}})\mathbf{v}\biggl(\dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}\biggr),
+\mathbf{v''} = (|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}})\mathbf{v}\biggl(\dfrac{1}{|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}\biggr)
 \end{align}
-erhalten wir durch die Kürzungen der Längen die vereinfachte Drehungsgleichung
-\begin{align}
-	\mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} v e^{\theta \mathbf{e}_{12}}.
+und können durch die Kürzungen der Längen die vereinfachte Drehungsgleichung
+\begin{align} \label{GAvereinfRot}
+\mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} v e^{\theta \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
-
-Wir wissen nun, dass das diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei Teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht. Wir bekommen durch Einsetzten nun diese Form
+bilden. Wir wissen nun, dass das diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht. Wir bekommen durch Einsetzten nun diese Form
 \begin{align} \label{RotAufPerpPar}
-	\mathbf{v}'' = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} (\mathbf{v_\perp + v_\parallel}) e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\perp} e^{\theta \mathbf{e}_{12}} + e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\parallel} e^{\theta \mathbf{e}_{12}}.
+\mathbf{v}'' = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} (\mathbf{v_\perp + v_\parallel}) e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\perp} e^{\theta \mathbf{e}_{12}} + e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\parallel} e^{\theta \mathbf{e}_{12}}.
 \end{align}
-Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen, dass die Reihenfolge so umstrukturiert werden kann
+Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen, dass man die Reihenfolge der Vektoranteile $\mathbf{v_\perp}$ und $\mathbf{v_\parallel}$ mit dem Exponentialterm $e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}$ so vertauschen kann, dass sich 
 \begin{align}
-	\mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}  e^{\theta \mathbf{e}_{12}} +  \mathbf{v_\parallel} e^{-(-\theta) \mathbf{e}_{12}} e^{\theta \mathbf{e}_{12}},
+\mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}  e^{\theta \mathbf{e}_{12}} +  \mathbf{v_\parallel} e^{-(-\theta) \mathbf{e}_{12}} e^{\theta \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
-dass der Winkel beim parallelen Anteil negiert wird. An der Zusammengefassten Gleichung
+ergibt. Der Winkel wird beim parallelen Anteil negiert. An der Zusammengefassten Gleichung
 \begin{align}\label{RotParPerp}
-	\mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} +  \mathbf{v_\parallel} e^{2\theta \mathbf{e}_{12}}
+\mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} +  \mathbf{v_\parallel} e^{2\theta \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
 kann man sehen, dass nur der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}$ des Vektors $\mathbf{v}$ auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ um $2\theta$ gedreht wird. Der senkrechte Anteil $\mathbf{v_\perp}$ bleibt gleich. Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle. Zeigen wir nun diese Eigenschaften an einem Beispiel
 \begin{beispiel} 
-	Gegeben sei ein Vektor $\mathbf{v} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3$ mit zur $\mathbf{e}_{12}$-Ebene parallelen Anteil $\mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2$ und senkrechten Anteil $\mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e}_3$. Zusätzlich sind die Spiegelachsen $\mathbf{u} = \mathbf{e}_1$ und $\mathbf{w} = 2\mathbf{e}_2$ gegeben. Gesucht ist der rotierte Vektor $\mathbf{v}''$. Bestimmen wir als erstes das Vektorprodukt $\mathbf{wu}$
+	Gegeben sei ein Vektor $\mathbf{v} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3$ mit zur $\mathbf{e}_{12}$-Ebene parallelen Anteil $\mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2$ und senkrechten Anteil $\mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e}_3$. Zusätzlich sind die Spiegelachsen $\mathbf{u} = \mathbf{e}_1$ und $\mathbf{w} = 2\mathbf{e}_2$ gegeben. Gesucht ist der rotierte Vektor $\mathbf{v}''$. Bestimmen wir als erstes das Vektorprodukt
 	\begin{align}
-		\mathbf{wu} = (2\mathbf{e}_2)(\mathbf{e}_1) = -2\mathbf{e}_{12}
+	\mathbf{wu} = (2\mathbf{e}_2)(\mathbf{e}_1) = -2\mathbf{e}_{12}
 	\end{align}
-	und das Produkt der Inversen $\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}$
+	und das Produkt der Inversen
 	\begin{align}
-		\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \biggl(\dfrac{\mathbf{e}_1}{1^2}\biggr) \left(\dfrac{2\mathbf{e}_2}{2^2}\right) = \dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12}.
+	\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \biggl(\dfrac{\mathbf{e}_1}{1^2}\biggr) \left(\dfrac{2\mathbf{e}_2}{2^2}\right) = \dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12}.
 	\end{align}
-	Der rotierte Vektor $\mathbf{v}''$ können wir nun durch das einsetzten und auflösen der Produkte in die Gleichung \eqref{rotGA}
+	Den gedrehten Vektor $\mathbf{v}''$ können wir nun durch Einsetzen und Auflösen der Produkte in die Gleichung \eqref{rotGA} bestimmen. Der Rechnenvorgang ist
 	\begin{align}
-		\mathbf{v}'' = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) &= (-2e_{12})(1\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3)(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\
-		&= (2\mathbf{e}_2-2\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_{123})(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\
-		&= -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3
+	\mathbf{v}'' = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) &= (-2e_{12})(1\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3)(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\
+	&= (2\mathbf{e}_2-2\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_{123})(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\
+	&= -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3.
 	\end{align}
-	finden. Aus dem Resultat $\mathbf{v}''= -1\mathbf{e}_1 + 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3$ können wir bestätigen, dass
+	Aus dem Resultat $\mathbf{v}''= -1\mathbf{e}_1 + 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3$ können wir bestätigen, dass
 	\begin{itemize}
 		\item die Länge $|\mathbf{v}| = \sqrt{3}$ zur Länge $|\mathbf{v}''|=\sqrt{3}$ gleich blieb.
 		\item sich der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}'' = -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2$ gedreht hat und der senkrechte Anteil $\mathbf{v_\perp}'' = 1\mathbf{e}_3$ unverändert blieb.
 		\item der parallele Teil sich genau um $2\theta=180$° gedreht hat. $\theta$ kann übrigens durch die Umformung des Produkt $\mathbf{wu}$ in die Exponentialschreibweise
 		\begin{align}
-			&\mathbf{wu} = -2\mathbf{e}_{12} = 2(0-1\mathbf{e}_{12})=2(\cos\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) + \sin\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr)\mathbf{e}_{12}) = 2e^{(-\pi/2)\mathbf{e}_{12}}
+		&\mathbf{wu} = -2\mathbf{e}_{12} = 2(0-1\mathbf{e}_{12})=2(\cos\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) + \sin\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr)\mathbf{e}_{12}) = 2e^{(-\pi/2)\mathbf{e}_{12}}
 		\end{align}
 		durch einen Vergleich mir der Formel \eqref{wuExpo}
 		\begin{align}
-			\theta = -\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) = \dfrac{\pi}{2}
+		\theta = -\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) = \dfrac{\pi}{2}
 		\end{align}
-		ausgelesen werden.
+		ausgelesen werden. \qedhere
 	\end{itemize}
-\end{beispiel}
-\ No newline at end of file
+\end{beispiel} 
+\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex
index aaccd3d..12fa546 100644
--- a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex
+++ b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex
@@ -6,34 +6,34 @@
 \section{Komplexe Zahlen}
 \rhead{Komplexe Zahlen}
 
-Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Rotationen und Schwingungen gut beschreiben können. Nach dem vorherigen Kapitel überrascht es wahrscheinlich nicht viele, dass es möglich ist komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der zweidimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $\mathbf{g}_n \in G_2^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet eine komplexe Zahl 
+Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Drehungen und Schwingungen gut beschreiben können. Nach dem vorherigen Abschnitt ist es nicht überraschend, dass es möglich ist, komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der zweidimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $\mathbf{g}_n \in G_2^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet eine komplexe Zahl 
 \begin{align}
-	a_0 + a_1 j \cong a_0 + a_1 \mathbf{e}_{12} = \mathbf{g}_n\quad a_0, a_1 \in \mathbb{R}\\
-	|r|e^{\theta j} \cong |r|e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = \mathbf{g}_n; \quad r, \theta \in \mathbb{R}
+a_0 + a_1 j \cong a_0 + a_1 \mathbf{e}_{12} = \mathbf{g}_n\quad a_0, a_1 \in \mathbb{R}\\
+|r|e^{\theta j} \cong |r|e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = \mathbf{g}_n; \quad r, \theta \in \mathbb{R}
 \end{align}
 kann durch ein Skalar (Grad 0) und einem Bivektor (Grad 2) dargestellt werden, weil $j$ und $\mathbf{e}_{12}$ beide die Eigenschaft
 \begin{align}
-	j^2 = -1\quad \mathbf{e}_{12}^2 = -1
+j^2 = -1\quad\text{und}\quad\mathbf{e}_{12}^2 = -1
 \end{align}
 besitzen. Die Kommutativität
 \begin{align}
-	\begin{split}
-		\mathbf{g}_1\mathbf{g}_2 = \mathbf{g}_2\mathbf{g}_1 \enspace&\Leftrightarrow\enspace (a + b \mathbf{e}_{12})(f + g \mathbf{e}_{12}) = (f + g \mathbf{e}_{12})(a + b \mathbf{e}_{12})\\ &\Leftrightarrow\enspace |\mathbf{g}_1||\mathbf{g}_2|e^{(\theta_{g_1} + \theta_{g_2})\mathbf{e}_{12}} =  |\mathbf{g}_2||\mathbf{g}_1|e^{(\theta_{g_2} + \theta_{g_1})\mathbf{e}_{12}},
-	\end{split}
+\begin{split}
+\mathbf{g}_1\mathbf{g}_2 = \mathbf{g}_2\mathbf{g}_1 \enspace&\Leftrightarrow\enspace (a + b \mathbf{e}_{12})(f + g \mathbf{e}_{12}) = (f + g \mathbf{e}_{12})(a + b \mathbf{e}_{12})\\ &\Leftrightarrow\enspace |\mathbf{g}_1|\,|\mathbf{g}_2|e^{(\theta_{g_1} + \theta_{g_2})\mathbf{e}_{12}} =  |\mathbf{g}_2|\,|\mathbf{g}_1|e^{(\theta_{g_2} + \theta_{g_1})\mathbf{e}_{12}},
+\end{split}
 \end{align}
 welche wir schon von den komplexen Zahlen her kennen, ist dabei eine in der geometrischen Algebra nur selten anzutreffende Eigenschaft. Beispielsweise ist das geometrische Produkt von
 \begin{align}
-	\mathbf{g}_1\mathbf{v}\not= \mathbf{v}\mathbf{g}_1 \quad\Leftrightarrow\quad(a + b \mathbf{e}_{12})(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)\not= (x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)(a + b \mathbf{e}_{12})
+\mathbf{g}_1\mathbf{v}\not= \mathbf{v}\mathbf{g}_1 \quad\Leftrightarrow\quad(a + b \mathbf{e}_{12})(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)\not= (x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)(a + b \mathbf{e}_{12})
 \end{align}
-und auch die im folgenden Kapitel behandelten Quaternionen nicht kommutativ.
+und auch die im folgenden Kapitel behandelten Quaternionen sind nicht kommutativ.
 
-Um später die Auswirkung der Quaternionen auf Vektoren besser zu verstehen, möchte ich kurz darauf eingehen, was ein  $\mathbf{g}_n$ für eine Auswirkung auf einen Vektor hat.
+Um später die Auswirkung der Quaternionen auf Vektoren besser zu verstehen, möchten wir kurz darauf eingehen, was ein  $\mathbf{g}_n$ für eine Auswirkung auf einen Vektor hat.
 Wir kennen diesen Effekt schon von den komplexen Zahlen. Wenn eine komplexe Zahl $c_1=a+bj$ mit einer zweiten $c_2=f+gj$ multipliziert wird, dann kann man
 \begin{align}
-	c = c_1\cdot c_2 = (a + bj)(d + ej) = a\cdot(d+ej) + bj\cdot(d+ej)
+c = c_1\cdot c_2 = (a + bj)(d + ej) = \underbrace{a\cdot(d+ej)}_{\displaystyle{a\cdot c_2}} + \underbrace{bj\cdot(d+ej)}_{\displaystyle{b\cdot c_2 \cdot (1\angle 90^\circ)}}
 \end{align}
-so aufteilen. Dabei ist $a\cdot(d+ej)$ die jetzige komplexe Zahl $c_2$ um den Faktor $a$ steckt und $bj\cdot(d+ej)$ die um 90° im Gegenuhrzeigersinn gedrehte Zahl $c_2$ um den Faktor $b$ streckt. Diese Anteile addiert ergeben, dann den um $c_1$ dreh-gestreckten Vektor $c_2$. Der gleiche Effekt hat
+so aufteilen. Dabei ist $a\cdot(d+ej)$ die komplexe Zahl $c_2$ um den Faktor $a$ steckt und $bj\cdot(d+ej)$ die um 90° im Gegenuhrzeigersinn gedrehte Zahl $c_2$ um den Faktor $b$ streckt. Diese Anteile addiert ergeben dann den um $c_1$ drehgestreckten Vektor $c_2$. Den gleichen Effekt hat
 \begin{align}\label{GAdrehstreck}
-	\mathbf{v}' = \mathbf{g}\mathbf{v} = (a + b\mathbf{e}_{12})(d\mathbf{e}_{1} + e\mathbf{e}_{2}) = a(d\mathbf{e}_{1} + e\mathbf{e}_{2}) + b\mathbf{e}_{12}(d\mathbf{e}_{1} + e\mathbf{e}_{2})
+\mathbf{v}' = \mathbf{g}\mathbf{v} = (a + b\mathbf{e}_{12})(d\mathbf{e}_{1} + e\mathbf{e}_{2}) = a(d\mathbf{e}_{1} + e\mathbf{e}_{2}) + b\mathbf{e}_{12}(d\mathbf{e}_{1} + e\mathbf{e}_{2})
 \end{align}
 in der zweidimensionalen geometrischen Algebra. Im Falle der komplexen Zahlen macht es jetzt noch nicht wirklich Sinn in die geometrische Algebra zu wechseln. Die potenziellen Vorteile der geometrischen Algebra werden sich aber erst bei den Quaternionen zeigen.
 \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/ReihenfolgeGimbal.png b/buch/papers/clifford/Bilder/ReihenfolgeGimbal.png
new file mode 100644
index 0000000..625757d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/Bilder/ReihenfolgeGimbal.png
diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/test.png b/buch/papers/clifford/Bilder/test.png
deleted file mode 100644
index 1633a2e..0000000
--- a/buch/papers/clifford/Bilder/test.png
+++ /dev/null
diff --git a/buch/papers/clifford/images/Makefile b/buch/papers/clifford/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..cc621fb
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/images/Makefile
@@ -0,0 +1,13 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	spiegelung.pdf
+
+spiegelung.pdf:	spiegelung.tex punkte.tex
+	pdflatex spiegelung.tex
+
+punkte.tex:	spiegelung.m	
+	octave spiegelung.m
+
diff --git a/buch/papers/clifford/images/punkte.tex b/buch/papers/clifford/images/punkte.tex
new file mode 100644
index 0000000..41d2247
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/images/punkte.tex
@@ -0,0 +1,21 @@
+\coordinate (A) at (2.300,1.700);
+\coordinate (B) at (4.300,2.500);
+\coordinate (C) at (2.800,2.700);
+\coordinate (S) at (3.133,2.300);
+\coordinate (G1) at (0.489,0.873);
+\coordinate (G1oben) at (4.886,8.725);
+\coordinate (G1unten) at (-4.886,-8.725);
+\coordinate (G2) at (0.336,-0.942);
+\coordinate (G2oben) at (3.363,-9.417);
+\coordinate (G2unten) at (-3.363,9.417);
+\coordinate (A1) at (0.248,2.849);
+\coordinate (B1) at (-0.115,4.973);
+\coordinate (C1) at (0.839,3.798);
+\coordinate (S1) at (0.324,3.873);
+\coordinate (A2) at (-1.997,2.048);
+\coordinate (B2) at (-3.061,3.921);
+\coordinate (C2) at (-3.055,2.407);
+\coordinate (S2) at (-2.704,2.792);
+\def\winkela{60.7512}
+\def\winkelb{48.9027}
+\coordinate (G) at (0.489,0.873);
diff --git a/buch/papers/clifford/images/spiegelung.m b/buch/papers/clifford/images/spiegelung.m
new file mode 100644
index 0000000..a086cb5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/images/spiegelung.m
@@ -0,0 +1,66 @@
+#
+# spiegelung.m
+#
+#
+fn = fopen("punkte.tex", "w");
+
+
+a = [ 2.3; 1.7 ];
+b = [ 4.3; 2.5 ];
+c = [ 2.8; 2.7 ];
+s = (a + b + c)/3;
+
+fprintf(fn, "\\coordinate (A) at (%.3f,%.3f);\n", a(1, 1), a(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (B) at (%.3f,%.3f);\n", b(1, 1), b(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (C) at (%.3f,%.3f);\n", c(1, 1), c(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (S) at (%.3f,%.3f);\n", s(1, 1), s(2, 1));
+
+n1 = [ -2.5; 1.4 ];
+n1 = n1 / norm(n1);
+S1 = eye(2) - 2 * (n1 * n1');
+g1 = [ n1(2,1); -n1(1,1) ];
+
+fprintf(fn, "\\coordinate (G1) at (%.3f,%.3f);\n", g1(1,1), g1(2,1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (G1oben) at (%.3f,%.3f);\n", 10*g1(1,1), 10*g1(2,1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (G1unten) at (%.3f,%.3f);\n", -10*g1(1,1), -10*g1(2,1));
+
+n2 = [ 1.4; 0.5 ];
+n2 = n2 / norm(n2);
+S2 = eye(2) - 2 * (n2 * n2');
+g2 = [ n2(2,1); -n2(1,1) ];
+
+fprintf(fn, "\\coordinate (G2) at (%.3f,%.3f);\n", g2(1,1), g2(2,1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (G2oben) at (%.3f,%.3f);\n", 10*g2(1,1), 10*g2(2,1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (G2unten) at (%.3f,%.3f);\n", -10*g2(1,1), -10*g2(2,1));
+
+D = S2 * S1;
+
+a1 = S1 * a;
+b1 = S1 * b;
+c1 = S1 * c;
+s1 = S1 * s;
+
+fprintf(fn, "\\coordinate (A1) at (%.3f,%.3f);\n", a1(1, 1), a1(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (B1) at (%.3f,%.3f);\n", b1(1, 1), b1(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (C1) at (%.3f,%.3f);\n", c1(1, 1), c1(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (S1) at (%.3f,%.3f);\n", s1(1, 1), s1(2, 1));
+
+a2 = D * a;
+b2 = D * b;
+c2 = D * c;
+s2 = D * s;
+
+fprintf(fn, "\\coordinate (A2) at (%.3f,%.3f);\n", a2(1, 1), a2(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (B2) at (%.3f,%.3f);\n", b2(1, 1), b2(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (C2) at (%.3f,%.3f);\n", c2(1, 1), c2(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (S2) at (%.3f,%.3f);\n", s2(1, 1), s2(2, 1));
+
+winkel1 = atan2(g1(2,1), g1(1,1)) * (180 / pi);
+winkel2 = acosd(g1' * g2);
+
+fprintf(fn, "\\def\\winkela{%.4f}\n", winkel1);
+fprintf(fn, "\\def\\winkelb{%.4f}\n", 180 - winkel2);
+
+fprintf(fn, "\\coordinate (G) at (%.3f,%.3f);\n", g1(1,1), g1(2,1));
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/papers/clifford/images/spiegelung.pdf b/buch/papers/clifford/images/spiegelung.pdf
new file mode 100644
index 0000000..a17d369
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/images/spiegelung.pdf
diff --git a/buch/papers/clifford/images/spiegelung.tex b/buch/papers/clifford/images/spiegelung.tex
new file mode 100644
index 0000000..0960456
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/images/spiegelung.tex
@@ -0,0 +1,85 @@
+%
+% spiegelung.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{1.1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\punkt#1{
+\fill #1 circle[radius=0.06];
+}
+
+\coordinate (M) at (0,0);
+
+\fill[color=blue] (M) circle[radius=0.06];
+\node[color=blue] at (M) [left] {$M$};
+
+\input{punkte.tex}
+
+\fill[color=red!30] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
+\draw[color=red] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
+\node at (A) [below] {$A$};
+\node at (B) [above right] {$B$};
+\node at (C) [above] {$C$};
+\node at (S) {$\circlearrowleft$};
+
+\fill[color=red!30] (A1) -- (B1) -- (C1) -- cycle;
+\draw[color=red] (A1) -- (B1) -- (C1) -- cycle;
+\node at (A1) [below] {$A'$};
+\node at (B1) [above] {$B'$};
+\node at (C1) [above right] {$C'$};
+\node at (S1) {$\circlearrowright$};
+
+\fill[color=red!30] (A2) -- (B2) -- (C2) -- cycle;
+\draw[color=red] (A2) -- (B2) -- (C2) -- cycle;
+\node at (A2) [below] {$A''$};
+\node at (B2) [above] {$B''$};
+\node at (C2) [left] {$C''$};
+\node at (S2) {$\circlearrowleft$};
+
+\draw[color=gray,dotted] (A) -- (A1);
+\draw[color=gray,dotted] (B) -- (B1);
+\draw[color=gray,dotted] (C) -- (C1);
+
+\draw[color=gray,dotted] (A1) -- (A2);
+\draw[color=gray,dotted] (B1) -- (B2);
+\draw[color=gray,dotted] (C1) -- (C2);
+
+\punkt{(A)}
+\punkt{(B)}
+\punkt{(C)}
+\punkt{(A1)}
+\punkt{(B1)}
+\punkt{(C1)}
+\punkt{(A2)}
+\punkt{(B2)}
+\punkt{(C2)}
+
+\fill[color=darkgreen!30] (M) -- (G1) arc ({\winkela}:{\winkela+\winkelb}:1) -- cycle;
+\draw[color=darkgreen] (G1) arc ({\winkela}:{\winkela+\winkelb}:1);
+\node[color=darkgreen] at ({\winkela+0.5*\winkelb}:0.7) {$\alpha$};
+
+\node at ($6*(G1)$) [right] {$g\mathstrut$};
+\node at ($-5.6*(G2)$) [left] {$h\mathstrut$};
+
+\clip (-3,-0.2) rectangle (4.5,5.5);
+
+\draw[line width=1pt] (G1oben) -- (G1unten);
+\draw[line width=1pt] (G2oben) -- (G2unten);
+
+\fill[color=blue] (M) circle[radius=0.06];
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil0.tex b/buch/papers/erdbeben/teil0.tex
index c985713..d32b316 100644
--- a/buch/papers/erdbeben/teil0.tex
+++ b/buch/papers/erdbeben/teil0.tex
@@ -20,9 +20,9 @@ Um ein Erdbeben kenntlich zu machen, werden in der Regel Seismographen mit viele
 Ein Seismograph besteht im Grunde aus einer federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerät ein, schwing das Gehäuse und dadurch auch die gekoppelte Masse. 
 Stoppt das Erdbeben, schwingt das Gehäuse nicht mehr. 
 Die Masse schwing jedoch in seiner Eigendynamik weiter. 
-Relativbewegung des Bodens kann damit als Auslenkung im Zeitverlauf gemessen werden.
+Eine Relativbewegung des Bodens kann damit als Auslenkung im Zeitverlauf gemessen werden.
 In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. 
-Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen mit eine Gehäuse, an dem zwei Federn und eine Masse befestigt sind. 
+Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen mit einem Gehäuse, an dem zwei Federn und eine Masse befestigt sind. 
 Der Seismograph ist in Abbildung ~\ref{erdbeben:Seismograph} ersichtlich.
 Ein Sensor unter der Masse misst die Position, bzw. die Auslenkung der Feder und der Masse.
 Dies bedeutet, unser Seismograph kann nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. 
@@ -53,28 +53,40 @@ Die Gleichung lautet:
 m\ddot s + 2k \dot s + Ds = f.
 \end{equation}
 wobei $m$ die Masse, $k$ die Dämpfungskonstante und $D$ die Federkonstante bezeichnet.
-Da die Differentialgleichung linear ist, kann sie in die kompaktere und einfachere Matrix-Form umgewandelt werden.
-Dazu verwenden wir die Subsitution:
-\[ 
-s_1 = s 
-\qquad \text{und} \qquad
-s_2 = \dot s
-.
-\]
-Somit entstehen die Gleichungen für die Position $ \dot s_1(t)$ der Masse :
+
+
+Da die Differentialgleichung linear ist möchten wir diese Gleichung in die Darstellung $\dot x = Ax$ überführen, wobei $x$ der Zustandsvektor und $A$ die Systemmatrix bezeichnet. Dazu verwenden wir die Subsitution:
+\[ 
+s_1 = s 
+\qquad \text{und} \qquad
+s_2 = \dot s.
+\]
+Somit entstehen die Gleichungen für die Geschwindigkeit $ \dot s_1(t)$ der Masse :
 \[ \dot {s_1} = {s_2}\] 
 und
 \[ \dot s_2 = -\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \] 
 für die Beschleunigung $\dot s_2(t)$ der Masse.
 Diese können wir nun in der Form
-\[ f =-\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \]
-auch als Matrix-Vektor-Gleichung darstellen.
-Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt. 
-Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und die äussere Beschleunigung des ganzen Systems. 
+\[ \ddot f =-\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \]
+als skalare Gleichung darstellen.
 
-Dabei muss unterschieden werden, um welche Beschleunigung es sich handelt.
-Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse (innere Beschleunigung) als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung). 
+Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und die äussere Beschleunigung des ganzen Systems.
+Unüblich ist nun, dass der Stör-Term $f$ in Gleichung (20.1) gerade das ist, was wir eigentlich bestimmen möchten.  
 In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbebenanregung gleich kommt.
-Dazu wird ein Zustandsvektor definiert:
+Deshalb nehmen wir $f$ als dritte Grösse in den Zustandsvektor auf und definieren:
+
 \[ 
- \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2} \\ {f} \end{array}\right).
- \] 
-Durch Rücksubstituion ergibt sich uns folgende Systemgleichung in Matrix schreibweise, , wobei $\dot {s_1}= v$ ist:
+ x = (s_1, s_2, f)^T.
+\] 
+  
+Für die Standard-Form $\dot x = Ax$ brauchen wir als nächstes die Ableitungen aller Elemente von $x$. Für $\dot s_1$ und $\dot s_2$ folgen diese direkt aus Gleichung (20.1), aber über $\dot f$ wissen wir nichts. 
+Wir müssen also eine Annahme treffen: $\dot f = 0$. Diese Annahme ist im Allgemeinen falsch, aber etwas Besseres haben wir zurzeit nicht zur Verfügung. 
+Zudem treffen wir die Annahme, das sich die Kraft über die Beobachtungszeit nicht verändert.
+Wir werden dies in einem späteren Schritt kompensieren müssen.
+Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Zeile mit Nullen gefüllt, denn genau diese Werte wollen wir. 
+
+
+Durch Rücksubstituion ergibt sich uns folgende Systemgleichung in Matrix schreibweise, wobei $\dot {s_1}= v$ ist. Damit haben wir nun alles, was wir für die Matrix-Darstellung von Gleichung (20.1) benötigen. Diese lautet:
 \begin{equation}
 \frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} s(t) \\ v(t) \\ f(t) \end{array}\right) = \left(
  \begin{array}{ccc} 	
@@ -83,11 +95,7 @@ Durch Rücksubstituion ergibt sich uns folgende Systemgleichung in Matrix schrei
 0 & 0 & 0\\
 \end{array}\right)  \left(\begin{array}{c} s(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right).
 \end{equation}
-Wir wissen nicht wie sich die Kraft verhält. 
-Deshalb treffen wir die Annahme, das sich die Kraft über die Beobachtungszeit nicht verändert.
-Diese Annahme ist nicht zulässig, jedoch ist dies das beste, was wir Annehmen können. 
-Diese unzutreffende Annahme wird späteren Berechnungen berücksichtigen werden
-Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Zeile mit Nullen gefüllt, denn genau diese Werte wollen wir. 
+
 
 
 
diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
index 6c334bf..014b53e 100644
--- a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
+++ b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
@@ -14,15 +14,20 @@
 \rhead{Kalman-Filter}
 
 \section{Kalman-Filter}
-Interessante Grösse ist also Integral von Überlagerung zweier Kräfte. 
-Wir brauchen also dir zweite Ableitung von der Messung , ohne deren Eigendynamik.
+Die interessante Grösse ist also das Integral der Überlagerung zweier Kräfte. 
+Wir brauchen also die zweite Ableitung der Messung, ohne deren Eigendynamik.
 Da wir die äussere Kraft nicht direkt messen können, benötigen wir ein Werkzeug, welches aus der gemessenen Position, die Krafteinwirkung auf unsere System schätzt. 
 Dies ist eine typische Anwendung für das Kalman-Filter.
+
+Das Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand errechnen und aus dieser Schätzung auch eine erwartete Messung herleiten.
+Die für das Filter relevante Grösse ist dann nicht mehr die eigentliche Messung, sondern die Differenz aus Messung und Erwartung, da diese Differenz, die Innovation, eine Aussage über die nicht-deterministischen, externen Einflüsse auf das System ermöglicht.
+Das Filter berücksichtigt dazu nicht nur die Messung und den Zustand, sondern auch die Unsicherheiten dieser beiden Grössen, welche als Parameter in das Modell des Systems einfliessen.
+
 Unser Ziel ist es, anhand der Messung die eigentlich interessante Grösse $f$ zu bestimmen. 
-Dabei wird durch eine deterministische Vorhersage, in dem der Zustand * Eigendynamik des Systems gerechnet. 
+Dabei wird durch eine deterministische Vorhersage, in dem der Zustand mit der Eigendynamik des Systems multipliziert wird. 
 Die Idee dahinter ist, dass das Kalman-Filter die nicht-deterministische Grösse $f$ anhand der Messung und der Vorhersage zu bestimmen.
 
-Für mehrere Dimensionen (x,y,z) würde der Pythagoras für das System benötigt werden.
+Für mehrere Dimensionen (x,y,z) würde der Satz von Pythagoras für das System benötigt.
 Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein lineares Kalman-Filter implementiert werden. 
 Da das Kalman-Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. 
 Einfachheitshalber beschränken wir uns auf den linearen Fall, da dadurch die wesentlichen Punkte bereits aufgezeigt werden. 
@@ -30,8 +35,7 @@ Für ein nicht-lineares System werden Extended Kalman-Filter benötigt, bei dene
 
 \subsection{Geschichte}
 Das Kalman-Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt.
-Das Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. 
-Das Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand errechnen. Eine typische Anwendungen des Kalman-Filters ist Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern. Dies kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor.
+Das Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. 
+Eine typische Anwendungen des Kalman-Filters ist Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern. Dies kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor.
 
 \subsection{Wahrscheinlichkeit}
 Das Kalman-Filter schätzt den wahrscheinlichsten Wert zwischen Normalverteilungen.
@@ -62,11 +66,14 @@ und der Messung:
 {y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}.
 \]
 Diesen werden nun multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu normieren, $\odot$ beschreibt dabei die Multiplikation und die Normierung auf den Flächeninhalt eins :
-\begin{align*}
-	{y_f}(x; {\mu_f}, {\sigma_f}) = {y_1}(x;{ \mu_1},{ \sigma_1}) \odot {y_2}(x; {\mu_2}, {\sigma_2})
+\begin{align*}
+	{y_f}(x; {\mu_f}, {\sigma_f}) = {y_1}(x;{ \mu_1},{ \sigma_1}) \odot {y_2}(x; {\mu_2}, {\sigma_2})
 	&=
 	\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \odot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}
 	\\
-	&=
-	\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1} {y_2} dx}.
-\end{align*}
+	&=
+	\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1} {y_2} dx}.
+\end{align*}
 Diese Kombination der beiden Verteilungen resultiert wiederum in einer Normalverteilung
 mit Erwartungswert
 \[ \mu_f = \frac{\mu_1\sigma_2^2 + \mu_2 \sigma_1^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} \]
@@ -94,6 +101,78 @@ Da wir nun ein Werkzeug besitzen, dass die Beschleunigung, welche auf das Gehäu
 Um den Kalman Filter zu starten, müssen gewisse Bedingungen definiert werden. 
 In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter und Matrizen erklärt und erläutert, wofür sie nützlich sind. 
 
+\subsection{Fiter-Agorithmus}
+Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird das Filter initialisiert.
+Zuerst wird der nächste Zustand der Masse vorhergesagt, danach wird die Messung präzisiert und laufend aktualisiert. 
+Das Filter berechnet aufgrund der aktuellen Schätzung eine Vorhersage. 
+Diese wird, sobald verfügbar, mit der Messung verglichen. 
+Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung ($R$) wird der wahrscheinlichste, neue Zustand geschätzt.
+Dabei muss genau auf den Index geachtet werden. Nach dem Artikel~\cite{erdbeben:wikipedia} ist die Indexierung so genormt:
+Der Zeitschritt wird mit $k$ definiert, $k-1$ ist somit ein Zeitschritt vor $k$.
+Auf der linken Seite von | wird der aktuelle Zustand verlangt, bzw. ausgegeben, auf der rechten Seiten den bisherigen Zustand.
+Dies bedeutet, dass die Notation $x_{n|m}$ die Schätzung von $x$ zum Zeitpunkt $n$ bis und mit zur Zeitpunkt $m \leq \ n$ präsentiert. 
+
+\subsubsection*{Vorhersage}
+Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. 
+Dies funktioniert mit dem Rechenschritt:
+\[
+{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k-1|k-1}}.
+\] 
+Die Kovarianz $P_{k|k-1}$ wird ebenfalls neu berechnet. Zudem kommt noch die Prozessunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ laufend verändert. 
+Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix mit dem aktualisierten Anfangsfehler. 
+Dazu wird noch die Prozessunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung
+\[
+{P_{k|k-1}}=\Phi {P_{k-1|k-1}} {\Phi _{k}}^T + {Q_{k-1}}.
+\] 
+Es vergeht genau $\Delta t$ Zeit, und dieser Vorgang wird wiederholt. 
+Das hochgestellte T bezeichnet die transponierte Matrix.
+Dabei wird in den späteren Schritten überprüft, wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. 
+Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner, ist der Unterschied gross, wird auch die Kovarianz grösser. 
+Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung.
+
+\subsubsection*{Messen}
+Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für das Filter. 
+Die aktuellen Messwerte $z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet.
+Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ mit der Vorhersage multipliziert.
+\[
+{w_{k}}={z_{k}}-{H}{x_{k|k-1}}.
+\] 
+Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann. 
+Die Hilfsgröße Innovation beschreibt, wie genau die Vorhersage den aktuellen Messwert mittels der Systemmatrix $\Phi$ beschreiben kann. 
+Für eine schlechte Vorhersage wird die dazugehörige Innovation gross, für eine genaue Vorhersage dagegen klein sein. 
+Entsprechende Korrekturen müssen dann gross bzw. nur gering ausfallen. 
+Innovation = Messung - Vorhersage. Dies leuchtet ein, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte.
+
+Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. 
+Hierbei wird die Unsicherheit $P$, die Messmatrix $H$ und die Messunsicherheit $R$ miteinander verrechnet. 
+\[ 
+{S_{k}}={H}{P_{k|k-1}}{H}^T+{R_{k}}
+\] 
+
+\subsubsection*{Aktualisieren}
+Im nächsten Schritt kommt nun die Wahrscheinlichkeit dazu. 
+\[{K_{k}}= {P_{k|k-1}} {H^T}{S_{k}^{-1}}\] 
+Die Grösse $K$ wird Kalman-Gain genannt. 
+Das Kalman-Gain gibt dem Zustand die Gewichtung, bzw. wie die Vorhersage auf den Zustand passt.
+Vereinfacht gesagt: Es wird das das Verhältnis zwischen der Unsicherheit der Vorhersage $P_k$ zu der zugehörigen Messunsicherheit $R_k$ gebildet. 
+In unserem Fall wird werden die Elemente der Kalman-Matrix vorweg berechnet, da das Kalman-Gain ohne Messungen auskommt. 
+
+Anhand der Informationen aus der Innovation wird das Kalman-Gain $K$ gebildet. Dabei beschreibt das Kalman-Gain die Wirkung der Innovation auf den geschätzten Zustand. So wird das System aktualisiert.
+\[
+{x_{k|k}}={x_{k|k-1}}+{K_{k}}{w_{k}}
+\] 
+Dabei wird der Unterschied zwischen dem erwarteten, errechneten, Zustand und dem gemessenen Zustand berechnet.
+
+Dazu kommt  eine neue Kovarianz für den nächste Vorhersageschritt:
+\[
+{P_{k|k}}=(I-{K_{k}}{H}){P_{k|k-1}} 
+\] 
+Der ganze Algorithmus und beginnt wieder mit der Vorhersage 
+\[
+{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k|k-1}}.
+\] 
+
+
 \subsection{Anfangsbedingungen}
 \subsubsection*{Anfangszustand $x$}
 Das Filter benötigt eine Anfangsbedingung. 
@@ -141,14 +220,14 @@ A = \left(
 \end{array}\right)  
  \]
 Dabei soll der Kalman-Filter in diskreten Zeitschritten $\Delta t$ arbeiten. 
+$A$ beschreibt ein kontinuierliches System ($\dot x = Ax$), wir benötigen jedoch ein Zeit-diskretes System $x_{k+1} = \Phi x_k$.
 Die Übergangs-Matrix erhalten wir aus der Systemdynamikmatrix mittels Exponentialfunktion: 
 \[\Phi = \exp(A\Delta t). \]
 Die Matrix $\Phi$ beschreibt die Übergänge zwischen zeitlich aufeinanderfolgenden Zuständen $x_{k-1}$ und $x_{k}$
 
 \subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix $Q$}
 Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie sich der Prozess verändert. 
-Kalman-Filter berücksichtigen Unsicherheiten wie Messfehler und -rauschen. 
-In der Matrix $Q$ geht es jedoch um die Unsicherheit, die der Prozess mit sich bringt. 
+Die Matrix $Q$ beschreibt die Unsicherheit, die der Prozess mit sich bringt. 
 Bei unserem Modell könnte das beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein oder auch die Ungenauigkeiten im Modell, wie die Annahme das dich die Kraft nicht ändert.
 Für uns wäre dies:
 \[ 
@@ -160,11 +239,10 @@ Q = \left(
 \end{array}\right)  
  \]
 Die Standabweichungen müssten statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. 
-Das Bedeutet wiederum dass $Q$ die Unsicherheit des Prozesses beschreibt und nicht die der Messung.
 
 \subsubsection*{Messmatrix $H$}
 Die Messmatrix gibt an, welche Parameter gemessen werden. 
-$H$ ist die Gleichung die für die Vorhersage der Messung.
+$H$ ist die Matrix für die Vorhersage der Messung.
 In unserem Falle ist es die Position der Massen. 
 \[ 
 H = (1, 0, 0) 
@@ -179,77 +257,6 @@ R= ({\sigma_\mathrm{sensor}}^2).
 Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. 
 Für unsere theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt da heutige Sensoren sehr genau messen können. 
 
-\subsection{Fiter-Agorithmus}
-Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird das Filter initialisiert.
-Zuerst wird der nächste Zustand der Masse vorhergesagt, danach wird die Messung präzisiert und laufend aktualisiert. 
-Das Filter berechnet aufgrund der aktuellen Schätzung eine Vorhersage. 
-Diese wird, sobald verfügbar, mit der Messung verglichen. 
-Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung ($R$) wird der wahrscheinlichste, neue Zustand geschätzt.
-Dabei muss genau auf den Index geachtet werden. Nach dem Artikel~\cite{erdbeben:wikipedia} ist die Indexierung so genormt:
-Der Zeitschritt wird mit $k$ definiert, $k-1$ ist somit ein Zeitschritt vor $k$.
-Auf der linken Seite von | wird der aktuelle Zustand verlangt, bzw. ausgegeben, auf der rechten Seiten den bisherigen Zustand.
-Dies bedeutet, dass die Notation $x_{n|m}$ die Schätzung von $x$ zum Zeitpunkt $n$ bis und mit zur Zeitpunkt $m \leq \ n$ präsentiert. 
-
-\subsubsection*{Vorhersage}
-Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. 
-Dies funktioniert mit dem Rechenschritt:
-\[
-{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k-1|k-1}}.
-\] 
-Die Kovarianz $P_{k|k-1}$ wird ebenfalls neu berechnet. Zudem kommt noch die Prozessunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ laufend verändert. 
-Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix mit dem aktualisierten Anfangsfehler. 
-Dazu wird noch die Prozessunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung
-\[
-{P_{k|k-1}}=\Phi {P_{k-1|k-1}} {\Phi _{k}}^T + {Q_{k-1}}.
-\] 
-Es vergeht genau $\Delta t$ Zeit, und dieser Vorgang wird wiederholt. 
-Das hochgestellte T bezeichnet die transponierte Matrix.
-Dabei wird in den späteren Schritten überprüft, wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. 
-Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner, ist der Unterschied gross, wird auch die Kovarianz grösser. 
-Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung.
-
-\subsubsection*{Messen}
-Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für das Filter. 
-Die aktuellen Messwerte $z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet.
-Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ mit der Vorhersage multipliziert.
-\[
-{w_{k}}={z_{k}}-{H}{x_{k|k-1}}.
-\] 
-Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann. 
-Die Hilfsgröße Innovation beschreibt, wie genau die Vorhersage den aktuellen Messwert mittels der Systemmatrix $\Phi$ beschreiben kann. 
-Für eine schlechte Vorhersage wird die dazugehörige Innovation gross, für eine genaue Vorhersage dagegen klein sein. 
-Entsprechende Korrekturen müssen dann gross bzw. nur gering ausfallen. 
-Innovation = Messung - Vorhersage. Dies leuchtet ein, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte.
-
-Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. 
-Hierbei wird die Unsicherheit $P$, die Messmatrix $H$ und die Messunsicherheit $R$ miteinander verrechnet. 
-\[ 
-{S_{k}}={H}{P_{k|k-1}}{H}^T+{R_{k}}
-\] 
-
-\subsubsection*{Aktualisieren}
-Im nächsten Schritt kommt nun die Wahrscheinlichkeit dazu. 
-\[{K_{k}}= {P_{k|k-1}} {H^T}{S_{k}^{-1}}\] 
-Dieser Vorgang wird Kalman-Gain genannt. 
-Das Kalman-Gain gibt dem Zustand die Gewichtung, bzw. wie die Vorhersage auf den Zustand passt.
-Vereinfacht gesagt: Es wird das das Verhältnis zwischen der Unsicherheit der Vorhersage $P_k$ zu der zugehörigen Messunsicherheit $R_k$ gebildet. 
-In unserem Fall wird werden die Elemente der Kalman-Matrix vorweg berechnet, da das Kalman-Gain ohne Messungen auskommt. 
-
-Anhand der Informationen aus dem Kalman-Gain $K$ wird das System aktualisiert.
-\[
-{x_{k|k}}={x_{k|k-1}}+{K_{k}}{w_{k}}
-\] 
-Dabei wird der Unterschied zwischen dem erwarteten, errechneten, Zustand und dem gemessenen Zustand berechnet.
-
-Dazu kommt  eine neue Kovarianz für den nächste Vorhersageschritt:
-\[
-{P_{k|k}}=(I-{K_{k}}{H}){P_{k|k-1}} 
-\] 
-Der ganze Algorithmus und beginnt wieder mit der Vorhersage 
-\[
-{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k|k-1}}.
-\] 
-
 \subsection{Zusammenfassung }
 Zusammenfassend kann das Kalman-Filter in offizieller Typus dargestellt werden. 
 Dabei beginnt das Filter mit dem Anfangszustand für $k=0$
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM b/buch/papers/multiplikation/code/MM
deleted file mode 100755
index d52dda4..0000000
--- a/buch/papers/multiplikation/code/MM
+++ /dev/null
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM.c b/buch/papers/multiplikation/code/MM.c
index a897d4f..2588262 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/code/MM.c
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/MM.c
@@ -28,11 +28,12 @@ int main() {
 	// omp_set_num_threads(4);
 //	run_algo(openMP_MM, "openMP_MM",0);
 	run_algo(MM_dc, "MM_dc",0);
+	
 	run_algo(strassen, "strassen",0);
 
 	run_algo(MM, "MM", 0);
-  run_algo(winograd, "winograd", 0);
-  run_algo_cblas(0);
+ 	run_algo(winograd, "winograd", 0);
+ 	run_algo_cblas(0);
 
 	return 0;
 }
@@ -414,12 +415,12 @@ void run_algo(void (*algo)(), char alog_name[], int print)
 
 	for(int i=0; i<n_arrays; ++i)
 	{
-		for(int j = 0; j<1; ++j)
+		for(int j = 0; j<10; ++j)
 		{
-	    int *C = (int*) malloc(n[i] * n[i] * sizeof(int));
-    	double dtime = omp_get_wtime();
-      algo(Ap[i], Bp[i], (int*) C, n[i]);
-	    dtime = omp_get_wtime() - dtime;
+	    		int *C = (int*) malloc(n[i] * n[i] * sizeof(int));
+    			double dtime = omp_get_wtime();
+     			algo(Ap[i], Bp[i], (int*) C, n[i]);
+			dtime = omp_get_wtime() - dtime;
 			// printf("The %s program took %f seconds to execute \n", alog_name, dtime);
 			fprintf(fptr, "%f,%d\n", dtime, n[i]);
 
@@ -428,7 +429,7 @@ void run_algo(void (*algo)(), char alog_name[], int print)
 				printMatrix((int*)C, n[i]);
 			}
 			free(C);
-  }
+ 		 }
 	}
 	fclose(fptr);
 
@@ -442,7 +443,7 @@ void run_algo_cblas(int print)
 	fptr = fopen("meas/blas.txt", "w");
 	for(int i=0; i<n_arrays; ++i)
 	{
-		for(int j = 0; j<1; ++j)
+		for(int j = 0; j<10; ++j)
 		{
 			double *dC = (double*) malloc(n[i] * n[i] * sizeof(double));
 			double dtime = omp_get_wtime();
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py
index 7220ae1..8057850 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py
@@ -5,6 +5,7 @@ Created on Fri Mar 19 07:31:29 2021
 
 @author: nunigan
 """
+import scipy.stats
 import numpy as np
 import time
 import matplotlib.pyplot as plt
@@ -133,9 +134,6 @@ def winograd2(A, B):
         
 def test_perfomance(n):
     
-    import mkl
-    mkl.set_num_threads(1)
-    
     t_mm = []
     t_mm_dc = []
     t_mm_strassen = []
@@ -148,21 +146,21 @@ def test_perfomance(n):
         # A = np.random.randint(-100, 100,(i, i))
         # B = np.random.randint(-100, 100,(i, i))
 
-        # start = time.time()
-        # C3 = strassen(A, B)
-        # t_mm_strassen.append(time.time() - start)
+        start = time.time()
+        C3 = strassen(A, B)
+        t_mm_strassen.append(time.time() - start)
 
-        # start = time.time()
-        # C1 = MM(A, B)
-        # t_mm.append(time.time() - start)
+        start = time.time()
+        C1 = MM(A, B)
+        t_mm.append(time.time() - start)
 
-        # start = time.time()
-        # C2 = MM_dc(A, B)
-        # t_mm_dc.append(time.time() - start)
+        start = time.time()
+        C2 = MM_dc(A, B)
+        t_mm_dc.append(time.time() - start)
 
-        # start = time.time()
-        # C4 = winograd2(A, B)
-        # t_wino.append(time.time() - start)
+        start = time.time()
+        C4 = winograd2(A, B)
+        t_wino.append(time.time() - start)
 
         start = time.time()
         C = A@B
@@ -173,10 +171,10 @@ def test_perfomance(n):
     plt.rc('axes', labelsize=23)
     plt.rc('xtick', labelsize=23)
     plt.rc('ytick', labelsize=23)
-    # plt.plot(n, t_mm, label='Standard', lw=5)
-    # plt.plot(n, t_mm_dc, label='Divide and conquer', lw=5)
-    # plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5)
-    # plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5)
+    plt.plot(n, t_mm, label='Standard', lw=5)
+    plt.plot(n, t_mm_dc, label='Divide and conquer', lw=5)
+    plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5)
+    plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5)
     plt.plot(n, t_np, label='NumPy A@B', lw=5)
     # plt.xscale('log', base=2)
     plt.legend()
@@ -186,9 +184,9 @@ def test_perfomance(n):
     plt.tight_layout()
     # plt.yscale('log')
     plt.legend(fontsize=19)
-    # plt.savefig('meas_' + str(max(n))+ '.pdf')
-    # arr = np.array([n, t_mm, t_mm_dc, t_mm_strassen, t_wino, t_np])
-    # np.savetxt('meas_' + str(max(n))+ '.txt',arr)    
+    plt.savefig('meas_' + str(max(n))+ '.pdf')
+    arr = np.array([n, t_mm, t_mm_dc, t_mm_strassen, t_wino, t_np])
+    np.savetxt('meas_' + str(max(n))+ '.txt',arr)    
     return t_np
 
 
@@ -249,6 +247,8 @@ def plot_c_res(ave, num):
     # blas_t = np.mean(blas_t.reshape(-1,ave),axis=1)
     # blas_n = np.mean(blas_n.reshape(-1,ave),axis=1)
 
+
+
     def func(x, a,b):
         return b*x**a
 
@@ -261,11 +261,11 @@ def plot_c_res(ave, num):
     plt.rc('axes', labelsize=23)
     plt.rc('xtick', labelsize=23)
     plt.rc('ytick', labelsize=23)
-    plt.loglog(MM_n, MM_t, label='3 For Loops', lw=5)
-    plt.loglog(winograd_n, winograd_t, label='Winograd MM', lw=5)
-    plt.loglog(blas_n, blas_t, label='Blas', lw=5)
-    plt.loglog(strassen_n, strassen_t, label='Strassen', lw=5)
-    plt.loglog(MM_dc_n, MM_dc_t, label='Divide and Conquer', lw=5)
+    plt.loglog(MM_n, MM_t, '.', label='3 For Loops', lw=5)
+    plt.loglog(winograd_n, winograd_t, '.', label='Winograd MM', lw=5)
+    plt.loglog(blas_n, blas_t, '.', label='Blas', lw=5)
+    plt.loglog(strassen_n, strassen_t, '.', label='Strassen', lw=5)
+    plt.loglog(MM_dc_n, MM_dc_t, '.', label='Divide and Conquer', lw=5)
     plt.xlabel("n")
     # plt.yscale('log', base=10)
     # plt.xscale('log', base=2)
@@ -281,16 +281,33 @@ def plot_c_res(ave, num):
   
     plt.legend()
     # return [MM_n,winograd_n,blas_n,strassen_n,MM_dc_n]
+    
+    
     return [MM_t,winograd_t,blas_t,strassen_t,MM_dc_t]
 
 
+def mean_confidence_interval(data, confidence=0.95):
+    a = 1.0 * np.array(data)
+    n = len(a)
+    m, se = np.mean(a), scipy.stats.sem(a)
+    h = se * scipy.stats.t.ppf((1 + confidence) / 2., n-1)
+    return m, h
+
 # test%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 if __name__ == '__main__':
-    # A = plot_c_res(1, 4096)
-
- 
-    arr = plot(1024)    
+    # A = plot_c_res(10, 4096)
+    # name = ['MM', 'Wino', 'blas', 'strassen', 'dc']
+    # for i in range(5):
+    #     ci_inner = []
+    #     print(name[i])
+    #     for j in range(11):
+    #         m,h=mean_confidence_interval(A[i][j*10:(j+1)*10])
+    #         print("({},{})".format(2**(j+1),m))
+    #     np.savetxt('meas/ci/' + name[i]+'.txt',ci_inner)
+
+    arr = plot(4096)
     # n = np.logspace(1,12,12,base=2,dtype=(np.int))
+    # n=[2048,4096]
     # n = np.arange(1,50,2)  
     # A = np.random.randint(-10, 6, (5,3))
     # B = np.random.randint(-10, 6, (3,5))
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h b/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h
index 14389fc..63d5390 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h
@@ -1,101 +1,177 @@
-/* Seminar Matrizen, autogenerated File, Michael Schmid, 02/08/2021, 22:48:43 */ 
+/* Seminar Matrizen, autogenerated File, Michael Schmid, 10/08/2021, 05:46:32 */ 
  
 #include <stdint.h> 
 const int A0[][2] = 
   {
-    {75,47},
-    {-41,-24}
+    {60,-84},
+    {-66,-1}
   };
 const int B0[][2] = 
   {
-    {-53,-95},
-    {-93,30}
+    {-45,87},
+    {-38,-73}
   };
 const double dB0[][2] = 
   {
-    {-53,-95},
-    {-93,30}
+    {-45,87},
+    {-38,-73}
   };
 const double dA0[][2] = 
   {
-    {75,47},
-    {-41,-24}
+    {60,-84},
+    {-66,-1}
   };
 const int A1[][4] = 
   {
-    {47,11,-66,8},
-    {36,98,39,82},
-    {-32,12,40,-79},
-    {61,-20,-85,-98}
+    {-72,-19,-91,62},
+    {-36,-74,-44,-47},
+    {-39,-31,50,-93},
+    {-81,2,-17,-86}
   };
 const int B1[][4] = 
   {
-    {37,75,-53,9},
-    {37,-33,-67,38},
-    {70,39,-93,43},
-    {43,41,23,-4}
+    {-66,39,-23,52},
+    {-88,-13,13,-13},
+    {-45,-70,28,-20},
+    {96,5,88,96}
   };
 const double dB1[][4] = 
   {
-    {37,75,-53,9},
-    {37,-33,-67,38},
-    {70,39,-93,43},
-    {43,41,23,-4}
+    {-66,39,-23,52},
+    {-88,-13,13,-13},
+    {-45,-70,28,-20},
+    {96,5,88,96}
   };
 const double dA1[][4] = 
   {
-    {47,11,-66,8},
-    {36,98,39,82},
-    {-32,12,40,-79},
-    {61,-20,-85,-98}
+    {-72,-19,-91,62},
+    {-36,-74,-44,-47},
+    {-39,-31,50,-93},
+    {-81,2,-17,-86}
   };
 const int A2[][8] = 
   {
-    {-54,-87,87,69,52,-21,-86,55},
-    {19,-75,-61,-50,-55,-23,66,-92},
-    {-73,-67,-36,19,84,-11,24,46},
-    {-98,62,-76,57,-100,6,-23,-51},
-    {62,46,1,-64,42,-9,85,-12},
-    {35,-59,-17,-47,78,86,-50,74},
-    {-15,45,33,-59,-9,-81,49,96},
-    {-57,22,-43,7,-30,-45,-5,13}
+    {-36,-2,-58,-32,34,-89,49,-55},
+    {-68,-73,52,-3,-51,-37,-31,70},
+    {73,-90,-21,-79,-15,96,-99,12},
+    {68,-25,38,-73,-60,35,-99,72},
+    {-43,-87,48,-84,-100,37,80,53},
+    {-27,88,-5,-82,-57,-27,20,10},
+    {-91,-47,54,-90,-99,-76,50,-18},
+    {69,-36,76,5,-67,-38,-95,91}
   };
 const int B2[][8] = 
   {
-    {-71,-82,-80,-78,83,-97,48,-24},
-    {15,75,15,-60,-63,-53,1,-50},
-    {-84,63,67,-2,78,93,-13,95},
-    {61,-26,-88,56,56,27,26,1},
-    {2,54,21,36,9,-41,53,53},
-    {85,-11,42,-51,-6,3,27,97},
-    {10,-2,90,-76,-75,0,8,-37},
-    {10,-64,47,-69,66,-50,89,-66}
+    {-84,22,-13,-66,-42,51,66,0},
+    {37,-65,66,-85,-10,-23,77,5},
+    {1,41,-79,0,63,-37,-10,29},
+    {72,66,-99,92,-28,65,25,-40},
+    {69,-49,65,-18,64,-97,-47,30},
+    {36,86,66,-12,-17,89,1,-37},
+    {-100,11,27,23,-75,-23,96,-9},
+    {68,90,-87,-99,-70,-28,98,-76}
   };
 const double dB2[][8] = 
   {
-    {-71,-82,-80,-78,83,-97,48,-24},
-    {15,75,15,-60,-63,-53,1,-50},
-    {-84,63,67,-2,78,93,-13,95},
-    {61,-26,-88,56,56,27,26,1},
-    {2,54,21,36,9,-41,53,53},
-    {85,-11,42,-51,-6,3,27,97},
-    {10,-2,90,-76,-75,0,8,-37},
-    {10,-64,47,-69,66,-50,89,-66}
+    {-84,22,-13,-66,-42,51,66,0},
+    {37,-65,66,-85,-10,-23,77,5},
+    {1,41,-79,0,63,-37,-10,29},
+    {72,66,-99,92,-28,65,25,-40},
+    {69,-49,65,-18,64,-97,-47,30},
+    {36,86,66,-12,-17,89,1,-37},
+    {-100,11,27,23,-75,-23,96,-9},
+    {68,90,-87,-99,-70,-28,98,-76}
   };
 const double dA2[][8] = 
   {
-    {-54,-87,87,69,52,-21,-86,55},
-    {19,-75,-61,-50,-55,-23,66,-92},
-    {-73,-67,-36,19,84,-11,24,46},
-    {-98,62,-76,57,-100,6,-23,-51},
-    {62,46,1,-64,42,-9,85,-12},
-    {35,-59,-17,-47,78,86,-50,74},
-    {-15,45,33,-59,-9,-81,49,96},
-    {-57,22,-43,7,-30,-45,-5,13}
-  };
-const int *Ap[3] = {(int*) A0,(int*) A1,(int*) A2}; 
-const int *Bp[3] = {(int*) B0,(int*) B1,(int*) B2}; 
-const double *dAp[3] = {(double*) dA0,(double*) dA1,(double*) dA2}; 
-const double *dBp[3] = {(double*) dB0,(double*) dB1,(double*) dB2}; 
-int n[3] = {2,4,8}; 
-int n_arrays = 3;
+    {-36,-2,-58,-32,34,-89,49,-55},
+    {-68,-73,52,-3,-51,-37,-31,70},
+    {73,-90,-21,-79,-15,96,-99,12},
+    {68,-25,38,-73,-60,35,-99,72},
+    {-43,-87,48,-84,-100,37,80,53},
+    {-27,88,-5,-82,-57,-27,20,10},
+    {-91,-47,54,-90,-99,-76,50,-18},
+    {69,-36,76,5,-67,-38,-95,91}
+  };
+const int A3[][16] = 
+  {
+    {-24,65,21,19,94,70,-90,-81,53,-41,-23,-1,58,-80,-54,59},
+    {-42,76,-19,98,29,-56,92,14,45,11,82,83,48,-13,81,66},
+    {43,-57,-67,95,5,72,11,0,-47,55,-24,36,84,54,-31,-54},
+    {-39,-40,19,97,-82,-56,27,95,81,-21,-50,-74,-35,-87,-28,-26},
+    {-74,-98,79,92,-24,-48,99,94,55,-83,70,98,-24,18,-67,14},
+    {20,76,11,-23,-56,21,0,42,64,86,-74,44,93,-76,-30,97},
+    {13,20,-73,-11,-30,80,53,-8,60,21,17,-42,82,-72,-6,-80},
+    {36,-93,-64,-21,20,-85,15,24,99,81,-52,64,71,-56,52,63},
+    {32,9,-2,-85,17,62,-98,-35,75,-58,-44,-20,-47,89,-95,52},
+    {93,-43,86,68,-6,-25,90,57,60,-10,65,-97,43,46,-60,-41},
+    {43,-33,0,50,-100,26,-60,95,39,-70,-61,-81,9,-23,-99,-4},
+    {20,61,15,43,-96,93,-55,38,-29,-1,-10,26,-87,18,64,6},
+    {-98,-84,51,16,-14,86,52,59,44,-39,-2,10,82,-66,54,19},
+    {89,-49,-37,-6,-53,40,-11,46,-51,-56,86,34,11,13,-20,-49},
+    {-90,14,28,-45,-25,-56,-51,-61,28,-8,51,91,95,-10,-85,58},
+    {8,-44,88,-71,-27,11,89,37,86,-78,-44,-56,-87,0,-42,-61}
+  };
+const int B3[][16] = 
+  {
+    {62,-30,62,92,29,-93,-95,44,-33,-88,-29,9,-88,-42,-90,-70},
+    {60,37,-44,-93,-87,6,-53,2,-29,53,-49,59,6,83,-15,50},
+    {-19,85,-49,-14,84,-4,12,88,-83,-81,-24,-16,-12,-42,-63,-71},
+    {-42,-78,-58,-61,-29,67,-28,-46,64,7,6,-13,88,-42,95,-24},
+    {-90,-56,8,-30,-89,70,37,-29,24,-8,-10,-2,-25,-63,-95,-91},
+    {10,-81,42,-28,-13,-68,-72,-20,-22,5,-79,-50,-88,62,57,69},
+    {-67,24,-71,-43,11,48,33,-93,-82,-65,-4,5,-15,25,-54,-45},
+    {-49,19,-29,90,-97,-87,78,-39,-75,-85,-79,-35,54,3,-73,7},
+    {-7,39,70,-42,32,-100,56,4,-24,-57,38,-49,-50,-44,79,-42},
+    {37,-65,-55,22,-97,-42,-76,95,97,-27,38,11,0,-81,-23,35},
+    {26,-70,10,-29,47,-70,-52,29,-13,-18,5,34,18,32,87,91},
+    {-84,41,-19,96,-51,-19,81,75,81,92,2,-40,-42,-69,-10,-61},
+    {-30,98,71,-51,91,-59,58,86,86,-22,-84,7,66,-55,-52,23},
+    {-71,-44,-9,90,26,18,26,-10,-85,64,-47,3,72,81,74,-8},
+    {52,-59,-91,22,8,-63,84,9,-11,-54,-78,-71,-98,42,96,57},
+    {18,-39,34,-50,-62,-96,-2,-78,52,94,-33,2,-19,-9,-86,-75}
+  };
+const double dB3[][16] = 
+  {
+    {62,-30,62,92,29,-93,-95,44,-33,-88,-29,9,-88,-42,-90,-70},
+    {60,37,-44,-93,-87,6,-53,2,-29,53,-49,59,6,83,-15,50},
+    {-19,85,-49,-14,84,-4,12,88,-83,-81,-24,-16,-12,-42,-63,-71},
+    {-42,-78,-58,-61,-29,67,-28,-46,64,7,6,-13,88,-42,95,-24},
+    {-90,-56,8,-30,-89,70,37,-29,24,-8,-10,-2,-25,-63,-95,-91},
+    {10,-81,42,-28,-13,-68,-72,-20,-22,5,-79,-50,-88,62,57,69},
+    {-67,24,-71,-43,11,48,33,-93,-82,-65,-4,5,-15,25,-54,-45},
+    {-49,19,-29,90,-97,-87,78,-39,-75,-85,-79,-35,54,3,-73,7},
+    {-7,39,70,-42,32,-100,56,4,-24,-57,38,-49,-50,-44,79,-42},
+    {37,-65,-55,22,-97,-42,-76,95,97,-27,38,11,0,-81,-23,35},
+    {26,-70,10,-29,47,-70,-52,29,-13,-18,5,34,18,32,87,91},
+    {-84,41,-19,96,-51,-19,81,75,81,92,2,-40,-42,-69,-10,-61},
+    {-30,98,71,-51,91,-59,58,86,86,-22,-84,7,66,-55,-52,23},
+    {-71,-44,-9,90,26,18,26,-10,-85,64,-47,3,72,81,74,-8},
+    {52,-59,-91,22,8,-63,84,9,-11,-54,-78,-71,-98,42,96,57},
+    {18,-39,34,-50,-62,-96,-2,-78,52,94,-33,2,-19,-9,-86,-75}
+  };
+const double dA3[][16] = 
+  {
+    {-24,65,21,19,94,70,-90,-81,53,-41,-23,-1,58,-80,-54,59},
+    {-42,76,-19,98,29,-56,92,14,45,11,82,83,48,-13,81,66},
+    {43,-57,-67,95,5,72,11,0,-47,55,-24,36,84,54,-31,-54},
+    {-39,-40,19,97,-82,-56,27,95,81,-21,-50,-74,-35,-87,-28,-26},
+    {-74,-98,79,92,-24,-48,99,94,55,-83,70,98,-24,18,-67,14},
+    {20,76,11,-23,-56,21,0,42,64,86,-74,44,93,-76,-30,97},
+    {13,20,-73,-11,-30,80,53,-8,60,21,17,-42,82,-72,-6,-80},
+    {36,-93,-64,-21,20,-85,15,24,99,81,-52,64,71,-56,52,63},
+    {32,9,-2,-85,17,62,-98,-35,75,-58,-44,-20,-47,89,-95,52},
+    {93,-43,86,68,-6,-25,90,57,60,-10,65,-97,43,46,-60,-41},
+    {43,-33,0,50,-100,26,-60,95,39,-70,-61,-81,9,-23,-99,-4},
+    {20,61,15,43,-96,93,-55,38,-29,-1,-10,26,-87,18,64,6},
+    {-98,-84,51,16,-14,86,52,59,44,-39,-2,10,82,-66,54,19},
+    {89,-49,-37,-6,-53,40,-11,46,-51,-56,86,34,11,13,-20,-49},
+    {-90,14,28,-45,-25,-56,-51,-61,28,-8,51,91,95,-10,-85,58},
+    {8,-44,88,-71,-27,11,89,37,86,-78,-44,-56,-87,0,-42,-61}
+  };
+const int *Ap[4] = {(int*) A0,(int*) A1,(int*) A2,(int*) A3}; 
+const int *Bp[4] = {(int*) B0,(int*) B1,(int*) B2,(int*) B3}; 
+const double *dAp[4] = {(double*) dA0,(double*) dA1,(double*) dA2,(double*) dA3}; 
+const double *dBp[4] = {(double*) dB0,(double*) dB1,(double*) dB2,(double*) dB3}; 
+int n[4] = {2,4,8,16}; 
+int n_arrays = 4;
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf
index 5236afb..f637ae4 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/ci.txt b/buch/papers/multiplikation/code/ci.txt
new file mode 100644
index 0000000..e69de29
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/ci.txt
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/helper_class.py b/buch/papers/multiplikation/code/helper_class.py
index 485fa76..3b74f67 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/code/helper_class.py
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/helper_class.py
@@ -101,5 +101,6 @@ if __name__ == '__main__':
 
     helper = Helper()
     # n = np.arange(2,10)
-    n = np.logspace(1,3,3,base=2,dtype=(np.int))
-    C = helper.write_c_matrix(n)
+    n = np.logspace(1,11,11,base=2,dtype=(np.int))
+    # n=[8192]
+    # C = helper.write_c_matrix(n)
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt
index e296dd7..7bffb6e 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt
@@ -1,12 +1,110 @@
-0.000001,2
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+0.000000,2
+0.000000,2
+0.000000,2
+0.000000,2
+0.000000,2
+0.000000,2
+0.000000,2
+0.000000,2
+0.000000,2
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+0.000000,4
+0.000000,4
+0.000000,4
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+129.295723,2048
+129.402601,2048
+129.300820,2048
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt
index f6be928..b78b925 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt
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diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/blas.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/blas.txt
index 92a61b9..9414d8f 100644
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+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/blas.txt
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+7.619210,2048
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new file mode 100644
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/ci/MM.txt
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new file mode 100644
index 0000000..e69de29
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/ci/Wino.txt
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new file mode 100644
index 0000000..e69de29
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/ci/blas.txt
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/ci/dc.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/ci/dc.txt
new file mode 100644
index 0000000..e69de29
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/ci/dc.txt
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/ci/strassen.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/ci/strassen.txt
new file mode 100644
index 0000000..e69de29
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/ci/strassen.txt
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/old/8196/MM.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/old/8196/MM.txt
new file mode 100644
index 0000000..0edf9f6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/old/8196/MM.txt
@@ -0,0 +1 @@
+9376.173434,8192
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/old/8196/MM_dc.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/old/8196/MM_dc.txt
new file mode 100644
index 0000000..36f6ff0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/old/8196/MM_dc.txt
@@ -0,0 +1 @@
+9606.402522,8192
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new file mode 100644
index 0000000..b5989fb
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/old/8196/blas.txt
@@ -0,0 +1 @@
+478.429957,8192
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new file mode 100644
index 0000000..ca06e97
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/old/8196/strassen.txt
@@ -0,0 +1 @@
+3014.235467,8192
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new file mode 100644
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/old/8196/winograd.txt
@@ -0,0 +1 @@
+10071.512655,8192
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new file mode 100644
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new file mode 100644
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+1147.106865,4096
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/old/blas.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/old/blas.txt
new file mode 100644
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/old/blas.txt
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diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/old/strassen.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/old/strassen.txt
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/old/strassen.txt
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new file mode 100644
index 0000000..d185906
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+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/old/winograd.txt
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diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/strassen.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/strassen.txt
index fdfbf2b..d6e040e 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/strassen.txt
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/strassen.txt
@@ -1,12 +1,110 @@
-0.000001,2
-0.000003,4
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-8.457472,1024
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+0.000000,2
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+0.000002,4
+0.000002,4
+0.000002,4
+0.000002,4
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+61.818110,2048
+62.045588,2048
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt
index d185906..970a3f4 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt
@@ -1,12 +1,110 @@
 0.000001,2
-0.000001,4
+0.000000,2
+0.000000,2
+0.000000,2
+0.000000,2
+0.000000,2
+0.000000,2
+0.000000,2
+0.000000,2
+0.000000,2
+0.000000,4
+0.000000,4
+0.000000,4
+0.000000,4
+0.000000,4
+0.000000,4
+0.000000,4
+0.000000,4
+0.000000,4
+0.000000,4
 0.000002,8
+0.000002,8
+0.000002,8
+0.000002,8
+0.000002,8
+0.000002,8
+0.000002,8
+0.000002,8
+0.000002,8
+0.000002,8
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+0.000011,16
+0.000011,16
+0.000011,16
+0.000011,16
+0.000011,16
+0.000011,16
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+0.000011,16
 0.000011,16
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+0.000092,32
+0.000092,32
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+0.000081,32
+0.000081,32
+0.000081,32
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+0.000079,32
+0.000079,32
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+0.000609,64
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+0.000626,64
+0.000626,64
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+136.642195,2048
+136.622805,2048
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf
index e889d17..ecf2cff 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt
index e69de29..cae1bc6 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt
@@ -0,0 +1,6 @@
+2.048000000000000000e+03 4.096000000000000000e+03
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+2.157390117645263672e-01 1.491588830947875977e+00
diff --git a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex
index 9f1cb04..9b03a4e 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex
@@ -3,18 +3,17 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Einleitung \label{multiplikation:section:einleitung}}
-\rhead{Einleitung}
+\section{Matrizenmultiplikation \label{multiplikation:section:einleitung}}
+\rhead{Matrizenmultiplikation}
 
-Die Multiplikation zweier Matrizen ist eine wichtige Operation die in verschiedensten Teilen der Mathematik Anwendung findet.
+Die Multiplikation zweier Matrizen ist eine wichtige Operation, die in verschiedensten Teilen der Mathematik Anwendung findet.
 Die Beschreibung der Multiplikation aus der Definition 2.10:
-
 Eine $m\times n$-Matrix $\mathbf{A}\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ und eine
-$n\times p$-Matrix $\mathbf{B}\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ haben als Produkt
-eine $n\times l$-Matrix $\mathbf{C}=\mathbf{AB}\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ mit den
+$n\times p$-Matrix $\mathbf{B}\in M_{n\times p}(\Bbbk)$ haben als Produkt
+eine $m\times p$-Matrix $\mathbf{C}=\mathbf{AB}\in M_{m\times p}(\Bbbk)$ mit den
 Koeffizienten
 \begin{equation}
-c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.
+C_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}.
 \label{multiplikation:eq:MM}
 \end{equation}
 Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $\mathbf{AB}=\mathbf{C}$ wie in Abbildung \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden.
@@ -34,7 +33,7 @@ C_{11} & C_{12}\\
 C_{21} & C_{22}
 \end{bmatrix}
 \end{equation}
-explizt als Gleichung
+explizt als Gleichungen
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:MM_exp}
 \begin{split}
 C_{11} &= A_{11} \cdot B_{11} + A_{12} \cdot B_{21}\\
@@ -47,6 +46,6 @@ der einzelnen Terme geschrieben werden.
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[]{papers/multiplikation/images/mm_visualisation}
-	\caption{Matrizen Multiplikation}
+	\caption{Grafische Illustration der Matrizenmultiplikation}
 	\label{multiplikation:fig:mm_viz}
 \end{figure}
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/algo_tab.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/algo_tab.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7f2bb4f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/algo_tab.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/algo_tab.tex b/buch/papers/multiplikation/images/algo_tab.tex
new file mode 100644
index 0000000..50ce392
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/algo_tab.tex
@@ -0,0 +1,122 @@
+\documentclass{article}
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+
+\begin{document}
+
+
+
+\begin{table}[t]
+	\begin{tabular}{ll}
+		\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+			\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
+				\label{multiplikation:alg:b1}
+				\setlength{\lineskip}{7pt}
+				\begin{algorithmic}
+					\Function{B1}{$a, b$}
+					\State \textbf{return} $a+b$
+					\EndFunction
+					\State
+					\State
+				\end{algorithmic}
+			\end{algorithm}
+		\end{minipage}	
+		&
+		\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+	\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
+	\label{multiplikation:alg:b2}
+	\setlength{\lineskip}{7pt}
+	\begin{algorithmic}
+		\Function{B2}{$a, b$}
+		\State $ x \gets a+b $
+		\State $ y \gets a \cdot b $
+		\State \textbf{return} $x+y$
+		\EndFunction
+	\end{algorithmic}
+\end{algorithm}
+
+		\end{minipage}
+	\end{tabular}
+\end{table}
+
+\begin{table}
+	\begin{tabular}[t]{ll} 
+		\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+			\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
+				\setlength{\lineskip}{7pt}
+				\begin{algorithmic}
+					\label{multiplikation:alg:linear}
+					\Function{L}{$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,n}
+					\State $ sum \gets 0$
+					\For{$i = 0,1,2 \dots,n$}
+					\State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[i] $
+					\EndFor
+					
+					\State \textbf{return} $sum$
+					
+					\EndFunction
+					\State
+					\State
+				\end{algorithmic}
+			\end{algorithm}
+		\end{minipage}	
+		&
+		\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+			\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
+			\label{multiplikation:alg:q1}
+			\setlength{\lineskip}{7pt}
+			\begin{algorithmic}
+				\Function{Q}{$\mathbf{A}, \mathbf{B}$,n}
+				\State $ sum \gets 0$
+				\For{$i = 0,1,2 \dots,n$}
+				\For{$j = 0,1,2 \dots,n$}
+				\State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[j] $
+				\EndFor
+				\EndFor
+				\State \textbf{return} $sum$
+				\EndFunction
+			\end{algorithmic}
+		\end{algorithm}
+		\end{minipage}
+	\end{tabular}
+\end{table}
+
+dhdfh
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf
index 8a53398..2519553 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex
index 9ee3a68..63fd0fd 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex
@@ -54,6 +54,7 @@
     xticklabels=\empty,
     scale only axis=true,
   width=12cm, height=8cm,
+  legend cell align={left}
     ]
 \addplot [
     domain= 1:5000,
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.pdf
index 3a4cfd8..521151e 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.pdf
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.tex b/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.tex
index 818a7e6..12d3527 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.tex
@@ -43,99 +43,106 @@
 \begin{tikzpicture}
 \begin{axis}[
 xmode=log, ymode=log,
-xmin=60, xmax=5000,
-ymin=1e-4, ymax=2e3,
+xmin=30, xmax=10000,
+ymin=1e-5, ymax=2e4,
 grid=both,
 major grid style={black!50},
-xlabel = data Input ($n$),
+xlabel = data input ($n$),
 ylabel = {time ($s$)},
 legend pos=north west,
 very thick,
 scale only axis=true,
 width=12cm, height=8cm,
-       log basis x={10}
+       log basis x={10},
+       legend cell align={left}
 ]
 \addlegendentry{Winograd}
-\addplot[    color=purple,
+\addplot[    color=blue,
+        error bars/.cd, y dir=both, y explicit,
 ] coordinates {
-% (2,   0.000001)
-% (4,   0.000001)
-% (8,   0.000002)
-% (16,  0.000011)
-% (32,  0.000100)
-(64,  0.000654)
-(128, 0.005229)
-(256, 0.057440)
-(512, 0.517850)
-(1024,4.539413)
-(2048,130.627663)
+%(2,1e-07)
+%(4,5e-07)
+%(8,2.0000000000000003e-06)
+%(16,1.1999999999999999e-05)
+(32,8.329999999999999e-05)
+(64,0.0006479)
+(128,0.0052873)
+(256,0.052674599999999995)
+(512,0.5249752000000001)
+(1024,4.671161)
+(2048,136.6769777)
 (4096,1179.261048)
+(8192,10071.512655)
 };
 \addlegendentry{Strassen}
 \addplot [    color=black,
 ]coordinates {
-  %  (2,0.000001 )
-  %  (4,0.000003 )
-  %  (8,0.000010 )
-  % (16,0.000066 )
-  % (32,0.000470 )
-  (64,0.003368 )
- (128,0.024232 )
- (256,0.172000 )
- (512,1.209262 )
-(1024,8.457472 )
-(2048,59.267256)
+%(2,1e-07)
+%(4,2.1e-06)
+%(8,1.13e-05)
+%(16,7.07e-05)
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+(128,0.0254481)
+(256,0.1781817)
+(512,1.2555)
+(1024,8.8302371)
+(2048,61.9018691)
 (4096,414.648901)
+(8192,3014.235467)
 };
 
 \addlegendentry{MM div and conq}
 \addplot[    color=green,
 ] coordinates {
-  %  (2,0.000003   )
-  %  (4,0.000002   )
-  %  (8,0.000010   )
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-  (64,0.004264   )
- (128,0.036289   )
- (256,0.324645   )
- (512,2.612010   )
-(1024,19.928951  )
-(2048,159.333884 )
+%(2,3e-07)
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+%(8,8.6e-06)
+%(16,7.819999999999999e-05)
+(32,0.0005940000000000001)
+(64,0.0044339)
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+(512,2.2228507)
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+(2048,141.6103936)
 (4096,1147.106865)
+(8192,9606.402522)
 };
 
 \addlegendentry{MM}
 \addplot [    color=red,
 ]coordinates {
-  %  (2,0.000001   )
-  %  (4,0.000001   )
-  %  (8,0.000001   )
-  % (16,0.000010   )
-  % (32,0.000081   )
-  (64,0.000654   )
- (128,0.005556   )
- (256,0.054253   )
- (512,0.487317   )
-(1024,4.162845   )
-(2048,125.909034 )
+%(2,0.0)
+%(4,3e-07)
+%(8,1.8000000000000001e-06)
+%(16,1.1999999999999999e-05)
+(32,8.93e-05)
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+(512,0.5062468000000001)
+(1024,4.5048086)
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 (4096,1111.312696)
+(8192,9376.173434)
 };
 \addlegendentry{BLAS}
-\addplot[    color=blue,
+\addplot[    color=purple,
 ] coordinates {
-  %  (2,0.000001 )
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- (256,0.010165  )
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+%(2,1e-07)
+%(4,0.0)
+%(8,1e-07)
+%(16,3.9e-06)
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 (4096,55.845038)
+(8192,478.429957)
 };
 \end{axis}
 \end{tikzpicture}
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.pdf
index cea2232..fe89773 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.pdf
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.tex b/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.tex
index ee4db43..ad43cf6 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.tex
@@ -43,8 +43,8 @@
 \begin{tikzpicture}
 \begin{axis}[
 xmode=log, ymode=log,
-xmin=30, xmax=1050,
-ymin=0.01, ymax=900,
+xmin=30, xmax=4200,
+ymin=0.01, ymax=70000,
 grid=both,
 major grid style={black!50},
 xlabel = data input ($n$),
@@ -53,10 +53,11 @@ legend pos=north west,
 very thick,
 scale only axis=true,
 width=12cm, height=8cm,
-       log basis x={10}
+       log basis x={10},
+       legend cell align={left}
 ]
 \addlegendentry{Winograd}
-\addplot[    color=purple,
+\addplot[    color=blue,
 ] coordinates {
 % (2,   2.7895e-05 )
 % (4,   0.000104904)
@@ -68,7 +69,8 @@ width=12cm, height=8cm,
 (256, 8.29899    )
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 (1024,537.374    )
-
+(2046,4884.61)
+(4096,43597.1)
 };
 \addlegendentry{Strassen}
 \addplot [    color=black,
@@ -79,10 +81,12 @@ width=12cm, height=8cm,
   % (16,0.00475407  )
   (32,0.0485256   )
   (64,0.220414    )
- (128,1.44718    2 )
- (256,9.93866    0 )
- (512,63.961     2 )
-(1024,461.494    2 )
+ (128,1.44718    )
+ (256,9.93866    )
+ (512,63.961     )
+(1024,461.494    )
+(2046,3860.57)
+(4096,22904.3)
 };
 
 \addlegendentry{MM div and conq}
@@ -98,6 +102,8 @@ width=12cm, height=8cm,
  (256,13.27        )
  (512,105.397      )
 (1024,847.321      )
+(2046,7375.93)
+(4096,58466)
 };
 
 \addlegendentry{MM}
@@ -113,25 +119,27 @@ width=12cm, height=8cm,
  (256,  11.0062 )
  (512,   85.4768)
 (1024,750.757 )
+(2046,6154.18)
+(4096,46813.3)
 };
-% \addlegendentry{NumPy}
-% \addplot[    color=blue,
-% ] coordinates {
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-%  (512,0.00221705   )
-% (1024,0.0188088    )
-% };
+%  \addlegendentry{NumPy}
+%  \addplot[    color=blue,
+%  ] coordinates {
+% %    (2,1.83582e-05 )
+% %    (4,7.86781e-06)
+% %    (8,1.00136e-05)
+% %   (16,5.4121e-05 )
+%    (32,4.26769e-05)
+%  (64,0.000118494)
+%   (128,0.000244141 )
+%   (256,0.000695705  )
+%   (512,0.00221705   )
+%  (1024,0.0188088    )
+% (2046,0.215739)
+% (4096,1.49159)
+%  };
+
 \end{axis}
 \end{tikzpicture}
 
 \end{document}
-
-
-
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf
index a30fdaa..d150125 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex
index 5cf39b4..b51a9d5 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex
@@ -56,7 +56,7 @@
 			A_{11}B_{11} \& A_{12}B_{12} \& A_{21}B_{12} \& A_{22}B_{12} \\
 			A_{11}B_{22} \& A_{12}B_{22} \& A_{21}B_{22} \& A_{22}B_{22} \\
 		};}
-	
+
 	\foreach \j in {1,...,7}
 	{
 		\matrix(M\i\j)[matrix of math nodes,nodes in empty cells,
@@ -76,18 +76,18 @@
 }
 
 \huge{
-	\node at (-3,-20)  {$C_{22}=$};
-	\node at (-3,-15) {$C_{21}=$} ;
-	\node at (-3,-10) {$C_{12}=$} ;
-	\node at (-3,-5) {$C_{11}=$} ;
-	
-	\node at (5,-2)  {P};
-	\node at (10,-2)  {Q};
-	\node at (15,-2)  {R};
-	\node at (20,-2)  {S};
-	\node at (25,-2)  {T};
-	\node at (30,-2)  {U};
-	\node at (35,-2)  {V};
+	\node at (-3,-20) {$\mathbf{C}_{22}=$};
+	\node at (-3,-15) {$\mathbf{C}_{21}=$} ;
+	\node at (-3,-10) {$\mathbf{C}_{12}=$} ;
+	\node at (-3,-5)  {$\mathbf{C}_{11}=$} ;
+
+	\node at (5,-2)   {$\mathbf{P}$};
+	\node at (10,-2)  {$\mathbf{Q}$};
+	\node at (15,-2)  {$\mathbf{R}$};
+	\node at (20,-2)  {$\mathbf{S}$};
+	\node at (25,-2)  {$\mathbf{T}$};
+	\node at (30,-2)  {$\mathbf{U}$};
+	\node at (35,-2)  {$\mathbf{V}$};
 }
 
 
@@ -100,41 +100,132 @@
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+% P
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+
+% Q
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+
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+
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+
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+
+% R
+
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+
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+
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+
+% S
+
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+
+
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+
+%T
+
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+
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+
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+
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+
+% U
+
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+
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+
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+
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+
+%V
+
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+
+
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+
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+
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+
+
+
+
+
 \end{tikzpicture}
 
 \end{document}
diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index a7612e1..8d0c0a8 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -7,14 +7,13 @@
 \section{Algorithmen}
 \rhead{Algorithmen}
 
-In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
+In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur unkomplizierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
 
-\subsection{Standard Algorithmus}
+\subsection{Standardalgorithmus}
 
-Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden.
-Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert.
+Die Standardmethode ist im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} implementiert.
+Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt umgesetzt.
 Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
-
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrizenmultiplikation}
 	\label{multiplikation:alg:smm}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
@@ -38,19 +37,18 @@ Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix,
 		\EndFunction
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
-
-Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}\left(n^3\right)$
+Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{for} Schleifen ist $\mathcal{O} (n^3)$.
 
 \subsubsection{Divide and Conquer Methode}
 
 F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer}  Ans\"atze \cite{multiplikation:DAC} zu markant besseren Laufzeiten.
 Die Grundidee ist, dass ein Problem in mehrere, meist simplere und kleinere Teilprobleme aufgeteilt wird.
-Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann.
+Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O} (n^2)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann.
 
 Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden.
 Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden.
 Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der Gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ aufgeteilt.
-Das Matrizen Produkt
+Das Matrizenprodukt
 \begin{equation}
 \mathbf{A}\mathbf{B}=
 \begin{bmatrix}
@@ -65,16 +63,16 @@ Das Matrizen Produkt
 \begin{bmatrix}
 \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\
 \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22}
-\end{bmatrix},
+\end{bmatrix}
 \end{equation}
-\begin{equation}
-\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}2n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
+mit \begin{equation}
+\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^{2n} \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj},
 \label{multiplikation:eq:MM_block}
 \end{equation}
-ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrize $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet.
+ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrizen $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet.
 
 Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz,
-Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen.
+Die Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen.
 Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ durchgef\"uhrt.
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Divide and Conquer Matrizenmultiplikation}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
@@ -107,11 +105,11 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$
 
 Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algorithmen.
 Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe $\mathcal{T} $ der Funktion die Laufzeit.
-In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt
+In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt zu
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac}
-	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T}\left (\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}\left (n^{3} \right )
+	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T} \left(\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}  (n^{3} ),
 \end{equation}
-zu einer kubischen Laufzeit.
+also einer kubischen Laufzeit.
 Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden.
 In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung gef\"uhrt.
 
@@ -131,7 +129,7 @@ Die sieben grundlegenden Terme
 \text{\textbf{V}} &= \left(\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}\right )
 \end{split}
 \end{equation}
-aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke
+aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2}
 \begin{split}
 \mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\
@@ -189,12 +187,13 @@ der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht.
 Strassens Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
 Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ .
 Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die Addition, welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird.
-Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$.
+Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \ldots, V}$.
 Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.
+Graue Felder bedeuten, dass die dazugehörige Spalte nicht für die Berechnung benötigt wird.
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf}
-	\caption{Strassens Algorithmus}
+	\caption{Der Algorithmus von Strassen verwendet Multiplikationen zur Berechnung der sieben Blockmatrizen $\mathbf{P}$ bis $\mathbf{V}$ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, aus denen sich die Blöcke es Produktes $\mathbf{C}=\mathbf{AB}$ ausschliesslich durch Addition und Subtraktion bilden lassen. Die einzelnen Felder in den Quadraten stellen alle möglichen Produkte von Matrizen $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{jl}$ dar. In den grossen Quadraten am linken Rand sind diejenigen Produkte grün markiert, welche zusammen die entsprechenden Blöcke $\mathbf{C}_{il}$ von $\mathbf{C}$ ergeben. In den Spalten $\mathbf{P}$ bis $\mathbf{V}$ sind die Produkte farblich hervorgehoben, die in der Definition der entsprechenden Matrix vorkommen. Grün und rot symbolisieren die Vorzeichen, mit denen die Produkte kombiniert werden müssen. Graue Felder werden für die Berechnung von $\mathbf{C}_{il}$ nicht benötigt.}
 	\label{multiplikation:fig:strassen}
 \end{figure}
 
@@ -202,7 +201,7 @@ Die Funktion wird sieben mal rekursiv aufgerufen.
 Dies f\"uhrt nach dem \textit{Master Theorem} zu einer Laufzeit von
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitstrassen}
 \mathcal{T}(n) =
-7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  = \mathcal{O}\left(n^{\log_2 7}\right ) = \mathcal{O}\left(n^{2.8074} \right )
+7 \cdot \mathcal{T}\left(\frac{n}{2}\right) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 7} ) = \mathcal{O}(n^{2.8074}  )
 \end{equation}
 und ist somit schneller als die Standardmethode.
 Man beachte, dass die Anzahl von Additionen und Subtraktionen gr\"osser und die Anzahl der Multiplikationen kleiner wurde.
@@ -233,41 +232,38 @@ Das Skalarprodukt ist nun geben mit
 	\end{cases}
 \end{equation}
 Das Skalarprodukt kann also mit $ \lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor$ weiteren Multiplikationen berechnet werden.
-Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte.
+Angenommen man hat $N$ Vektoren, mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte.
 Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt.
 Die Summen f\"ur $\xi$ und $\eta$ m\"ussen nur einmal berechnet werden.
-Für die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:skalar} benötigt man $Tn$ Multiplikationen.
-Im Vergleich mit der neuen Methode
-\begin{equation}
-	\begin{split}\label{multiplikation:eq:eff}
-		N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor \leq Tn \\
-		\approx \frac{Nn}{2} + \frac{Tn}{2} \leq Tn \\
-		\frac{Nn}{2} \leq \frac{Tn}{2} \\
-		N \leq T
-\end{split}
+Für die ursprüngliche Gleichung \eqref{multiplikation:eq:skalar} für das Skalarprodukt benötigt man $Tn$ Multiplikationen.
+Damit können wir die Laufzeit der Methode von Winograd mit der Laufzeit der Standardmethode vergleichen. Sie ist kleiner als die Laufzeit für die Standardmethode, wenn gilt
+\begin{equation}\label{multiplikation:eq:eff}
+\begin{array}{crcl}
+                & N\lfloor n/2\rfloor + T\lfloor(n+1)/2\rfloor \approx Nn/2 + Tn/2 & \le & Tn   \\
+\Leftrightarrow &                                                             Nn/2 & \le & Tn/2 \\
+\Leftrightarrow &                                                                N & \le & T.
+\end{array}
 \end{equation}
-spart man etwas, falls $N\leq T$.
 Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet.
 Dies f\"uhrt zu
 \begin{equation}
 		(m+p) \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + mp \left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor = \frac{mn}{2} + \frac{pn}{2} + \frac{mpn}{2} + \frac{mp}{2}
 \end{equation}
 Multiplikationen.
-Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt.
-Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
-Mit dem gleichen Ansatz wie in der Gleichung \ref{multiplikation:eq:eff} aber mit quadratischen Matrizen, muss
-\begin{equation}
+Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt, was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
+Mit dem gleichen Ansatz wie in der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:eff} aber mit quadratischen Matrizen, muss
+\begin{align}
 	\begin{split}
-N=2n, \quad T = n^2 \\
-	2n \leq n^2 \\
-	2 \leq n
+N=2n, &\quad T = n^2 \\
+	2n &\leq n^2 \\
+	2 &\leq n
 \end{split}
-\end{equation}
+\end{align}
 sein, damit man etwas einspart.
 Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
-Falls $m=n=p$ werden $\frac{n^3}/{2}$ Multiplikationen benötigt.
+Falls $m=n=p$, werden $\frac{n^3}{2}$ Multiplikationen benötigt.
 Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \rightarrow \infty$ können Konstanten vernachlässigt werden und
- somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^3 \right)$.
+ somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}(n^3 )$.
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograds Matrizenmultiplikation}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\label{multiplikation:alg:winograd}
@@ -323,7 +319,7 @@ Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \ri
 \subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}
 
 Die gebräuchliche Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subroutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}  \cite{multiplikation:BLAS}.
-Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}.
+Die meisten numerischen Bibliotheken von high-level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}.
 
 \textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt.
 
@@ -336,33 +332,33 @@ Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{M
 	\item Level 2
 	\begin{itemize}
 		\item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{x}+\beta  \mathbf{y}$
-		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ Charakteristik
+		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n^2)$ Charakteristik
 		\end{itemize}
 		\item Level 3
 		\begin{itemize}
 			\item Operationen der Art: $\mathbf{C} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{B}+\beta\mathbf{C}$
-			\item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ Charakteristik
+			\item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n^3)$ Charakteristik
 			\end{itemize}
 \end{itemize}
 
-Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgeklügelter Verwendung der Speicherarchitektur zu erheblichen Leistungsoptimierungen f\"uhren.
+Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computerprozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgeklügelter Verwendung der Speicherarchitektur zu erheblichen Leistungsoptimierungen f\"uhren.
 
 
-\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)}
-
-Die \textit{Double-GEMM} \cite{multiplikation:DGEMM} ist definiert als:
-
-\textit{DGEMM  performs one of the matrix-matrix operations}
-$$
- C := \alpha \cdot op( A )\cdot op( B ) + \beta \cdot C,
- $$
- \textit{where  op( X ) is one of}
-$$
-op( X ) = X  \quad \text{ or } \quad  op( X ) = X^T,
-$$
- \textit{alpha and beta are scalars, and A, B and C are matrices, with op( A )
- an m by k matrix,  op( B )  a  k by n matrix and  C an m by n matrix.
- }
+%\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)}
+%
+%Die \textit{Double-GEMM} \cite{multiplikation:DGEMM} ist definiert als:
+%
+%\textit{DGEMM  performs one of the matrix-matrix operations}
+%$$
+% C := \alpha \cdot op( A )\cdot op( B ) + \beta \cdot C,
+% $$
+% \textit{where  op( X ) is one of}
+%$$
+%op( X ) = X  \quad \text{ or } \quad  op( X ) = X^T,
+%$$
+% \textit{alpha and beta are scalars, and A, B and C are matrices, with op( A )
+% an m by k matrix,  op( B )  a  k by n matrix and  C an m by n matrix.
+% }
 
 %Die Implementation von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei  $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als
 %\begin{lstlisting}[style=multiplikationC]
@@ -379,7 +375,7 @@ $$
 Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert.
 \begin{itemize}
 	\item Standard Matrizenmultiplikation
-	\item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation
+	\item \textit{Divide and Conquer} Matrizenmultiplikation
 	\item Strassens Matrizenmultiplikation
 	\item Winograds Matrizenmultiplikation
 	\item \texttt{BLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C}
@@ -389,31 +385,45 @@ Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi
 Der Code kann im zum Buch gehörigem \textit{GitHub} \footnote{\url{https://github.com/AndreasFMueller/SeminarMatrizen.git}} Repository gefunden werden.
 Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige Implementation Multiprocessing und Multithreading verwendet, dies f\"uhrt zu den tiefen Messzeiten.
 In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich.
+
+Die gezeigten Algorithmen haben alle eine Laufzeit der Form $\mathcal{O}(n^k) $.
+Bei einer doppelt logarithmischen Darstellung unterscheiden sich diese in Geraden mit unterschiedlichen Steigungen.
+Bei den grafisch gezeigten Messresultate, können diese Steigungen gut erkannt werden, wobei die tiefere Laufzeit des Strassen Algorithmus eindrücklich zu sehen ist.
+Der benötigte Overhead der Algorithmen zeigt sich in unterschiedlichen $y$-Achsenschnittpunkte.
+
+In der Messung mit der Programmiersprache \texttt{C} kann ein typischer Cache-Effekt beobachtet wer-
+den.
+Bei den Algorithmen von Winograd und der Standardmethode hat bei einer Matrizengrösse von $n = 2048$ wohl eine Zeile der Matrix nicht an einer Cache Speicherstelle Platz.
+Diese beiden Algorithmen sind die Einzigen, welche \texttt{for}-Schleifen über die ganze Breite der Matrizen verwenden.
+Dies führt dazu, dass ganze Zeilen zwischengespeichert werden müssen.
+Bei den anderen Algorithmen ist dies nicht der Fall.
+
 Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{multiplikation:tab:pc_config} aufgelistet.
 
 
 \begin{table}
 			 \begin{center}
-					 \begin{tabular}{l l l l l l}
+					 \begin{tabular}{r l l l l l}
 							 \hline
 							 \hline
 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{BLAS (\textit{s})} \\
 							 \hline
 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
-							 \textbf{32}   & 0.000081 &0.000594 &  0.00047& 0.00010 & 0.000022  \\
-							 \textbf{64}   & 0.00065  & 0.0042&  0.0033& 0.00065& 0.00017 \\
-							 \textbf{128}  & 0.0055   & 0.036&  0.024&  0.0052 & 0.0012 \\
-							 \textbf{256}  & 0.054    & 0.32 & 0.17 &  0.057& 0.010 \\
-							 \textbf{512}  & 0.48     & 2.61 & 1.20 & 0.51 &  0.074\\
-							 \textbf{1024} & 4.16     & 19.92& 8.45  & 4.53 & 0.704 \\
-							 \textbf{2048} & 125.90   & 159.33& 59.26 & 130.62 &  6.84 \\
-							 \textbf{4096} & 1111.31  & 1147.10& 414.64 & 1179.26  &  55.84\\
+							 \textbf{32}   & \phantom{000}0.000089 & \phantom{000}0.000594 & \phantom{000}0.0005  & \phantom{0000}0.00008 & \phantom{00}0.000021  \\
+							 \textbf{64}   & \phantom{000}0.00069  & \phantom{000}0.0044   & \phantom{000}0.0036  & \phantom{0000}0.00064 & \phantom{00}0.00018   \\
+							 \textbf{128}  & \phantom{000}0.0057   & \phantom{000}0.035    & \phantom{000}0.025   & \phantom{0000}0.0052  & \phantom{00}0.0012    \\
+							 \textbf{256}  & \phantom{000}0.052    & \phantom{000}0.29     & \phantom{000}0.178   & \phantom{0000}0.053   & \phantom{00}0.0096     \\
+							 \textbf{512}  & \phantom{000}0.51     & \phantom{000}2.22     & \phantom{000}1.25    & \phantom{0000}0.55    & \phantom{00}0.077     \\
+							 \textbf{1024} & \phantom{000}4.50     & \phantom{00}17.65     & \phantom{000}8.83    & \phantom{0000}4.67    & \phantom{00}0.764     \\
+							 \textbf{2048} & \phantom{0}129.28     & \phantom{0}141.61     & \phantom{00}61.901   & \phantom{00}136.67    & \phantom{00}7.63      \\
+							 \textbf{4096} & 1111.31               & 1147.10               & \phantom{0}414.64    & \phantom{0}1179.26    & \phantom{0}55.84     \\
+							 \textbf{8192} & 9376.17               & 9606.40               & 3014.23              & 10071.51              & 478.42     \\
 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
 							 \hline
 							 \hline
 					 \end{tabular}
 			 \end{center}
-			 \caption{Messresultate \texttt{C}}
+			 \caption{Laufzeiten der verschieden Algorithmen in der Programmiersprache \texttt{C}}
 			 \label{multiplikation:tab:messung_C}
 	 \end{table}
 
@@ -421,25 +431,26 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 
 	 \begin{table}
 	 			 \begin{center}
-	 					 \begin{tabular}{l l l l l l}
+	 					 \begin{tabular}{r l l l l l}
 	 							 \hline
 	 							 \hline
-	 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{\texttt{NumPy}(\textit{s})} \\
+	 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{NumPy(\textit{s})} \\
 	 							 \hline
 	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
-	 							 \textbf{32}   & 0.0240 &0.0271 &  0.04852& 0.01871 & 4.26e-05  \\
-	 							 \textbf{64}   & 0.186  & 0.265&  0.2204& 0.1530& 0.000118 \\
-	 							 \textbf{128}  & 1.563   & 1.777&  1.447&  1.1947 & 0.000244 \\
-	 							 \textbf{256}  & 11.006    & 13.27 & 9.938 &  8.298& 0.000695 \\
-	 							 \textbf{512}  & 85.476    & 105.397 & 63.961 & 68.36 &  0.00221\\
-	 							 \textbf{1024} & 750.757     & 847.321& 461.494  & 537.374 & 0.0188 \\
-								 \textbf{4096} & -     & - & -  & - & 1.633 \\
+	 							 \textbf{32}   &\phantom{0000}0.0240     & \phantom{0000}0.0271& \phantom{0000}0.04852 & \phantom{0000}0.01871 & 0.0000426  \\
+	 							 \textbf{64}   &\phantom{0000}0.186      & \phantom{0000}0.265 & \phantom{0000}0.2204  & \phantom{0000}0.1530& 0.000118 \\
+	 							 \textbf{128}  &\phantom{0000}1.563      & \phantom{0000}1.777 & \phantom{0000}1.447   & \phantom{0000}1.1947 & 0.000244 \\
+	 							 \textbf{256}  &\phantom{000}11.006      & \phantom{000}13.27  & \phantom{0000}9.938   & \phantom{0000}8.298& 0.000695 \\
+	 							 \textbf{512}  &\phantom{000}85.476      & \phantom{00}105.397 & \phantom{000}63.961   & \phantom{000}68.360 &  0.00221\\
+	 							 \textbf{1024} &\phantom{00}750.757      & \phantom{00}847.321 & \phantom{00}461.494   & \phantom{00}537.374 & 0.0188 \\
+								 \textbf{2048} &\phantom{0}6154.18                 & \phantom{0}7375.93  & \phantom{0}3860.57    & \phantom{0}4884.61 & 0.215 \\
+								 \textbf{4096} & 46813.30                 & 58466.00               & 22904.30               & 43597.10 & 1.49 \\
 	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
 	 							 \hline
 	 							 \hline
 	 					 \end{tabular}
 	 			 \end{center}
-	 			 \caption{Messresultate \texttt{Python}}
+	 			 \caption{Laufzeiten der verschieden Algorithmen in der Skriptsprache \texttt{Python}}
 	 			 \label{multiplikation:tab:messung_Python}
 	 	 \end{table}
 
@@ -465,7 +476,9 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_c}
-	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{C}}
+	\caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Programmiersprache \texttt{C}.
+	Die Steigung der Messreihe mit Strassens Algorithmus ist deutlich kleiner als deren der anderen Algorithmen.
+	Die Messung von Winograd ist beinahe gleich wie die Messung mit der Standardmethode, deshalb ist sie nicht gut sichtbar.}
 	\label{multiplikation:fig:c_meas_4096}
 \end{figure}
 
@@ -473,17 +486,21 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_python}
-	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{Python}}
+	\caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Skriptsprache \texttt{Python}.
+	Die Steigung der Messreihe mit Strassens Algorithmus ist deutlich kleiner als deren der anderen Algorithmen.
+}
 	\label{multiplikation:fig:python}
 \end{figure}
 
 \section{Fazit}
 \rhead{Fazit}
 
-Wie man im Abschnitt \ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
+Wie man im Abschnitt \ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen trotz der theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
 Ein optimierter Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus.
 
 Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung.
 Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden.
 Denke man an sehr kleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinheiten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}.
-Sobald sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durchführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein.
+Der Overhead der gezeigten Algorithmen ist in allen Fällen grösser als bei der Standardmethode (z.B. sieben rekursive Aufrufe gegenüber drei \texttt{for}-Schleifen).
+Um diesem entgegenzuwirken muss der Laufzeitunterschied zwischen Addition und Multiplikation gross genug sein.
+Wenn dies gegeben ist und dazu noch grosse Matritzen multipliziert werden, kann die Verwendung der Algorithmen von Strassen oder Winograd zu einer Senkung der Laufzeit führen.
diff --git a/buch/papers/multiplikation/main.tex b/buch/papers/multiplikation/main.tex
index fb1908e..4a23109 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/main.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/main.tex
@@ -26,8 +26,8 @@
   backgroundcolor=\color{backcolour}
 }
 
-\chapter{Schnelle Matrizen Multiplikation\label{chapter:multiplikation}}
-\lhead{FMM}
+\chapter{Schnelle Matrizenmultiplikation\label{chapter:multiplikation}}
+\lhead{Schnelle Matrizenmultiplikation}
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Michael Schmid}
 
diff --git a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex
index e53b0de..879b210 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex
@@ -3,104 +3,119 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Problemstellung}
-\rhead{Problemstellung}
-Wegen der breiten Anwendung der Matrizenmultiplikation ist eine effiziente L\"osung dieser Operation von grosser Bedeutung.
+\section{Laufzeiten von Algorithmen}
+\rhead{Laufzeiten von Algorithmen}
+Wegen der breiten Anwendung der Matrizenmultiplikation ist eine effiziente Ausführung dieser Operation von grosser Bedeutung.
 Das Ziel dieses Papers ist, verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen.
-Gezielt wird auf Algorithmen eingegangen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus l\"osen.
+Gezielt wird auf Algorithmen eingegangen, welche das Problem schneller als der Standardalgorithmus l\"osen.
 
-\subsection{Big $\mathcal{O}$ Notation}
 \label{muliplikation:sec:bigo}
-Die Big $\mathcal{O}$ Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus in Abhängigkeit zur Inputgrösse \cite{multiplikation:bigo}.
-$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt, dass die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$.
-% Es gibt eine Konstante $K$ derart, dass $f(x) \le K g(x)$ für $x\to\infty$
-Als Beispiel: benötigt eine Funktion $g$ $\mathcal{O}\left(n^2 \right)$ Multiplikationen, so wächst $f$ mit $\mathcal{O}\left(n+ n^2 \right)$ nicht wesentlich schneller falls $x\to\infty$.
-Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgende Notation verwendet:
+Die Big $\mathcal{O}$ Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus in Relation zur Inputgrösse \cite{multiplikation:bigo}.
+$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt, dass die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$, wenn $x \rightarrow \infty$.
+Dies ist gegeben, falls es für $f \in \mathcal{O}(n^k)$ eine Konstante $C$ gibt, mit $f(n) \leq Cn^k$.
+% Es gibt eine Konstante $K$ derart, dass $f(x) \le K g(x)$ für $x\to\infty$.
+Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgenden Sprechweisen verwendet:
 \begin{itemize}
 	\item $f \in \mathcal{O}(1) \rightarrow f$ ist beschr\"ankt
 	\item $f \in \mathcal{O}(n) \rightarrow f$ w\"achst linear
-	\item $f \in \mathcal{O}\left (n^2 \right ) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch
+	\item $f \in \mathcal{O}  (n^2   ) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch
 	\item $f \in \mathcal{O}(\log n) \rightarrow f$ w\"achst logarithmisch
 	\item $f \in \mathcal{O}(n \log n) \rightarrow f$ hat super-lineares Wachstum
-	\item $f \in \mathcal{O}\left (e^n \right ) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell
+	\item $f \in \mathcal{O}  (e^n   ) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell
 	\item usw.
 \end{itemize}
 
+Konstanten werden nicht beachtet, eine Laufzeit von  $4n^2$ führt, für $n \rightarrow \infty$ zu $\mathcal{O}(n^2)$.
 In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden.
-Bei einer logarithmischen Darstellung werden Polynome der Form $f(x) = x^k$ als Gerade und Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ als nach oben gekr\"ummte Kurven dargestellt.
-Sch\"on zu erkennen ist, dass Logarithmische Kurven beschr\"ankt sind.
-
-
-\subsubsection{Beispiel Algorithmen}
-
-Es folgen einige Beispiele von Algorithmen welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklasse zugeteilt werden k\"onnen.
-
-\begin{minipage}{0.4\textwidth}
-	\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
-		\label{multiplikation:alg:b1}
-		\setlength{\lineskip}{7pt}
-		\begin{algorithmic}
-			\Function{B1}{$a, b$}
-			\State \textbf{return} $a+b$
-			\EndFunction
-		\end{algorithmic}
-	\end{algorithm}
-
-	\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
-		\setlength{\lineskip}{7pt}
-		\begin{algorithmic}
-			\label{multiplikation:alg:linear}
-			\Function{L}{$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,n}
-			\State $ sum \gets 0$
-			\For{$i = 0,1,2 \dots,n$}
-			\State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[i] $
-			\EndFor
-
-			\State \textbf{return} $sum$
-
-			\EndFunction
-		\end{algorithmic}
-	\end{algorithm}
-\end{minipage}
-\hspace{2cm}
-\begin{minipage}{0.4\textwidth}
-
-	\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
-		\label{multiplikation:alg:b2}
-		\setlength{\lineskip}{7pt}
-		\begin{algorithmic}
-			\Function{B2}{$a, b$}
-			\State $ x \gets a+b $
-			\State $ y \gets a \cdot b $
-			\State \textbf{return} $x+y$
-			\EndFunction
-		\end{algorithmic}
-	\end{algorithm}
-
-
-	\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
-		\label{multiplikation:alg:q1}
-		\setlength{\lineskip}{7pt}
-		\begin{algorithmic}
-			\Function{Q}{$\mathbf{A}, \mathbf{B}$,n}
-			\State $ sum \gets 0$
-			\For{$i = 0,1,2 \dots,n$}
-			\For{$j = 0,1,2 \dots,n$}
-			\State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[j] $
-			\EndFor
-			\EndFor
-			\State \textbf{return} $sum$
-			\EndFunction
-		\end{algorithmic}
-	\end{algorithm}
-
-\end{minipage}
+Bei einer doppelt logarithmischen Darstellung werden Polynome der Form $f(x) = x^k$ als Gerade und Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ als nach oben gekr\"ummte Kurven abgebildet.
+
+
+
+\subsubsection{Beispielalgorithmen}
+
+Es folgen einige Beispiele von Algorithmen, welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklasse zugeteilt werden k\"onnen.
+
+
+\begin{table}[t]
+	\begin{tabular}{ll}
+		\begin{minipage}{0.48\textwidth}
+			\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
+				\label{multiplikation:alg:b1}
+				\setlength{\lineskip}{7pt}
+				\begin{algorithmic}
+					\Function{B1}{$a, b$}
+					\State \textbf{return} $a+b$
+					\EndFunction
+					\State
+					\State
+				\end{algorithmic}
+			\end{algorithm}
+		\end{minipage}
+		&
+		\begin{minipage}{0.48\textwidth}
+			\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
+				\label{multiplikation:alg:b2}
+				\setlength{\lineskip}{7pt}
+				\begin{algorithmic}
+					\Function{B2}{$a, b$}
+					\State $ x \gets a+b $
+					\State $ y \gets a \cdot b $
+					\State \textbf{return} $x+y$
+					\EndFunction
+				\end{algorithmic}
+			\end{algorithm}
+		\end{minipage} \\
+		\begin{minipage}{0.48\textwidth}
+			\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
+				\setlength{\lineskip}{7pt}
+				\begin{algorithmic}
+					\label{multiplikation:alg:linear}
+					\Function{L}{$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,n}
+					\State $ sum \gets 0$
+					\For{$i = 0,1,2 \dots,n$}
+					\State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[i] $
+					\EndFor
+
+					\State \textbf{return} $sum$
+
+					\EndFunction
+					\State
+					\State
+				\end{algorithmic}
+			\end{algorithm}
+		\end{minipage}
+		&
+		\begin{minipage}{0.48\textwidth}
+			\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
+				\label{multiplikation:alg:q1}
+				\setlength{\lineskip}{7pt}
+				\begin{algorithmic}
+					\Function{Q}{$\mathbf{A}, \mathbf{B}$,n}
+					\State $ sum \gets 0$
+					\For{$i = 0,1,2 \dots,n$}
+					\For{$j = 0,1,2 \dots,n$}
+					\State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[j] $
+					\EndFor
+					\EndFor
+					\State \textbf{return} $sum$
+					\EndFunction
+				\end{algorithmic}
+			\end{algorithm}
+		\end{minipage}
+	\end{tabular}
+\end{table}
+
+%\begin{table}
+%	\begin{tabular}[t]{ll}
+
+%	\end{tabular}
+%\end{table}
 
 \paragraph{Beschr\"ankter Algorithmus}
+Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} ist ein Beispiel mit beschränkter Laufzeit $\mathcal{O}(1)$
+Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen Einfluss auf die Laufzeit.
 
-Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen Einfluss auf die Laufzeit.
-
-Konstanten werden nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu  $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$.
+Wie erwähnt werden Konstanten nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu  $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$.
 
 
 \paragraph{Linearer Algorithmus}
@@ -111,12 +126,12 @@ Die \texttt{for}-Schleife wird $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\math
 \paragraph{Quadratischer Algorithmus}
 
 Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches Verhalten.
-Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}\left(n^2\right)$.
+Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O} (n^2 )$.
 
 
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[]{papers/multiplikation/images/bigo}
-	\caption{Verschiedene Laufzeiten}
+	\caption{Laufzeiten von verschiedensten Zeitkomplexitäten. Bei einer doppelt logarithmischen Darstellung werden Polynome der Form $f(x) = x^k$ als Gerade und Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ als nach oben gekr\"ummte Kurven dargestellt.}
 	\label{multiplikation:fig:bigo}
 \end{figure}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 4b93927..0a9d3b6 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -19,7 +19,7 @@ Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punkt
 Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes dargestellt und betrachten dies nur in zwei Dimensionen.
 Die eingezeichneten Vektoren \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
 Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
-Im dreidimensionalen Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor \(\vec{c}\) also
+Im dreidimensionalen Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor \(\vec{a}_3\) also
 \[
   \vec{r} = n_1 \vec{a}_1 + n_2 \vec{a}_2 + n_3 \vec{a}_3 = \sum_i n_i \vec{a}_i
 \]
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex
index 7c88c16..9647775 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex
@@ -4,7 +4,7 @@
 \section{Übertragung mit Hilfe der diskrten Fourier-Transformation
 \label{reedsolomon:section:dtf}}
 \rhead{Umwandlung mit DTF}
-Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunkt
+Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunktes
 durch die Codierung auf viele übertragene Werte verteilt werden.
 Die Decodierung ist in der Lage, den ursprünglichen Datenwert zu rekonstruieren,
 sogar wenn einzelne wenige übertragene Werte beschädigt worden sind.
@@ -12,22 +12,24 @@ sogar wenn einzelne wenige übertragene Werte beschädigt worden sind.
 Die Fourier-Transformation transformiert einen einzelnen Wert, 
 eine Dirac-Funktion, auf ein Spektrum, welches sich über die ganze Frequenzachse erstreckt.
 Aus der Filtertheorie ist bekannt, dass der ursprüngliche Impuls mehr oder weniger rekonstruierbar ist,
-	vorausgestzt, es gehen nicht zu viele Frequenzen bei der Übertragung verloren.
+	vorausgesetzt, es gehen nicht zu viele Frequenzen bei der Übertragung verloren.
 \par
 Es liegt daher nahe zu versuchen, die Fourier-Transformation 
 für Codierung und Decodierung zu verwenden.
 
 \subsection{Beispiel mit Fehlerkorrektur mit Fourier-Transformation
 \label{reedsolomon:subsection:sendbsp}}
+Das folgende Beispiel soll zeigen, wie die Idee der Fehlerkorrektur umgesetzt wurde. 
+Die Fehlererkennung des Reed-Solomon-Codes funktioniert nach einem sehr Ähnlichen Prinzip.
 
-Das folgende Beispiel soll zeigen, wie Fehlerkorrektur möglich ist.
-Dieses auf eine Art, die der Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes,
-der später erklärt wird, analog ist.
+%Das folgende Beispiel soll zeigen, wie Fehlerkorrektur möglich ist.
+%Dieses auf eine Art, die der Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes,
+%der später erklärt wird, analog ist.
 \par
-Der Auftrag ist nun 64 Datenwerte zu übertragen, 32 Fehler zu erkennen und 16 Fehler zu rekonstruieren.
+Der Auftrag besteht darin, 64 Datenwerte zu übertragen, 32 Fehler erkennen können und bis zu 16 Fehler zu rekonstruieren.
 Mit Hilfe der Fourier-Transformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert,
 zu den \textcolor{darkgreen}{grünen Übertragungspunkten}. 
-Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden.
+Durch eine Rücktransformation können die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden.
 
 \begin{figure}%[!ht]
 	\centering
@@ -42,8 +44,8 @@ In der Abbildung \ref{fig:sendorder} wird eine Übertragung Schritt für Schritt
 In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläutert:
 \begin{enumerate}[(1)]
  \item Das Signal besteht aus 64 zufälligen, ganzzahligen Datenwerten zwischen 0 und 10.
- Für die Rekonstruktion werden zusäzlich Datenwert benötigt, wir fügen deshalb 32 Werte hinzu.
- Diese setzen wir willkürlich auf Null und nennen sie Fehlerkorrekturstellen.
+ Für die Rekonstruktion werden zusätzliche Datenwerte benötigt, wir fügen deshalb 32 Werte hinzu.
+ Diese setzen wir willkürlich alle auf Null und nennen sie Fehlerkorrekturstellen.
  Wir erhalten so einen erweiterten Signalvektor der Länge $N =96$.
  \item Mit der Fourier-Transformation wird der ganze Signalvektor codiert.
  Dadurch wird jede Informationseinheit auf alle Punkte des Spektrums verteilt.
@@ -52,13 +54,13 @@ In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläut
  \par 
  Im Beispiel sind dies die Werte an den Stellen 6, 20 und 74 (\textcolor{red}{rote Kurve}),
  	die um einen Betrag verändert werden.
- Dieser ist bis zu 150-mal kleiner, als die ursprünglichen codierte Werte. 
- Der Empfänger kennt daher im allgemeinen nicht, ob und wo Übertragungsfehler aufgetreten sind.
- \item Ohne Übertragungsfehler kann der Signalvektor durch inverse Fourier-Transformation vollständig
+ Dieser ist bis zu 150-mal kleiner als die ursprünglich codierten Werte. 
+ Der Empfänger erkennt daher im allgemeinen nicht, ob und wo Übertragungsfehler aufgetreten sind.
+ \item Ohne Übertragungsfehler kann der Signalvektor durch die inverse Fourier-Transformation vollständig
  	wiederhergestellt werden.
  Dazu gehören auch die Nullen an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96.
  \par 
- Sind Übertragungsfehler aufgetreten, werden an diesen Stellen Werte abweichend von Null auftreten.
+ Sind Übertragungsfehler aufgetreten, werden an diesen Stellen die Werte von Null abweichen.
  Somit haben wir bereits Fehler erkannt.
  \item Die Werte an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96, die nicht mehr Null sind, nennen wir das Syndrom.
  Im Syndrom steckt nur Information über die Fehler, sie werden durch die inverse Fourier-Transformation erzeugt.
@@ -69,7 +71,7 @@ In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläut
 Im Beispiel haben wir mit dem Syndrom nur etwa ein Drittel der Fehlerinformation, es ist daher zu erwarten, 
 dass die Fehlerwerte auch nur ein Drittel so gross sind.
 \par 
-Damit können die Fehler korrigiert und die Orginaldaten wiederhergestellt werden.
+Damit können die Fehler korrigiert und die Originaldaten wiederhergestellt werden.
 Der Rekonstruktionsauftrag ist damit erfolgreich ausgeführt.
 
 \subsection{Fourier-Transformation und Polynome\label{reedsolomon:subsection:ftandpolynom}}
@@ -113,10 +115,10 @@ Die Analogie geht aber noch weiter.
 	\label{reedsolomon:DFT_polynom2}
  \end{equation}
 	für verschiedene \( w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}, k=1, \dots ,N-1\) übermittelt.
-Das Syndrom entstand durch die Wahl ${f_{64}}=0$ bis ${f}_{N-1}=0$.(graue koeffizenten)
+Das Syndrom entstand durch die Wahl ${f_{64}}=0$ bis ${f}_{N-1}=0$ (graue Koeffizenten).
 \par
-Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reeleen Zahlen.
+Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reellen Zahlen.
 Wenn die Approximation nicht mehr genügend gut ist um die Fehler zu erkennen und rekonstruieren,
-dann müssen wir von den reeleen Zahlen weg und zum endlichen Körpern, oder auch Galios-Körper genannt.
-Dies wird nun im nächsten Abschnitt genauer erklärt.
-
+dann brauchen wir andere Varianten.
+Um dieser Approximation zu entkommen, verlassen wir die reellen Zahlen und gehen zum endlichen Körpern, oder auch Galois-Körper genannt.
+Dieser bietet uns einige Vorteile.
+\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex
index 04f1fe2..f99ad82 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex
@@ -7,10 +7,10 @@
 \label{reedsolomon:section:einleitung}}
 \rhead{Einleitung}
 Der Reed-Solomon-Code wurde von den beiden Mathematiker Irving S. Reed und Gustave Solomon im Jahre 1960 entwickelt.
-Dabei haben sie das Problem der Fehler bei der Datenübertragung gelöst.
-In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge, 
-Funktion oder Algorithmus des Reed-Solomon-Code erklärt.
-Es wird jedoch nicht auf die technische Umsetzung oder Implementierung eingegangen.
+Dabei haben sie das Problem der Fehlerhaften Datenübertragung gelöst.
+In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge und  
+Funktionsweise des Reed-Solomon-Code erklärt.
+Es wird jedoch nicht auf die technische Umsetzung oder Implementierung eingegangen, jedoch wird im Abschnitt \ref{reedsolomon:section:anwendung} einige Anwendungen des Reed-Solomon-Codes vorgestellt.
 
 
 
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index 6ee42ef..daa2913 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -5,67 +5,104 @@
 \label{reedsolomon:section:idee}}
 \rhead{Problemstellung}
 Um Fehler in einer Datenübertragung zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden,
-    also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweils einzelne Fehler erkennen.
-Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkannt werden soll und sogar noch das Orginal rekonstruiert werden soll,
-dann werden die Daten drei oder vierfach versendet.
-Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet.
-Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, 
-    zu Übertragen und Fehler zu erkennen und zu korrigieren.
-Der Unterschied des Fehler Erkennens und Korrigirens, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht?
-Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch die Originalwerte rekonstruiert.
-Eine weitere Möglichkeit wäre, dass der Empfänger nach einer fehlerhaften Übertragung die selben Daten nochmals anfordert.
-Dies führt wieder zu unerwünschten mehrfachen Übertragung.
-In Anwendungen des Reed-Solomon-Codes Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung}
-    ist diese vom Empfänger gesteuerte erneute Übertragen meistens nicht sinnvoll oder sogar unmöglich.
-Der Reed-Solomon-Code macht dies Übertragung auf eine andere, clevere Weise.
+also den gleiche Wert immer zweimal versenden. 
+Tritt ein Fehler ein wird sich dies in der Differenz der beiden Werten bemerkbar machen.
+Aber wie erkennen wir, welcher nun der richtige ist? Die Lösung ist simpel: Wir übertragen den Wert einfach dreimal.
+Wenn jetzt ein Fehler auftritt, kann durch die beiden unveränderten Werten den richtigen bestimmt werden.
+Doch was machen wir, wenn bei dieser Übertragung zwei Fehler auftreten? 
+Oder noch schlimmer: Was wenn zweimal derselbe Fehler auftritt? Die beiden Fehlerhaften Werte überstimmen bei der Evaluierung den gesendeten Datenwert, der dann unwiderruflich verloren geht. 
+Wir könnten dies noch steigern mit vier, fünf oder mehr gleichen Übertragenen Werte. Dies erhöht zwar die Robustheit der gesendeten Daten, führt aber auch dazu, dass wir durch die Mehrfachübertragung nur sehr wenige Nutzdaten versenden können.
+Gerade in unserer heutigen Zeit wäre dies ein enorm grosses Problem und aus diesem Grund wurden alternative Ansätze ausgearbeitet um dieses grundlegende Problem zu lösen. 
+%
+%
+%Gerade in der heutigen modernen Zeit bei dem hohen bedarf an Daten würden unsere Kommunikationssysteme bei weitem nicht ausreichen um den einen einzigen Datenwert mehrfach zu übertragen
+%
+% Gerade in der Heutigen modernen Zeit bei diesem enormen mass an daten die wir alle tagtäglich anfordern Währe dies wohl unmöglich, wenn wir die daten auf diese Weise 
+%
+%
+%
+%
+%
+%Wenn es uns gelingt, Fehler nach Ihrer Übertragung zu erkennen, dann könnten wir in einem neuen Ansatz den fehlerhaft empfangenen Wert noch einmal anfordern. 
+%Wir stellen fest, dass für viele alltägliche Anwendungen völlig ausreichend ist.
+%
+%Was ist, wenn wir aber eine Datenquelle haben, von der wir nur einmalig lesen können?
+%
+% 
+%
+%Beim Übertragen von drei Werten können wir maximal 2 Fehler erkennen aber nicht mehr korrigieren.
+%Wenn wir noch mehr Werte 
+%
+%Wir Übertragen Ziemlich viele Werte für so wenige Nutzdaten. Hinzu kommt, dass wir bei dieser Vorgehensweise gerade mal bestimmen können, dass überhaupt Fehler aufgetreten sind 
+%
+%
+%Wir haben also drei Werte die bestimmt einen Fehler korrigieren können, was ziemlich viele Werte um einen Fehler zu korrigieren. 
+%
+% um so jeweils einzelne Fehler zu erkennen.
+%Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkannt werden und sogar noch das Original rekonstruiert werden soll, dann sollen die Daten drei oder vierfach versendet werden.
+%Doch nur schon um einen Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach versendet.
+%Das Hauptproblem ist, dass Informationen Fehlerfrei Übertragen werden sollen. Um dies zu erreichen muss gleich nach dem Empfangen Fehler erkannt und korrigiert werden.  
+%
+%Das Problem liegt darin, Informationen oder Zahlen beim Übertragen gleichzeitig noch 
+%
+%Das Problem liegt darin, das Informationen oder Zahlen zu Übertragen und gleichzeitig Fehler zu erkennen 
+%
+%
+%Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, zu Übertragen und Fehler zu erkennen und zu korrigieren.
+%Der Unterschied des Fehler Erkennens und Korrigirens, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht?
+%Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch die Originalwerte rekonstruiert.
+%Eine weitere Möglichkeit wäre, dass der Empfänger nach einer fehlerhaften Übertragung die selben Daten nochmals anfordert.
+%Dies führt wieder zu unerwünschten mehrfachen Übertragung.
+%In Anwendungen des Reed-Solomon-Codes Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung}
+%    ist diese vom Empfänger gesteuerte erneute Übertragen meistens nicht sinnvoll oder sogar unmöglich.
+%Der Reed-Solomon-Code macht dies Übertragung auf eine andere, clevere Weise.
 
 \subsection{Polynom-Ansatz
 \label{reedsolomon:section:polynomansatz}}
 \rhead{Polynom-Ansatz}
 Eine zentrale Idee des Reed-Solomon-Code ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. 
-Von dieser Polynomfunktion wird dann eine Anzahl Werte übertragen.
-\begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5},
-    welche übertragen werden sollen. Daraus bilden wir das Polynom
+Mit dieser Polynomfunktion wird dann eine Anzahl von Werten übertragen.
+\begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1} und \textcolor{blue}{5}, welche übertragen werden sollen. Daraus bilden wir das Polynom
 \begin{equation}
 p(x)
 =
-\textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5}
+\textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5}.
 \label{reedsolomon:equation1}
-\end{equation}.
+\end{equation}
 \par 
-Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. 
-Bei einer fehlerlosen Übertragung können wir mit 3 übertragene Werte
+Ein Polynom zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. 
+Bei einer fehlerlosen Übertragung können wir mit 3 übertragenen Werten
     das Polynom durch Polynominterpolation volständig rekonstruieren.
-Wir brauchen Polynominterpolation als Methode, um aus Punkte wieder Polynom zu berechnen.
-Die Koeffizente des rekonstruierten Polynoms sind dann unsere gesendeten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}.
+Wir brauchen Polynominterpolation als Methode, um aus den Punkten wieder ein Polynom zu bilden.
+Die Koeffizente des rekonstruierten Polynoms sind dann unsere gesendeten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1} und \textcolor{blue}{5}.
 \par 
 Wie können wir nun Fehler erkennen oder sogar korrigieren?
-Versuchen wir doch mehr Werte zu übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte.
+Versuchen wir doch, mehr Werte zu übertragen, wie zum Beispiel 7 Werte. 
 Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} 
-    dieses \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3, \dots , 7.
+    des \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3, \dots , 7.
 In Abbildung \ref{fig:polynom} ist das zu den \textcolor{blue}{Datenpunkten} gehörige Polynom blau dargestellt,
-    die \textcolor{darkgreen}{übertragenen Werte} des Polynoms sind grün.
-Die grünen Punkte bestimmen die Parabel. 
-Damit können die Fehler erkannt werden, weil die empfangenen Punkte nicht auf der Parabel liegen.
-Somit können die grauen Punkte auf der Parabel ersetzt werden und sind damit korrigiert.
-Bis zu wievielen Fehler können wir nun im Beispiel korrigieren?
-Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt:
+die \textcolor{darkgreen}{übertragenen Werte} des Polynoms sind grün, wobei diese Punkte aufgrund von Übertragungsfehler jetzt eine Parabel darstellen. 
+Die Fehlerhaften Punkte lassen sich sehr einfach bestimmen, weil diese nicht auf der ursprünglichen Funktion liegen. 
+Somit können die roten Punkte auf der Parabel durch die grauen ersetzt werden und sind damit korrigiert. 
+
+Bisher konnten wir von 7 Zahlen zwei Fehler erkennen und korrigieren. Können wir in diesem Beispiel noch mehr Fehler korrigieren? 
+Wir erhöhen dazu die Fehleranzahl Schritt für Schritt:
 \begin{itemize}
     \item[\textit{1 Fehler}:] Bei einem Fehler können konkurrenzierende, aber falsche Polynome zusammen mit zwei originalen Punkten entstehen.
         Dabei können aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein.
-        Da 6 > 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden.
+        Da 6 > 3 ist haben wir unser originales Polynom gefunden.
     \item[\textit{2 Fehler}:] Bei Zwei Fehlern kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein konkurrenzierendes, aber falsches Polynom bilden.
-        Da der zweite \textcolor{red}{Fehler} frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem \textcolor{gray}{Konkurrenzpolynom} liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}.
-        Nun haben wir, ein \textcolor{blue}{originales Polynom} mit \textcolor{darkgreen}{5} übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten.
+        Da der zweite \textcolor{red}{Fehler} frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem \textcolor{gray}{Konkurrenzpolynom} liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom} zu sehen ist.
+        Nun haben wir, ein \textcolor{blue}{originales Polynom} mit \textcolor{darkgreen}{5} übereinstimmenden und ein konkurrenzierendes mit 4 Punkten.
         Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das Originalpolynom ist.
-    \item[\textit{3 Fehler}:] Bei Drei kann genau wie bei 2 oder 1 Fehler, ein konkurenzierendes Polynom mit einem Fehler und zwei originalen Punkten bestimmen werden.
+    \item[\textit{3 Fehler}:] Bei Drei kann genau wie bei 1 oder 2 Fehler, ein konkurenzierendes Polynom mit einem Fehler und zwei originalen Punkten bestimmt werden.
         Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom.
         Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem originalen.
         Das Originalpolynom kann nicht mehr gefunden werden.
-    \item[\textit{4 Fehler}:] Bei Vier, kann es noch erkannt werden, dass Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben.
-        Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden.
-    \item[\textit{5 Fehler}] Bei Fünf, kann mit den 2 originalen Punkte das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und 
-        somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht.
+    \item[\textit{4 Fehler}:] Bei Vier kann noch erkannt werden, dass Fehler aufgetreten sind, da 3 originale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben.
+        Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, was bedeutet, dass Fehler entstanden sind.
+    \item[\textit{5 Fehler:}] Bei Fünf kann mit den 2 originalen Punkte das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und 
+        somit kann auch keine Aussage mehr gemacht werden, ob Fehler aufgetreten sind oder nicht.
 \end{itemize}
 
 \begin{figure}%[!ht]
@@ -80,12 +117,12 @@ Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt:
 
 \section{Anzahl Übertragungswerte bestimmen
 \label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}}
-Um zu bestimmen, wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren,
-    muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Datenwerte} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. 
-Die Anzahl Datenwerte, ergeben die Anzahl Polynomkoeffizente \textcolor{blue}{$k$} und somit den Grad $k-1$.
+Um zu bestimmen, wie viele zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind um die Fehler zu korrigieren,
+    muss man zuerst wissen, wie viele \textcolor{blue}{Datenwerte} gesendet und wie viele \textcolor{red}{Fehler} erkannt werden sollen. 
+Die Anzahl Datenwerte ergeben die Anzahl Polynomkoeffizenten \textcolor{blue}{$k$} und somit den Grad $k-1$ des Polynoms.
 Die Bestimmung der Anzahl der Fehler \textcolor{red}{$t$}, welche korrigiert werden können, braucht Redundanz.
-Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, 
-    erkennt man almählich ein Muster.
+Bilden wir verschieden grosse Polynome und untersuchen diese mit unterschiedlich vielen Fehlern erkennt man allmählich ein Muster.
+
 \begin{table}%[!ht]
     \centering
     \begin{tabular}{ c c | c} 
@@ -105,16 +142,16 @@ Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch,
 \par 
 Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem konkurenzierenden.
 Somit braucht man für die Übertragung pro \textcolor{red}{Fehler} zwei Übertragungspunkte mehr.
-Wie in der Tabelle ergibt sich diese \textcolor{darkgreen}{Übertragungsanzahl}
+Wie in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} ersichtlich ist ergeben sich diese Anzahl an \textcolor{darkgreen}{Punkte} für die Übertragung.
 \begin{equation}
     \textcolor{darkgreen}{u}=
     \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t}.
     \label{reedsolomon:equation2}
 \end{equation}
 
-Ein Nebeneffekt ist, dass auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert.
-Für die Polynomkoeffizente nach der Übertragung zu rekonstruieren, 
-    haben wir jedes mal die Polynominterpolationmethode angewendet.
-Diese Polynoiminterpolation ist leider schwierig und fehleranfällig.
-Deshalb finden wir eine alternative im nächsten Abschnitt.
+Ein Nebeneffekt ist, dass auch $2t$ Fehler erkannt werden können, die aber nicht korrigiert werden können.
+Um die Polynomkoeffizenten nach der Übertragung zu rekonstruieren, haben wir jedes mal die Polynominterpolationsmethode angewendet.
+Diese Polynominterpolation ist leider schwierig zu berechnen und sehr fehleranfällig.
+Es wäre daher einfacher, wenn wir eine alternative Vorgehensweise finden könnten. 
+
author	Reto <reto.fritsche@ost.ch>	2021-08-31 23:42:02 +0200
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