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diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
index c4bf402..f378aaf 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
@@ -237,7 +237,40 @@ n+1&= n \cup \{n\} = \{0,\dots,n-1\} \cup \{n\} = \{0,1,\dots,n\}
 &\phantom{n}\vdots
 \end{align*}
 
+\subsubsection{Natürliche Zahlen als Äquivalenzklassen}
+Im vorangegangenen Abschnitt haben wir die natürlichen Zahlen aus
+der leeren Menge schrittweise sozusagen ``von unten'' aufgebaut.
+Wir können aber auch eine Sicht ``von oben'' einnehmen.
+Dazu definieren wir, was eine endliche Menge ist und was es heisst,
+dass endliche Mengen gleiche Mächtigkeit haben.
 
+\begin{definition}
+Eine Menge $A$ heisst {\em endlich}, wenn es jede injektive Abbildung
+$A\to A$ auch surjektiv ist.
+\index{endlich}%
+Zwei endliche Mengen $A$ und $B$ heissen {\em gleich mächtig},
+\index{gleich mächtig}%
+in Zeichen $A\sim B$, wenn es eine Bijektion
+$A\to B$ gibt.
+\end{definition}
 
+Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie die früher definierten 
+natürlichen Zahlen nicht braucht, diese werden jetzt erst konstruiert.
+Dazu fassen wir in der Menge aller endlichen Mengen die gleich mächtigen
+Mengen zusammen, bilden also die Äquivalenzklassen der Relation $\sim$.
 
+Der Vorteil dieser Sichtweise ist, dass die natürlichen Zahlen ganz
+explizit als die Anzahlen von Elementen einer endlichen Menge entstehen.
+Eine natürlich Zahl ist also eine Äquivalenzklasse
+$\llbracket A\rrbracket$, die alle endlichen Mengen enthält,  die die
+gleiche Mächtigkeit wie $A$ haben.
+Zum Beispiel gehört dazu auch die Menge, die im vorangegangenen
+Abschnitt aus der leeren Menge aufgebaut wurde.
+
+Die Mächtigkeit einer endlichen Menge $A$ ist die Äquivalenzklasse, in der
+die Menge drin ist: $|A| = \llbracket A\rrbracket\in \mathbb{N}$ nach 
+Konstruktion von $\mathbb{N}$.
+Aus logischer Sicht etwas problematisch ist allerdings, dass wir 
+von der ``Menge aller endlichen Mengen'' sprechen ohne uns zu versichern,
+dass dies tatsächlich eine zulässige Konstruktion ist.
 
diff --git a/buch/common/teilnehmer.tex b/buch/common/teilnehmer.tex
index 2033f2a..7ccee20 100644
--- a/buch/common/teilnehmer.tex
+++ b/buch/common/teilnehmer.tex
@@ -9,18 +9,18 @@ Marius Baumann,                   % E
 Reto Fritsche,                    % E
 Ahmet Güzel%,                      % E
 \\
-Pascal Honegger,                  % I
+%Pascal Honegger,                  % I
 Alain Keller,                     % E
-Jan Marbach%,                      % E
+Jan Marbach,                      % E
+Andrea Mozzin Vellen%,             % E
 \\
-Andrea Mozzin Vellen,             % E
 Naoki Pross,                      % E
-Michael Schmid                    % MSE
+Michael Schmid,                    % MSE
+Pascal Andreas Schmid%,            % B
 \\
-Pascal Andreas Schmid,            % B
 Thierry Schwaller,                % E
-Michael Steiner%,                  % E
+Michael Steiner,                  % E
+Tim Tönz%,                         % E
 \\
-Tim Tönz,                         % E
 Fabio Viecelli,                   % B
 Lukas Zogg%,                       % B