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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex index 70c1f9c..78cddad 100755 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex @@ -469,13 +469,13 @@ $n\times l$-Matrix $B\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ haben als Produkt eine $m\times l$-Matrix $C=AB\in M_{m\times l}(\Bbbk)$ mit den Koeffizienten \begin{equation} -c_{i\!j} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}. +c_{i\!j} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{k\!j}. \label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:matrixmultiplikation} \end{equation} \end{definition} Die Koeffizienten $a_{ik}$ kommen aus der Zeile $i$ von $A$, die Koeffizienten -$b_{kj}$ stehen in der Spalte $j$ von $B$, die Multiplikationsregel +$b_{k\!j}$ stehen in der Spalte $j$ von $B$, die Multiplikationsregel \eqref{buch:vektoren-unbd-matrizen:eqn:matrixmultiplikation} besagt also, dass das Element $c_{i\!j}$ entsteht als das Produkt der Zeile $i$ von $A$ mit der Spalte $j$ von $C$. @@ -640,14 +640,14 @@ Variablen $x_j$. Mit der {\em Zeilensubtraktion} auf Zeile $k>i$ können die Einträge in der \index{Zeilenoperation}% Spalte $j$ zu Null gemacht werden. -Dazu wird das $a_{kj}$-fache der Zeile $i$ von Zeile $k$ subtrahiert: +Dazu wird das $a_{k\!j}$-fache der Zeile $i$ von Zeile $k$ subtrahiert: \[ \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} \hline \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{i1}&\dots &{\color{red}1}&\dots &a_{in}&b_i \\[-2pt] \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ -a_{k1}&\dots &a_{kj}&\dots &a_{kn}&b_m \\[-2pt] +a_{k1}&\dots &a_{k\!j}&\dots &a_{kn}&b_m \\[-2pt] \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \hline \end{tabular} @@ -657,7 +657,7 @@ a_{k1}&\dots &a_{kj}&\dots &a_{kn}&b_m \\[-2pt] \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{i1}&\dots &{\color{red}1}&\dots &a_{in}&b_i \\[-2pt] \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ -{\color{blue}a_{k1}-a_{kj}a_{i1}}&\dots &{\color{blue}0}&\dots &{\color{blue}a_{kn}-a_{kj}a_{in}}&{\color{blue}b_m-a_{kj}b_{n}}\\[-2pt] +{\color{blue}a_{k1}-a_{k\!j}a_{i1}}&\dots &{\color{blue}0}&\dots &{\color{blue}a_{kn}-a_{k\!j}a_{in}}&{\color{blue}b_m-a_{k\!j}b_{n}}\\[-2pt] \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \hline \end{tabular} diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex index b8f3d41..d392cd6 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex @@ -92,7 +92,7 @@ d.~h. \operatorname{sgn}(\sigma_2). \] Da ganz offensichtlich $\sigma_1\sigma_2$ mit $k_1+k_2$ Transpositionen -geschrieben kann, wenn $\sigma_i$ mit $k_i$ Transpositionen geschrieben +geschrieben werden kann, wenn $\sigma_i$ mit $k_i$ Transpositionen geschrieben werden kann. Das Signum definiert in der symmetrischen Gruppe eine Teilmenge bestehnd diff --git a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex index 7637854..cde8806 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex @@ -13,7 +13,7 @@ $n\times p$-Matrix $\mathbf{B}\in M_{n\times p}(\Bbbk)$ haben als Produkt eine $m\times p$-Matrix $\mathbf{C}=\mathbf{AB}\in M_{m\times p}(\Bbbk)$ mit den Koeffizienten \begin{equation} -C_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}. +C_{i\!j} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{k\!j}. \label{multiplikation:eq:MM} \end{equation} Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $\mathbf{AB}=\mathbf{C}$ wie in Abbildung \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden. diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex index 578833b..76ba529 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex @@ -67,10 +67,10 @@ Das Matrizenprodukt \end{bmatrix} \end{equation} mit \begin{equation} -\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^{2n} \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}, +\mathbf{C}_{i\!j} = \sum_{k=1}^{2n} \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{k\!j}, \label{multiplikation:eq:MM_block} \end{equation} -ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrizen $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet. +ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrizen $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{k\!j}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet. Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide-and-Conquer}-Ansatz. Die Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen. |