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diff --git a/vorlesungen/slides/3/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/3/Makefile.inc index a58ee05..ac2c3a5 100644 --- a/vorlesungen/slides/3/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/3/Makefile.inc @@ -6,5 +6,20 @@ # chapter3 = \ ../slides/3/motivation.tex \ + ../slides/3/polynome.tex \ + ../slides/3/division.tex \ + ../slides/3/division2.tex \ + ../slides/3/ringstruktur.tex \ + ../slides/3/teilbarkeit.tex \ + ../slides/3/faktorisierung.tex \ + ../slides/3/faktorzerlegung.tex \ + ../slides/3/einsetzen.tex \ + ../slides/3/maximalergrad.tex \ + ../slides/3/minimalbeispiel.tex \ + ../slides/3/minimalpolynom.tex \ + ../slides/3/drehmatrix.tex \ + ../slides/3/drehfaktorisierung.tex \ + ../slides/3/operatoren.tex \ + ../slides/3/adjunktion.tex \ ../slides/3/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/3/adjunktion.tex b/vorlesungen/slides/3/adjunktion.tex new file mode 100644 index 0000000..3b55ab0 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/adjunktion.tex @@ -0,0 +1,30 @@ +% +% adjunktion.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Adjunktion einer Nullstelle von $m(X)$} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +Sei $m(X)=m_0+m_1X+\dots + X^n\in \Bbbk[X]$ ein irreduzibles Polynom. +\[ +X^n = -m_{n-1}X^{n-1} - \dots - m_1X - m_0 +\] +Nullstelle $W$ als Operator betrachten: +\[ +W = \begin{pmatrix} + 0& 0& 0&\dots & 0& -m_0\\ + 1& 0& 0&\dots & 0& -m_1\\ + 0& 1& 0&\dots & 0& -m_2\\ + 0& 0& 1&\dots & 0& -m_3\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots& \vdots\\ + 0& 0& 0&\dots & 1&-m_{n-1} +\end{pmatrix} +\] +Man kann nachrechnen, dass immer $m(W)=0$. +\medskip + +$\Rightarrow \Bbbk(W) = \{p(W)\;|\;p\in\Bbbk[X], \deg p<\deg m\}$ +ist ein Körper, in dem $m(X)$ faktorisiert werden kann $m(X) = (X-W)q(X)$. +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/chapter.tex b/vorlesungen/slides/3/chapter.tex index f8d422e..672b05a 100644 --- a/vorlesungen/slides/3/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/3/chapter.tex @@ -3,5 +3,18 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi % -\folie{3/polynome.tex} \folie{3/motivation.tex} +\folie{3/polynome.tex} +\folie{3/division.tex} +\folie{3/division2.tex} +\folie{3/ringstruktur.tex} +\folie{3/teilbarkeit.tex} +\folie{3/faktorisierung.tex} +\folie{3/faktorzerlegung.tex} +\folie{3/einsetzen.tex} +\folie{3/maximalergrad.tex} +\folie{3/minimalbeispiel.tex} +\folie{3/minimalpolynom.tex} +\folie{3/drehfaktorisierung.tex} +\folie{3/operatoren.tex} +\folie{3/adjunktion.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/3/division.tex b/vorlesungen/slides/3/division.tex new file mode 100644 index 0000000..0932f48 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/division.tex @@ -0,0 +1,29 @@ +% +% division.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Polynomdivision} +\begin{block}{Aufgabe} +Finde Quotient und Rest für +$a= X^4- X^3-7X^2+ X+6\in\mathbb{Z}[X]$ +und +$b= X^2+X+1\in\mathbb{Z}[X]$ +\end{block} +\begin{block}{Lösung} +\[ +\arraycolsep=1.4pt +\begin{array}{rcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr} +X^4&-& X^3&-&7X^2&+& X&+&6&:&X^2&+&X&+&1&=&X^2&-&2X&-&6=q\\ +\llap{$-($}X^4&+& X^3&+& X^2\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{1-5} + &-&2X^3&-&8X^2&+& X& & & & & & & & & & & & & & \\ + &\llap{$-($}-&2X^3&-&2X^2&-&2X\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{2-7} + & & &-&6X^2&+&3X&+&6& & & & & & & & & & & & \\ + & & &\llap{$-($}-&6X^2&-&6X&-&6\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & \\ \cline{4-9} + & & & & & &9X&+&12\rlap{$\mathstrut=r$}& & & & & & & & & & & & \\ \cline{7-9} +\end{array} +\] +Funktioniert weil $b$ normiert ist! +\end{block} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/division2.tex b/vorlesungen/slides/3/division2.tex new file mode 100644 index 0000000..80d6a75 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/division2.tex @@ -0,0 +1,32 @@ +% +% division2.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Division in $\Bbbk[X]$} +\vspace{-5pt} +\begin{block}{Aufgabe} +Finde Quotienten und Rest der Polynome +$a(X) = X^4-X^3-7X^2+X+6$ +und +$b(X) = 2X^2+X+1$ +\end{block} +\begin{block}{Lösung} +\[ +\arraycolsep=1.4pt +\renewcommand{\arraystretch}{1.2} +\begin{array}{rcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr} +X^4&-& X^3&-& 7X^2&+& X&+& 6&:&2X^2&+&X&+&1&=&\frac12X^2&-&\frac34X&-\frac{27}{8} = q\\ +\llap{$-($}X^4&+&\frac12X^3&+& \frac12X^2\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{1-5} + &-&\frac32X^3&-&\frac{15}2X^2&+& X& & & & & & & & & & & & & \\ + &\llap{$-($}-&\frac32X^3&-&\frac{ 3}4X^2&-&\frac{ 3}4X\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & & \\\cline{2-7} + & & &-&\frac{27}4X^2&+&\frac{ 7}4X&+& 6& & & & & & & & & & & \\ + & & &\llap{$-($}-&\frac{27}4X^2&-&\frac{27}8X&-&\frac{27}{8}\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & \\\cline{4-9} + & & & & & &\frac{41}8X&+&\frac{75}{8}\rlap{$\mathstrut=r$}& & & & & & & & & & & \\ +\end{array} +\] +Funktioniert, weil man in $\Bbbk[X]$ immer normieren kann +\end{block} + +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex b/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex new file mode 100644 index 0000000..b44ca35 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex @@ -0,0 +1,70 @@ +% +% drehfaktorisierung.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{4pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{4pt} +\frametitle{Faktorisierung von $X^2+X+1$} +\vspace{-3pt} +$X^2+X+1$ kann faktorisiert werden, wenn man $i\sqrt{3}$ +hinzufügt +\[ +\biggl(X+\frac12+\frac{i\sqrt{3}}2\biggr) +\biggl(X+\frac12-\frac{i\sqrt{3}}2\biggr) += +X^2+X+\frac14 ++ +\frac34 += +X^2+X+1 +\] +\vspace{-10pt} +\begin{block}{Was ist $i\sqrt{3}$?} +Matrix mit Minimalpolynom $X^2+3$: +\[ +W=\begin{pmatrix}0&-3\\1&0\end{pmatrix} +\qquad\Rightarrow\qquad +W^2=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix} = -3I +\qquad\Rightarrow\qquad +W^2+3I=0 +\] +\end{block} +\vspace{-10pt} +\begin{block}{Faktorisierung von $X^2+X+1$} +\vspace{-10pt} +\begin{align*} +B_\pm +&= +-\frac12I\pm\frac12W +& +&\Rightarrow +& +(X+B_+)(X+B-) +&= +(X+\frac12I+\frac12W) +(X+\frac12I-\frac12W) +\\ +&= +\smash{ +{\textstyle\begin{pmatrix}-\frac12&-\frac32\\\frac12&-\frac12\end{pmatrix}} +} +& +& +& +&= +X^2+X + \frac14I - \frac14W^2 +\\ +& +& +&%\Rightarrow +& +&= +X^2+X + \frac14I + \frac34I += +X^2+X+I +\end{align*} +\end{block} + +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/drehmatrix.tex b/vorlesungen/slides/3/drehmatrix.tex new file mode 100644 index 0000000..bed0628 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/drehmatrix.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% +% drehmatrix.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Analyse einer Drehung um $120^\circ$} +$D$ eine Drehung um $120^\circ$ +\begin{enumerate} +\item +Drehwinkel = $120^\circ\quad\Rightarrow\quad D^3 = I$ +\item +$m_D(X)=X^3-1$ +\item +$m_D$ ist nicht irreduzibel, weil $m_D(1)=0$: +$ +m_D(X) = (X-1)(X^2+X+1) +$ +\item +Welche Matrix hat $X^2+X+1$ als Minimalpolynom +\[ +\arraycolsep=1.4pt +W += +\biggl(\begin{array}{cc} +-\frac12 & -\frac{\sqrt{3}}2 \\ + \frac{\sqrt{3}}2 & -\frac12 +\end{array}\biggr) +\quad\Rightarrow\quad +W^2+W+I += +\biggl(\begin{array}{cc} +-\frac12 & -\frac{\sqrt{3}}2 \\ + \frac{\sqrt{3}}2 & -\frac12 +\end{array}\biggr) ++ +\biggl(\begin{array}{cc} +-\frac12 & \frac{\sqrt{3}}2 \\ + -\frac{\sqrt{3}}2 & -\frac12 +\end{array}\biggr) ++ +\biggl(\begin{array}{cc} +1&0\\0&1 +\end{array}\biggr) +=0 +\] +\item In einer geeigneten Basis hat $D$ die Form +\[ +D=\begin{pmatrix} +1&0&0\\ +0&-\frac12 & -\frac{\sqrt{3}}2 \\ +0&\frac{\sqrt{3}}2 & -\frac12 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +1&0&0\\ +0&\cos 120^\circ & -\sin 120^\circ\\ +0&\sin 120^\circ & \cos 120^\circ +\end{pmatrix} +\] +\end{enumerate} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/einsetzen.tex b/vorlesungen/slides/3/einsetzen.tex new file mode 100644 index 0000000..936100d --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/einsetzen.tex @@ -0,0 +1,50 @@ +% +% einsetzen.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Matrix in ein Polynom einsetzen} +\vspace{-10pt} +\[ +\begin{array}{rcrcrcrcrcrcr} +p(X)&=&a_nX^n&+&a_{n-1}X^{n-1}&+&\dots&+&a_2X^2&+&a_1X&+&a_0\phantom{I}\\ +\bigg\downarrow\hspace*{4pt} & & +\bigg\downarrow\hspace*{4pt} & & +\bigg\downarrow\hspace*{10pt} & & & & +\bigg\downarrow\hspace*{4pt} & & +\bigg\downarrow\hspace*{2pt} & & +\bigg\downarrow\hspace*{0pt} \\ +p(A)&=&a_nA^n&+&a_{n-1}A^{n-1}&+&\dots&+&a_2A^2&+&a_1A&+&a_0 I +\end{array} +\] +\vspace{-10pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Nilpotente Matrizen} +$p(X) = (X-a)^n$ +\[ +p(A) = 0 +\quad\Rightarrow\quad +\text{$A$ ist nilpotent} +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Eigenwerte} +$p(X) = (X-\lambda_1)(X-\lambda_2)$,\\ +$A$ eine $2\times 2$-Matrix +\[ +p(A)=0\quad\Rightarrow\quad +\left\{ +\begin{aligned} +&\text{$A-\lambda_1I$ ist singulär}\\ +&\text{$A-\lambda_2I$ ist singulär} +\end{aligned} +\right. +\] +\end{block} +\end{column} +\end{columns} + +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/faktorisierung.tex b/vorlesungen/slides/3/faktorisierung.tex new file mode 100644 index 0000000..cbf7004 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/faktorisierung.tex @@ -0,0 +1,42 @@ +% +% faktorisierung.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Faktorisierung} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Primzahlen\strut} +Eine Zahl $p\in\mathbb{Z}$, $p>1$ heisst Primzahl, wenn sie nicht als Produkt +$p=ab$ mit $a,b\in\mathbb{Z},a>1, b>1$ geschrieben werden kann. +\begin{align*} +p&=7 +\\ +2021 &= 43 \cdot 47 +\\ +4095667&=2021\cdot 2027 +\\ +p&=43, 47, 1291, 2017, 2027 +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Irreduzible Polynome in $\mathbb{Q}[X]$} +Ein Polynome $p\in\mathbb{Q}[X]$, $\deg p>0$ wenn es nicht als Produkt +$p=ab$ mit $a,b\in\mathbb{Q}[X]$, $\deg a>0$, $\deg b>0$ geschrieben +werden kann. +\begin{align*} +p&=X-9 +\\ +X^2-1&= (X+1)(X-1) +\\ +X^2-2&\text{\; irreduzibel} +\\ +X^2-2&=(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2}) +\end{align*} +aber: $X\pm\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}[X]$ +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/faktorzerlegung.tex b/vorlesungen/slides/3/faktorzerlegung.tex new file mode 100644 index 0000000..0e5a95b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/faktorzerlegung.tex @@ -0,0 +1,58 @@ +% +% faktorzerlegung.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Faktorzerlegung} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{in $\mathbb{Z}$} +Jede Zahl kann eindeutig in Primfaktoren zerlegt werden: +\[ +z = p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2} \cdot\dots\cdot p_k^{n_k} +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{in $\mathbb{Q}[X]$} +Jedes Polynom $p\in\mathbb{Q}[X]$ +kann eindeutig faktorisiert werden in irreduzible, normierte Polynome +\[ +p += +a_n +p_1^{n_1} +\cdot +p_2^{n_2} +\cdot +\dots +\cdot +p_k^{n_k} +\] +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\begin{block}{Polynomfaktorisierung hängt von den Koeffizienten ab} +Ist $X^2-2$ irreduzibel? +\vspace{-5pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{in $\mathbb{Q}[X]$} +\[ +X^2-2\quad\text{ist irreduzibel} +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{in $\mathbb{R}[X]$} +\[ +X^2-2 = (X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2}) +\] +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{block} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex b/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex new file mode 100644 index 0000000..3d7e1a4 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex @@ -0,0 +1,67 @@ +% +% maximalergrad.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Jede Matrix hat eine Polynomrelation} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\vspace{-5pt} +\begin{block}{Dimension des Matrizenrings} +Der Ring $M_{n}(\Bbbk)$ ist ein $n^2$-dimensionaler Vektorraum mit +Basis +{\tiny +\begin{align*} +&\begin{pmatrix} +1&0&\dots&0\\ +0&0&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +\end{pmatrix} +& +&\begin{pmatrix} +0&1&\dots&0\\ +0&0&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +\end{pmatrix} +& +&\dots +& +&\begin{pmatrix} +0&0&\dots&1\\ +0&0&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +\end{pmatrix} +\\ +&\begin{pmatrix} +0&0&\dots&0\\ +1&0&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +\end{pmatrix} +& +&\begin{pmatrix} +0&0&\dots&0\\ +0&1&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +\end{pmatrix} +& +&\dots +& +&\begin{pmatrix} +0&0&\dots&0\\ +0&0&\dots&1\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +\end{pmatrix} +\end{align*}} +\end{block} +\vspace{-10pt} +\begin{block}{Potenzen von $A$} +Die $n^2+1$ Matrizen $I,A,A^2,\dots,A^{n^2-1},A^{n^2}$ müssen linear abhängig +sein: +\[ +a_0I+a_1A+a_2A^2+\dots+a_{n^2-1}A^{n^2-1}+a_{n^2}A^{n^2} = 0 +\] +d.~h.~$p(X) = a_0+a_1X+a_2X^2+\dots +a_{n^2-1}X^{n^2-1}+a_{n^2}A^{n^2}\in\Bbbk[X]$ ist ein Polynom mit $p(A)=0$. +\end{block} +$\Rightarrow$ $A$ über die Eigenschaften (Faktorisierung) von $p$ studieren +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/minimalbeispiel.tex b/vorlesungen/slides/3/minimalbeispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..03909de --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/minimalbeispiel.tex @@ -0,0 +1,34 @@ +% +% minimalbeispiel.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Beispiel für $p(A)=0$} +\begin{block}{Potenzen einer $2\times 2$-Matrix $A$} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\vspace{-10pt} +\[ +I ={\tiny\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}},\quad +A ={\tiny\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}},\quad +A^2={\tiny\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}},\quad +A^3={\tiny\begin{pmatrix} 19 & 10 \\ -5 & -6 \end{pmatrix}},\quad +A^4={\tiny\begin{pmatrix} 47 & 18 \\ -9 & 2 \end{pmatrix}} +\] +\end{block} +\vspace{-5pt} +\begin{block}{linear abhängig} +Bereits die ersten $3$ sind linear abhängig: +\[ +-4I - A + A^2 += +-4\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} +-\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} ++\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +\] +$p(X) = X^2 - X - 4 \in \mathbb{Q}[X]$ hat die Eigenschaft $p(A)=0$ +\end{block} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/minimalpolynom.tex b/vorlesungen/slides/3/minimalpolynom.tex new file mode 100644 index 0000000..60d15f0 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/minimalpolynom.tex @@ -0,0 +1,27 @@ +% +% minimalpolynom.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Minimalpolynom} +\begin{block}{Definition} +Zu jeder $n\times n$-Matrix $A$ +gibt es ein Polynom $m_A(X)\in\Bbbk[X]$ minimalen Grades $\deg m_A\le n^2$ +derart, dass $m_A(A)=0$. +\end{block} +\begin{block}{Strategie} +Das Minimalpolynom ist eine ``Invariante'' der Matrix $A$ +\end{block} +\begin{block}{Satz von Cayley-Hamilton} +Für jede $n\times n$-Matrix $A\in M_n(\Bbbk)$ gilt $\chi_A(A)=0$ +\[ +\Downarrow +\] +Das Minimalpolynom $m_A\in \Bbbk[X]$ ist ein Teiler +des charakteristischen Polynoms $\chi_A\in \Bbbk[X]$ +\\ +$\Rightarrow $ +Faktorzerlegung on $\chi_A(X)$ ermitteln! +\end{block} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/operatoren.tex b/vorlesungen/slides/3/operatoren.tex new file mode 100644 index 0000000..20b7f3a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/operatoren.tex @@ -0,0 +1,48 @@ +% +% operatoren.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{$X$ als Operator} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.38\textwidth} +\begin{block}{Polynome} +$a(X)=a_0+a_1X+\dots+a_nX^n$ +\[ +a(X) += +\begin{pmatrix} +a_0\\a_1\\a_2\\a_3\\\vdots\\a_nX^n +\end{pmatrix} +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.58\textwidth} +\begin{block}{Multiplikation mit $X$} +\strut +\[ +\begin{pmatrix} +1\\0\\0\\0\\\vdots\\0 +\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix} +0\\1\\0\\0\\\vdots\\0 +\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix} +0\\0\\1\\0\\\vdots\\0 +\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix} +0\\0\\0\\1\\\vdots\\0 +\end{pmatrix} +\mapsto\dots\mapsto +\begin{pmatrix} +0\\0\\0\\0\\\vdots\\1 +\end{pmatrix} +\] +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/polynome.tex b/vorlesungen/slides/3/polynome.tex index 6ca0009..161a4ed 100644 --- a/vorlesungen/slides/3/polynome.tex +++ b/vorlesungen/slides/3/polynome.tex @@ -3,7 +3,27 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\begin{frame} +\begin{frame}[t] \frametitle{Polynome} +$R$ ein Ring, z.~B.~$\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ + +\begin{definition} +Polynome in $X$ mit Koeffizienten in $R$: +\[ +R[X] += +\{ +a(X)\;|\; +a(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1} + \dots a_2X^2+a_1X + a_0, a_k\in R +\} +\] +\end{definition} + +\begin{itemize} +\item {\em Grad} des Polynoms: $\deg a(X) = \deg a = n$ +\item $\deg 0 = -\infty$ +\item {\em normiertes Polynom}: $a_n=1$ +\end{itemize} + \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/ringstruktur.tex b/vorlesungen/slides/3/ringstruktur.tex new file mode 100644 index 0000000..d653300 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/ringstruktur.tex @@ -0,0 +1,50 @@ +% +% ringstruktur.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Ringstruktur} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.46\textwidth} +\begin{block}{Ring} +Menge $R$ mit zwei zweistelligen Verknüfpungen $+$ und $\cdot$ +mit +\begin{enumerate} +\item<3-> +$R$ ist abelsche Gruppe bezüglich $+$ +\item<5-> +$R\setminus\{0\}$ ist ein Monoid bezüglich $\cdot$ +\item<7-> +Für alle $a,b,c\in R$ +\begin{align*} +a(b+c) &= ab+ac +\\ +(a+b)c &= ac+bc +\end{align*} +\end{enumerate} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.50\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Polynomring} +$R$ ein Ring, $R[X]$ ``erbt'' Addition und Multiplikation mit +\begin{enumerate} +\item<4-> +$R[X]$ ist abelsche Gruppe bezüglich $+$ +\item<6-> +$R[X]\setminus\{0\}$ ist ein Monoid bezüglich $\cdot$ +\item<8-> +Für alle $a,b,c\in R[X]$ +\begin{align*} +a(b+c) &= ab+ac +\\ +(a+b)c &= ac+bc +\end{align*} +\end{enumerate} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/teilbarkeit.tex b/vorlesungen/slides/3/teilbarkeit.tex new file mode 100644 index 0000000..25e4fa6 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/teilbarkeit.tex @@ -0,0 +1,44 @@ +% +% teilbarkeit.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Teilen} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Teilen in $\mathbb{Z}$} +Zu zwei Zahlen $a,b\in \mathbb{Z}$, $a>b$ gibt es +immer genau ein Paar $q,r\in\mathbb{Z}$ derart, dass +\begin{align*} +a&=bq+r +\\ +r&< b +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Teilen in $\mathbb{Q}[X]$} +Zu zwei Polynomen $a,b\in\mathbb{Q}[X]$, $\deg a > \deg b$ +gibt es +immer genau ein Paar $q,r\in\mathbb{Q}[X]$ derart, dass +\begin{align*} +a&=bq+r +\\ +\deg r&< \deg b +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\begin{block}{Allgmein: euklidischer Ring} +Nullteilerfreier Ring $R$ mit einer Funktion +$d\colon R\setminus{0}\to\mathbb{N}$ mit +\begin{itemize} +\item Für $x,y\in R$ gilt $d(xy) \ge d(x)$. +\item Für $x,y\in R$ gibt es $q,r\in R$ derart +$x=qy +r$ mit $d(y)>d(r)$ +\end{itemize} +Euklidische Ringe haben ähnliche Eigenschaften wie Polynomringe +\end{block} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 0cc5452..24d9ffa 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -4,11 +4,25 @@ % (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -%\folie{1/peano.tex} -%\folie{1/ganz.tex} -%\folie{1/bruch.tex} -%\folie{1/ring.tex} -\folie{1/schwierigkeiten.tex} -\folie{1/vektorraum.tex} -%\folie{3/polynome.tex} %\folie{3/motivation.tex} +%\folie{3/polynome.tex} +%\folie{3/division.tex} +%\folie{3/division2.tex} +%\folie{3/ringstruktur.tex} +%\folie{3/teilbarkeit.tex} +%\folie{3/faktorisierung.tex} +%\folie{3/faktorzerlegung.tex} +%\folie{3/einsetzen.tex} +%\folie{3/maximalergrad.tex} +%\folie{3/minimalbeispiel.tex} +%\folie{3/minimalpolynom.tex} +\folie{3/drehmatrix.tex} +\folie{3/drehfaktorisierung.tex} +\folie{3/operatoren.tex} +\folie{3/adjunktion.tex} +% XXX \folie{3/adjunktioni.tex} +% XXX \folie{3/adjunktionsqrt2.tex} +% XXX \folie{3/adjunktionphi.tex} +% Adjunktion von \cos(\pi/1291) und \cos(\pi/1291) +% XXX \folie{3/adj1291.tex} + |