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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex index b749356..b0753a4 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex @@ -20,11 +20,11 @@ einiger Rechnung oder mit Hilfe einer Software für symbolische Rechnung: = x^4-9x^3+30x^2-44x+24 = -(x-3)^3(x-2), +(x-3)(x-2)^2, \] Eigenwerte sind also $\lambda=3$ und $\lambda=2$. -Der Eigenwert $\lambda=2$ ist ein einfacher Eigenwert, der zugehörige +Der Eigenwert $\lambda=3$ ist ein einfacher Eigenwert, der zugehörige Eigenraum ist daher eindimensional. Ein Eigenvektor kann mit Hilfe des linearen Gleichungssystems \begin{align*} @@ -48,10 +48,10 @@ Ein Eigenvektor kann mit Hilfe des linearen Gleichungssystems \to \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} \hline -1&0&0& 0\\ -0&1&0& 0\\ +1&0&0&0\\ +0&1&0&0\\ 0&0&1&-1\\ -0&0&0& 0\\ +0&0&0&0\\ \hline \end{tabular} \end{align*} @@ -78,7 +78,8 @@ Ab_1 = 3b_1 \] ab. -Diesen Vektor können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-2I)$ + +Den Vektor $b_1$ können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-2I)$ bestimmen. Die vierte Potenz von $A-2I$ ist \begin{equation} @@ -111,10 +112,10 @@ b_4 für den Kern $\mathcal{K}(A-2I)$ ablesen. Da $\lambda=2$ der einzige andere Eigenwert ist, muss $\mathcal{K}(A-2I) = \mathcal{J}(A-3I)$ sein. -Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-2I$ +Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-3I$ berechnen, sie ist \[ -(A-2I)^4 +(A-3I)^4 = \begin{pmatrix} 79& -26& 152& -152\\ @@ -124,7 +125,7 @@ berechnen, sie ist \end{pmatrix}. \] Die Spaltenvektoren lassen sich alle durch die Vektoren $b_2$, $b_3$ -und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-2I)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$. +und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-3I)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$. Indem die Vektoren $b_i$ als Spalten in eine Matrix $T$ schreibt, kann man jetzt berechnen, wie die Matrix der linearen Abbildung in dieser neuen |