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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.m b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.m index e6e94db..8f3d795 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.m +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.m @@ -14,13 +14,13 @@ A = [ eig(A) -lambda = 2 +lambda = 3 B = A - lambda*eye(4) rref(B) D = B*B*B*B -lambda = 3 +lambda = 2 B = A - lambda*eye(4) rref(B) diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex index b749356..b0753a4 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex @@ -20,11 +20,11 @@ einiger Rechnung oder mit Hilfe einer Software für symbolische Rechnung: = x^4-9x^3+30x^2-44x+24 = -(x-3)^3(x-2), +(x-3)(x-2)^2, \] Eigenwerte sind also $\lambda=3$ und $\lambda=2$. -Der Eigenwert $\lambda=2$ ist ein einfacher Eigenwert, der zugehörige +Der Eigenwert $\lambda=3$ ist ein einfacher Eigenwert, der zugehörige Eigenraum ist daher eindimensional. Ein Eigenvektor kann mit Hilfe des linearen Gleichungssystems \begin{align*} @@ -48,10 +48,10 @@ Ein Eigenvektor kann mit Hilfe des linearen Gleichungssystems \to \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} \hline -1&0&0& 0\\ -0&1&0& 0\\ +1&0&0&0\\ +0&1&0&0\\ 0&0&1&-1\\ -0&0&0& 0\\ +0&0&0&0\\ \hline \end{tabular} \end{align*} @@ -78,7 +78,8 @@ Ab_1 = 3b_1 \] ab. -Diesen Vektor können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-2I)$ + +Den Vektor $b_1$ können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-2I)$ bestimmen. Die vierte Potenz von $A-2I$ ist \begin{equation} @@ -111,10 +112,10 @@ b_4 für den Kern $\mathcal{K}(A-2I)$ ablesen. Da $\lambda=2$ der einzige andere Eigenwert ist, muss $\mathcal{K}(A-2I) = \mathcal{J}(A-3I)$ sein. -Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-2I$ +Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-3I$ berechnen, sie ist \[ -(A-2I)^4 +(A-3I)^4 = \begin{pmatrix} 79& -26& 152& -152\\ @@ -124,7 +125,7 @@ berechnen, sie ist \end{pmatrix}. \] Die Spaltenvektoren lassen sich alle durch die Vektoren $b_2$, $b_3$ -und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-2I)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$. +und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-3I)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$. Indem die Vektoren $b_i$ als Spalten in eine Matrix $T$ schreibt, kann man jetzt berechnen, wie die Matrix der linearen Abbildung in dieser neuen diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex index ec76c34..40a69af 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex @@ -94,7 +94,7 @@ Es gilt also $AA^t=A^tA$, die Matrix ist also normal. \notag \end{align} Mit einem Taschenrechner kann man die Nullstellen finden, -aber man kann das auch die Form \eqref{4005:charpoly} +aber man kann auch die Form \eqref{4005:charpoly} des charakteristischen Polynoms direkt faktorisieren: \begin{align*} \chi_A(\lambda) @@ -124,6 +124,7 @@ man mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen finden kann: \frac{3}{2} \pm\frac{\sqrt{-3}}{2} = \frac{3}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2} +&|lambda_{\pm}&=\sqrt{3}. \end{align*} \item Wir müssen $z=A$ und $\overline{z}=A^t$ im Polynom $p(z,\overline{z})$ @@ -139,7 +140,7 @@ B 2.1547005& 0.42264973& 0.42264973 \\ 0.4226497& 2.15470053& 0.42264973 \\ 0.4226497& 0.42264973& 2.15470053 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \end{align*} \item Tatsächlich gibt die Berechnung der Eigenwerte diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex index 7ccc065..69ca9bc 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -Man findet eine Basis, in der die Matrix +Man finde eine Basis, in der die Matrix \[ A=\begin{pmatrix*}[r] -5& 2& 6& 0\\ |