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diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index 42cd6f6..4729a93 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -15,16 +15,16 @@ x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x)
 n \in \mathbb{N}_0
 , \quad
 x \in \mathbb{R}
-.
 \label{laguerre:dgl}
+.
 \end{align}
 Spannenderweise wurde die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung
 zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben,
-aber auf Grund ihrer Ähnlichkeit wurde sie nach Laguerre benannt.
+aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt.
 Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
 Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
-weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann,
-aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält.
+weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann.
+Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall.
 Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
 Potenzreihenansatz.
 Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
@@ -47,7 +47,7 @@ y''(x)
 =
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
 \end{align*}
-in die Differentialgleichung ein, erhält man:
+in die Differentialgleichung ein, erhält man
 \begin{align*}
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k
 +
@@ -138,8 +138,10 @@ Differentialgleichung mit der Form
 \Xi_n(x)
 =
 L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
+.
 \end{align*}
-Nach einigen mühsamen Rechnungen,
+Nach einigen aufwändigen Rechnungen, 
+% die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt,
 die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden,
 erhalten wir
 \begin{align*}
diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index 9b901ae..4adbe86 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -3,24 +3,11 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-% \section{Eigenschaften
-%   \label{laguerre:section:eigenschaften}}
-% {
-% \large \color{red}
-% TODO:
-% Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur
-% benötigt wird.
-% }
-
-% Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften
-% \rhead{Eigenschaften}
-
-% \subsection{Orthogonalität
-%   \label{laguerre:subsection:orthogonal}}
 \section{Orthogonalität
   \label{laguerre:section:orthogonal}}
-Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet,
-dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind.
+Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} 
+haben wir die Behauptung aufgestellt,
+dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind.
 Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern.
 Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein
 Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
@@ -40,7 +27,7 @@ und den Laguerre-Operator
 x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
 \end{align}
 erhalten werden,
-in dem wir diese Operatoren einander gleichsetzen.
+indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen.
 Aus der Beziehung
 \begin{align}
 S
@@ -58,7 +45,7 @@ Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung
 \begin{align*}
 x \frac{dp}{dx}
 =
--(\nu + 1 - x) p,
+-(\nu + 1 - x) p
 \end{align*}
 erfüllen muss.
 Durch Separation erhalten wir dann
@@ -76,6 +63,7 @@ Durch Separation erhalten wir dann
 p(x)
  & =
 -C x^{\nu + 1} e^{-x}
+.
 \end{align*}
 Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich
 \begin{align*}
@@ -117,14 +105,9 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb})
 0
 \end{align*}
 für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$.
-Damit können wir schlussfolgern, dass die verallgemeinerten Laguerre-Polynome
-orthogonal bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$
-mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind.
+Damit können wir schlussfolgern: 
+Die verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind orthogonal
+bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$
+mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$.
 Die Laguerre-Polynome ($\nu=0$) sind somit orthognal im Intervall $(0, \infty)$
 mit der Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$.
-
-% \subsection{Rodrigues-Formel}
-
-% \subsection{Drei-Terme Rekursion}
-
-% \subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion}
diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
index b76daeb..2e5fc06 100644
--- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -8,8 +8,8 @@
 Die Gauss-Laguerre-Quadratur kann nun verwendet werden,
 um exponentiell abfallende Funktionen im Definitionsbereich $(0, \infty)$ zu
 berechnen.
-Dabei bietet sich z.B. die Gamma-Funkion bestens an, wie wir in den folgenden
-Abschnitten sehen werden.
+Dabei bietet sich z.B. die Gamma-Funkion hervorragend an,
+wie wir in den folgenden Abschnitten sehen werden.
 
 \subsection{Gamma-Funktion}
 Die Gamma-Funktion ist eine Erweiterung der Fakultät auf die reale und komplexe
@@ -26,10 +26,12 @@ Integral der Form
 \label{laguerre:gamma}
 .
 \end{align}
-Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und
-der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren.
-Zu erwähnen ist auch, dass für die verallgemeinerte Laguerre-Integration die
-Gewichtsfunktion $t^\nu e^{-t}$ genau dem Integranden für $\nu=z-1$ entspricht.
+Der Term $e^{-t}$ im Integranden und der Integrationsbereich erfüllen 
+genau die Bedingungen der Laguerre-Integration.
+% Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und
+% der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren.
+Weiter zu erwähnen ist, dass für die verallgemeinerte Laguerre-Integration die
+Gewichtsfunktion $t^\nu e^{-t}$ exakt dem Integranden für $\nu=z-1$ entspricht.
 
 \subsubsection{Funktionalgleichung}
 Die Gamma-Funktion besitzt die gleiche Rekursionsbeziehung wie die Fakultät,
@@ -62,7 +64,8 @@ leicht in die linke Halbebene übersetzen und umgekehrt.
 \subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur}
 In den vorherigen Abschnitten haben wir gesehen,
 dass sich die Gamma-Funktion bestens für die Gauss-Laguerre-Quadratur eignet.
-Nun bieten sich uns zwei Optionen diese zu berechnen:
+Nun bieten sich uns zwei Optionen,
+diese zu berechnen:
 \begin{enumerate}
 \item Wir verwenden die verallgemeinerten Laguerre-Polynome, dann $f(x)=1$.
 \item Wir verwenden die Laguerre-Polynome, dann $f(x)=x^{z-1}$.
@@ -92,7 +95,8 @@ und Nullstellen für unterschiedliche $z$.
 In \eqref{laguerre:quadratur_gewichte} ist ersichtlich,
 dass die Gewichte einfach zu berechnen sind.
 Auch die Nullstellen können vorgängig,
-mittels eines geeigneten Verfahrens aus den Polynomen bestimmt werden.
+mittels eines geeigneten Verfahrens,
+aus den Polynomen bestimmt werden.
 Als problematisch könnte sich höchstens
 die zu integrierende Funktion $f(x)=x^{z-1}$ für $|z| \gg 0$ erweisen.
 Somit entscheiden wir uns aufgrund der vorherigen Punkte,
@@ -101,7 +105,8 @@ die zweite Variante weiterzuverfolgen.
 \subsubsection{Direkter Ansatz}
 Wenden wir also die Gauss-Laguerre-Quadratur aus
 \eqref{laguerre:laguerrequadratur} auf die Gamma-Funktion
-\eqref{laguerre:gamma} an ergibt sich
+\eqref{laguerre:gamma} an,
+ergibt sich
 \begin{align}
 \Gamma(z)
 \approx
@@ -157,11 +162,12 @@ und als Stützstellen die Nullstellen des Laguerre-Polynomes $L_n$.
 Evaluieren wir den relativen Fehler unserer Approximation zeigt sich ein
 Bild wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple}.
 Man kann sehen,
-wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z \leq 2n$,
-was laut der Theorie der Gauss-Quadratur auch zu erwarten ist,
-denn die Approximation via Gauss-Quadratur
-ist exakt für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$
-und von $z$ auch noch $1$ abgezogen wird im Exponenten.
+wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z \leq 2n$.
+Laut der Theorie der Gauss-Quadratur auch ist das zu erwarten,
+da die Approximation via Gauss-Quadratur
+exakt ist für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$
+und hinzukommt,
+dass zudem von $z$ noch $1$ abgezogen wird im Exponenten.
 Es ist ersichtlich,
 dass sich für den Polynomgrad $n$ ein Interval gibt,
 in dem der relative Fehler minimal ist.
@@ -347,7 +353,8 @@ m^*
 \end{align*}
 Allerdings ist die Funktion $R_{n,m}(\xi)$ unbeschränkt und
 hat die gleichen Probleme wie die Fehlerabschätzung des direkten Ansatzes.
-Dazu müssten wir $\xi$ versuchen unter Kontrolle zu bringen,
+Dazu müssten wir $\xi$ versuchen,
+unter Kontrolle zu bringen,
 was ein äussersts schwieriges Unterfangen zu sein scheint.
 Da die Gauss-Quadratur aber sowieso
 nur wirklich praktisch sinnvoll für kleine $n$ ist,
@@ -367,8 +374,8 @@ aus dieser Grafik nicht offensichtlich,
 aber sie scheint regelmässig zu sein.
 Es lässt die Vermutung aufkommen,
 dass die Restriktion von $m^* \in \mathbb{Z}$ Rundungsprobleme verursacht.
-Wir versuchen dieses Problem via lineare Regression und
-geeignete Rundung zu beheben.
+Wir versuchen,
+dieses Problem via lineare Regression und geeignete Rundung zu beheben.
 Den linearen Regressor
 \begin{align*}
 \hat{m}
@@ -391,7 +398,7 @@ In Abbildung~\ref{laguerre:fig:schaetzung} sind die Resultate
 der linearen Regression aufgezeigt mit $\alpha = 1.34094$ und $\beta =
 0.854093$.
 Die lineare Beziehung ist ganz klar ersichtlich und der Fit scheint zu genügen.
-Der optimalen Verschiebungsterm kann nun mit
+Der optimale Verschiebungsterm kann nun mit
 \begin{align*}
 m^*
 \approx
@@ -423,7 +430,7 @@ dann beim Übergang auf die orange Linie wechselt.
 \caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Verschiebungsterm
 für verschiedene reele Werte von $z$ und Verschiebungsterme $m$.
 Das verwendete Laguerre-Polynom besitzt den Grad $n = 8$.
-$m^*$ bezeichnet hier den optimalen Verschiebungsterm}
+$m^*$ bezeichnet hier den optimalen Verschiebungsterm.}
 \label{laguerre:fig:rel_error_shifted}
 \end{figure}
 
@@ -433,8 +440,8 @@ Es stellt sich nun die Frage,
 wie der relative Fehler sich für verschiedene $z$ und $n$ verhält.
 In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_range} sind die relativen Fehler für
 unterschiedliche $n$ dargestellt.
-Der relative Fehler scheint immer noch Nullstellen aufzuweisen,
-bei für ganzzahlige $z$.
+Der relative Fehler scheint immer noch Nullstellen aufzuweisen
+für ganzzahlige $z$.
 Durch das Verschieben ergibt sich jetzt aber,
 wie zu erwarten war,
 ein periodischer relativer Fehler mit einer Periodendauer von $1$.
@@ -511,7 +518,7 @@ Diese Methode wurde zum Beispiel in
 Diese Methode erreicht für $n = 7$ typischerweise Genauigkeit von $13$
 korrekten, signifikanten Stellen für reele Argumente.
 Zum Vergleich: die vorgestellte Methode erreicht für $n = 7$ 
-eine minimale Genauigkeit von $6$-$7$ korrekten, signifikanten Stellen 
+eine minimale Genauigkeit von $6$ korrekten, signifikanten Stellen 
 für reele Argumente.
 Das Resultat ist etwas enttäuschend,
 aber nicht unerwartet,
@@ -519,7 +526,7 @@ da die Lanczos-Methode spezifisch auf dieses Problem zugeschnitten ist und
 unsere Methode eine erweiterte allgemeine Methode ist.
 Was die Komplexität der Berechnungen im Betrieb angeht,
 ist die Gauss-Laguerre-Quadratur wesentlich ressourcensparender,
-weil sie nur aus $n$ Funktionasevaluationen, 
+weil sie nur aus $n$ Funktionsevaluationen, 
 wenigen Multiplikationen und Additionen besteht.
-Also könnte diese Methode z.B. Anwendung in Systemen mit wenig Rechenleistung
+Demzufolge könnte diese Methode Anwendung in Systemen mit wenig Rechenleistung
 und/oder knappen Energieressourcen finden.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/main.tex b/buch/papers/laguerre/main.tex
index d69fbed..57a6560 100644
--- a/buch/papers/laguerre/main.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/main.tex
@@ -11,15 +11,19 @@
 {\parindent0pt Die} Laguerre\--Polynome, 
 benannt nach Edmond Laguerre (1834 - 1886),
 sind Lösungen der ebenfalls nach Laguerre benannten Differentialgleichung.
-Laguerre entdeckte diese Polynome als er Approximationsmethoden 
-für das Integral $\int_0^\infty \exp(-x) / x \, dx$ suchte.
+Laguerre entdeckte diese Polynome, als er Approximations\-methoden 
+für das Integral 
+% $\int_0^\infty \exp(-x) / x \, dx $ 
+\begin{align*}
+\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{x} \, dx
+\end{align*}
+suchte.
 Darum möchten wir uns in diesem Kapitel, 
 ganz im Sinne des Entdeckers,
 den Laguerre-Polynomen für Approximationen von Integralen mit 
 exponentiell-abfallenden Funktionen widmen.
-Namentlich werden wir versuchen, 
-eine geeignete Approximation für die Gamma-Funktion zu finden 
-mittels Laguerre-Polynomen und der Gauss-Quadratur.
+Namentlich werden wir versuchen, mittels Laguerre-Polynomen und
+der Gauss-Quadratur eine geeignete Approximation für die Gamma-Funktion zu finden.
 
 Laguerre-Polynome tauchen zudem auch in der Quantenmechanik im radialen Anteil 
 der Lösung für die Schrödinger-Gleichung eines Wasserstoffatoms auf.
diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index 27519d8..a494362 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -6,19 +6,19 @@
 \section{Gauss-Quadratur
   \label{laguerre:section:quadratur}}
 Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren,
-welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen ausnützt.
+welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen verwendet.
 Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im 
 Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} gefunden werden.
 Als grundlegende Idee wird die Beobachtung,
 dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen,
 verwendet.
 Stellt man also sicher,
-dass ein Verfahren gut für Polynome gut funktioniert, 
-sollte es auch für andere Funktionen nicht schlecht funktionieren.
+dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert, 
+sollte es auch für andere Funktionen angemessene Resultate liefern.
 Es wird ein Polynom verwendet, 
 welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$ 
 die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt.
-Als Resultat kann das Integral via eine gewichtete Summe der Form
+Als Resultat kann das Integral via einer gewichteten Summe der Form
 \begin{align}
 \int_a^b f(x) w(x) \, dx
 \approx
@@ -44,11 +44,11 @@ a + \frac{1 - t}{t}
 auf das Intervall $[0, 1]$ transformiert,
 kann dies behoben werden.
 Für unseren Fall gilt $a = 0$.
-Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent,
-darum müssen wir das Polynome mit einer Funktion multiplizieren,
+Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent.
+Darum müssen wir das Polynom mit einer Funktion multiplizieren,
 die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht,
 damit das Integral immer noch konvergiert.
-Die Laguerre-Polynome $L_n$ bieten hier Abhilfe,
+Die Laguerre-Polynome $L_n$ schaffen hier Abhilfe,
 da ihre Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ schneller
 gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom.
 % In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome
@@ -67,7 +67,7 @@ umformulieren:
 \subsubsection{Stützstellen und Gewichte}
 Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen
 des verwendeten Polynoms genommen werden.
-Das heisst für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen dessen Nullstellen $x_i$ und
+Für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und
 als Gewichte $A_i$ die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden.
 Dabei sind
 \begin{align*}
@@ -146,7 +146,8 @@ x_i L'_n(x_i)
  (n + 1) L_{n+1}(x_i)
 .
 \end{align*}
-Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein ergibt sich
+Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein,
+ergibt sich
 \begin{align}
 \nonumber
 A_i