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authorJODBaer <55744603+JODBaer@users.noreply.github.com>2022-07-18 13:54:57 +0200
committerGitHub <noreply@github.com>2022-07-18 13:54:57 +0200
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-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/beta.tex21
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex17
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex19
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex204
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/Makefile11
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.cpp26
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.m19
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex425
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp94
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdfbin0 -> 49497 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex86
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile16
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.m43
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdfbin0 -> 30943 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex89
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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
index ff59bad..20e3f0e 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
@@ -8,12 +8,14 @@
Die Eulersche Integralformel für die Gamma-Funktion in
Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde in
Abschnitt~\ref{buch:subsection:integral-eindeutig}
-mit dem Satz von Mollerup gerechtfertigt.
+mit dem Satz~\ref{buch:satz:bohr-mollerup}
+von Bohr-Mollerup gerechtfertigt.
Man kann Sie aber auch als Grenzfall der Beta-Funktion verstehen,
die in diesem Abschnitt dargestellt wird.
-\subsection{Beta-Integral}
+\subsection{Beta-Integral
+\label{buch:rekursion:gamma:subsection:integralbeweis}}
In diesem Abschnitt wird das Beta-Integral eingeführt, eine Funktion
von zwei Variablen, welches eine Integral-Definition mit einer
reichaltigen Menge von Rekursionsbeziehungen hat, die sich direkt auf
@@ -30,6 +32,7 @@ B(x,y)
\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt
\]
für $\operatorname{Re}x>0$, $\operatorname{Re}y>0$.
+\index{Beta-Integral}%
\end{definition}
Aus der Definition kann man sofort ablesen, dass $B(x,y)=B(y,x)$.
@@ -231,6 +234,7 @@ Durch Einsetzen der Integralformel im Ausdruck
Satz.
\begin{satz}
+\index{Satz!Beta-Funktion und Gamma-Funktion}%
Die Beta-Funktion kann aus der Gamma-Funktion nach
\begin{equation}
B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
@@ -320,6 +324,9 @@ $(-\frac12)!$ als Wert
\]
der Gamma-Funktion interpretiert.
+%
+% Alternative Parametrisierung
+%
\subsubsection{Alternative Parametrisierungen}
Die Substitution $t=\sin^2 s$ hat im vorangegangenen Abschnitt
ermöglicht, $\Gamma(\frac12)$ zu ermitteln.
@@ -382,8 +389,10 @@ wobei wir
\]
verwendet haben.
Diese Darstellung des Beta-Integrals wird später
-% XXX Ort ergänzen
+in Satz~\ref{buch:funktionentheorie:satz:spiegelungsformel}
dazu verwendet, die Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion
+\index{Gamma-Funktion!Spiegelungsformel}%
+\index{Spiegelungsformel der Gamma-Funktion}%
herzuleiten.
Eine weitere mögliche Parametrisierung verwendet $t = (1+s)/2$
@@ -407,17 +416,23 @@ B(x,y)
\label{buch:rekursion:gamma:beta:symm}
\end{equation}
+%
+%
+%
\subsubsection{Die Verdoppelungsformel von Legendre}
Die trigonometrische Substitution kann dazu verwendet werden, die
Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten.
\begin{satz}[Legendre]
+\index{Satz!Verdoppelungsformel@Verdoppelungsformel für $\Gamma(x)$}%
\[
\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12})
=
2^{1-2x}\sqrt{\pi}
\Gamma(2x)
\]
+\index{Verdoppelungsformel}%
+\index{Gamma-Funktion!Verdoppelungsformel von Legendre}%
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis]
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex
index cd9cadc..57e503a 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex
@@ -5,12 +5,27 @@
%
\subsection{Der Satz von Bohr-Mollerup
\label{buch:rekursion:subsection:bohr-mollerup}}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf}
+\caption{Der Graph der Funktion $\log|\Gamma(x)|$ ist für $x>0$ konvex.
+Die blau hinterlegten Bereiche zeigen an, wo die Gamma-Funktion
+negative Werte annimmt.
+\label{buch:rekursion:gamma:loggammaplot}}
+\end{figure}
Die Integralformel und die Grenzwertdefinition für die Gamma-Funktion
zeigen beide, dass das Problem der Ausdehnung der Fakultät zu einer
Funktion $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ eine Lösung hat, aber es ist noch
nicht klar, in welchem Sinn dies die einzig mögliche Lösung ist.
Der Satz von Bohr-Mollerup gibt darauf eine Antwort.
+Der Graph
+in Abbildung~\ref{buch:rekursion:gamma:loggammaplot}
+zeigt, dass die Werte der Gamma-Funktion für $x>0$ so schnell
+anwachsen, dass sogar die Funktion $\log|\Gamma(x)|$ konvex ist.
+Der Satz von Bohr-Mollerup besagt, dass diese Eigenschaft zur
+Charakterisierung der Gamma-Funktion verwendet werden kann.
+
\begin{satz}
\label{buch:satz:bohr-mollerup}
Eine Funktion $f\colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ mit den Eigenschaften
@@ -20,6 +35,8 @@ Eine Funktion $f\colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ mit den Eigenschaften
\item die Funktion $\log f(t)$ ist konvex
\end{enumerate}
ist die Gamma-Funktion: $f(t)=\Gamma(t)$.
+\index{Satz!von Bohr-Mollerup}%
+\index{Bohr-Mollerup, Satz von}%
\end{satz}
Für den Beweis verwenden wir die folgende Eigenschaft einer konvexen
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex
index 165c48e..1771200 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex
@@ -8,6 +8,25 @@
\label{buch:chapter:rekursion}}
\lhead{Spezielle Funktionen und Rekursion}
\rhead{}
+Die Fakultät $n!=1\cdot 2\cdots n$ ist eine ersten Funktionen, für die
+man normalerweise auch eine rekursive Definition kennenlernt.
+Rekursion ist eine besonders gut der numerischen Berechnung zugängliche
+Art, spezielle Funktionen zu definieren.
+In diesem Kapitel sollen daher in
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:gamma}
+zunächst die Gamma-Funktion als Verallgemeinerung konstruiert
+und charakterisiert werden.
+Die Beta-Funktion in
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:gamma:section:beta}
+verallgemeinert diese Rekursionsbeziehungen.
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:linear}
+erinnert an die Methoden, mit denen lineare Rekursionsgleichungen
+gelöst werden können.
+Erfüllten die Koeffizienten einer Potenzreihe eine spezielle
+Rekursionsbeziehung, entsteht die besonders vielfältige Familie
+der hypergeometrischen Funktionen, die in
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}
+eingeführt werden.
\input{chapters/040-rekursion/gamma.tex}
\input{chapters/040-rekursion/beta.tex}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index 7d4453b..7f19637 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -20,6 +20,8 @@ für alle natürlichen Zahlen $x\in\mathbb{N}$ definiert werden.
\end{equation}
Kann man eine reelle oder komplexe Funktion finden, die die
Funktionalgleichung~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef}
+\index{Gamma-Funktion!Funktionalgleichung}%
+\index{Funktionalgleichung der Gamma-Funktion}%
erfüllt und damit die Fakultät auf beliebige Argumente ausdehnt?
\subsection{Definition als Grenzwert}
@@ -71,6 +73,9 @@ gilt.
Der Plan ist, dies so umzuformen, dass man für $x$ eine beliebige
komplexe Zahl einsetzen kann.
+%
+% Pochhammer-Symbol
+%
\subsubsection{Pochhammer-Symbol}
Die spezielle Form des Nenners und des zweiten Faktors im Zähler
von \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:fakultaet}
@@ -113,6 +118,9 @@ x!
Der erste Faktor in diesem Ausdruck enthält jetzt nur noch Dinge,
die für beliebige $x\in\mathbb{C}$ definiert sind.
+%
+% Grenwertdefinition
+%
\subsubsection{Grenzwertdefinition}
Der zweite Bruch in \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:produkt3}
besteht aus Termen, die zwar nur für natürliches $x$ definiert sind,
@@ -141,8 +149,13 @@ $x\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,-3,\dots\}$ ist der Grenzwert
\[
\Gamma(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{n!\,n^{x-1}}{(x)_n}.
\]
+\index{Grenzwertdefinition der Gamma-Funktion}%
+\index{Gamma-Funktion!Grenzwertdefinition}%
\end{definition}
+%
+% Rekursionsgleichung für Gamma(x)
+%
\subsubsection{Rekursionsgleichung für $\Gamma(x)$}
Es ist aus der Herleitung klar, dass $\Gamma(n)=(n-1)!$ sein muss.
Wir sollten dies aber auch direkt aus der
@@ -195,15 +208,85 @@ x\lim_{n\to\infty}
\frac{n^{x-1}}{(n+1)^{x-1}}
\\
&=
+x
\Gamma(x)
\lim_{n\to\infty} \biggl(\frac{n}{n+1}\biggr)^{x-1}
=
-\Gamma(x),
+x\Gamma(x),
\end{align*}
Weil $n/(n+1)\to 1$ ist und die Funktion $z\mapsto z^{x-1}$ für alle
nach der Definition zulässigen Werte von $x$ eine stetige Funktion ist.
+%
+% Gamma-Funktion und Pochhammer-Symbol
+%
+\subsubsection{Gamma-Funktion und Pochhammer-Symbol}
+Durch Iteration der Rekursionsformel für $\Gamma(x)$ folgt jetzt
+\begin{align*}
+\Gamma(x+n)
+&=
+(x+n-1) \Gamma(x+n-1)
+\\
+&=
+(x+n-1)(x+n-2)\Gamma(x+n-2)
+\\
+&=
+\underbrace{
+(x+n-1)(x+n-2)\cdots(x-1)(x)
+}_{\text{$n$ Faktoren}} \Gamma(x)
+\\
+&=(x)_n \Gamma(x).
+\end{align*}
+Damit folgt
+
+\begin{satz}
+\index{Satz!Pochhammer-Symbol@Pochhammer-Symbol und $\Gamma(x)$}%
+\label{buch:rekursion:gamma:satz:gamma-pochhammer}
+Die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion kann geschrieben werden als
+\[
+\Gamma(x+n) = (x)_n \Gamma(x).
+\]
+Das Pochhammer-Symbol $(x)_n$ ist für alle natürlichen $n$ gegeben durch
+\[
+(x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}.
+\]
+\end{satz}
+
+%
+% Numerische Unzulänglichkeit der Grenzwertdefinition
+%
\subsubsection{Numerische Unzulänglichkeiten der Grenzwertdefinition}
+\begin{table}
+\centering
+%\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|}
+\hline
+\log_{10} n& n&n!n^{x-1}/(x)_n\mathstrut & \text{Fehler%
+\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
+\hline
+\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}
+ 1& 10&1.\underline{7}947392559855804&0.0222854050800643\\
+ 2& 100&1.\underline{77}46707942830697&0.0022169433775536\\
+ 3& 1000&1.\underline{772}6754214755178&0.0002215705700017\\
+ 4& 10000&1.\underline{7724}760067171375&0.0000221558116213\\
+ 5& 100000&1.\underline{77245}60664742375&0.0000022155687214\\
+ 6& 1000000&1.\underline{77245}40724623101&0.0000002215567940\\
+ 7& 10000000&1.\underline{7724538}730613721&0.0000000221558560\\
+ 8& 100000000&1.\underline{77245385}31233258&0.0000000022178097\\
+ 9& 1000000000&1.\underline{77245385}11320680&0.0000000002265519\\
+ 10& 10000000000&1.\underline{772453850}9261316&0.0000000000206155\\
+ 11&100000000000&1.\underline{77245385}14549788&0.0000000005494627\\
+ & \infty&1.\underline{7724538509055161}&
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Numerische Berechnung mit der Grenzwertdefinition
+und rekursiver Berechnung von $n!/(x)_n$ mit Hilfe der Folge
+\eqref{buch:rekursion:gamma:pnfolge}.
+Die Konvergenz ist sehr langsam, die Anzahl korrekter Stellen
+wächst logarithmisch mit $n$.
+\label{buch:rekursion:gamma:produktberechnung}}
+\end{table}
Die Grenzwertdefinition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:definition}
ist zwar zweifellos richtig, kann aber nicht für die numerische
Berechnung der Gamma-Funktion verwendet werden.
@@ -237,6 +320,24 @@ ist.
Die Approximation mit Hilfe der Grenzwertdefinition kann also
grundsätzlich nicht mehr als zwei korrekte Nachkommastellen liefern.
+Den Quotienten $n!/(x)_n$ kann man mit Hilfe der Rekursionsformel
+\begin{equation}
+p_n = p_{n-1}\cdot \frac{n}{x+n-1},\qquad
+p_0 = 0
+\label{buch:rekursion:gamma:pnfolge}
+\end{equation}
+etwas effizienter berechnen.
+Insbesondere umgeht man damit das Problem, dass $n!$ den Wertebereich
+des \texttt{double} Datentyps sprengt.
+Der Wert der Gamma-Funktion kann dann durch $p_nn^{x-1}$ approximiert
+werden.
+Die Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:produktberechnung} fasst die
+Resultate zusammen und zeigt, dass die Konvergenz logarithmisch ist:
+die Anzahl korrekter Nachkommastellen ist $\log_{10}n$.
+
+%
+% Produktformel
+%
\subsection{Produktformel}
Ein möglicher Ausweg aus den numerischen Schwierigkeiten mit der
Grenzwertdefinition ist, den schnell wachsenden Faktor $n!$
@@ -244,6 +345,7 @@ in den Zähler zu bringen, so dass er der Konvergenz etwas nachhilft.
Wir berechnen daher den Kehrwert $1/\Gamma(x)$.
\begin{satz}
+\index{Satz!Produktformel@Produktformel für $\Gamma(x)$}%
\label{buch:rekursion:gamma:satz:produktformel}
Der Kehrwert der Gamma-Funktion kann geschrieben werden als
\begin{equation}
@@ -253,8 +355,10 @@ xe^{\gamma x}
\prod_{k=1}^\infty
\biggl(1+\frac{x}k\biggr)\,e^{-\frac{x}{k}},
\label{buch:rekursion:gamma:eqn:produktformel}
+\index{Gamma-Funktion!Produktformel}%
\end{equation}
wobei $\gamma$ die Euler-Mascheronische Konstante
+\index{Euler-Mascheronische Konstante}%
\[
\gamma
=
@@ -262,6 +366,8 @@ wobei $\gamma$ die Euler-Mascheronische Konstante
\biggl(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n\biggr)
\]
ist.
+\index{Gamma-Funktion!Produktformel}%
+\index{Produktformel für die Gamma-Funkion}%
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis]
@@ -368,16 +474,20 @@ vollständig bewiesen.
\begin{table}
\centering
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
-k & \Gamma(\frac12,n) & \Gamma(\frac12) - \Gamma(\frac12,n) \\
+k & n & \Gamma(\frac12,n) & \Gamma(\frac12) - \Gamma(\frac12,n)%
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
\hline
-1 & 1.\underline{7}518166478 & -0.0206372031 \\
-2 & 1.\underline{77}02543372 & -0.0021995137 \\
-3 & 1.\underline{772}2324556 & -0.0002213953 \\
-4 & 1.\underline{7724}316968 & -0.0000221541 \\
-5 & 1.\underline{77245}16354 & -0.0000022156 \\
-6 & 1.\underline{772453}6293 & -0.0000002216 \\
+\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}
+ 1& 10& 1.\underline{7}518166478& -0.0206372031 \\
+ 2& 100& 1.\underline{77}02543372& -0.0021995137 \\
+ 3& 1000& 1.\underline{772}2324556& -0.0002213953 \\
+ 4& 10000& 1.\underline{7724}316968& -0.0000221541 \\
+ 5& 100000& 1.\underline{77245}16354& -0.0000022156 \\
+ 6&1000000& 1.\underline{772453}6293& -0.0000002216 \\
+\infty& & 1.\underline{7724538509}&
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Werte $\Gamma(\frac12,n)$ von $\Gamma(\frac12)$ berechnet mit
@@ -385,6 +495,9 @@ $n=10^k$ Faktoren der
Produktformel~\eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:produktformel}
und der zugehörige Fehler.
Die korrekten Nachkommastellen sind unterstrichen.
+Die Konvergenz ist genau gleich langsam wie in der Berechnung mit
+Hilfe der Grenzwert-Definition in
+Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:produktberechnung}.
\label{buch:rekursion:gamma:gammatabelle}}
\end{table}
@@ -422,6 +535,8 @@ z
\mapsto
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt
\]
+\index{Gamma-Funktion!Integraldefinition}%
+\index{Integraldefinition der Gamma-Funktion}%
\end{definition}
Man beachte, dass das Integral für $x=0$ nicht definiert ist, eine
@@ -436,6 +551,9 @@ die richtigen Werte für natürliche Argumente hat, es wird aber auch
gezeigt, dass dies nicht ausreicht um zu schliessen, dass die
Integralformel mit der früher definierten Gamma-Funktion übereinstimmt.
+%
+% Funktionalgleichung für die Integraldefinition
+%
\subsubsection{Funktionalgleichung für die Integraldefinition}
Tatsächlich ist es einfach nachzuprüfen, dass die Funktionalgleichung
der Gamma-Funktion auch für die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma}
@@ -480,8 +598,8 @@ ganzzahlige Argumente übereinstimmen.
Der folgende Abschnitt macht deutlich, dass es sehr viele Funktionen gibt,
die ebenfalls die Funktionalgleichung erfüllen.
Eine vollständige Rechtfertigung für diese Definition wird später
-in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:gamma:subsection:beta}
-\eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
+in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:gamma:subsection:integralbeweis}
+in Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
auf Seite~\pageref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
gegeben.
@@ -494,9 +612,13 @@ die Werte der Fakultät annimmt.
\label{buch:rekursion:fig:gamma}}
\end{figure}
+%
+% Der Wert Gamma(1/2)
+%
\subsubsection{Der Wert $\Gamma(\frac12)$}
Die Integraldarstellung kann dazu verwendet werden, $\Gamma(\frac12)$
zu berechnen.
+\index{Gamma-Funktion!WertGamma12@Wert von $\Gamma(\frac12)$}%
Dazu verwendet man die Substition $t=s^2$ in der Integraldefinition
der Gamma-Funktion und berechnen
\begin{align}
@@ -511,12 +633,16 @@ der Gamma-Funktion und berechnen
\int_{-\infty}^\infty e^{-s^2}\,ds
=
\sqrt{\pi}.
-\label{buch:rekursion:gamma:betagamma}
+\label{buch:rekursion:gamma:wert12}
\end{align}
Der Integrand im letzten Integral ist die Wahrscheinlichkeitsdichte
einer Normalverteilung, deren Integral wohlbekannt ist.
-\subsubsection{Alternative Lösungen}
+%
+% Alternative Lösungen
+%
+\subsubsection{Alternative Lösungen der
+Funktionalgleichung~\ref{buch:rekursion:eqn:gammadef}}
Die Funktion $\Gamma(z)$ ist nicht die einzige Funktion, die natürlichen
Zahlen die Werte $\Gamma(n+1) = n!$ der Fakultät annimmt.
Indem man eine beliebige Funktion $f(z)$ addiert, die auf alle
@@ -547,6 +673,8 @@ Von Wielandt stammt das folgende, noch etwas speziellere Resultat,
welches hier nicht bewiesen wird.
\begin{satz}[Wielandt]
+\index{Satz!von Wielandt}%
+\index{Wielandt, Satz von}%
Ist $f(z)$ eine für $\operatorname{Re}z>0$ definiert Funktion mit
den folgenden drei Eigenschaften
\begin{enumerate}
@@ -560,11 +688,16 @@ Dann ist $ f(z) = \Gamma(z) $.
% XXX Gamma in the interval (1,2)
%Man beachte, dass
+%
+% Laplace-Transformierte der Potenzfunktion
+%
\subsubsection{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}
Die Integraldarstellung der Gamma-Funktion erlaubt jetzt auch, die
Laplace-Transformation der Potenzfunktion zu berechnen.
+\index{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}%
\begin{satz}
+\index{Satz!Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}%
Die Laplace-Transformierte der Potenzfunktion $f(t)=t^\alpha$ ist
\[
(\mathscr{L}f)(s)
@@ -594,7 +727,11 @@ Durch die Substitution $st = u$ oder $t=\frac{u}{s}$ wird daraus
\]
\end{proof}
+%
+% Pol erster Ordnung bei z=0
+%
\subsubsection{Pol erster Ordnung bei $z=0$}
+\index{Gamma-Funktion!Pol@Pol bei $z=0$}%
Wir haben zu prüfen, dass sowohl der Wert $\Gamma(1)$ korrekt ist als
auch die Rekursionsformel~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} gilt.
Der Wert für $z=1$ ist
@@ -644,7 +781,12 @@ Daraus ergibt sich für $\Gamma(z)$ der Ausdruck
\]
Die Gamma-Funktion hat daher an der Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung.
+%
+% Ausdehnung auf Re(z) < 0
+%
\subsubsection{Ausdehnung auf $\operatorname{Re}z<0$}
+\index{Gamma-Funktion!analytische Fortsetzung}%
+\index{analytische Fortsetzung der Gamma-Funktion}%
Die Integralformel konvergiert nicht für $\operatorname{Re}z\le 0$.
Durch analytische Fortsetzung, wie sie im
Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung}
@@ -683,22 +825,29 @@ Somit hat $\Gamma(z)$ Pole erster Ordnung bei den negativen
ganzen Zahlen und bei $0$, wie sie in
Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} gezeigt werden.
+%
+% Numerische Berechnung
+%
\subsubsection{Numerische Berechnung}
\begin{table}
\centering
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
\hline
-k & y(10^k) & y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{2}) \\
+k & n=10^k & y(n) & y(n) - \Gamma(\frac{5}{3}) 
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
\hline
-1 & 0.0000000000 & -0.9027452930 \\
-2 & 0.3319129461 & -0.5708323468 \\
-3 & 0.\underline{902}5209490 & -0.0002243440 \\
-4 & 0.\underline{902745}1207 & -0.0000001723 \\
-5 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\
-6 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\
+\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}
+1 & 10 & 0.0000000000 & -0.9027452930 \\
+2 & 100 & 0.3319129461 & -0.5708323468 \\
+3 & 1000 & 0.\underline{902}5209490 & -0.0002243440 \\
+4 & 10000 & 0.\underline{902745}1207 & -0.0000001723 \\
+5 & 100000 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\
+6 & 1000000 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\
+ & \infty & 0.\underline{9027452929} &
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
\hline
\end{tabular}
-\caption{Resultate der Berechnung von $\Gamma(\frac{5}{2})$ mit Hilfe
+\caption{Resultate der Berechnung von $\Gamma(\frac{5}{3})$ mit Hilfe
der Differentialgleichung \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:gammadgl}.
Die korrekten Stellen sind unterstrichen.
Es sind immerhin sechs korrekte Stellen gefunden, wobei nur 337
@@ -708,19 +857,24 @@ Auswertungen des Integranden notwendig waren.
Im Prinzip könnte die Integraldefinition der numerischen Berechnung
entgegenkommen.
Um diese Hypothese zu prüfen, berechnen wir das Integral für
-$z=\frac52$ mit Hilfe der äquivalenten Differentialgleichungen
+$z=\frac53$ mit Hilfe der äquivalenten Differentialgleichungen
\begin{equation}
\dot{y}(t) = t^{z-1}e^{-t}
-\qquad\text{mit Anfangsbedingung $y(0)=0$}.
+\qquad
+\text{mit Anfangsbedingung $y(0)=0$}.
\label{buch:rekursion:gamma:eqn:gammadgl}
\end{equation}
+\index{Gamma-Funktion!Loesung@Lösung mit Differentialgleichung}
Der gesuchte Wert ist der Grenzwert $\lim_{t\to\infty} y(t)$.
In der Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:table:gammaintegral}
sind die Werte von $y(10^k)$ sowie die Differenzen
-$y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{2})$ zusammengefasst.
+$y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{3})$ zusammengefasst.
Die Genauigkeit erreicht sechs korrekte Nachkommastellen mit nur
337 Auswertungen des Integranden.
+Eine noch wesentlich effizientere Auswertung des $\Gamma$-Integrals
+mit Hilfe der Gauss-Laguerre-Quadratur wird in Kapitel~\ref{chapter:laguerre}
+von Patrick Müller dargestellt.
%
%
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/Makefile b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..0804e74
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/Makefile
@@ -0,0 +1,11 @@
+#
+# Makefile -- build gamma limit test programm
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+l: l.cpp
+ g++ -O2 -g -Wall `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl` \
+ -o l l.cpp
+
+test: l
+ ./l
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.cpp b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.cpp
new file mode 100644
index 0000000..7a86800
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.cpp
@@ -0,0 +1,26 @@
+/*
+ * l.cpp
+ *
+ * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cstdlib>
+#include <cmath>
+#include <cstdio>
+
+int main(int argc, char *argv[]) {
+ double x = 0.5;
+ double g = tgamma(x);
+ printf("limit: %20.16f\n", g);
+ double p = 1;
+ long long N = 100000000000;
+ long long n = 10;
+ for (long long k = 1; k <= N; k++) {
+ p = p * k / (x + k - 1);
+ if (0 == k % n) {
+ double gval = p * pow(k, x-1);
+ printf("%12ld %20.16f %20.16f\n", k, gval, gval - g);
+ n = n * 10;
+ }
+ }
+ return EXIT_SUCCESS;
+}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.m b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.m
new file mode 100644
index 0000000..32b6442
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.m
@@ -0,0 +1,19 @@
+#
+# l.m -- Berechnung der Gamma-Funktion
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global N;
+N = 10000;
+
+function retval = gamma(x, n)
+ p = 1;
+ for k = (1:n)
+ p = p * k / (x + k - 1);
+ end
+ retval = p * n^(x-1);
+endfunction
+
+for n = (100:100:N)
+ printf("Gamma(%4d) = %10f\n", n, gamma(0.5, n));
+end
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
index d92e594..13ba3b2 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
@@ -16,22 +16,38 @@ n^3S_{n}
mit Anfangswerten $S_0=1$ und $S_1=8$ angeben?
Dies scheint auf den ersten Blick unmöglich kompliziert, man kann aber
zeigen, dass
-\[
+\begin{equation}
S_n
=
\sum_{k=0}^n
\binom{2n-2k}{n-k}^2 \binom{2k}{k}^2
-\]
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:Sn}
+\end{equation}
gilt (\cite[p.~xi]{buch:ab}).
Die Lösung ist also eine Summe von Summanden, die sehr viel einfacher
aussehen und vor allem die besondere Eigenschaft haben, dass die
-Quotienten aufeinanderfolgender Terme rationale Funktionen von von $k$
+Quotienten aufeinanderfolgender Terme rationale Funktionen von $k$
sind.
-% XXX Quotient berechnen
-Eine besonders simple solche Funktion ist die geometrische Reihe, die
-im Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch}
-in Erinnerung gerufen wird.
+\begin{definition}
+Ein Folge heisst {\em hypergeometrisch}, wenn der Quotient aufeinanderfolgender
+\index{hypergeometrische Folge}%
+\index{Folge, hypergeometrisch}%
+Terme eine rationale Funktion des Folgenindex ist.
+\end{definition}
+
+Die Terme der Reihenentwicklungen aller bisher behandelten speziellen
+Funktionen waren hypergeometrisch.
+Im aktuellen Abschnitt soll daher die Klasse der sogenannten
+hypergeometrischen Funktionen untersucht werden, die durch diese
+Eigenschaft charakterisiert sind.
+
+In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:binomialkoeffizienten}
+wird klar, dass Folgen, deren Terme aus Fakultäten und Binomialkoeffizienten
+immer hypergeometrisch sind.
+Die Untersuchung der geometrischen Reihe in
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch}
+motiviert die Namensgebung.
Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:reihen}
definiert den Begriff der hypergeometrischen Reihe und zeigt,
wie sie in eine Standardform gebracht werden können.
@@ -39,22 +55,101 @@ In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:beispiele}
schliesslich wird an Hand von Beispielen gezeigt, wie bekannte
Funktionen als hypergeometrische Funktionen interpretiert werden können.
+%
+% Quotienten von Binomialkoeffizienten
+%
+\subsection{Quotienten von Binomialkoeffizienten
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:binomialkoeffizienten}}
+Aufeinanderfolgende Terme der Summe
+\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:Sn}
+sollen als Quotienten eine rationale Funktion haben.
+Dies ist eine allgemeine Eigenschaft von Folgen, die durch Fakultäten
+oder Binomialkoeffizienten definiert sind, wie die beiden folgenden
+Sätze zeigen.
+
+\begin{satz}
+\index{Satz!Quotienten von Fakultäten}%
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:fakquo}
+Der Quotient aufeinanderfolgender Folgenglieder
+der Folge $c_k=(a+bk)!$ ist der ein Polynom vom Grad $b$.
+\end{satz}
+\begin{proof}[Beweis]
+\begin{align*}
+\frac{c_{k+1}}{c_k}
+&=
+\frac{(a+b(k+1))!}{(a+bk)!}
+=
+\frac{(a+bk+b)!}{(a+b)!}
+\\
+&=
+(a+bk+1)(a+bk+2)\cdots(a+bk+b)
+=
+(a+bk+1)_b
+\end{align*}
+Das Pochhammer-Symbol hat $b$ Faktoren, es ist ein Polynom vom Grad $b$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+\index{Satz!Quotienten von Binomialkoeffizienten}%
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:binomquo}
+Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte der Binomialkoeffizienten
+\[
+f_k
+=
+\binom{a+bk}{c+dk}
+\]
+ist eine rationale Funktion von $k$ mit Zähler- und Nennergrad $b$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Indem man die Binomialkoeffizienten mit Fakultäten als
+\[
+\binom{a+bk}{c+dk}
+=
+\frac{(a+bk)!}{(c+dk)!(a-c+(b-d)k)!}
+\]
+ausschreibt, findet man mit
+Satz~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:fakquo}
+für die Quotienten
+\begin{align}
+\frac{f_{k+1}}{f_k}
+&=
+\frac{(a+bk+1)_b}{(c+dk+1)_d\cdot(a-c+(b-d)k+1)_{b-d}}
+\label{buch:rekursion:eqn:binomquotient}
+\end{align}
+Die Pochhammer-Symbole sind Polynome vom Grad $b$, $d$ bzw.~$b-d$.
+Insbesondere ist auch das Nenner-Polynom vom Grad $d+(b-d)=b$.
+\end{proof}
+
+Aus den Sätzen~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:fakquo}
+und
+\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:binomquo}
+folgt jetzt sofort, dass auch der Quotient aufeinanderfolgender
+Summanden der Summe~\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:Sn}
+eine rationale Funktion von $k$ ist.
+
+%
+% Die geometrische Reihe
+%
\subsection{Die geometrische Reihe
\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch}}
-Die besonders einfache Potenzreihe
+Die Reihe
\[
f(q)
=
\sum_{k=0}^\infty aq^k
\]
-heisst die {\em geometrische Reihe}.
+heisst die {\em geometrische Reihe} ist besonders einfache
+Reihe mit einer hypergeometrischen Folge von Termen.
+\index{geometrische Reihe}%
+\index{Reihe!geometrische}%
Die Partialsummen
\[
S_n
=
\sum_{k=0}^n aq^k
\]
-kann mit der Differenz
+können aus der Differenz
\begin{equation}
(1-q)S_n
=
@@ -75,8 +170,7 @@ a\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:geomsumme}
\end{equation}
auflösen kann.
-
-Fü $q<1$ geht $q^n\to 0$ und damit konvergiert
+Für $q<1$ geht $q^n\to 0$ und damit konvergiert
$S_n$ gegen
\[
\sum_{k=0}^\infty aq^k
@@ -97,6 +191,9 @@ Die Berechnung der Summe in
beruht darauf, dass die Multiplikation mit $q$ einen ``anderen''
Teil der Summe ergibt, der sich in der Differenze weghebt.
+%
+% Hypergeometrische Reihen
+%
\subsection{Hypergeometrische Reihen
\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:reihen}}
Es ist plausibel, dass eine etwas lockerere Bedingung an die
@@ -105,11 +202,15 @@ ermöglichen wird, interessante Aussagen über die durch die
Reihe beschriebenen Funktionen zu machen.
\begin{definition}
-Eine Reihe
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:def:allg}
+Eine durch die Reihe
\[
f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
\]
-heisst {\em hypergeometrisch}, wenn der Quotient aufeinanderfolgender
+definierte Funktion $f(x)$ heisst {\em hypergeometrisch},
+wenn der Quotient aufeinanderfolgender
+\index{hypergeometrisch}
+\index{Reihe!hypergeometrisch}
Koeffizienten eine rationale Funktion von $k$ ist,
wenn also
\[
@@ -120,9 +221,13 @@ wenn also
mit Polynomen $p(k)$ und $q(k)$ ist.
\end{definition}
+%
+% Beispiele von hypergeometrischen Funktionen
+%
+\subsubsection{Beispiele von hypergeometrischen Funktionen}
Die geometrische Reihe ist natürlich eine hypergeometrische Reihe,
wobei $p(k)/q(k)=1$ ist.
-Etwas interessanter ist die Exponentialfunktion, durch die Taylor-Reihe
+Etwas interessanter ist die Exponentialfunktion, die durch die Taylor-Reihe
\[
e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}
\]
@@ -165,7 +270,30 @@ eine rationale Funktion mit Zählergrad $0$ und Nennergrad $2$.
Es gibt also eine hypergeometrische Reihe $f(z)$ derart, dass
$\cos x = f(x^2)$ ist.
-Seien $p(k)$ und $q(k)$ zwei Polynome derart, dass
+%
+% Die hypergeometrischen Funktione pFq
+%
+\subsubsection{Die hypergeometrischen Funktionen $\mathstrut_pF_q$}
+Die Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def:allg}
+einer hypergeometrischen Funktion wie auch die Verschiedenartigkeit
+der Beispiele kännen den Eindruck vermitteln, dass die diese Klasse
+von Funktionen unübersichtlich gross sein könnte.
+Dem ist jedoch nicht so.
+In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass alle hypergeometrischen
+Funktionen durch die in
+Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} definierten
+Funktionen $\mathstrut_pF_q$ ausgedrückt werden.
+Die hypergeometrischen Funktionen können also vollständig parametrisiert
+werden.
+
+Zu diesem Zweick sie
+\[
+f(x)
+=
+\sum_{k=0}^\infty a_kx^k
+\]
+eine hypergeometrische Funktion und
+seien $p(k)$ und $q(k)$ zwei Polynome derart, dass
\[
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{p(k)}{q(k)}.
\]
@@ -201,12 +329,12 @@ Dazu nehmen wir an, dass $a_i$, $i=1,\dots,n$ die Nullstellen von $p(k)$ sind
und $b_j$, $j=1,\dots,m$ die Nullstellen von $q(k)$, dass man also
die Polynome als
\begin{align*}
-p(k) &= x(k-a_1)(k-a_2)\cdots(k-a_n)
+p(k) &= s(k-a_1)(k-a_2)\cdots(k-a_n)
\\
q(k) &= (k-b_1)(k-b_2)\cdots(k-b_m)
\end{align*}
schreiben kann.
-Der Faktor $x$ ist nötig, weil die Polynome $p(k)$ und $q(k)$ nicht
+Der Faktor $s$ ist nötig, weil die Polynome $p(k)$ und $q(k)$ nicht
notwendigerweise normiert sind.
Um das Produkt der Quotienten zu vereinfachen, nehmen wir für den Moment
@@ -216,14 +344,14 @@ Dann ist nach
\[
a_{k}
=
-x^{k}
+s^{k}
\frac{
(k-1-a_1) \cdots (2-a_1)(1-a_1)(0-a_1)
}{
(k-1-b_1) \cdots (2-b_1)(1-b_1)(0-b_1)
}
=
-\frac{(-a_1)_k}{(-b_1)_k} x^k.
+\frac{(-a_1)_k}{(-b_1)_k} s^k.
\]
Die Koeffizienten können daher als Quotienten von Pochhammer-Symbolen
geschrieben werden.
@@ -233,13 +361,16 @@ von der Form
a_k
=
\frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k}
-x^ka_0.
+s^ka_0.
\]
-Jede hypergeometrische Reihe kann daher in der Form
+Jede hypergeometrische Funktion kann daher in der Form
\[
+f(x)
+=
a_0
\sum_{k=0}^\infty
\frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k}
+s^k
x^k
\]
geschrieben werden.
@@ -273,9 +404,10 @@ zusätzlichen Faktor $(1)_k$ im Zähler des Bruchs von Pochhammer-Symbolen
kompensieren, wodurch sich der Grad $p$ des Zählers natürlich um $1$
erhöht.
-Die oben analysierte Summe $S$ kann mit der Definition als
+Die oben analysierte Summe für $f(x)$ kann mit der
+Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} als
\[
-S
+f(x)
=
a_0
\cdot
@@ -283,11 +415,75 @@ a_0
\begin{matrix}
-a_1,-a_2,\dots,-a_n,1\\
-b_1,-b_2,\dots,-a_m
-\end{matrix}; x
+\end{matrix}; sx
\biggr)
\]
beschrieben werden.
+%
+% Elementare Rechenregeln
+%
+\subsubsection{Elementare Rechenregeln}
+Die Funktionen $\mathstrut_pF_q$ sind nicht alle unabhängig.
+In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung}
+wird gezeigt werden, dass Ableitung und Stammfunktion einer hypergeometrischen
+Funktion durch Manipulation der Parameter $a_k$ und $b_k$ bestimmt werden
+können.
+Viel einfacher sind jedoch die folgenden, aus
+Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def}
+offensichtlichen Regeln:
+
+\begin{satz}[Permutationsregel]
+\index{Satz!Permutationsregel für hypergeometrische Funktionen}%
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:permuationsregel}
+Sei $\pi$ eine beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,p$ und $\sigma$ eine
+beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,q$, dann ist
+\begin{equation}
+\mathstrut_pF_q\biggl(
+\begin{matrix}
+a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,a_q
+\end{matrix}
+;x
+\biggr)
+=
+\mathstrut_pF_q\biggl(
+\begin{matrix}
+a_{\pi(1)},\dots,a_{\pi(p)}\\b_{\sigma(1)},\dots,b_{\sigma(q)}
+\end{matrix}
+;x
+\biggr).
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:permuationsregel}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Kürzungsformel]
+\index{Satz!Kürzungsformel für hypergeometrische Funktionen}%
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:kuerzungsregel}
+Stimmt einer der Koeffizienten $a_k$ mit einem der Koeffizienten $b_i$
+überein, dann können sie weggelassen werden:
+\begin{equation}
+\mathstrut_{p+1}F_{q+1}\biggl(
+\begin{matrix}
+c,a_1,\dots,a_p\\
+c,b_1,\dots,b_q
+\end{matrix};
+x
+\biggr)
+=
+\mathstrut_{p}F_{q}\biggl(
+\begin{matrix}
+a_1,\dots,a_p\\
+b_1,\dots,b_q
+\end{matrix};
+x
+\biggr).
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:kuerzungsregel}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+%
+% Beispiele von hypergeometrischen Funktionen
+%
\subsection{Beispiele von hypergeometrischen Funktionen
\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:beispiele}}
Viele der bekannten Reihenentwicklungen häufig verwendeter Funktionen
@@ -295,6 +491,9 @@ lassen sich durch die hypergeometrischen Funktionen von
Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} ausdrücken.
In diesem Abschnitt werden einige Beispiel dazu gegeben.
+%
+% Die geometrische Reihe
+%
\subsubsection{Die geometrische Reihe}
In der geometrischen Reihe fehlt der Nenner $k!$, es braucht
daher einen Term $(1)_k$ im Zähler, um den Nenner zu kompensieren.
@@ -312,6 +511,9 @@ a\sum_{k=0}^\infty
a\cdot\mathstrut_1F_0(1,x).
\]
+%
+% Die Exponentialfunktion
+%
\subsubsection{Exponentialfunktion}
Die Exponentialfunktion ist die Reihe
\[
@@ -323,7 +525,10 @@ benötigt, es ist daher
e^x = \mathstrut_0F_0(x).
\]
-\subsubsection{Wurzelfunktion}
+%
+% Wurzelfunktionen
+%
+\subsubsection{Wurzelfunktionen}
Die Wurzelfunktion $x\mapsto \sqrt{x}$ hat keine Taylor-Entwicklung
in $x=0$, aber die Funktion $x\mapsto\sqrt{1+x}$ hat die Taylor-Reihe
\[
@@ -412,11 +617,33 @@ Die Wurzelfunktion ist daher die hypergeometrische Funktion
\sqrt{1\pm x}
=
\sum_{k=0}^\infty
-\biggl(-\frac12\biggr)_k \frac{(-x)^k}{k!}
+\biggl(-\frac12\biggr)_k \frac{(\pm x)^k}{k!}
=
\mathstrut_1F_0(-{\textstyle\frac12};\mp x).
\]
+Mit der Newtonschen Binomialreihe, die in
+Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:subsection:newtonschereihe}
+hergleitet wird,
+kann man ganz analog jede beliebige Wurzelfunktion
+\begin{align*}
+(1+x)^\alpha
+&=
+1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\dots
+%\\
+%&
+=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-\alpha)_k}{k!}x^k
+=
+\mathstrut_1F_0\biggl(\begin{matrix}-\alpha\\\text{---}\end{matrix};-x\biggr)
+\end{align*}
+durch $\mathstrut_1F_0$ ausdrücken.
+Dieses Resultat ist der Inhalt von
+Satz~\ref{buch:differentialgleichungen:satz:newtonschereihe}
+
+%
+% Logarithmusfunktion
+%
\subsubsection{Logarithmusfunktion}
Für $x\in (-1,1)$ konvergiert die Taylor-Reihe
\[
@@ -483,8 +710,11 @@ x\cdot
\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}1,1\\2\end{matrix};-x\biggr).
\]
-
+%
+% Trigonometrische Funktionen
+%
\subsubsection{Trigonometrische Funktionen}
+\index{trigonometrische Funktionen!als hypergeometrische Funktionen}%
Die Kosinus-Funktion wurde bereits als hypergeometrische Funktion erkannt,
im Folgenden soll dies auch noch für die Sinus-Funktion
durchgeführt werden.
@@ -509,7 +739,7 @@ x f(-x^2).
Die Funktion $f(z)$ soll jetzt als hypergeometrische Funktion geschrieben
werden.
Dazu muss zunächst wieder der Nenner $k!$ wiederhergestellt werden:
-\[
+\begin{equation*}
f(z)
=
1
@@ -521,7 +751,7 @@ f(z)
\frac{3!}{7!}\cdot \frac{z^3}{3!}
+
\dots
-\]
+\end{equation*}
Die Koeffizienten $k!/(2k+1)!$ müssen jetzt durch Pochhammer-Symbole
mit jeweils $k$ Faktoren ausgedrückt werden.
Dazu muss die Fakultät $(2k+1)!$ in zwei Produkte
@@ -561,15 +791,27 @@ müssen wird mit $2^{2k}$ kompensieren:
(1)_k\cdot \biggl(\frac{3}{2}\biggr)_k
\end{align*}
Setzt man dies in die Reihe ein, wird
-\[
+\begin{equation}
f(z)
=
\sum_{k=0}^\infty
\frac{(1)_k}{(1)_k\cdot (\frac{3}{2})_k\cdot 4^k}
z^k
=
-\mathstrut_1F_2\biggl(1;1,\frac{3}{2};\frac{z}4\biggr).
-\]
+\mathstrut_1F_2\biggl(
+\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{z}4
+\biggr)
+=
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{z}4
+\biggr).
+\label{buch:rekursion:hyperbolisch:eqn:hilfsfunktionf}
+\end{equation}
+Im letzten Schritt wurde die Kürzungsregel
+\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:kuerzungsregel}
+von
+Satz~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:kuerzungsregel}
+angewendet.
Damit lässt sich die Sinus-Funktion als
\begin{equation}
\sin x
@@ -585,28 +827,35 @@ x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
\end{equation}
durch eine hypergeometrische Funktion ausdrücken.
+%
+% Hyperbolische Funktionen
+%
\subsubsection{Hyperbolische Funktionen}
+\index{hyperbolische Funktionen!als hypergeometrische Funktionen}%
Die für die Sinus-Funktion angewendete Methode lässt sich auch
auf die Funktion
\begin{align*}
\sinh x
&=
\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
-\\
-&=
+%\\
+%&
+=
x
\,
\biggl(
1+\frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!}+\frac{x^6}{7!}+\dots
\biggr)
-\\
+\intertext{Die Reihe in der Klammer lässt sich mit der Funktion
+$f$ von \eqref{buch:rekursion:hyperbolisch:eqn:hilfsfunktionf}
+schreiben als}
&=
-xf(-x^2)
-=
-x\,\mathstrut_1F_2\biggl(
-\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix}
-;\frac{x^2}{4}
-\biggr)
+x\,f(-x^2)
+%=
+%x\cdot\mathstrut_1F_2\biggl(
+%\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix}
+%;\frac{x^2}{4}
+%\biggr)
=
x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
\begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix}
@@ -618,18 +867,85 @@ ist diese Darstellung identisch mit der von $\sin x$.
Dies illustriert die Rolle der hypergeometrischen Funktionen als
``grosse Vereinheitlichung'' der bekannten speziellen Funktionen.
+%
+% Tschebyscheff-Polynome
+%
\subsubsection{Tschebyscheff-Polynome}
+\index{Tschebyscheff-Polynome}%
+Man kann zeigen, dass auch die Tschebyscheff-Polynome sich durch die
+hypergeometrischen Funktionen
+\begin{equation}
+T_n(x)
+=
+\mathstrut_2F_1\biggl(
+\begin{matrix}-n,n\\\frac12\end{matrix}
+;
+\frac12(1-x)
+\biggr)
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:tschebyscheff2f1}
+\end{equation}
+ausdrücken lassen.
+Beweisen kann man diese Beziehung zum Beispiel mit Hilfe der
+Differentialgleichungen, denen die Funktionen genügen.
+Diese Methode wird in
+Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch}
+von Kapitel~\ref{buch:chapter:differential} vorgestellt.
+
+Die Tschebyscheff-Polynome sind nicht die einzigen Familien von Polynomen,
+\index{Tschebyscheff-Polynome!als hypergeometrische Funktion}
+die sich durch $\mathstrut_pF_q$ ausdrücken lassen.
+Für die zahlreichen Familien von orthogonalen Polynomen, die in
+Kapitel~\ref{buch:chapter:orthogonalitaet} untersucht werden,
+trifft dies auch zu.
+Ein Funktion
+\[
+\mathstrut_pF_q
+\biggl(
+\begin{matrix}
+a_1,\dots,a_p\\
+b_1,\dots,b_q
+\end{matrix}
+;z
+\biggr)
+\]
+ist genau dann ein Polynom, wenn mindestens einer der Parameter
+$a_k$ eine negative ganze Zahl ist.
+Der Grad des Polynoms ist der kleinste Betrag der negativ ganzzahligen
+Werte unter den Parametern $a_k$.
+
+%
+% Die Funktionen 0F1
+%
+\subsubsection{Die Funktionen $\mathstrut_0F_1$}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf}
+\caption{Graphen der Funktionen $\mathstrut_0F_1(;\alpha;x)$ für
+verschiedene Werte von $\alpha$.
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:0f1}}
+\end{figure}
+Die Funktionen $\mathstrut_0F_1$ sind in den Beispielen mit der
+beschränkten trigonometrischen Funktion $\sin x$ und mit der
+exponentiell unbeschränkten Funktion $\sinh x$ mit dem gleichen
+Wert des Parameters und nur einem Wechsel des Vorzeichens des
+Arguments verbunden worden.
+Die Graphen der Funktionen $\mathstrut_0F_1$, die in
+Abbildung~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:0f1} dargestellt sind,
+machen dieses Verhalten plausibel.
+Es wird sich später zeigen, dass $\mathstrut_0F_1$ auch mit den Bessel-
+und den Airy-Funktionen verwandt sind.
-TODO
-\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials}
%
% Ableitung und Stammfunktion
%
-\subsection{Ableitung und Stammfunktion hypergeometrischer Funktionen}
+\subsection{Ableitung und Stammfunktion hypergeometrischer Funktionen
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung}}
Sowohl Ableitung wie auch Stammfunktion einer hypergeometrischen
Funktion lässt sich immer durch hypergeometrische Reihen ausdrücken.
-
+%
+% Ableitung
+%
\subsubsection{Ableitung}
Wir gehen aus von der Funktion
\begin{equation}
@@ -743,7 +1059,7 @@ Damit kann jetzt die Kosinus-Funktion als
\frac{1}{(\frac12)_k}
\frac{1}{k!}\biggl(\frac{-x^2}{4}\biggr)^k
=
-\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr)
+\mathstrut_0F_1\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\frac12\end{matrix};-\frac{x^2}4\biggr)
\end{align*}
geschrieben werden kann.
@@ -752,16 +1068,22 @@ Die Ableitung der Kosinus-Funktion ist daher
\frac{d}{dx} \cos x
&=
\frac{d}{dx}
-\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr)
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac12\end{matrix};-\frac{x^2}4
+\biggr)
=
\frac{1}{\frac12}
\,
-\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr)
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4
+\biggr)
\cdot\biggl(-\frac{x}2\biggr)
=
-x
\cdot
-\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr)
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4
+\biggr)
\intertext{Dies stimmt mit der in
\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper}
gefundenen Darstellung der Sinusfunktion mit Hilfe der hypergeometrischen
@@ -771,6 +1093,9 @@ Funktion $\mathstrut_0F_1$ überein, es ist also wie erwartet}
\end{align*}
\end{beispiel}
+%
+% Stammfunktion
+%
\subsubsection{Stammfunktion}
Eine Stammfunktion kann man auf die gleiche Art und Weise wie
die Ableitung finden.
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp
new file mode 100644
index 0000000..24ca3f1
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp
@@ -0,0 +1,94 @@
+/*
+ * 0f1.cpp
+ *
+ * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cstring>
+#include <cstdio>
+#include <cstdlib>
+#include <cmath>
+#include <string>
+#include <iostream>
+#include <fstream>
+
+static int N = 100;
+static double xmin = -50;
+static double xmax = 30;
+static int points = 200;
+
+double f(double b, double x) {
+ double s = 1;
+ double p = 1;
+ for (int k = 1; k < N; k++) {
+ p = p * x / (k * (b + k - 1.));
+ s += p;
+ }
+ return s;
+}
+
+typedef std::pair<double, double> point_t;
+
+point_t F(double b, double x) {
+ return std::make_pair(x, f(b, x));
+}
+
+std::string ff(double f) {
+ if (f > 1000) { f = 1000; }
+ if (f < -1000) { f = -1000; }
+ char b[128];
+ snprintf(b, sizeof(b), "%.4f", f);
+ return std::string(b);
+}
+
+std::ostream& operator<<(std::ostream& out, const point_t& p) {
+ char b[128];
+ out << "({" << ff(p.first) << "*\\dx},{" << ff(p.second) << "*\\dy})";
+ return out;
+}
+
+void curve(std::ostream& out, double b, const std::string& name) {
+ double h = (xmax - xmin) / points;
+ out << "\\def\\kurve" << name << "{";
+ out << std::endl << "\t" << F(b, xmin);
+ for (int i = 1; i <= points; i++) {
+ double x = xmin + h * i;
+ out << std::endl << "\t-- " << F(b, x);
+ }
+ out << std::endl;
+ out << "}" << std::endl;
+}
+
+int main(int argc, char *argv[]) {
+ std::ofstream out("0f1data.tex");
+
+ double s = 13/(xmax-xmin);
+ out << "\\def\\dx{" << ff(s) << "}" << std::endl;
+ out << "\\def\\dy{" << ff(s) << "}" << std::endl;
+ out << "\\def\\xmin{" << ff(s * xmin) << "}" << std::endl;
+ out << "\\def\\xmax{" << ff(s * xmax) << "}" << std::endl;
+
+ curve(out, 0.5, "one");
+ curve(out, 1.5, "two");
+ curve(out, 2.5, "three");
+ curve(out, 3.5, "four");
+ curve(out, 4.5, "five");
+ curve(out, 5.5, "six");
+ curve(out, 6.5, "seven");
+ curve(out, 7.5, "eight");
+ curve(out, 8.5, "nine");
+ curve(out, 9.5, "ten");
+
+ curve(out,-0.5, "none");
+ curve(out,-1.5, "ntwo");
+ curve(out,-2.5, "nthree");
+ curve(out,-3.5, "nfour");
+ curve(out,-4.5, "nfive");
+ curve(out,-5.5, "nsix");
+ curve(out,-6.5, "nseven");
+ curve(out,-7.5, "neight");
+ curve(out,-8.5, "nnine");
+ curve(out,-9.5, "nten");
+
+ out.close();
+ return EXIT_SUCCESS;
+}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..2c35813
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex
new file mode 100644
index 0000000..1bc8b87
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex
@@ -0,0 +1,86 @@
+%
+% 0f1.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\input{0f1data.tex}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\begin{scope}
+\clip (\xmin,-1) rectangle (\xmax,5);
+\draw[color=blue!5!red,line width=1.4pt] \kurveone;
+\draw[color=blue!16!red,line width=1.4pt] \kurvetwo;
+\draw[color=blue!26!red,line width=1.4pt] \kurvethree;
+\draw[color=blue!37!red,line width=1.4pt] \kurvefour;
+\draw[color=blue!47!red,line width=1.4pt] \kurvefive;
+\draw[color=blue!57!red,line width=1.4pt] \kurvesix;
+\draw[color=blue!68!red,line width=1.4pt] \kurveseven;
+\draw[color=blue!78!red,line width=1.4pt] \kurveeight;
+\draw[color=blue!89!red,line width=1.4pt] \kurvenine;
+\draw[color=blue!100!red,line width=1.4pt] \kurveten;
+\def\ds{0.4}
+\begin{scope}[yshift=0.5cm]
+\node[color=blue!5!red] at (\xmin,{1*\ds}) [right] {$\alpha=0.5$};
+\node[color=blue!16!red] at (\xmin,{2*\ds}) [right] {$\alpha=1.5$};
+\node[color=blue!26!red] at (\xmin,{3*\ds}) [right] {$\alpha=2.5$};
+\node[color=blue!37!red] at (\xmin,{4*\ds}) [right] {$\alpha=2.5$};
+\node[color=blue!47!red] at (\xmin,{5*\ds}) [right] {$\alpha=3.5$};
+\node[color=blue!57!red] at (\xmin,{6*\ds}) [right] {$\alpha=5.5$};
+\node[color=blue!68!red] at (\xmin,{7*\ds}) [right] {$\alpha=6.5$};
+\node[color=blue!78!red] at (\xmin,{8*\ds}) [right] {$\alpha=7.5$};
+\node[color=blue!89!red] at (\xmin,{9*\ds}) [right] {$\alpha=8.5$};
+\node[color=blue!100!red]at (\xmin,{10*\ds}) [right] {$\alpha=9.5$};
+\end{scope}
+\node at (-1.7,4.5) {$\displaystyle
+y=\mathstrut_0F_1\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\alpha\end{matrix};x\biggr)$};
+\end{scope}
+
+\draw[->] (\xmin-0.2,0) -- (\xmax+0.3,0) coordinate[label=$x$];
+\draw[->] (0,-0.5) -- (0,5.3) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\begin{scope}[yshift=-6.5cm]
+\begin{scope}
+\clip (\xmin,-5) rectangle (\xmax,5);
+
+\draw[color=darkgreen!5!red,line width=1.4pt] \kurvenone;
+\draw[color=darkgreen!16!red,line width=1.4pt] \kurventwo;
+\draw[color=darkgreen!26!red,line width=1.4pt] \kurventhree;
+\draw[color=darkgreen!37!red,line width=1.4pt] \kurvenfour;
+\draw[color=darkgreen!47!red,line width=1.4pt] \kurvenfive;
+\draw[color=darkgreen!57!red,line width=1.4pt] \kurvensix;
+\draw[color=darkgreen!68!red,line width=1.4pt] \kurvenseven;
+\draw[color=darkgreen!78!red,line width=1.4pt] \kurveneight;
+\draw[color=darkgreen!89!red,line width=1.4pt] \kurvennine;
+\draw[color=darkgreen!100!red,line width=1.4pt] \kurventen;
+\end{scope}
+
+\draw[->] (\xmin-0.2,0) -- (\xmax+0.3,0) coordinate[label=$x$];
+\draw[->] (0,-5.2) -- (0,5.3) coordinate[label={right:$y$}];
+\def\ds{-0.4}
+\begin{scope}[yshift=-0.5cm]
+\node[color=darkgreen!5!red] at (\xmax,{1*\ds}) [left] {$\alpha=-0.5$};
+\node[color=darkgreen!16!red] at (\xmax,{2*\ds}) [left] {$\alpha=-1.5$};
+\node[color=darkgreen!26!red] at (\xmax,{3*\ds}) [left] {$\alpha=-2.5$};
+\node[color=darkgreen!37!red] at (\xmax,{4*\ds}) [left] {$\alpha=-2.5$};
+\node[color=darkgreen!47!red] at (\xmax,{5*\ds}) [left] {$\alpha=-3.5$};
+\node[color=darkgreen!57!red] at (\xmax,{6*\ds}) [left] {$\alpha=-5.5$};
+\node[color=darkgreen!68!red] at (\xmax,{7*\ds}) [left] {$\alpha=-6.5$};
+\node[color=darkgreen!78!red] at (\xmax,{8*\ds}) [left] {$\alpha=-7.5$};
+\node[color=darkgreen!89!red] at (\xmax,{9*\ds}) [left] {$\alpha=-8.5$};
+\node[color=darkgreen!100!red]at (\xmax,{10*\ds}) [left] {$\alpha=-9.5$};
+\end{scope}
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
index 86dfa1e..54ed23b 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
@@ -3,7 +3,8 @@
#
# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
#
-all: gammaplot.pdf fibonacci.pdf order.pdf beta.pdf
+all: gammaplot.pdf fibonacci.pdf order.pdf beta.pdf loggammaplot.pdf \
+ 0f1.pdf
gammaplot.pdf: gammaplot.tex gammapaths.tex
pdflatex gammaplot.tex
@@ -29,4 +30,17 @@ beta.pdf: beta.tex betapaths.tex
betapaths.tex: betadist.m
octave betadist.m
+loggammaplot.pdf: loggammaplot.tex loggammadata.tex
+ pdflatex loggammaplot.tex
+loggammadata.tex: loggammaplot.m
+ octave loggammaplot.m
+
+0f1: 0f1.cpp
+ g++ -O -Wall -g -o 0f1 0f1.cpp
+
+0f1data.tex: 0f1
+ ./0f1
+
+0f1.pdf: 0f1.tex 0f1data.tex
+ pdflatex 0f1.tex
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.m
new file mode 100644
index 0000000..5456e4f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.m
@@ -0,0 +1,43 @@
+#
+# loggammaplot.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+xmax = 10;
+xmin = 0.1;
+N = 500;
+
+fn = fopen("loggammadata.tex", "w");
+
+fprintf(fn, "\\def\\loggammapath{\n ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+ xmax, log(gamma(xmax)));
+xstep = (xmax - 1) / N;
+for x = (xmax:-xstep:1)
+ fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", x, log(gamma(x)));
+endfor
+for k = (0:0.2:10)
+ x = exp(-k);
+ fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", x, log(gamma(x)));
+endfor
+fprintf(fn, "\n}\n");
+
+function retval = lgp(fn, x0, name)
+ fprintf(fn, "\\def\\loggammaplot%s{\n", name);
+ fprintf(fn, "\\draw[color=red,line width=1pt] ");
+ for k = (-7:0.1:7)
+ x = x0 + 0.5 * tanh(k);
+ if (k > -5)
+ fprintf(fn, "\n\t-- ");
+ end
+ fprintf(fn, "({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", x, log(gamma(x)));
+ endfor
+ fprintf(fn, ";\n}\n");
+endfunction
+
+lgp(fn, -0.5, "zero");
+lgp(fn, -1.5, "one");
+lgp(fn, -2.5, "two");
+lgp(fn, -3.5, "three");
+lgp(fn, -4.5, "four");
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf
new file mode 100644
index 0000000..a2963f2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex
new file mode 100644
index 0000000..8ca4e1c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex
@@ -0,0 +1,89 @@
+%
+% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\input{loggammadata.tex}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+% add image content here
+
+\def\dx{1}
+\def\dy{0.6}
+\def\xmax{8}
+\def\xmin{-4.9}
+\def\ymax{8}
+\def\ymin{-3.1}
+
+\fill[color=blue!20] ({\xmin*\dx},{\ymin*\dy}) rectangle ({-4*\dx},{\ymax*\dy});
+\fill[color=blue!20] ({-3*\dx},{\ymin*\dy}) rectangle ({-2*\dx},{\ymax*\dy});
+\fill[color=blue!20] ({-1*\dx},{\ymin*\dy}) rectangle ({-0*\dx},{\ymax*\dy});
+
+\draw[->] ({\xmin*\dx-0.1},0) -- ({\xmax*\dx+0.3},0)
+ coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{\ymin*\dy-0.1}) -- (0,{\ymax*\dy+0.3})
+ coordinate[label={right:$y$}];
+
+\begin{scope}
+\clip ({\xmin*\dx},{\ymin*\dy}) rectangle ({\xmax*\dx},{\ymax*\dy});
+
+\foreach \x in {-1,-2,-3,-4}{
+ \draw[color=blue,line width=0.3pt]
+ ({\x*\dx},{\ymin*\dy}) -- ({\x*\dx},{\ymax*\dy});
+}
+
+\draw[color=red,line width=1pt] \loggammapath;
+
+\loggammaplotzero
+\loggammaplotone
+\loggammaplottwo
+\loggammaplotthree
+\loggammaplotfour
+
+\end{scope}
+
+\foreach \y in {0.1,10,100,1000,1000}{
+ \draw[line width=0.3pt]
+ ({\xmin*\dx},{ln(\y)*\dy})
+ --
+ ({\xmax*\dx},{ln(\y)*\dy}) ;
+}
+
+\foreach \x in {1,...,8}{
+ \draw ({\x*\dx},{-0.05}) -- ({\x*\dx},{0.05});
+ \node at ({\x*\dx},0) [below] {$\x$};
+}
+
+\foreach \x in {-1,...,-4}{
+ \draw ({\x*\dx},{-0.05}) -- ({\x*\dx},{0.05});
+}
+\foreach \x in {-1,...,-3}{
+ \node at ({\x*\dx},0) [below right] {$\x$};
+}
+\node at ({-4*\dx},0) [below left] {$-4$};
+
+\def\htick#1#2{
+ \draw (-0.05,{ln(#1)*\dy}) -- (0.05,{ln(#1)*\dy});
+ \node at (0,{ln(#1)*\dy}) [above right] {#2};
+}
+
+\htick{10}{$10^1$}
+\htick{100}{$10^2$}
+\htick{1000}{$10^3$}
+\htick{0.1}{$10^{-1}$}
+
+\node[color=red] at ({3*\dx},{ln(30)*\dy}) {$y=\log|\Gamma(x)|$};
+
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex
index f9d014e..5d76598 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex
@@ -1,5 +1,5 @@
Finden Sie einen einfachen Ausdruck für $(\frac12)_n$, der nur
-Fakultäten und andere elmentare Funktionen verwendet.
+Fakultäten und andere elementare Funktionen verwendet.
\begin{loesung}
Das Pochhammer-Symbol $(\frac12)_n$ kann wie folgt durch bekanntere