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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex index ff59bad..20e3f0e 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex @@ -8,12 +8,14 @@ Die Eulersche Integralformel für die Gamma-Funktion in Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde in Abschnitt~\ref{buch:subsection:integral-eindeutig} -mit dem Satz von Mollerup gerechtfertigt. +mit dem Satz~\ref{buch:satz:bohr-mollerup} +von Bohr-Mollerup gerechtfertigt. Man kann Sie aber auch als Grenzfall der Beta-Funktion verstehen, die in diesem Abschnitt dargestellt wird. -\subsection{Beta-Integral} +\subsection{Beta-Integral +\label{buch:rekursion:gamma:subsection:integralbeweis}} In diesem Abschnitt wird das Beta-Integral eingeführt, eine Funktion von zwei Variablen, welches eine Integral-Definition mit einer reichaltigen Menge von Rekursionsbeziehungen hat, die sich direkt auf @@ -30,6 +32,7 @@ B(x,y) \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt \] für $\operatorname{Re}x>0$, $\operatorname{Re}y>0$. +\index{Beta-Integral}% \end{definition} Aus der Definition kann man sofort ablesen, dass $B(x,y)=B(y,x)$. @@ -231,6 +234,7 @@ Durch Einsetzen der Integralformel im Ausdruck Satz. \begin{satz} +\index{Satz!Beta-Funktion und Gamma-Funktion}% Die Beta-Funktion kann aus der Gamma-Funktion nach \begin{equation} B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} @@ -320,6 +324,9 @@ $(-\frac12)!$ als Wert \] der Gamma-Funktion interpretiert. +% +% Alternative Parametrisierung +% \subsubsection{Alternative Parametrisierungen} Die Substitution $t=\sin^2 s$ hat im vorangegangenen Abschnitt ermöglicht, $\Gamma(\frac12)$ zu ermitteln. @@ -382,8 +389,10 @@ wobei wir \] verwendet haben. Diese Darstellung des Beta-Integrals wird später -% XXX Ort ergänzen +in Satz~\ref{buch:funktionentheorie:satz:spiegelungsformel} dazu verwendet, die Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion +\index{Gamma-Funktion!Spiegelungsformel}% +\index{Spiegelungsformel der Gamma-Funktion}% herzuleiten. Eine weitere mögliche Parametrisierung verwendet $t = (1+s)/2$ @@ -407,17 +416,23 @@ B(x,y) \label{buch:rekursion:gamma:beta:symm} \end{equation} +% +% +% \subsubsection{Die Verdoppelungsformel von Legendre} Die trigonometrische Substitution kann dazu verwendet werden, die Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten. \begin{satz}[Legendre] +\index{Satz!Verdoppelungsformel@Verdoppelungsformel für $\Gamma(x)$}% \[ \Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12}) = 2^{1-2x}\sqrt{\pi} \Gamma(2x) \] +\index{Verdoppelungsformel}% +\index{Gamma-Funktion!Verdoppelungsformel von Legendre}% \end{satz} \begin{proof}[Beweis] diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex index cd9cadc..57e503a 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex @@ -5,12 +5,27 @@ % \subsection{Der Satz von Bohr-Mollerup \label{buch:rekursion:subsection:bohr-mollerup}} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf} +\caption{Der Graph der Funktion $\log|\Gamma(x)|$ ist für $x>0$ konvex. +Die blau hinterlegten Bereiche zeigen an, wo die Gamma-Funktion +negative Werte annimmt. +\label{buch:rekursion:gamma:loggammaplot}} +\end{figure} Die Integralformel und die Grenzwertdefinition für die Gamma-Funktion zeigen beide, dass das Problem der Ausdehnung der Fakultät zu einer Funktion $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ eine Lösung hat, aber es ist noch nicht klar, in welchem Sinn dies die einzig mögliche Lösung ist. Der Satz von Bohr-Mollerup gibt darauf eine Antwort. +Der Graph +in Abbildung~\ref{buch:rekursion:gamma:loggammaplot} +zeigt, dass die Werte der Gamma-Funktion für $x>0$ so schnell +anwachsen, dass sogar die Funktion $\log|\Gamma(x)|$ konvex ist. +Der Satz von Bohr-Mollerup besagt, dass diese Eigenschaft zur +Charakterisierung der Gamma-Funktion verwendet werden kann. + \begin{satz} \label{buch:satz:bohr-mollerup} Eine Funktion $f\colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ mit den Eigenschaften @@ -20,6 +35,8 @@ Eine Funktion $f\colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ mit den Eigenschaften \item die Funktion $\log f(t)$ ist konvex \end{enumerate} ist die Gamma-Funktion: $f(t)=\Gamma(t)$. +\index{Satz!von Bohr-Mollerup}% +\index{Bohr-Mollerup, Satz von}% \end{satz} Für den Beweis verwenden wir die folgende Eigenschaft einer konvexen diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex index 165c48e..1771200 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex @@ -8,6 +8,25 @@ \label{buch:chapter:rekursion}} \lhead{Spezielle Funktionen und Rekursion} \rhead{} +Die Fakultät $n!=1\cdot 2\cdots n$ ist eine ersten Funktionen, für die +man normalerweise auch eine rekursive Definition kennenlernt. +Rekursion ist eine besonders gut der numerischen Berechnung zugängliche +Art, spezielle Funktionen zu definieren. +In diesem Kapitel sollen daher in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:gamma} +zunächst die Gamma-Funktion als Verallgemeinerung konstruiert +und charakterisiert werden. +Die Beta-Funktion in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:gamma:section:beta} +verallgemeinert diese Rekursionsbeziehungen. +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:linear} +erinnert an die Methoden, mit denen lineare Rekursionsgleichungen +gelöst werden können. +Erfüllten die Koeffizienten einer Potenzreihe eine spezielle +Rekursionsbeziehung, entsteht die besonders vielfältige Familie +der hypergeometrischen Funktionen, die in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} +eingeführt werden. \input{chapters/040-rekursion/gamma.tex} \input{chapters/040-rekursion/beta.tex} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex index 7d4453b..7f19637 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex @@ -20,6 +20,8 @@ für alle natürlichen Zahlen $x\in\mathbb{N}$ definiert werden. \end{equation} Kann man eine reelle oder komplexe Funktion finden, die die Funktionalgleichung~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} +\index{Gamma-Funktion!Funktionalgleichung}% +\index{Funktionalgleichung der Gamma-Funktion}% erfüllt und damit die Fakultät auf beliebige Argumente ausdehnt? \subsection{Definition als Grenzwert} @@ -71,6 +73,9 @@ gilt. Der Plan ist, dies so umzuformen, dass man für $x$ eine beliebige komplexe Zahl einsetzen kann. +% +% Pochhammer-Symbol +% \subsubsection{Pochhammer-Symbol} Die spezielle Form des Nenners und des zweiten Faktors im Zähler von \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:fakultaet} @@ -113,6 +118,9 @@ x! Der erste Faktor in diesem Ausdruck enthält jetzt nur noch Dinge, die für beliebige $x\in\mathbb{C}$ definiert sind. +% +% Grenwertdefinition +% \subsubsection{Grenzwertdefinition} Der zweite Bruch in \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:produkt3} besteht aus Termen, die zwar nur für natürliches $x$ definiert sind, @@ -141,8 +149,13 @@ $x\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,-3,\dots\}$ ist der Grenzwert \[ \Gamma(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{n!\,n^{x-1}}{(x)_n}. \] +\index{Grenzwertdefinition der Gamma-Funktion}% +\index{Gamma-Funktion!Grenzwertdefinition}% \end{definition} +% +% Rekursionsgleichung für Gamma(x) +% \subsubsection{Rekursionsgleichung für $\Gamma(x)$} Es ist aus der Herleitung klar, dass $\Gamma(n)=(n-1)!$ sein muss. Wir sollten dies aber auch direkt aus der @@ -195,15 +208,85 @@ x\lim_{n\to\infty} \frac{n^{x-1}}{(n+1)^{x-1}} \\ &= +x \Gamma(x) \lim_{n\to\infty} \biggl(\frac{n}{n+1}\biggr)^{x-1} = -\Gamma(x), +x\Gamma(x), \end{align*} Weil $n/(n+1)\to 1$ ist und die Funktion $z\mapsto z^{x-1}$ für alle nach der Definition zulässigen Werte von $x$ eine stetige Funktion ist. +% +% Gamma-Funktion und Pochhammer-Symbol +% +\subsubsection{Gamma-Funktion und Pochhammer-Symbol} +Durch Iteration der Rekursionsformel für $\Gamma(x)$ folgt jetzt +\begin{align*} +\Gamma(x+n) +&= +(x+n-1) \Gamma(x+n-1) +\\ +&= +(x+n-1)(x+n-2)\Gamma(x+n-2) +\\ +&= +\underbrace{ +(x+n-1)(x+n-2)\cdots(x-1)(x) +}_{\text{$n$ Faktoren}} \Gamma(x) +\\ +&=(x)_n \Gamma(x). +\end{align*} +Damit folgt + +\begin{satz} +\index{Satz!Pochhammer-Symbol@Pochhammer-Symbol und $\Gamma(x)$}% +\label{buch:rekursion:gamma:satz:gamma-pochhammer} +Die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion kann geschrieben werden als +\[ +\Gamma(x+n) = (x)_n \Gamma(x). +\] +Das Pochhammer-Symbol $(x)_n$ ist für alle natürlichen $n$ gegeben durch +\[ +(x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}. +\] +\end{satz} + +% +% Numerische Unzulänglichkeit der Grenzwertdefinition +% \subsubsection{Numerische Unzulänglichkeiten der Grenzwertdefinition} +\begin{table} +\centering +%\renewcommand{\arraystretch}{1.1} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|} +\hline +\log_{10} n& n&n!n^{x-1}/(x)_n\mathstrut & \text{Fehler% +\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\ +\hline +\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt} + 1& 10&1.\underline{7}947392559855804&0.0222854050800643\\ + 2& 100&1.\underline{77}46707942830697&0.0022169433775536\\ + 3& 1000&1.\underline{772}6754214755178&0.0002215705700017\\ + 4& 10000&1.\underline{7724}760067171375&0.0000221558116213\\ + 5& 100000&1.\underline{77245}60664742375&0.0000022155687214\\ + 6& 1000000&1.\underline{77245}40724623101&0.0000002215567940\\ + 7& 10000000&1.\underline{7724538}730613721&0.0000000221558560\\ + 8& 100000000&1.\underline{77245385}31233258&0.0000000022178097\\ + 9& 1000000000&1.\underline{77245385}11320680&0.0000000002265519\\ + 10& 10000000000&1.\underline{772453850}9261316&0.0000000000206155\\ + 11&100000000000&1.\underline{77245385}14549788&0.0000000005494627\\ + & \infty&1.\underline{7724538509055161}& +\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Numerische Berechnung mit der Grenzwertdefinition +und rekursiver Berechnung von $n!/(x)_n$ mit Hilfe der Folge +\eqref{buch:rekursion:gamma:pnfolge}. +Die Konvergenz ist sehr langsam, die Anzahl korrekter Stellen +wächst logarithmisch mit $n$. +\label{buch:rekursion:gamma:produktberechnung}} +\end{table} Die Grenzwertdefinition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:definition} ist zwar zweifellos richtig, kann aber nicht für die numerische Berechnung der Gamma-Funktion verwendet werden. @@ -237,6 +320,24 @@ ist. Die Approximation mit Hilfe der Grenzwertdefinition kann also grundsätzlich nicht mehr als zwei korrekte Nachkommastellen liefern. +Den Quotienten $n!/(x)_n$ kann man mit Hilfe der Rekursionsformel +\begin{equation} +p_n = p_{n-1}\cdot \frac{n}{x+n-1},\qquad +p_0 = 0 +\label{buch:rekursion:gamma:pnfolge} +\end{equation} +etwas effizienter berechnen. +Insbesondere umgeht man damit das Problem, dass $n!$ den Wertebereich +des \texttt{double} Datentyps sprengt. +Der Wert der Gamma-Funktion kann dann durch $p_nn^{x-1}$ approximiert +werden. +Die Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:produktberechnung} fasst die +Resultate zusammen und zeigt, dass die Konvergenz logarithmisch ist: +die Anzahl korrekter Nachkommastellen ist $\log_{10}n$. + +% +% Produktformel +% \subsection{Produktformel} Ein möglicher Ausweg aus den numerischen Schwierigkeiten mit der Grenzwertdefinition ist, den schnell wachsenden Faktor $n!$ @@ -244,6 +345,7 @@ in den Zähler zu bringen, so dass er der Konvergenz etwas nachhilft. Wir berechnen daher den Kehrwert $1/\Gamma(x)$. \begin{satz} +\index{Satz!Produktformel@Produktformel für $\Gamma(x)$}% \label{buch:rekursion:gamma:satz:produktformel} Der Kehrwert der Gamma-Funktion kann geschrieben werden als \begin{equation} @@ -253,8 +355,10 @@ xe^{\gamma x} \prod_{k=1}^\infty \biggl(1+\frac{x}k\biggr)\,e^{-\frac{x}{k}}, \label{buch:rekursion:gamma:eqn:produktformel} +\index{Gamma-Funktion!Produktformel}% \end{equation} wobei $\gamma$ die Euler-Mascheronische Konstante +\index{Euler-Mascheronische Konstante}% \[ \gamma = @@ -262,6 +366,8 @@ wobei $\gamma$ die Euler-Mascheronische Konstante \biggl(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n\biggr) \] ist. +\index{Gamma-Funktion!Produktformel}% +\index{Produktformel für die Gamma-Funkion}% \end{satz} \begin{proof}[Beweis] @@ -368,16 +474,20 @@ vollständig bewiesen. \begin{table} \centering -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} \hline -k & \Gamma(\frac12,n) & \Gamma(\frac12) - \Gamma(\frac12,n) \\ +k & n & \Gamma(\frac12,n) & \Gamma(\frac12) - \Gamma(\frac12,n)% +\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\ \hline -1 & 1.\underline{7}518166478 & -0.0206372031 \\ -2 & 1.\underline{77}02543372 & -0.0021995137 \\ -3 & 1.\underline{772}2324556 & -0.0002213953 \\ -4 & 1.\underline{7724}316968 & -0.0000221541 \\ -5 & 1.\underline{77245}16354 & -0.0000022156 \\ -6 & 1.\underline{772453}6293 & -0.0000002216 \\ +\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt} + 1& 10& 1.\underline{7}518166478& -0.0206372031 \\ + 2& 100& 1.\underline{77}02543372& -0.0021995137 \\ + 3& 1000& 1.\underline{772}2324556& -0.0002213953 \\ + 4& 10000& 1.\underline{7724}316968& -0.0000221541 \\ + 5& 100000& 1.\underline{77245}16354& -0.0000022156 \\ + 6&1000000& 1.\underline{772453}6293& -0.0000002216 \\ +\infty& & 1.\underline{7724538509}& +\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\ \hline \end{tabular} \caption{Werte $\Gamma(\frac12,n)$ von $\Gamma(\frac12)$ berechnet mit @@ -385,6 +495,9 @@ $n=10^k$ Faktoren der Produktformel~\eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:produktformel} und der zugehörige Fehler. Die korrekten Nachkommastellen sind unterstrichen. +Die Konvergenz ist genau gleich langsam wie in der Berechnung mit +Hilfe der Grenzwert-Definition in +Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:produktberechnung}. \label{buch:rekursion:gamma:gammatabelle}} \end{table} @@ -422,6 +535,8 @@ z \mapsto \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt \] +\index{Gamma-Funktion!Integraldefinition}% +\index{Integraldefinition der Gamma-Funktion}% \end{definition} Man beachte, dass das Integral für $x=0$ nicht definiert ist, eine @@ -436,6 +551,9 @@ die richtigen Werte für natürliche Argumente hat, es wird aber auch gezeigt, dass dies nicht ausreicht um zu schliessen, dass die Integralformel mit der früher definierten Gamma-Funktion übereinstimmt. +% +% Funktionalgleichung für die Integraldefinition +% \subsubsection{Funktionalgleichung für die Integraldefinition} Tatsächlich ist es einfach nachzuprüfen, dass die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion auch für die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} @@ -480,8 +598,8 @@ ganzzahlige Argumente übereinstimmen. Der folgende Abschnitt macht deutlich, dass es sehr viele Funktionen gibt, die ebenfalls die Funktionalgleichung erfüllen. Eine vollständige Rechtfertigung für diese Definition wird später -in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:gamma:subsection:beta} -\eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis} +in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:gamma:subsection:integralbeweis} +in Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis} auf Seite~\pageref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis} gegeben. @@ -494,9 +612,13 @@ die Werte der Fakultät annimmt. \label{buch:rekursion:fig:gamma}} \end{figure} +% +% Der Wert Gamma(1/2) +% \subsubsection{Der Wert $\Gamma(\frac12)$} Die Integraldarstellung kann dazu verwendet werden, $\Gamma(\frac12)$ zu berechnen. +\index{Gamma-Funktion!WertGamma12@Wert von $\Gamma(\frac12)$}% Dazu verwendet man die Substition $t=s^2$ in der Integraldefinition der Gamma-Funktion und berechnen \begin{align} @@ -511,12 +633,16 @@ der Gamma-Funktion und berechnen \int_{-\infty}^\infty e^{-s^2}\,ds = \sqrt{\pi}. -\label{buch:rekursion:gamma:betagamma} +\label{buch:rekursion:gamma:wert12} \end{align} Der Integrand im letzten Integral ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Normalverteilung, deren Integral wohlbekannt ist. -\subsubsection{Alternative Lösungen} +% +% Alternative Lösungen +% +\subsubsection{Alternative Lösungen der +Funktionalgleichung~\ref{buch:rekursion:eqn:gammadef}} Die Funktion $\Gamma(z)$ ist nicht die einzige Funktion, die natürlichen Zahlen die Werte $\Gamma(n+1) = n!$ der Fakultät annimmt. Indem man eine beliebige Funktion $f(z)$ addiert, die auf alle @@ -547,6 +673,8 @@ Von Wielandt stammt das folgende, noch etwas speziellere Resultat, welches hier nicht bewiesen wird. \begin{satz}[Wielandt] +\index{Satz!von Wielandt}% +\index{Wielandt, Satz von}% Ist $f(z)$ eine für $\operatorname{Re}z>0$ definiert Funktion mit den folgenden drei Eigenschaften \begin{enumerate} @@ -560,11 +688,16 @@ Dann ist $ f(z) = \Gamma(z) $. % XXX Gamma in the interval (1,2) %Man beachte, dass +% +% Laplace-Transformierte der Potenzfunktion +% \subsubsection{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion} Die Integraldarstellung der Gamma-Funktion erlaubt jetzt auch, die Laplace-Transformation der Potenzfunktion zu berechnen. +\index{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}% \begin{satz} +\index{Satz!Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}% Die Laplace-Transformierte der Potenzfunktion $f(t)=t^\alpha$ ist \[ (\mathscr{L}f)(s) @@ -594,7 +727,11 @@ Durch die Substitution $st = u$ oder $t=\frac{u}{s}$ wird daraus \] \end{proof} +% +% Pol erster Ordnung bei z=0 +% \subsubsection{Pol erster Ordnung bei $z=0$} +\index{Gamma-Funktion!Pol@Pol bei $z=0$}% Wir haben zu prüfen, dass sowohl der Wert $\Gamma(1)$ korrekt ist als auch die Rekursionsformel~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} gilt. Der Wert für $z=1$ ist @@ -644,7 +781,12 @@ Daraus ergibt sich für $\Gamma(z)$ der Ausdruck \] Die Gamma-Funktion hat daher an der Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung. +% +% Ausdehnung auf Re(z) < 0 +% \subsubsection{Ausdehnung auf $\operatorname{Re}z<0$} +\index{Gamma-Funktion!analytische Fortsetzung}% +\index{analytische Fortsetzung der Gamma-Funktion}% Die Integralformel konvergiert nicht für $\operatorname{Re}z\le 0$. Durch analytische Fortsetzung, wie sie im Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung} @@ -683,22 +825,29 @@ Somit hat $\Gamma(z)$ Pole erster Ordnung bei den negativen ganzen Zahlen und bei $0$, wie sie in Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} gezeigt werden. +% +% Numerische Berechnung +% \subsubsection{Numerische Berechnung} \begin{table} \centering -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} \hline -k & y(10^k) & y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{2}) \\ +k & n=10^k & y(n) & y(n) - \Gamma(\frac{5}{3}) +\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\ \hline -1 & 0.0000000000 & -0.9027452930 \\ -2 & 0.3319129461 & -0.5708323468 \\ -3 & 0.\underline{902}5209490 & -0.0002243440 \\ -4 & 0.\underline{902745}1207 & -0.0000001723 \\ -5 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\ -6 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\ +\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt} +1 & 10 & 0.0000000000 & -0.9027452930 \\ +2 & 100 & 0.3319129461 & -0.5708323468 \\ +3 & 1000 & 0.\underline{902}5209490 & -0.0002243440 \\ +4 & 10000 & 0.\underline{902745}1207 & -0.0000001723 \\ +5 & 100000 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\ +6 & 1000000 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\ + & \infty & 0.\underline{9027452929} & +\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\ \hline \end{tabular} -\caption{Resultate der Berechnung von $\Gamma(\frac{5}{2})$ mit Hilfe +\caption{Resultate der Berechnung von $\Gamma(\frac{5}{3})$ mit Hilfe der Differentialgleichung \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:gammadgl}. Die korrekten Stellen sind unterstrichen. Es sind immerhin sechs korrekte Stellen gefunden, wobei nur 337 @@ -708,19 +857,24 @@ Auswertungen des Integranden notwendig waren. Im Prinzip könnte die Integraldefinition der numerischen Berechnung entgegenkommen. Um diese Hypothese zu prüfen, berechnen wir das Integral für -$z=\frac52$ mit Hilfe der äquivalenten Differentialgleichungen +$z=\frac53$ mit Hilfe der äquivalenten Differentialgleichungen \begin{equation} \dot{y}(t) = t^{z-1}e^{-t} -\qquad\text{mit Anfangsbedingung $y(0)=0$}. +\qquad +\text{mit Anfangsbedingung $y(0)=0$}. \label{buch:rekursion:gamma:eqn:gammadgl} \end{equation} +\index{Gamma-Funktion!Loesung@Lösung mit Differentialgleichung} Der gesuchte Wert ist der Grenzwert $\lim_{t\to\infty} y(t)$. In der Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:table:gammaintegral} sind die Werte von $y(10^k)$ sowie die Differenzen -$y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{2})$ zusammengefasst. +$y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{3})$ zusammengefasst. Die Genauigkeit erreicht sechs korrekte Nachkommastellen mit nur 337 Auswertungen des Integranden. +Eine noch wesentlich effizientere Auswertung des $\Gamma$-Integrals +mit Hilfe der Gauss-Laguerre-Quadratur wird in Kapitel~\ref{chapter:laguerre} +von Patrick Müller dargestellt. % % diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/Makefile b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/Makefile new file mode 100644 index 0000000..0804e74 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/Makefile @@ -0,0 +1,11 @@ +# +# Makefile -- build gamma limit test programm +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +l: l.cpp + g++ -O2 -g -Wall `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl` \ + -o l l.cpp + +test: l + ./l diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.cpp b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.cpp new file mode 100644 index 0000000..7a86800 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.cpp @@ -0,0 +1,26 @@ +/* + * l.cpp + * + * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ +#include <cstdlib> +#include <cmath> +#include <cstdio> + +int main(int argc, char *argv[]) { + double x = 0.5; + double g = tgamma(x); + printf("limit: %20.16f\n", g); + double p = 1; + long long N = 100000000000; + long long n = 10; + for (long long k = 1; k <= N; k++) { + p = p * k / (x + k - 1); + if (0 == k % n) { + double gval = p * pow(k, x-1); + printf("%12ld %20.16f %20.16f\n", k, gval, gval - g); + n = n * 10; + } + } + return EXIT_SUCCESS; +} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.m b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.m new file mode 100644 index 0000000..32b6442 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.m @@ -0,0 +1,19 @@ +# +# l.m -- Berechnung der Gamma-Funktion +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +global N; +N = 10000; + +function retval = gamma(x, n) + p = 1; + for k = (1:n) + p = p * k / (x + k - 1); + end + retval = p * n^(x-1); +endfunction + +for n = (100:100:N) + printf("Gamma(%4d) = %10f\n", n, gamma(0.5, n)); +end diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex index d92e594..13ba3b2 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex @@ -16,22 +16,38 @@ n^3S_{n} mit Anfangswerten $S_0=1$ und $S_1=8$ angeben? Dies scheint auf den ersten Blick unmöglich kompliziert, man kann aber zeigen, dass -\[ +\begin{equation} S_n = \sum_{k=0}^n \binom{2n-2k}{n-k}^2 \binom{2k}{k}^2 -\] +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:Sn} +\end{equation} gilt (\cite[p.~xi]{buch:ab}). Die Lösung ist also eine Summe von Summanden, die sehr viel einfacher aussehen und vor allem die besondere Eigenschaft haben, dass die -Quotienten aufeinanderfolgender Terme rationale Funktionen von von $k$ +Quotienten aufeinanderfolgender Terme rationale Funktionen von $k$ sind. -% XXX Quotient berechnen -Eine besonders simple solche Funktion ist die geometrische Reihe, die -im Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch} -in Erinnerung gerufen wird. +\begin{definition} +Ein Folge heisst {\em hypergeometrisch}, wenn der Quotient aufeinanderfolgender +\index{hypergeometrische Folge}% +\index{Folge, hypergeometrisch}% +Terme eine rationale Funktion des Folgenindex ist. +\end{definition} + +Die Terme der Reihenentwicklungen aller bisher behandelten speziellen +Funktionen waren hypergeometrisch. +Im aktuellen Abschnitt soll daher die Klasse der sogenannten +hypergeometrischen Funktionen untersucht werden, die durch diese +Eigenschaft charakterisiert sind. + +In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:binomialkoeffizienten} +wird klar, dass Folgen, deren Terme aus Fakultäten und Binomialkoeffizienten +immer hypergeometrisch sind. +Die Untersuchung der geometrischen Reihe in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch} +motiviert die Namensgebung. Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:reihen} definiert den Begriff der hypergeometrischen Reihe und zeigt, wie sie in eine Standardform gebracht werden können. @@ -39,22 +55,101 @@ In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:beispiele} schliesslich wird an Hand von Beispielen gezeigt, wie bekannte Funktionen als hypergeometrische Funktionen interpretiert werden können. +% +% Quotienten von Binomialkoeffizienten +% +\subsection{Quotienten von Binomialkoeffizienten +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:binomialkoeffizienten}} +Aufeinanderfolgende Terme der Summe +\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:Sn} +sollen als Quotienten eine rationale Funktion haben. +Dies ist eine allgemeine Eigenschaft von Folgen, die durch Fakultäten +oder Binomialkoeffizienten definiert sind, wie die beiden folgenden +Sätze zeigen. + +\begin{satz} +\index{Satz!Quotienten von Fakultäten}% +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:fakquo} +Der Quotient aufeinanderfolgender Folgenglieder +der Folge $c_k=(a+bk)!$ ist der ein Polynom vom Grad $b$. +\end{satz} +\begin{proof}[Beweis] +\begin{align*} +\frac{c_{k+1}}{c_k} +&= +\frac{(a+b(k+1))!}{(a+bk)!} += +\frac{(a+bk+b)!}{(a+b)!} +\\ +&= +(a+bk+1)(a+bk+2)\cdots(a+bk+b) += +(a+bk+1)_b +\end{align*} +Das Pochhammer-Symbol hat $b$ Faktoren, es ist ein Polynom vom Grad $b$. +\end{proof} + +\begin{satz} +\index{Satz!Quotienten von Binomialkoeffizienten}% +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:binomquo} +Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte der Binomialkoeffizienten +\[ +f_k += +\binom{a+bk}{c+dk} +\] +ist eine rationale Funktion von $k$ mit Zähler- und Nennergrad $b$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Indem man die Binomialkoeffizienten mit Fakultäten als +\[ +\binom{a+bk}{c+dk} += +\frac{(a+bk)!}{(c+dk)!(a-c+(b-d)k)!} +\] +ausschreibt, findet man mit +Satz~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:fakquo} +für die Quotienten +\begin{align} +\frac{f_{k+1}}{f_k} +&= +\frac{(a+bk+1)_b}{(c+dk+1)_d\cdot(a-c+(b-d)k+1)_{b-d}} +\label{buch:rekursion:eqn:binomquotient} +\end{align} +Die Pochhammer-Symbole sind Polynome vom Grad $b$, $d$ bzw.~$b-d$. +Insbesondere ist auch das Nenner-Polynom vom Grad $d+(b-d)=b$. +\end{proof} + +Aus den Sätzen~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:fakquo} +und +\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:binomquo} +folgt jetzt sofort, dass auch der Quotient aufeinanderfolgender +Summanden der Summe~\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:Sn} +eine rationale Funktion von $k$ ist. + +% +% Die geometrische Reihe +% \subsection{Die geometrische Reihe \label{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch}} -Die besonders einfache Potenzreihe +Die Reihe \[ f(q) = \sum_{k=0}^\infty aq^k \] -heisst die {\em geometrische Reihe}. +heisst die {\em geometrische Reihe} ist besonders einfache +Reihe mit einer hypergeometrischen Folge von Termen. +\index{geometrische Reihe}% +\index{Reihe!geometrische}% Die Partialsummen \[ S_n = \sum_{k=0}^n aq^k \] -kann mit der Differenz +können aus der Differenz \begin{equation} (1-q)S_n = @@ -75,8 +170,7 @@ a\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:geomsumme} \end{equation} auflösen kann. - -Fü $q<1$ geht $q^n\to 0$ und damit konvergiert +Für $q<1$ geht $q^n\to 0$ und damit konvergiert $S_n$ gegen \[ \sum_{k=0}^\infty aq^k @@ -97,6 +191,9 @@ Die Berechnung der Summe in beruht darauf, dass die Multiplikation mit $q$ einen ``anderen'' Teil der Summe ergibt, der sich in der Differenze weghebt. +% +% Hypergeometrische Reihen +% \subsection{Hypergeometrische Reihen \label{buch:rekursion:hypergeometrisch:reihen}} Es ist plausibel, dass eine etwas lockerere Bedingung an die @@ -105,11 +202,15 @@ ermöglichen wird, interessante Aussagen über die durch die Reihe beschriebenen Funktionen zu machen. \begin{definition} -Eine Reihe +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:def:allg} +Eine durch die Reihe \[ f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \] -heisst {\em hypergeometrisch}, wenn der Quotient aufeinanderfolgender +definierte Funktion $f(x)$ heisst {\em hypergeometrisch}, +wenn der Quotient aufeinanderfolgender +\index{hypergeometrisch} +\index{Reihe!hypergeometrisch} Koeffizienten eine rationale Funktion von $k$ ist, wenn also \[ @@ -120,9 +221,13 @@ wenn also mit Polynomen $p(k)$ und $q(k)$ ist. \end{definition} +% +% Beispiele von hypergeometrischen Funktionen +% +\subsubsection{Beispiele von hypergeometrischen Funktionen} Die geometrische Reihe ist natürlich eine hypergeometrische Reihe, wobei $p(k)/q(k)=1$ ist. -Etwas interessanter ist die Exponentialfunktion, durch die Taylor-Reihe +Etwas interessanter ist die Exponentialfunktion, die durch die Taylor-Reihe \[ e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \] @@ -165,7 +270,30 @@ eine rationale Funktion mit Zählergrad $0$ und Nennergrad $2$. Es gibt also eine hypergeometrische Reihe $f(z)$ derart, dass $\cos x = f(x^2)$ ist. -Seien $p(k)$ und $q(k)$ zwei Polynome derart, dass +% +% Die hypergeometrischen Funktione pFq +% +\subsubsection{Die hypergeometrischen Funktionen $\mathstrut_pF_q$} +Die Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def:allg} +einer hypergeometrischen Funktion wie auch die Verschiedenartigkeit +der Beispiele kännen den Eindruck vermitteln, dass die diese Klasse +von Funktionen unübersichtlich gross sein könnte. +Dem ist jedoch nicht so. +In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass alle hypergeometrischen +Funktionen durch die in +Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} definierten +Funktionen $\mathstrut_pF_q$ ausgedrückt werden. +Die hypergeometrischen Funktionen können also vollständig parametrisiert +werden. + +Zu diesem Zweick sie +\[ +f(x) += +\sum_{k=0}^\infty a_kx^k +\] +eine hypergeometrische Funktion und +seien $p(k)$ und $q(k)$ zwei Polynome derart, dass \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{p(k)}{q(k)}. \] @@ -201,12 +329,12 @@ Dazu nehmen wir an, dass $a_i$, $i=1,\dots,n$ die Nullstellen von $p(k)$ sind und $b_j$, $j=1,\dots,m$ die Nullstellen von $q(k)$, dass man also die Polynome als \begin{align*} -p(k) &= x(k-a_1)(k-a_2)\cdots(k-a_n) +p(k) &= s(k-a_1)(k-a_2)\cdots(k-a_n) \\ q(k) &= (k-b_1)(k-b_2)\cdots(k-b_m) \end{align*} schreiben kann. -Der Faktor $x$ ist nötig, weil die Polynome $p(k)$ und $q(k)$ nicht +Der Faktor $s$ ist nötig, weil die Polynome $p(k)$ und $q(k)$ nicht notwendigerweise normiert sind. Um das Produkt der Quotienten zu vereinfachen, nehmen wir für den Moment @@ -216,14 +344,14 @@ Dann ist nach \[ a_{k} = -x^{k} +s^{k} \frac{ (k-1-a_1) \cdots (2-a_1)(1-a_1)(0-a_1) }{ (k-1-b_1) \cdots (2-b_1)(1-b_1)(0-b_1) } = -\frac{(-a_1)_k}{(-b_1)_k} x^k. +\frac{(-a_1)_k}{(-b_1)_k} s^k. \] Die Koeffizienten können daher als Quotienten von Pochhammer-Symbolen geschrieben werden. @@ -233,13 +361,16 @@ von der Form a_k = \frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k} -x^ka_0. +s^ka_0. \] -Jede hypergeometrische Reihe kann daher in der Form +Jede hypergeometrische Funktion kann daher in der Form \[ +f(x) += a_0 \sum_{k=0}^\infty \frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k} +s^k x^k \] geschrieben werden. @@ -273,9 +404,10 @@ zusätzlichen Faktor $(1)_k$ im Zähler des Bruchs von Pochhammer-Symbolen kompensieren, wodurch sich der Grad $p$ des Zählers natürlich um $1$ erhöht. -Die oben analysierte Summe $S$ kann mit der Definition als +Die oben analysierte Summe für $f(x)$ kann mit der +Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} als \[ -S +f(x) = a_0 \cdot @@ -283,11 +415,75 @@ a_0 \begin{matrix} -a_1,-a_2,\dots,-a_n,1\\ -b_1,-b_2,\dots,-a_m -\end{matrix}; x +\end{matrix}; sx \biggr) \] beschrieben werden. +% +% Elementare Rechenregeln +% +\subsubsection{Elementare Rechenregeln} +Die Funktionen $\mathstrut_pF_q$ sind nicht alle unabhängig. +In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} +wird gezeigt werden, dass Ableitung und Stammfunktion einer hypergeometrischen +Funktion durch Manipulation der Parameter $a_k$ und $b_k$ bestimmt werden +können. +Viel einfacher sind jedoch die folgenden, aus +Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} +offensichtlichen Regeln: + +\begin{satz}[Permutationsregel] +\index{Satz!Permutationsregel für hypergeometrische Funktionen}% +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:permuationsregel} +Sei $\pi$ eine beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,p$ und $\sigma$ eine +beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,q$, dann ist +\begin{equation} +\mathstrut_pF_q\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,a_q +\end{matrix} +;x +\biggr) += +\mathstrut_pF_q\biggl( +\begin{matrix} +a_{\pi(1)},\dots,a_{\pi(p)}\\b_{\sigma(1)},\dots,b_{\sigma(q)} +\end{matrix} +;x +\biggr). +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:permuationsregel} +\end{equation} +\end{satz} + +\begin{satz}[Kürzungsformel] +\index{Satz!Kürzungsformel für hypergeometrische Funktionen}% +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:kuerzungsregel} +Stimmt einer der Koeffizienten $a_k$ mit einem der Koeffizienten $b_i$ +überein, dann können sie weggelassen werden: +\begin{equation} +\mathstrut_{p+1}F_{q+1}\biggl( +\begin{matrix} +c,a_1,\dots,a_p\\ +c,b_1,\dots,b_q +\end{matrix}; +x +\biggr) += +\mathstrut_{p}F_{q}\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_p\\ +b_1,\dots,b_q +\end{matrix}; +x +\biggr). +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:kuerzungsregel} +\end{equation} +\end{satz} + +% +% Beispiele von hypergeometrischen Funktionen +% \subsection{Beispiele von hypergeometrischen Funktionen \label{buch:rekursion:hypergeometrisch:beispiele}} Viele der bekannten Reihenentwicklungen häufig verwendeter Funktionen @@ -295,6 +491,9 @@ lassen sich durch die hypergeometrischen Funktionen von Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} ausdrücken. In diesem Abschnitt werden einige Beispiel dazu gegeben. +% +% Die geometrische Reihe +% \subsubsection{Die geometrische Reihe} In der geometrischen Reihe fehlt der Nenner $k!$, es braucht daher einen Term $(1)_k$ im Zähler, um den Nenner zu kompensieren. @@ -312,6 +511,9 @@ a\sum_{k=0}^\infty a\cdot\mathstrut_1F_0(1,x). \] +% +% Die Exponentialfunktion +% \subsubsection{Exponentialfunktion} Die Exponentialfunktion ist die Reihe \[ @@ -323,7 +525,10 @@ benötigt, es ist daher e^x = \mathstrut_0F_0(x). \] -\subsubsection{Wurzelfunktion} +% +% Wurzelfunktionen +% +\subsubsection{Wurzelfunktionen} Die Wurzelfunktion $x\mapsto \sqrt{x}$ hat keine Taylor-Entwicklung in $x=0$, aber die Funktion $x\mapsto\sqrt{1+x}$ hat die Taylor-Reihe \[ @@ -412,11 +617,33 @@ Die Wurzelfunktion ist daher die hypergeometrische Funktion \sqrt{1\pm x} = \sum_{k=0}^\infty -\biggl(-\frac12\biggr)_k \frac{(-x)^k}{k!} +\biggl(-\frac12\biggr)_k \frac{(\pm x)^k}{k!} = \mathstrut_1F_0(-{\textstyle\frac12};\mp x). \] +Mit der Newtonschen Binomialreihe, die in +Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:subsection:newtonschereihe} +hergleitet wird, +kann man ganz analog jede beliebige Wurzelfunktion +\begin{align*} +(1+x)^\alpha +&= +1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\dots +%\\ +%& += +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-\alpha)_k}{k!}x^k += +\mathstrut_1F_0\biggl(\begin{matrix}-\alpha\\\text{---}\end{matrix};-x\biggr) +\end{align*} +durch $\mathstrut_1F_0$ ausdrücken. +Dieses Resultat ist der Inhalt von +Satz~\ref{buch:differentialgleichungen:satz:newtonschereihe} + +% +% Logarithmusfunktion +% \subsubsection{Logarithmusfunktion} Für $x\in (-1,1)$ konvergiert die Taylor-Reihe \[ @@ -483,8 +710,11 @@ x\cdot \mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}1,1\\2\end{matrix};-x\biggr). \] - +% +% Trigonometrische Funktionen +% \subsubsection{Trigonometrische Funktionen} +\index{trigonometrische Funktionen!als hypergeometrische Funktionen}% Die Kosinus-Funktion wurde bereits als hypergeometrische Funktion erkannt, im Folgenden soll dies auch noch für die Sinus-Funktion durchgeführt werden. @@ -509,7 +739,7 @@ x f(-x^2). Die Funktion $f(z)$ soll jetzt als hypergeometrische Funktion geschrieben werden. Dazu muss zunächst wieder der Nenner $k!$ wiederhergestellt werden: -\[ +\begin{equation*} f(z) = 1 @@ -521,7 +751,7 @@ f(z) \frac{3!}{7!}\cdot \frac{z^3}{3!} + \dots -\] +\end{equation*} Die Koeffizienten $k!/(2k+1)!$ müssen jetzt durch Pochhammer-Symbole mit jeweils $k$ Faktoren ausgedrückt werden. Dazu muss die Fakultät $(2k+1)!$ in zwei Produkte @@ -561,15 +791,27 @@ müssen wird mit $2^{2k}$ kompensieren: (1)_k\cdot \biggl(\frac{3}{2}\biggr)_k \end{align*} Setzt man dies in die Reihe ein, wird -\[ +\begin{equation} f(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(1)_k}{(1)_k\cdot (\frac{3}{2})_k\cdot 4^k} z^k = -\mathstrut_1F_2\biggl(1;1,\frac{3}{2};\frac{z}4\biggr). -\] +\mathstrut_1F_2\biggl( +\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{z}4 +\biggr) += +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{z}4 +\biggr). +\label{buch:rekursion:hyperbolisch:eqn:hilfsfunktionf} +\end{equation} +Im letzten Schritt wurde die Kürzungsregel +\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:kuerzungsregel} +von +Satz~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:kuerzungsregel} +angewendet. Damit lässt sich die Sinus-Funktion als \begin{equation} \sin x @@ -585,28 +827,35 @@ x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl( \end{equation} durch eine hypergeometrische Funktion ausdrücken. +% +% Hyperbolische Funktionen +% \subsubsection{Hyperbolische Funktionen} +\index{hyperbolische Funktionen!als hypergeometrische Funktionen}% Die für die Sinus-Funktion angewendete Methode lässt sich auch auf die Funktion \begin{align*} \sinh x &= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} -\\ -&= +%\\ +%& += x \, \biggl( 1+\frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!}+\frac{x^6}{7!}+\dots \biggr) -\\ +\intertext{Die Reihe in der Klammer lässt sich mit der Funktion +$f$ von \eqref{buch:rekursion:hyperbolisch:eqn:hilfsfunktionf} +schreiben als} &= -xf(-x^2) -= -x\,\mathstrut_1F_2\biggl( -\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix} -;\frac{x^2}{4} -\biggr) +x\,f(-x^2) +%= +%x\cdot\mathstrut_1F_2\biggl( +%\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix} +%;\frac{x^2}{4} +%\biggr) = x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl( \begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix} @@ -618,18 +867,85 @@ ist diese Darstellung identisch mit der von $\sin x$. Dies illustriert die Rolle der hypergeometrischen Funktionen als ``grosse Vereinheitlichung'' der bekannten speziellen Funktionen. +% +% Tschebyscheff-Polynome +% \subsubsection{Tschebyscheff-Polynome} +\index{Tschebyscheff-Polynome}% +Man kann zeigen, dass auch die Tschebyscheff-Polynome sich durch die +hypergeometrischen Funktionen +\begin{equation} +T_n(x) += +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}-n,n\\\frac12\end{matrix} +; +\frac12(1-x) +\biggr) +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:tschebyscheff2f1} +\end{equation} +ausdrücken lassen. +Beweisen kann man diese Beziehung zum Beispiel mit Hilfe der +Differentialgleichungen, denen die Funktionen genügen. +Diese Methode wird in +Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} +von Kapitel~\ref{buch:chapter:differential} vorgestellt. + +Die Tschebyscheff-Polynome sind nicht die einzigen Familien von Polynomen, +\index{Tschebyscheff-Polynome!als hypergeometrische Funktion} +die sich durch $\mathstrut_pF_q$ ausdrücken lassen. +Für die zahlreichen Familien von orthogonalen Polynomen, die in +Kapitel~\ref{buch:chapter:orthogonalitaet} untersucht werden, +trifft dies auch zu. +Ein Funktion +\[ +\mathstrut_pF_q +\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_p\\ +b_1,\dots,b_q +\end{matrix} +;z +\biggr) +\] +ist genau dann ein Polynom, wenn mindestens einer der Parameter +$a_k$ eine negative ganze Zahl ist. +Der Grad des Polynoms ist der kleinste Betrag der negativ ganzzahligen +Werte unter den Parametern $a_k$. + +% +% Die Funktionen 0F1 +% +\subsubsection{Die Funktionen $\mathstrut_0F_1$} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf} +\caption{Graphen der Funktionen $\mathstrut_0F_1(;\alpha;x)$ für +verschiedene Werte von $\alpha$. +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:0f1}} +\end{figure} +Die Funktionen $\mathstrut_0F_1$ sind in den Beispielen mit der +beschränkten trigonometrischen Funktion $\sin x$ und mit der +exponentiell unbeschränkten Funktion $\sinh x$ mit dem gleichen +Wert des Parameters und nur einem Wechsel des Vorzeichens des +Arguments verbunden worden. +Die Graphen der Funktionen $\mathstrut_0F_1$, die in +Abbildung~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:0f1} dargestellt sind, +machen dieses Verhalten plausibel. +Es wird sich später zeigen, dass $\mathstrut_0F_1$ auch mit den Bessel- +und den Airy-Funktionen verwandt sind. -TODO -\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials} % % Ableitung und Stammfunktion % -\subsection{Ableitung und Stammfunktion hypergeometrischer Funktionen} +\subsection{Ableitung und Stammfunktion hypergeometrischer Funktionen +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung}} Sowohl Ableitung wie auch Stammfunktion einer hypergeometrischen Funktion lässt sich immer durch hypergeometrische Reihen ausdrücken. - +% +% Ableitung +% \subsubsection{Ableitung} Wir gehen aus von der Funktion \begin{equation} @@ -743,7 +1059,7 @@ Damit kann jetzt die Kosinus-Funktion als \frac{1}{(\frac12)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{-x^2}{4}\biggr)^k = -\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr) +\mathstrut_0F_1\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\frac12\end{matrix};-\frac{x^2}4\biggr) \end{align*} geschrieben werden kann. @@ -752,16 +1068,22 @@ Die Ableitung der Kosinus-Funktion ist daher \frac{d}{dx} \cos x &= \frac{d}{dx} -\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr) +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac12\end{matrix};-\frac{x^2}4 +\biggr) = \frac{1}{\frac12} \, -\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr) +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4 +\biggr) \cdot\biggl(-\frac{x}2\biggr) = -x \cdot -\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr) +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4 +\biggr) \intertext{Dies stimmt mit der in \eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper} gefundenen Darstellung der Sinusfunktion mit Hilfe der hypergeometrischen @@ -771,6 +1093,9 @@ Funktion $\mathstrut_0F_1$ überein, es ist also wie erwartet} \end{align*} \end{beispiel} +% +% Stammfunktion +% \subsubsection{Stammfunktion} Eine Stammfunktion kann man auf die gleiche Art und Weise wie die Ableitung finden. diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp new file mode 100644 index 0000000..24ca3f1 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp @@ -0,0 +1,94 @@ +/* + * 0f1.cpp + * + * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ +#include <cstring> +#include <cstdio> +#include <cstdlib> +#include <cmath> +#include <string> +#include <iostream> +#include <fstream> + +static int N = 100; +static double xmin = -50; +static double xmax = 30; +static int points = 200; + +double f(double b, double x) { + double s = 1; + double p = 1; + for (int k = 1; k < N; k++) { + p = p * x / (k * (b + k - 1.)); + s += p; + } + return s; +} + +typedef std::pair<double, double> point_t; + +point_t F(double b, double x) { + return std::make_pair(x, f(b, x)); +} + +std::string ff(double f) { + if (f > 1000) { f = 1000; } + if (f < -1000) { f = -1000; } + char b[128]; + snprintf(b, sizeof(b), "%.4f", f); + return std::string(b); +} + +std::ostream& operator<<(std::ostream& out, const point_t& p) { + char b[128]; + out << "({" << ff(p.first) << "*\\dx},{" << ff(p.second) << "*\\dy})"; + return out; +} + +void curve(std::ostream& out, double b, const std::string& name) { + double h = (xmax - xmin) / points; + out << "\\def\\kurve" << name << "{"; + out << std::endl << "\t" << F(b, xmin); + for (int i = 1; i <= points; i++) { + double x = xmin + h * i; + out << std::endl << "\t-- " << F(b, x); + } + out << std::endl; + out << "}" << std::endl; +} + +int main(int argc, char *argv[]) { + std::ofstream out("0f1data.tex"); + + double s = 13/(xmax-xmin); + out << "\\def\\dx{" << ff(s) << "}" << std::endl; + out << "\\def\\dy{" << ff(s) << "}" << std::endl; + out << "\\def\\xmin{" << ff(s * xmin) << "}" << std::endl; + out << "\\def\\xmax{" << ff(s * xmax) << "}" << std::endl; + + curve(out, 0.5, "one"); + curve(out, 1.5, "two"); + curve(out, 2.5, "three"); + curve(out, 3.5, "four"); + curve(out, 4.5, "five"); + curve(out, 5.5, "six"); + curve(out, 6.5, "seven"); + curve(out, 7.5, "eight"); + curve(out, 8.5, "nine"); + curve(out, 9.5, "ten"); + + curve(out,-0.5, "none"); + curve(out,-1.5, "ntwo"); + curve(out,-2.5, "nthree"); + curve(out,-3.5, "nfour"); + curve(out,-4.5, "nfive"); + curve(out,-5.5, "nsix"); + curve(out,-6.5, "nseven"); + curve(out,-7.5, "neight"); + curve(out,-8.5, "nnine"); + curve(out,-9.5, "nten"); + + out.close(); + return EXIT_SUCCESS; +} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..2c35813 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex new file mode 100644 index 0000000..1bc8b87 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex @@ -0,0 +1,86 @@ +% +% 0f1.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\input{0f1data.tex} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\begin{scope} +\clip (\xmin,-1) rectangle (\xmax,5); +\draw[color=blue!5!red,line width=1.4pt] \kurveone; +\draw[color=blue!16!red,line width=1.4pt] \kurvetwo; +\draw[color=blue!26!red,line width=1.4pt] \kurvethree; +\draw[color=blue!37!red,line width=1.4pt] \kurvefour; +\draw[color=blue!47!red,line width=1.4pt] \kurvefive; +\draw[color=blue!57!red,line width=1.4pt] \kurvesix; +\draw[color=blue!68!red,line width=1.4pt] \kurveseven; +\draw[color=blue!78!red,line width=1.4pt] \kurveeight; +\draw[color=blue!89!red,line width=1.4pt] \kurvenine; +\draw[color=blue!100!red,line width=1.4pt] \kurveten; +\def\ds{0.4} +\begin{scope}[yshift=0.5cm] +\node[color=blue!5!red] at (\xmin,{1*\ds}) [right] {$\alpha=0.5$}; +\node[color=blue!16!red] at (\xmin,{2*\ds}) [right] {$\alpha=1.5$}; +\node[color=blue!26!red] at (\xmin,{3*\ds}) [right] {$\alpha=2.5$}; +\node[color=blue!37!red] at (\xmin,{4*\ds}) [right] {$\alpha=2.5$}; +\node[color=blue!47!red] at (\xmin,{5*\ds}) [right] {$\alpha=3.5$}; +\node[color=blue!57!red] at (\xmin,{6*\ds}) [right] {$\alpha=5.5$}; +\node[color=blue!68!red] at (\xmin,{7*\ds}) [right] {$\alpha=6.5$}; +\node[color=blue!78!red] at (\xmin,{8*\ds}) [right] {$\alpha=7.5$}; +\node[color=blue!89!red] at (\xmin,{9*\ds}) [right] {$\alpha=8.5$}; +\node[color=blue!100!red]at (\xmin,{10*\ds}) [right] {$\alpha=9.5$}; +\end{scope} +\node at (-1.7,4.5) {$\displaystyle +y=\mathstrut_0F_1\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\alpha\end{matrix};x\biggr)$}; +\end{scope} + +\draw[->] (\xmin-0.2,0) -- (\xmax+0.3,0) coordinate[label=$x$]; +\draw[->] (0,-0.5) -- (0,5.3) coordinate[label={right:$y$}]; + +\begin{scope}[yshift=-6.5cm] +\begin{scope} +\clip (\xmin,-5) rectangle (\xmax,5); + +\draw[color=darkgreen!5!red,line width=1.4pt] \kurvenone; +\draw[color=darkgreen!16!red,line width=1.4pt] \kurventwo; +\draw[color=darkgreen!26!red,line width=1.4pt] \kurventhree; +\draw[color=darkgreen!37!red,line width=1.4pt] \kurvenfour; +\draw[color=darkgreen!47!red,line width=1.4pt] \kurvenfive; +\draw[color=darkgreen!57!red,line width=1.4pt] \kurvensix; +\draw[color=darkgreen!68!red,line width=1.4pt] \kurvenseven; +\draw[color=darkgreen!78!red,line width=1.4pt] \kurveneight; +\draw[color=darkgreen!89!red,line width=1.4pt] \kurvennine; +\draw[color=darkgreen!100!red,line width=1.4pt] \kurventen; +\end{scope} + +\draw[->] (\xmin-0.2,0) -- (\xmax+0.3,0) coordinate[label=$x$]; +\draw[->] (0,-5.2) -- (0,5.3) coordinate[label={right:$y$}]; +\def\ds{-0.4} +\begin{scope}[yshift=-0.5cm] +\node[color=darkgreen!5!red] at (\xmax,{1*\ds}) [left] {$\alpha=-0.5$}; +\node[color=darkgreen!16!red] at (\xmax,{2*\ds}) [left] {$\alpha=-1.5$}; +\node[color=darkgreen!26!red] at (\xmax,{3*\ds}) [left] {$\alpha=-2.5$}; +\node[color=darkgreen!37!red] at (\xmax,{4*\ds}) [left] {$\alpha=-2.5$}; +\node[color=darkgreen!47!red] at (\xmax,{5*\ds}) [left] {$\alpha=-3.5$}; +\node[color=darkgreen!57!red] at (\xmax,{6*\ds}) [left] {$\alpha=-5.5$}; +\node[color=darkgreen!68!red] at (\xmax,{7*\ds}) [left] {$\alpha=-6.5$}; +\node[color=darkgreen!78!red] at (\xmax,{8*\ds}) [left] {$\alpha=-7.5$}; +\node[color=darkgreen!89!red] at (\xmax,{9*\ds}) [left] {$\alpha=-8.5$}; +\node[color=darkgreen!100!red]at (\xmax,{10*\ds}) [left] {$\alpha=-9.5$}; +\end{scope} +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile index 86dfa1e..54ed23b 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile @@ -3,7 +3,8 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -all: gammaplot.pdf fibonacci.pdf order.pdf beta.pdf +all: gammaplot.pdf fibonacci.pdf order.pdf beta.pdf loggammaplot.pdf \ + 0f1.pdf gammaplot.pdf: gammaplot.tex gammapaths.tex pdflatex gammaplot.tex @@ -29,4 +30,17 @@ beta.pdf: beta.tex betapaths.tex betapaths.tex: betadist.m octave betadist.m +loggammaplot.pdf: loggammaplot.tex loggammadata.tex + pdflatex loggammaplot.tex +loggammadata.tex: loggammaplot.m + octave loggammaplot.m + +0f1: 0f1.cpp + g++ -O -Wall -g -o 0f1 0f1.cpp + +0f1data.tex: 0f1 + ./0f1 + +0f1.pdf: 0f1.tex 0f1data.tex + pdflatex 0f1.tex diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.m new file mode 100644 index 0000000..5456e4f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.m @@ -0,0 +1,43 @@ +# +# loggammaplot.m +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +xmax = 10; +xmin = 0.1; +N = 500; + +fn = fopen("loggammadata.tex", "w"); + +fprintf(fn, "\\def\\loggammapath{\n ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", + xmax, log(gamma(xmax))); +xstep = (xmax - 1) / N; +for x = (xmax:-xstep:1) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", x, log(gamma(x))); +endfor +for k = (0:0.2:10) + x = exp(-k); + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", x, log(gamma(x))); +endfor +fprintf(fn, "\n}\n"); + +function retval = lgp(fn, x0, name) + fprintf(fn, "\\def\\loggammaplot%s{\n", name); + fprintf(fn, "\\draw[color=red,line width=1pt] "); + for k = (-7:0.1:7) + x = x0 + 0.5 * tanh(k); + if (k > -5) + fprintf(fn, "\n\t-- "); + end + fprintf(fn, "({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", x, log(gamma(x))); + endfor + fprintf(fn, ";\n}\n"); +endfunction + +lgp(fn, -0.5, "zero"); +lgp(fn, -1.5, "one"); +lgp(fn, -2.5, "two"); +lgp(fn, -3.5, "three"); +lgp(fn, -4.5, "four"); + +fclose(fn); diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..a2963f2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex new file mode 100644 index 0000000..8ca4e1c --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex @@ -0,0 +1,89 @@ +% +% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\input{loggammadata.tex} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +% add image content here + +\def\dx{1} +\def\dy{0.6} +\def\xmax{8} +\def\xmin{-4.9} +\def\ymax{8} +\def\ymin{-3.1} + +\fill[color=blue!20] ({\xmin*\dx},{\ymin*\dy}) rectangle ({-4*\dx},{\ymax*\dy}); +\fill[color=blue!20] ({-3*\dx},{\ymin*\dy}) rectangle ({-2*\dx},{\ymax*\dy}); +\fill[color=blue!20] ({-1*\dx},{\ymin*\dy}) rectangle ({-0*\dx},{\ymax*\dy}); + +\draw[->] ({\xmin*\dx-0.1},0) -- ({\xmax*\dx+0.3},0) + coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,{\ymin*\dy-0.1}) -- (0,{\ymax*\dy+0.3}) + coordinate[label={right:$y$}]; + +\begin{scope} +\clip ({\xmin*\dx},{\ymin*\dy}) rectangle ({\xmax*\dx},{\ymax*\dy}); + +\foreach \x in {-1,-2,-3,-4}{ + \draw[color=blue,line width=0.3pt] + ({\x*\dx},{\ymin*\dy}) -- ({\x*\dx},{\ymax*\dy}); +} + +\draw[color=red,line width=1pt] \loggammapath; + +\loggammaplotzero +\loggammaplotone +\loggammaplottwo +\loggammaplotthree +\loggammaplotfour + +\end{scope} + +\foreach \y in {0.1,10,100,1000,1000}{ + \draw[line width=0.3pt] + ({\xmin*\dx},{ln(\y)*\dy}) + -- + ({\xmax*\dx},{ln(\y)*\dy}) ; +} + +\foreach \x in {1,...,8}{ + \draw ({\x*\dx},{-0.05}) -- ({\x*\dx},{0.05}); + \node at ({\x*\dx},0) [below] {$\x$}; +} + +\foreach \x in {-1,...,-4}{ + \draw ({\x*\dx},{-0.05}) -- ({\x*\dx},{0.05}); +} +\foreach \x in {-1,...,-3}{ + \node at ({\x*\dx},0) [below right] {$\x$}; +} +\node at ({-4*\dx},0) [below left] {$-4$}; + +\def\htick#1#2{ + \draw (-0.05,{ln(#1)*\dy}) -- (0.05,{ln(#1)*\dy}); + \node at (0,{ln(#1)*\dy}) [above right] {#2}; +} + +\htick{10}{$10^1$} +\htick{100}{$10^2$} +\htick{1000}{$10^3$} +\htick{0.1}{$10^{-1}$} + +\node[color=red] at ({3*\dx},{ln(30)*\dy}) {$y=\log|\Gamma(x)|$}; + + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex index f9d014e..5d76598 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex @@ -1,5 +1,5 @@ Finden Sie einen einfachen Ausdruck für $(\frac12)_n$, der nur -Fakultäten und andere elmentare Funktionen verwendet. +Fakultäten und andere elementare Funktionen verwendet. \begin{loesung} Das Pochhammer-Symbol $(\frac12)_n$ kann wie folgt durch bekanntere |