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path: root/buch/chapters/070-orthogonalitaet
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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2022-07-01 20:55:53 +0200
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2022-07-01 20:55:53 +0200
commit931871e8c8e9b266b9b626d816a803bbd2c56653 (patch)
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-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex3
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex1
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex6
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/saev.tex1
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex21
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diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
index 480a37d..a5af7d2 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
@@ -230,6 +230,7 @@ Sei $R_n=\{p(X)\in\mathbb{R}[X] \mid \deg p\le n\}$ der Vektorraum
der Polynome vom Grad $n$.
\begin{satz}
+\index{Satz!Gaussquadratur}%
\label{buch:integral:satz:gaussquadratur}
Sei $p$ ein Polynom vom Grad $n$, welches auf allen Polynomen in $R_{n-1}$
orthogonal sind.
@@ -307,6 +308,7 @@ Für eine beliebige Funktion kann man die folgende Fehlerabschätzung
angeben \cite[theorem 7.3.4, p.~497]{buch:numal}.
\begin{satz}
+\index{Satz!Gausssche Quadraturformel und Fehler}%
Seien $x_i$ die Stützstellen und $A_i$ die Gewichte einer
Gaussschen Quadraturformel mit $n+1$ Stützstellen und sei $f$
eine auf dem Interval $[-1,1]$ $2n+2$-mal stetig differenzierbare
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
index c4eaf97..f3dd53f 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
@@ -22,6 +22,8 @@ verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind.
%
\subsection{Legendre-Differentialgleichung}
Die {\em Legendre-Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung
+\index{Differentialgleichung!Legendre-}%
+\index{Legendre-Differentialgleichung}%
\begin{equation}
(1-x^2) y'' - 2x y' + n(n+1) y = 0
\label{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}
@@ -451,6 +453,7 @@ ein anderer Weg zu einer zweiten Lösung gesucht werden.
\subsubsection{Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}
\index{assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}%
\index{Laguerre-Differentialgleichung, assoziierte}%
+\index{Differentialgleichung!assoziierte Laguerre-}%
Die {\em assoziierte Laguerre-Differentialgleichung} ist die
Differentialgleichung
\begin{equation}
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex
index c0efc6d..3dd9de5 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex
@@ -44,6 +44,7 @@ Der folgende Satz besagt, dass $p_n(x)$ eine Rekursionsbeziehung mit
nur drei Termen erfüllt.
\begin{satz}
+\index{Satz!Drei-Term-Rekursion}%
\label{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}
Eine Folge bezüglich $\langle\,\;,\;\rangle_w$ orthogonaler Polynome $p_n$
mit dem Grade $\deg p_n = n$ erfüllt eine Rekursionsbeziehung der Form
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex
index 39b01b9..4852624 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex
@@ -82,6 +82,7 @@ um $2$ erhöhen, die Ableitung wird ihn wieder um $1$ reduzieren.
Etwas formeller kann man dies wie folgt formulieren:
\begin{satz}
+\index{Satz!Rodrigues-Rekursionsformel}%
Für alle $n\ge 0$ ist
\begin{equation}
q_n(x)
@@ -163,6 +164,7 @@ orthogonal sind.
Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes.
\begin{satz}
+\index{Satz!Rodrigues-Formel für orthonormierte Polynome}%
Es gibt Konstanten $c_n$ derart, dass
\[
p_n(x)
@@ -464,6 +466,8 @@ hat die Ableitung
w'(x) = -e^{-x},
\]
die Pearsonsche Differentialgleichung ist daher
+\index{Pearsonsche Differentialgleichung}%
+\index{Differentialgleichung!Pearsonsche}%
\[
\frac{w'(x)}{w(x)}=\frac{-1}{1}.
\]
@@ -562,6 +566,8 @@ an der Stelle $0$.
Wir fassen die Resultate im folgenden Satz zusammen.
\begin{satz}
+\index{Satz!Laguerre-Polynome}%
+\index{Polynome!Laguerre-}%
Die Laguerre-Polynome vom Grad $n$ haben die Form
\begin{equation}
L_n(x)
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/saev.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/saev.tex
index c667297..599d3a0 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/saev.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/saev.tex
@@ -18,6 +18,7 @@ Der Beweis ist direkt übertragbar, wir halten das Resultat hier
für spätere Verwendung fest.
\begin{satz}
+\index{Satz!orthogonale Eigenvektoren}%
Sind $f$ und $g$ Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators $A$
zu verschiedenen Eigenwerten $\lambda$ und $\mu$, dann sind $f$ und $g$
orthogonal.
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
index 164cd9a..742ec0a 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
@@ -7,6 +7,7 @@
\label{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}}
\rhead{Das Sturm-Liouville-Problem}
Sowohl bei den Bessel-Funktionen wie bei den Legendre-Polynomen
+\index{Bessel-Funktion}%
konnte die Orthogonalität der Funktionen dadurch gezeigt werden,
dass sie als Eigenfunktionen eines bezüglich eines geeigneten
Skalarproduktes selbstadjungierten Operators erkannt wurden.
@@ -57,6 +58,7 @@ Für symmetrische Matrizen lässt sich dieses Problem auf ein
Optimierungsproblem reduzieren.
\begin{satz}
+\index{Satz!verallgemeinertes Eigenwertproblem}%
Seien $A$ und $B$ symmetrische $n\times n$-Matrizen und sei ausserdem
$B$ positiv definit.
Ist $v$ ein Vektor, der die Grösse
@@ -127,6 +129,7 @@ Eigenwert $\lambda$ ist.
\end{proof}
\begin{satz}
+\index{Satz!Orthogonalität verallgemeinerter Eigenvektoren}%
Verallgemeinerte Eigenvektoren $u$ und $v$ von $A$ und $B$
zu verschiedenen Eigenwerten erfüllen $u^tBv=0$.
\end{satz}
@@ -153,6 +156,8 @@ dass $u^tBv=0$ sein muss.
Verallgemeinerte Eigenwerte und Eigenvektoren verhalten sich also
ganz analog zu den gewöhnlichen Eigenwerten und Eigenvektoren.
Da $B$ positiv definit ist, ist $B$ auch invertierbar.
+\index{verallgemeinertes Skalarprodukt}%
+\index{Skalarprodukt!verallgemeinertes}%
Zudem kann $B$ zur Definition des verallgemeinerten Skalarproduktes
\[
\langle u,v\rangle_B = u^tBv
@@ -201,6 +206,7 @@ Bezüglich des gewöhnlichen Skalarproduktes
für Funktionen auf dem Intervall $[a,b]$ ist der Operator $L_0$
tatsächlich selbstadjungiert.
Mit partieller Integration rechnet man nach:
+\index{partielle Integration}%
\begin{align}
\langle f,L_0g\rangle
&=
@@ -376,6 +382,8 @@ L = \frac{1}{w(x)} \biggl(-\frac{d}{dx} p(x)\frac{d}{dx} + q(x)\biggr)
\label{buch:orthogonal:sturm-liouville:opL1}
\end{equation}
heisst der {\em Sturm-Liouville-Operator}.
+\index{Sturm-Liouville-Operator}%
+\index{Operator!Sturm-Liouville-}%
Eine Lösung des Sturm-Liouville-Problems ist eine Funktion $y(x)$ derart,
dass
\[
@@ -529,7 +537,10 @@ Im Folgenden sollen hingegen die Funktionen $J_n(s x)$ für
konstantes $n$, aber verschiedene $s$ untersucht und
als orthogonal erkannt werden.
-Die Funktion $y(x) = J_n(x)$ ist eine Lösung der Bessel-Differentialgleichung
+Die Funktion $y(x) = J_n(x)$ ist eine Lösung der Besselschen
+Differentialgleichung
+\index{Besselsche Differentialgleichung}%
+\index{Differentialgleichung!Besselsche}%
\[
x^2y'' + xy' + x^2y = n^2y.
\]
@@ -616,6 +627,7 @@ des Sturm-Liouville-Problems
für den Eigenwert $\lambda = -s^2$.
\begin{satz}[Orthogonalität der Bessel-Funktionen]
+\index{Satz!Orthogonalität der Bessel-Funktionen}%
Die Bessel-Funktionen $J_n(sx)$ für verschiedene $s$ sind orthogonal
bezüglich des Skalarproduktes mit der Gewichtsfunktion $w(x)=x$,
d.~h.
@@ -696,6 +708,8 @@ des Skalarproduktes mit der Laguerre-Gewichtsfunktion.
Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der
bereits in Kapitel~\ref{buch:chapter:potenzen} hergeleiteten
Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl}
+\index{Tschebyscheff-Differentialgleichung}%
+\index{Differentialgleichung!Tschebyscheff-}%
\[
(1-x^2)y'' -xy' = n^2y
\]
@@ -727,6 +741,7 @@ xy'(x)
\lambda y(x).
\end{align*}
Es folgt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal sind
+\index{Tschebyscheff-Polynom}%
bezüglich des Skalarproduktes
\[
\langle f,g\rangle = \int_{-1}^1 f(x)g(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.
@@ -737,6 +752,8 @@ bezüglich des Skalarproduktes
%
\subsubsection{Jacobi-Polynome}
Die Jacobi-Polynome sind orthogonal bezüglich des Skalarproduktes
+\index{Jacobi-Polynome}%
+\index{Polynome!Jacobi-}%
mit der Gewichtsfunktion
\[
w^{(\alpha,\beta)}(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta,
@@ -814,6 +831,8 @@ als Sturm-Liouville-Differentialgleichung erkannt.
\subsubsection{Hypergeometrische Differentialgleichungen}
%\url{https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation}
Auch die Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung
+\index{Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung}%
+\index{Differentialgleichung!Eulersche hypergeometrische}%
lässt sich in die Form eines Sturm-Liouville-Operators
\index{Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung!als Sturm-Liouville-Gleichung}%
bringen.