erster Entwurf Kapitel Funktionentheorie

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diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
new file mode 100644
index 0000000..891f488
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
@@ -0,0 +1,12 @@
+#
+# Makefile.inc -- Makefile dependencies for chapter 8
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+	chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex			\
+	chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex			\
+	chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex			\
+	chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex			\
+	chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex
new file mode 100644
index 0000000..89d906c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex
@@ -0,0 +1,145 @@
+%
+% analytisch.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Analytische Funktionen
+\label{buch:funktionentheorie:section:analytisch}}
+\rhead{Analytische Funktionen}
+Holomorphe Funktionen zeichnen sich dadurch aus, dass sie auch immer
+eine konvergente Reihenentwicklung haben, sie sind also analytisch.
+
+\subsection{Definition}
+\index{Taylor-Reihe}%
+\index{Exponentialfunktion}%
+Die Taylor-Reihenentwicklung der Exponentialfunktion ermöglicht deren
+effiziente Berechnung.
+Es ist aber nicht selbstverständlich, dass die Taylor-Reihe überhaupt
+gegen die Funktion konvergiert, aus deren Ableitungen sie gebildet
+worden ist, wie das folgende Beispiel illustriert.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/nonanalytic.pdf}
+\caption{Beispiel einer beliebig oft stetig differenzierbaren Funktion,
+deren Ableitungen in $x=0$ alle verschwinden.
+Die zugehörige Taylor-Reihe ist die Nullfunktion, sie hat nichts mit der
+Funktion zu tun.
+\label{buch:funktionentheorie:fig:nonanalytic}}
+\end{figure}
+
+\begin{beispiel}
+Wir betrachten die Funktion
+\[
+f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}
+:
+x \mapsto
+\begin{cases}
+e^{-1/x^2}&\qquad x\ne 0\\
+0&\qquad x=0.
+\end{cases}
+\]
+Der Graph $y=f(x)$ ist in Abbildung~\ref{buch:funktionentheorie:fig:nonanalytic}
+dargestellt.
+
+Die ersten zwei Ableitungen der Funktion $f$ sind
+\begin{align*}
+f'(x) &= \frac{2e^{-1/x^2}}{x^3} = \frac{2}{x^3}\cdot f(x)
+\\
+f''(x) &= \frac{(4-6x^2) e^{-1/x^2}}{x^6} = \frac{4-6x^2}{x^6}\cdot f(x)
+\\
+&\dots
+\end{align*}
+Man kann vermuten, dass alle
+Ableitungen Funktionen der Form
+\begin{equation}
+F(x) = \frac{p(x)}{x^n} \cdot f(x),
+\label{buch:funktionentheorie:eqn:nonanalytic:form}
+\end{equation}
+sind,
+wobei $p(x)$ ein Polynom ist.
+Leitet man eine solche Funktion nach $x$ ab, erhält man
+\begin{align*}
+\frac{d}{dx} F(x)
+&=
+\frac{\frac{d}{dx}(p(x)f(x)) x^n - nx^{n-1}p(x)f(x)}{x^{2n}}
+\\
+&=
+\frac{p'(x)f(x) + p(x)f'(x) - nx^{n-1}p(x)f(x)}{x^{2n}} 
+\\
+&=
+\frac{p'(x) + p(x)(2/x^3) - nx^{n-1}p(x)}{x^{2n}} \cdot f(x)
+\\
+&=
+\frac{x^3p'(x)+2p(x)-nx^{n-1}p(x)}{x^{2n+3}}\cdot f(x).
+\end{align*}
+Dies ist wieder eine Funktion der
+Form~\eqref{buch:funktionentheorie:eqn:nonanalytic:form}.
+
+Der Faktor $f(x)=e^{-1/x^2}$ von $F(x)$ geht für $x\to 0$ exponentiell
+schnell gegen $0$, schneller als der Nenner $x^n$ gegen $0$ gehen
+kann. 
+Der Grenzwert $x\to 0$ einer Funktion der 
+Form~\eqref{buch:funktionentheorie:eqn:nonanalytic:form}
+ist daher immer
+\[
+\lim_{x\to 0}  F(x) =0.
+\]
+Damit ist gezeigt, dass alle Ableitungen $f^{(n)}(0)=0$ sind.
+Die Taylorreihe von $f(x)$ ist daher die Nullfunktion.
+\end{beispiel}
+
+Die Klasse der Funktionen, die sich durch ihre Taylor-Reihe darstellen
+lassen, zeichnet sich also durch besondere Eigenschaften aus, die in
+der folgenden Definition zusammengefasst werden.
+
+\index{analytisch in einem Punkt}%
+\index{analytisch}%
+\begin{definition}
+Eine auf einem offenen Intervall $I\subset \mathbb {R}$ definierte Funktion
+$f\colon U\to\mathbb{R}$ heisst {\em analytisch im Punkt  $x_0\in I$}, wenn
+es eine in einer Umgebung von $x_0$ konvergente Potenzreihe
+\[
+\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k = f(x)
+\]
+gibt.
+Sie heisst {\em analytisch}, wenn sie analytisch ist in jedem Punkt von $I$.
+\end{definition}
+
+Es ist wohlbekannt aus der elementaren Theorie der Potenzreihen, dass
+eine analytische Funktion beliebig oft differenzierbar ist und dass
+die Potenzreihe im Punkt $x_0$ die Taylor-Reihe sein muss.
+Ausserdem sidn Summen, Differenzen und Produkte von analytischen Funktionen
+wieder analytisch.
+
+Für eine komplexe Funktion lässt sich der Begriff der
+analytischen Funktion genau gleich definieren.
+
+\begin{definition}
+Eine in einer offenen Teilmenge $U\subset \mathbb{C}$ definierte Funktion
+$f\colon U\to\mathbb{C}$ heisst {\em analytisch im Punkt $z_0\in U$}, wenn
+es eine in einer Umgebung von $z_0$ konvergente Potenzreihe
+\[
+\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0) = f(z)
+\]
+gibt.
+Sie heisst {\em analytisch}, wenn sie analytisch ist in jedem Punkt von $U$.
+\end{definition}
+
+Die Verwendung einer offenen Teilmenge $U\subset\mathbb{C}$ ist wesentlich,
+denn die Funktion $f\colon z\mapsto \overline{z}$ kann in jedem Punkt
+$x_0\in\mathbb{R}$
+der reellen Achse $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ durch die Potenzreihe 
+$f(x) = x_0 + (x-x_0)$ dargestellt werden.
+Es gibt aber keine Potenzreihe, die $f(z)$ in einer offenen Teilmenge
+von $\mathbb{C}$ gegen $f(z)=\overline{z}$ konvergiert.
+
+%
+% Der Konvergenzradius einer Potenzreihe
+%
+\subsection{Konvergenzradius
+\label{buch:funktionentheorie:subsection:konvergenzradius}}
+
+% XXX auf dem Rand des Konvergenzkreises gibt es immer eine Singularität
+
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex
new file mode 100644
index 0000000..21d8dcf
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex
@@ -0,0 +1,732 @@
+%
+% cauchy.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Cauchy-Integral
+\label{buch:funktionentheorie:section:cauchy}}
+\rhead{Cauchy-Integral}
+
+%
+% Wegintegrale und die Cauchy-Formel
+%
+\subsection{Wegintegrale\label{subsection:wegintegrale}}
+Das Finden einer Stammfunktion, die Integration, ist die Grundtechnik,
+\index{Stammfunktion}%
+mit der man den Übergang von lokaler Information in Form von Ableitungen,
+zu globaler Information über reelle Funktionen vollzieht.
+Sie liefert aus der Steigung zwischen zwei Punkten $x_0$ und $x$ den
+Funktionswert mittels
+\[
+f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^xf'(\xi)\,d\xi.
+\]
+Bei einer reellen Funktion gibt es nur eine Richtung, entlang der man
+integrieren könnte.
+
+Auch in der komplexen Ebene erwarten wir eine Formel
+\[
+f(z) = f(z_0) + \int_{z_0}^z f'(\zeta)\,d\zeta.
+\]
+In der komplexen Ebene gibt es aber beliebig viele Wege, mit denen die
+Punkte $z_0$ und $z$ verbunden werden können.
+Der Wert von $f(z)$ muss also durch Integration entlang eines speziell
+gewählten Weges $\gamma$
+\[
+f(z) = f(z_0) + \int_{\gamma} f'(\zeta)\,d\zeta
+\]
+bestimmt werden.
+Es muss also zunächst geklärt werden, wie ein solches Wegintegral
+überhaupt zu verstehen und zu berechnen ist.
+Dann gilt es zu untersuchen, inwieweit diese Konstruktion unabhängig
+von der Wahl des Weges ist.
+Für komplex differenzierbare Funktionen wird sich eine sehr erfolgreiche
+Theorie ergeben.
+
+%
+% Wegintegrale
+%
+\subsubsection{Definition des Wegintegrals}
+Ein Weg in der komplexen Ebene ist eine Abbildung
+\index{Abbildung}%
+\[
+\gamma\colon [a,b]\to\mathbb C: t\mapsto \gamma(t).
+\]
+Wir verlangen für unsere Zwecke zusätzlich, dass $\gamma$ differenzierbar
+ist.
+Dann können wir für jede beliebige Funktion das Wegintegral definieren.
+
+\begin{definition}
+Sei $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb C$ ein Weg in $\mathbb C$ und $f(z)$
+eine stetige komplexe Funktion, dann heisst
+\[
+\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_a^bf(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt
+\]
+das {\em Wegintegral} von $f(z)$ entlang der Kurve $\gamma$.
+\index{Wegintegral}
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Man berechne das Wegintegral der Funktion $f(z)=z^n$ entlang des
+Weges
+$\gamma(t)=1+t+it^2$
+für $t\in[0,1]$.
+
+Die Definition besagt
+\begin{align*}
+\int_\gamma f(z)\,dz
+&=
+\int_0^1 f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt
+=
+\int_0^1 \gamma(t)^n \gamma'(t)\,dt
+=
+\int_0^1 \frac{d}{dt}\frac{\gamma(t)^{n+1}}{n+1}\,dt
+\\
+&=
+\biggl[\frac{\gamma(t)^{n+1}}{n+1}\biggr]_0^1
+=
+\frac{(2+i)^{n+1}}{n+1}-\frac{1^{n+1}}{n+1}
+=
+\frac{(2+i)^{n+1}-1}{n+1}.
+\end{align*}
+Man stellt in diesem Beispiel auch fest, dass das Integral offenbar
+unabhängig ist von der Wahl des Weges, es kommt einzig auf die
+beiden Endpunkte an:
+\[
+\int_\gamma z^n \,dz = \frac1{n+1}\bigl(\gamma(1)^{n+1}-\gamma(0)^{n+1}\bigr).
+\]
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Wir berechnen als Beispiel das Wegintegral der Funktion $f(z)=1/z$ entlang
+eines Halbkreises von $1$ zu $-1$.
+Es gibt zwei verschiedene solche Halbkreise:
+\begin{equation*}
+\begin{aligned}
+\gamma_+(t)&=e^{it},&t&\in[0,\pi]
+\\
+\gamma_-(t)&=e^{-it},&t&\in[0,\pi]
+\end{aligned}
+\end{equation*}
+Wir finden für die Wegintegrale
+\begin{align*}
+\int_{\gamma_+}\frac1z\,dz
+&=
+\int_0^\pi \frac1{e^{it}}ie^{it}\,dt=i\int_0^\pi\,dt=i\pi,
+\\
+\int_{\gamma_-}\frac1z\,dz
+&=
+-\int_0^\pi \frac1{e^{-it}}ie^{-it}\,dt=-i\int_0^\pi\,dt=-i\pi.
+\end{align*}
+Das Wegintegral zwischen $1$ und $-1$ hängt also mindestens für diese
+spezielle Funktion $f(z)=1/z$ von der Wahl des Weges ab.
+\end{beispiel}
+
+Wie Wahl der Parametrisierung der Kurve hat keinen Einfluss auf den
+Wert des Wegintegrals.
+
+\begin{satz}
+Seien $\gamma_1(t), t\in[a,b],$ und $\gamma_2(s),s\in[c,d]$
+verschiedene Parametrisierungen
+\index{Parametrisierung}%
+der gleichen Kurve, es gebe also eine Funktion $t(s)$ derart, dass
+$\gamma_1(t(s))=\gamma_2(s)$.
+Dann ist
+\[
+\int_{\gamma_1}f(z)\,dz
+=
+\int_{\gamma_2}f(z)\,dz.
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wir verwenden die Definition des Wegintegrals
+\begin{align*}
+\int_{\gamma_1} f(z)\,dz
+&=
+\int_a^b f(\gamma_1(t))\,\gamma_1'(t)\,dt
+=
+\int_c^d f(\gamma_1(t(s))\,\underbrace{\gamma_1'(t(s)) t'(s)}_{\displaystyle
+=\frac{d}{ds}\gamma_1(t(s))}\,ds
+\\
+&=
+\int_c^d f(\gamma_2(s)\,\gamma_2'(s)\,ds
+=
+\int_{\gamma_2}f(z)\,dz.
+\end{align*}
+Beim zweiten Gleichheitszeichen haben wir die Formel für die
+Variablentransformation $t=t(s)$ in einem Integral verwendet.
+\index{Variablentransformation}%
+\end{proof}
+
+Wir erwarten, dass das Wegintegral ähnlich wie das Integral reeller
+Funktionen eine Art ``Umkehroperation'' zur Ableitung ist.
+Wir untersuchen daher den Fall, dass $f(z)$ eine komplexe Stammfunktion $F(z)$
+hat, also $f(z)=F'(z)$.
+Wir berechnen das Wegintegral entlang des Weges $\gamma$:
+\begin{align*}
+\int_{\gamma}f(z)\,dz
+&=
+\int_a^bf(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,dt
+=
+\int_a^bF'(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,dt
+=
+\int_a^b\frac{d}{dt}F(\gamma(t))\,dt
+=
+F(\gamma(a))-F(\gamma(b))
+\end{align*}
+Dies ist genau die Formel, die man als den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
+kennt.
+Trotzdem ist die Situation hier etwas anders.
+In der reellen Infinitesimalrechnung war die Existenz einer Stammfunktion
+durch das Integral gesichert, man konnte mit
+\[
+F(x)=\int_a^xf(\xi)\,d\xi
+\]
+immer eine Stammfunktion angeben.
+Im komplexen Fall können wir natürlich auch versuchen, eine Stammfunktion
+mit Hilfe von
+\[
+F(z)=\int_{\gamma_z} f(\zeta)\,d\zeta
+\]
+zu definieren.
+Dabei muss allerdings $\gamma_z$ ein Weg sein, der im Punkt $z$ endet,
+und wir wissen noch nicht einmal, ob die Wahl des Weges eine Rolle
+spielt.
+Bevor wir also sicher sein können, dass eine Stammfunktion existiert,
+müssen wir zeigen, dass das Wegintegral einer komplex differenzierbaren
+Funktion zwischen zwei Punkten nicht von der Wahl des Weges abhängt,
+der die beiden Punkte verbindet.
+Dazu ist notwendig, geschlossene Wege genauer zu betrachten.
+
+%
+% Wegintegrale führen auf analytische Funktionen
+%
+\subsubsection{Wegintegrale führen auf analytische Funktionen}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/integralanalytisch.pdf}
+\caption{Pfad und Konvergenzradius für den Nachweis, dass Wegintegrale
+auf analytische Funktionen führen (Satz~\ref{komplex:integralanalytisch}).
+\label{komplex:integralanalytischpfad}}
+\end{figure}
+Mit Wegintegralen kann man aus stetigen Funktionen neue Funktionen
+konstruieren.
+Die folgende Konstruktion liefert überraschenderweise immer
+analytische Funktionen.
+\begin{satz}
+\label{komplex:integralanalytisch}
+Sei $\gamma\colon [a,b]\to\mathbb C$ ein Weg in $\mathbb C$, der nicht
+durch den Nullpunkt verläuft, und $g$ eine stetige Funktion
+auf $\gamma([a,b])$ (Abbildung~\ref{komplex:integralanalytischpfad}).
+Dann ist die Funktion
+\[
+f(z) = \frac1{2\pi i}\int_\gamma \frac{g(x)}{x-z}\,dx
+\]
+in einer Umgebung des Nullpunktes analytisch:
+\[
+f(z) = \sum_{k=0}^\infty c_k z^k,\qquad
+\text{mit\quad}
+c_k=\frac1{2\pi i}\int_\gamma \frac{g(x)}{x^{k+1}}\,dx.
+\]
+Der Konvergenzradius $\varrho$ dieser Reihe ist der minimale Abstand der
+Kurve $\gamma$ vom Nullpunkt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst schreiben wir
+\begin{equation}
+\frac{1}{x-z}
+=
+\frac1x\cdot \frac{1}{1-\displaystyle\frac{z}{x}}
+=
+\frac1x\cdot \sum_{k=0}^\infty \biggl(\frac{z}{x}\biggr)^k
+=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{x^{k+1}}.
+\label{komplex:georeihe}
+\end{equation}
+Damit können wir jetzt die Funktion $f(z)$ berechnen:
+\begin{align*}
+f(z)
+&=
+\frac1{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{g(x)}{x-z}\,dx
+=
+\frac1{2\pi i} \int_{\gamma} \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{x^{k+1}}g(x)\,dx
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\underbrace{\biggl(\frac1{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{g(x)}{x^{k+1}}\,dx\biggr)}_{\displaystyle =c_k}
+z^k
+=
+\sum_{k=0}^\infty c_kz^k.
+\end{align*}
+Wir müssen uns noch die Konvergenz dieser Reihen überlegen.
+Wenn $z<\varrho$ ist, dann ist
+\[
+\biggl|\frac{z}{x}\biggr| 
+=
+\frac{|z|}{|x|}
+<1,
+\]
+so dass die geometrische Reihe \eqref{komplex:georeihe} konvergent ist,
+daraus lesen wir ab, dass der Konvergenzradius mindestens $\varrho$
+ist.
+Grösser kann er allerdings auch nicht sein, da für $|z|\ge \varrho$
+das Integral nicht mehr definiert sein muss.
+Nimmt man nämlich einen Punkt von $g([a,b])$ für $z$ wird der Integrand
+unendlich gross.
+\end{proof}
+
+Der Satz~\ref{komplex:integralanalytisch} ist nur für Potenzreihen
+im Punkt $0$ formuliert, was im Wesentlichen durch die
+Umformung~\eqref{komplex:georeihe} bedingt war.
+Man kann dies aber auch als Potenzreihe
+\[
+\frac1{x-z}
+=
+\frac1{x-z_0-(z-z_0)}
+=
+\frac1{x-z_0}\cdot\frac1{1-\displaystyle\frac{z-z_0}{x-z_0}}
+=
+\frac1{x-z_0}\sum_{k=0}^\infty\biggl(\frac{z-z_0}{x-z_0}\biggr)^k
+=
+\sum_{k=0}^\infty\frac1{(x-z_0)^{k+1}}(z-z_0)^k
+\]
+im Punkt $z_0$ ausdrücken.
+Man bekommt dann die Potenzreihe
+\[
+f(z) = \sum_{k=1}^\infty c_k(z-z_0)^k,\qquad
+\text{mit}\quad
+c_k=\frac1{2\pi i}\oint_\gamma\frac{g(x)}{(x-z_0)^{k+1}}\,dx
+\]
+für das Wegintegral.
+
+\subsubsection{Laurent-Reihen}
+\label{sssec:LaurentReihen}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/laurent.pdf}
+\caption{Pfad zur Herleitung der Laurent-Reihe einer Funktion $f(z)$
+mit einer Singularität $z_0$.
+\label{komplex:laurentpfad}}
+\end{figure}%
+\index{Laurent-Reihe}%
+In Satz~\ref{komplex:integralanalytisch} konnten wir eine Potenzreihe für
+solche $z$ konstruieren, deren Betrag kleiner ist als der kleinste Abstand
+der Kurve $\gamma$ vom Ursprung.
+Dies war notwendig, weil in~\eqref{komplex:georeihe} die geometrische Reihe
+nur konvergiert, wenn der Quotient $<1$ ist.
+Wenn die Funktion $f(z)$ jedoch eine Singularität im Punkt $z_0$ hat, dann
+kann es nicht möglich sein, die Funktion mit einer Potenzreihe zu
+beschreiben.
+
+Wir verwenden daher den speziellen Pfad in Abbildung~\ref{komplex:laurentpfad}.
+Er führt in einem grossen Kreis $\gamma_1$ um den Punkt $z_0$ herum,
+dann folgt ein zur $x$-Achse paralleler Abschnitt, der bis zum kleinen
+Kreis $\gamma_2$ führt.
+Nach Durchlaufen des kleinen Kreises $\gamma_2$ im Uhrzeigersinn folgt wieder
+ein zur $x$-Achse paralleles Stück zurück zum grossen Kreis.
+Da die geraden Stücke zweimal in entgegegengesetzer Richtung durchlaufen
+werden, heben sie sich weg.
+Ein Wegintegral entlang $\gamma$ zerfällt daher in eine Differenz
+\[
+\oint_\gamma\dots\,dz
+=
+\oint_{\gamma_1}\dots\,dz
+-
+\oint_{\gamma_2}\dots\,dz
+\]
+von Wegintegralen entlang $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
+
+Der äussere Pfad $\gamma_1$ gibt wie in Satz~\ref{komplex:integralanalytisch}
+Anlass zu einer Potenzreihe in $(z-z_0)$.
+Der innere Pfad $\gamma_2$ kann aber nicht so behandelt werden, da $z$ immer
+weiter von $z_0$ entfernt als die Punkte auf $\gamma_2$.
+Allerdings ist $|x/z| < 1$ für Punkte auf $\gamma_2$, wir müssen daher
+die geometrische Reihe auf $x/z$ anwenden:
+\begin{align*}
+\frac{1}{x-z}
+&=
+\frac{1}{x-z_0-(z-z_0)}
+=
+\frac{1}{z-z_0}
+\cdot
+\frac{1}{\displaystyle\frac{x-z_0}{z-z_0}-1}
+=
+-\sum_{k=0}^\infty \frac{(x-z_0)^k}{(z-z_0)^{k+1}}.
+\end{align*}
+Das Integral entlang der Kurve $\gamma_2$ kann also als Reihe in $1/(z-z_0)$
+entwickelt werden:
+\begin{align*}
+f_2(z)
+&=
+\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_2} \frac{g(x)}{x-z}\,dx
+=
+\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_2}\sum_{k=0}^\infty
+\frac{(x-z_0)^k}{(z-z_0)^{k+1}}\,dx
+\\
+&=
+\sum_{k=0}^\infty
+\biggl(
+\underbrace{\frac1{2\pi i}\int_{\gamma_2} (x-z_0)^kg(x)\,dx
+}_{\displaystyle =d_{k+1}}
+\biggr)
+\frac1{(z-z_0)^{k+1}}
+=\sum_{k=1}^\infty \frac{d_k}{(z-z_0)^k}.
+\end{align*}
+Zusammen mit der vom Integral entlang $\gamma_1$ herrührenden Reihe finden
+wir den Satz
+\begin{satz}
+\label{komplex:laurentreihe}
+Ist $g(z)$ eine entlang der Kurve $\gamma$ wie in
+Abbildung~\ref{komplex:laurentpfad} definierte stetige Funktion, dann gilt
+\[
+f(z)=\frac1{2\pi i}\oint_{\gamma} \frac{f(x)}{x-z}\,dx
+=
+\sum_{k=0}^{\infty} c_k(z-z_0)^k-\sum_{k=1}^\infty \frac{d_k}{(z-z_0)^k},
+\]
+wobei die Koeffizienten $c_k$ und $d_k$ gegeben sind durch
+\[
+\begin{aligned}
+c_k&=\frac1{2\pi i}\oint_{\gamma_1} \frac{g(x)}{x-z_0}\,dx
+&&
+\text{und}
+&
+d_k&=\frac1{2\pi i}\oint_{\gamma_2} g(x)x^{k-1}\,dx.
+\end{aligned}
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{definition}
+Eine Reihe der Form
+\[
+\sum_{k=-\infty}^\infty a_k(z-z_0)^k
+\]
+heisst {\em Laurent-Reihe }
+im Punkt $z_0$.
+\end{definition}
+
+
+%
+% Geschlossene Wege
+%
+\subsubsection{Geschlossene Wege}
+\begin{definition}
+Ein Weg $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb C$ heisst {\em geschlossen}, wenn
+$\gamma(a)=\gamma(b)$.
+\index{geschlossener Weg}
+Das Integral entlang eines geschlossenen Weges hängt nicht von der
+Parametrisierung ab und wird zur Verdeutlichung mit
+\[
+\int_{\gamma}f(z)\,dz
+=
+\oint_{\gamma}f(z)\,dz
+\]
+bezeichnet.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Wir berechnen das Integral von $f(z)=z^n$ entlang des Einheitskreises,
+den wir mit $\gamma(t)=e^{it},t\in[0,2\pi]$ parametrisieren.
+Die Definition liefert:
+\begin{align*}
+\oint_{\gamma}f(z)\,dz
+&=
+\int_0^{2\pi}e^{int}ie^{it}\,dt
+=
+i\int_0^{2\pi}e^{i(n+1)t}\,dt
+\end{align*}
+Für $n=-1$ ist dies das Integral einer konstanten Funktion, also
+\[
+\oint_{\gamma}\frac1z\,dz=2\pi i.
+\]
+Für $n\ne -1$ kann man eine Stammfunktion von $e^{i(n+1)t}$
+verwenden:
+\[
+\oint_{\gamma}f(z)\,dz
+=
+i\left[\frac1{i(n+1)}e^{i(n+1)t}\right]_0^{2\pi}
+=0,
+\]
+weil $e^{i(n+1)t}$ periodisch ist mit Periode $2\pi$.
+\end{beispiel}
+Das Beispiel zeigt, dass ein Wegintegral der Potenzfunktionen,
+aller Polynome und schliesslich aller konvergenten Potenzreihen
+über einen geschlossenen Weg verschwinden.
+Es zeigt aber auch, dass das Wegintegral über einen geschlossenen
+Weg nicht zu verschwinden braucht, wie das Beispiel $f(z)=1/z$
+zeigt.
+Letztere Funktion unterscheidet sich von den Potenzfunktionen allerdings
+dadurch, dass sie im Nullpunkt nicht definiert ist.
+
+\begin{satz}
+Sei $f(z)$ eine in einem zusammenhängenden Gebiet $\Omega\subset\mathbb C$
+definierte komplexe Funktion, für die das Wegintegral über jeden
+geschlossenen Weg verschwindet.
+Dann hat $f(z)$ eine komplexe Stammfunktion $F(z)$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wir wählen einen beliebigen Punkt $z_0\in\Omega$ definieren die
+komplexe Stammfunktion mit Hilfe des Wegintegrals
+\[
+F(z)=\int_{\gamma_z} f(\zeta)\,d\zeta,
+\]
+wobei $\gamma_z$ ein beliebiger Weg ist, der $z_0$ mit $z$ verbindet.
+
+Wir müssen uns davon überzeugen, dass die Wahl des Weges keinen Einfluss
+auf $F(z)$ hat.
+Dazu seien $\gamma_1$ und $\gamma_2$ zwei verschiedene Wege, die
+$z_0$ mit $z$ verbinden.
+Da die Parametrisierung der Wege keinen Einfluss auf das Wegintegral haben,
+nehmen wir an, dass beide Wege auf dem Intervall $[0,1]$ definiert sind.
+
+Jetzt konstruieren wir einen geschlossene Weg $\gamma$ durch die
+Definition:
+\[
+\gamma\colon[0,2]\to\mathbb C:t\mapsto
+\begin{cases}
+\gamma_1(t)&\qquad 0\le t\le 1\\
+\gamma_2(2-t)&\qquad 1\le t\le 2
+\end{cases}
+\]
+Der Weg $\gamma$ besteht aus $\gamma_1$ und dem in umgekehrter Richtung
+durchlaufenen Weg $\gamma_2$, denn an der Stelle $t=1$ passen die
+beiden Teilwege nahtlos zusammen: $\gamma_1(1)=\gamma_2(1)=\gamma_2(2-1)$.
+Wegen $\gamma(2)=\gamma_2(2-2)=\gamma_2(0)=\gamma_1(0)$ ist der
+Weg geschlossen.
+Nach Voraussetzung ist verschwindet das Wegintegral über $\gamma$.
+Es folgt
+\begin{align*}
+0
+&=
+\int_{\gamma}f(z)\,dz
+\\
+&=
+\int_0^1 f(\gamma_1(t))\gamma_1'(t)\,dt
++ \int_1^2f(\gamma_2(2-t))\frac{d}{dt}\gamma_2(2-t)\,dt
+\\
+&=
+\int_0^1 f(\gamma_1(t))\gamma_1'(t)\,dt
+- \int_1^2f(\gamma_2(2-t))\gamma_2'(2-t)\,dt
+\\
+&=
+\int_0^1 f(\gamma_1(t))\gamma_1'(t)\,dt
+- \int_0^1f(\gamma_2(s))\gamma_2'(s)\,ds
+\\
+&=
+\int_{\gamma_1}f(z)\,dz - \int_{\gamma_2}f(z)\,dz
+\\
+\Rightarrow\qquad
+\int_{\gamma_2}f(z)\,dz&=\int_{\gamma_1}f(z)\,dz.
+\end{align*}
+Da die Wahl des Weges keine Rolle spielt, ist $F(z)$ wohldefiniert.
+\end{proof}
+
+Die Bedingung des eben bewiesenen Satzes ist nicht wirklich nützlich,
+sie ist kaum nachprüfbar.
+Es braucht also zusätzliche Anstrengungen um genügend viele
+Funktionen zu finden, welche die Eigenschaft haben, dass Wegintegrale
+über geschlossene Wege verschwinden.
+Wir zielen dabei auf den folgenden Satz hin:
+\begin{satz}[Cauchy]
+Ist $f(z)$ eine in einem Gebiet $\Omega\subset\mathbb C$ definierte
+komplex differenzierbare Funktion, und ist $\gamma$ ein im Gebiet
+$\Omega$ auf einen Punkt zusammenziehbarer geschlossener Weg, dann gilt
+\[
+\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0.
+\]
+Ist insbesondere $\Omega$ {\em einfach zusammenhängend}
+\index{einfach zusammenhangend@einfach zusammenhängend}%
+\index{zusammenziehbar}%
+(d.~h.~jeder geschlossene Weg lässt sich in einen Punkt zusammenziehen),
+dann verschwindet das Wegintegral von $f(z)$ über jeden geschlossenen
+Weg in $\Omega$.
+\index{einfach zusammenhangend@einfach zusammenhängend}
+\end{satz}
+
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wir verwenden für den folgenden Beweis den Satz von Green über
+\index{Green, Satz von}%
+Wegintegrale in der Ebene.
+Er besagt, dass für einen geschlossenen Weg $\gamma$ der in der Ebene
+das Gebiet $D$ berandet, und zwei Funktionen $L(x,y)$ und $M(x,y)$, gilt
+\[
+\oint_\gamma(L\,dx + M\,dy)
+=
+\int_D \biggl(\frac{\partial M}{\partial x}
+-\frac{\partial L}{\partial y}\biggr)\,dx\,dy.
+\]
+Wir berechnen jetzt das Integral einer komplex differenzierbaren Funktion
+$f(z)$
+\begin{align*}
+\oint_\gamma f(z)\,dz
+&=
+\int (u(x,y)+iv(x,y))(\dot x(t)+i\dot y(t))\,dt
+\\
+&=
+\int u(x,y)\dot x(t) -v(x,y)\dot y(t)\,dt
++
+i \int u(x,y)\dot y(t)+v(x,y)\dot x(t)\,dt
+\\
+&=\oint_\gamma(u\,dx - v\,dy) + i\oint_\gamma(v\,dx + u\,dy)
+\\
+&=
+\int_D
+\underbrace{-\frac{\partial v}{\partial x}}_{\displaystyle=\frac{\partial u}{\partial y}}
+-\frac{\partial u}{\partial y}
+\,dx\,dy
++i
+\int_D
+\underbrace{\frac{\partial u}{\partial x}}_{\displaystyle=\frac{\partial v}{\partial y}}
+-\frac{\partial v}{\partial y}\,dx\,dy
+=0.
+\end{align*}
+Dabei haben wir auf der dritten Zeile den Satz von Green angewendet,
+und auf der letzten Zeile die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.
+\end{proof}
+
+\subsection{Die Cauchy-Integralformel}
+\index{Cauchy-Integralformel}%
+Sei jetzt $f(z)$ eine komplex differenzierbare Funktion.
+Dann ist auch die Funktion
+\[
+g(z)=\frac{f(z)}{z-a}
+\]
+komplex differenzierbar für $z\ne a$.
+Insbesondere ist der Wert des Wegintegrals von $g(z)$ entlang
+eines geschlossenen Pfades um den Punkt $a$ unabhängig von der Wahl
+des Weges.
+Zum Beispiel könnten wir das Wegintegral mit Hilfe eines kleinen Kreises
+um $a$ mit Radius $r$ mit der Parametrisierung
+\[
+t\mapsto \gamma(t)=a+re^{it},\quad t\in[0,2\pi]
+\]
+berechnen.
+Die Rechnung ergibt
+\begin{align*}
+\oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\,dz
+&=
+\int_0^{2\pi} \frac{f(a+re^{it})}{re^{it}}ire^{it}\,dt
+=
+i\int_0^{2\pi} f(a+re^{it})\,dt
+\end{align*}
+Da $f(z)$ komplex differenzierbar ist, können wir $f(z)$ approximieren
+durch $f(z)=f(a)+f'(a)(z-a)+o(z-a)$, also
+\begin{align*}
+\oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a}\,dz
+&=
+i\int_0^{2\pi}f(a) + f'(a)re^{it}+o(r)\,dt
+\\
+&=
+f(a)i\int_0^{2\pi}\,dt
++ irf'(a)\int_0^{2\pi} e^{it}\,dt + i\int_0^{2\pi}o(r)\,dt
+\\
+&=
+2\pi i f(a) + irf'(a)\underbrace{\left[\frac1{i}e^{it}\right]_0^{2\pi}}_{\displaystyle=0}+o(r)
+\\
+&=2\pi i f(a)+o(r).
+\end{align*}
+Da das Wegintegral einer komplex differenzierbaren Funktion aber unabhängig
+vom Weg und damit vom Radius $r$ sein muss, folgt
+\[
+\oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\,dz=2\pi i f(a).
+\]
+Wir haben damit den folgenden Satz bewiesen:
+
+\begin{satz}[Cauchy]
+Ist $\gamma$ ein geschlossener Weg in der komplexen Ebene, die ein
+Gebiet umrandet, in dem die komplexe Funktion $f(z)$ komplex
+differenzierbar ist, dann gilt
+\[
+f(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}\,dz.
+\]
+Insbesondere sind die Werte einer komplex differenzierbaren Funktion
+im Inneren eines Gebietes durch die Werte auf dem Rand bereits vollständig
+bestimmt.
+\end{satz}
+
+\subsubsection{Ableitungen und Cauchy-Formel}
+Sei $f(z)$ eine komplex differenzierbare Funktion, als Definitionsgebiet
+nehmen wir der Einfachheit halber einen Kreis vom Radius $r$ um den Nullpunkt,
+sein Rand ist die Kurve $\gamma$.
+Durch Ableiten der Cachyschen Integralformel finden wir
+\begin{align*}
+f(z)
+&=
+\frac1{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta
+\\
+f'(z)
+&=
+\frac1{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}\,d\zeta
+\\
+f'' (z)
+&=
+\frac1{2\pi i}\oint_{\gamma}2\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^3}\,d\zeta
+\\
+f'''(z)
+&=
+\frac1{2\pi i}\oint_{\gamma}2\cdot 3\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^4}\,d\zeta
+\\
+&\vdots
+\\
+f^{(k)}(z)
+&=
+\frac{k!}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}\,d\zeta.
+\end{align*}
+Es folgt
+
+\begin{satz}
+Eine komplex differenzierbare Funktion ist beliebig oft differenzierbar.
+\end{satz}
+
+\subsubsection{Komplex differenzierbare Funktionen sind analytisch}
+Wir haben früher gesehen, dass Wegintegrale auf analytische Funktionen
+führen.
+Andererseits zeigt das Cauchy-Integral, dass komplex differenzierbare
+Funktionen durch genau die Integrale bestimmt sind, die in den
+Reihenentwicklungen in Satz~\ref{komplex:integralanalytisch} auftraten.
+Diese Resultate können wir im folgenden Satz zusammenfassen.
+
+\begin{satz}
+Eine komplex differenzierbare Funktion $f(z)$, die in einer Kreisscheibe
+vom Radius $r$ um den Punkt $z_0$ definiert ist, ist analytisch.
+Ihre Potenzreihenentwicklung
+\[
+f(z)=\sum_{k=0}^na_k(z-z_0)^k
+\]
+hat die Koeffizienten
+\[
+a_k=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{k+1}}\,dz,\quad
+k\ge 0.
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Da $f$ komplex differenzierbar ist, gilt
+\[
+f(z)=\frac1{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta.
+\]
+In Satz~\ref{komplex:integralanalytisch} wurde gezeigt, dass $f(z)$
+analytisch ist, und dass die Koeffizienten der Potenzreihe von
+der verlangten Form sind.
+\end{proof}
+
+Für eine komplexe Funktion, die im Punkt $z_0$ eine Singularität hat,
+also in einer Umgebung von $z_0$ ohne den Punkt $z_0$ definiert ist,
+können wir das Resultat aus Satz~\ref{komplex:laurentreihe} verwenden,
+und zum folgenden analogen Resultat gelangen:
+
+\begin{satz}
+Eine komplex differenzierbare Funktion $f(z)$, die in einer Kreisscheibe
+vom Radius $r$ um den Punkt $z_0$ mit Ausnahme des Punktes $z_0$
+definiert ist, kann in eine konvergente Laurent-Reihe
+\[
+f(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k(z-z_0)^k
+\]
+entwickelt werden, deren Koeffizienten durch
+\[
+c_k = \frac1{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(\zeta)}{(z-z_0)^{k+1}}\,d\zeta,\qquad k\in\mathbb Z
+\]
+gegeben sind.
+\end{satz}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
new file mode 100644
index 0000000..2d0de8d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
@@ -0,0 +1,46 @@
+%
+% chapter.tex -- Kapitel zur Funktionentheorie
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+% !TeX spellcheck = de_CH
+\chapter{Funktionentheorie
+\label{buch:chapter:funktionentheorie}}
+\lhead{Funktionentheorie}
+\rhead{}
+Jede stetige reelle Funktion $f\colon I\to\mathbb{R}$ auf einem
+Intervall kann beliebig genau durch Polynome, also durch
+differenzierbare approximiert werden.
+Für komplex differenzierbare Funktionen sieht die Situation
+völlig anders aus.
+Bereits die Funktion $z\mapsto \overline{z}$ kann in einer offenen
+Teilmenge von $\mathbb{C}$ nicht durch Polynome in der Variablen $z$
+approximiert werden.
+Es stellt sich heraus, dass komplex differenzierbare Funktionen
+immer eine konvergente Taylor-Reihe besitzen.
+In Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:analytisch} wird
+ein Beispiel einer beliebig oft stetig differenzierbaren rellen
+Funktion angegeben, die nur in $0$ verschwindet, deren Taylor-Reihe
+in $0$ die Nullfunktion ist.
+
+Wenn man also weiss, dass die Lösung eines Problems nicht nur eine
+relle Funktion ist, sondern eine komplex differenzierbare Funktion,
+dann unterliegt diese sehr viel strengeren Einschränkungen.
+Mit der zugehörigen Potenzreihe können Funktionswerte leicht berechnet
+werden, mit dem Cauchy-Integral können Singularitäten studiert werden
+und mit der analytischen Fortsetzung kann man Lösungen über Singularitäten
+auf der rellen Achse hinaus fortsetzen.
+
+\input{chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex}
+\input{chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex}
+\input{chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex}
+\input{chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex}
+
+%\section*{Übungsaufgaben}
+%\rhead{Übungsaufgaben}
+%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben}
+%\begin{uebungsaufgaben}
+%\uebungsaufgabe{0}
+%\uebungsaufgabe{1}
+%\end{uebungsaufgaben}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex
new file mode 100644
index 0000000..d4d0795
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex
@@ -0,0 +1,247 @@
+%
+% fortsetzung.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Analytische Fortsetzung
+\label{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung}}
+\rhead{Analytische Fortsetzung}
+
+Wir haben schon gesehen, dass eine reelle Funktion, die in einem
+Punkte eine konvergente
+Potenzreihe besitzt, auf natürliche Weise auch als komplexe Funktion
+betrachtet werden kann, indem man komplexe Argumente in der Potenzreihe
+zulässt.
+Die neue komplexe Funktion ist ein einem Kreis um den Punkt
+konvergent.
+Mit Hilfe der Potenzreihe kann man also immer eine Funktion auf ein
+Kreisgebiet ausdehen.
+Dieser Abschnitt untersucht die Frage, ob man diese Idee auch auf
+noch grössere Gebiete ausdehnen kann.
+\subsection{Analytische Fortsetzung mit Potenzreihen}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/forts.pdf}
+\caption{Analytische Fortsetzung einer komplexen Funktion entlang einer
+Kurve $\gamma$.
+\label{komplex:fortsetzung}}
+\end{figure}
+Eine komplex differenzierbare Funktion $f(z)$ ist immer darstellbar als
+Potenzreihe, und ist daher analytisch.
+So kann zum Beispiel die Funktion $1/z$ als Potenzreihe um jeden
+beliebigen Punkt $z_0$ entwickelt werden:
+\begin{align}
+f(z)
+&=
+\frac1z
+=
+\frac1{z_0-(z_0-z)}
+=
+\frac1{z_0}\cdot
+\frac1{1-\displaystyle\frac{z_0-z\mathstrut}{z_0\mathstrut}}
+=
+\frac1{z_0}\sum_{k=0}^{\infty} \biggl(\frac{z_0-z\mathstrut}{z_0\mathstrut}\biggr)^k
+=
+\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}} (z-z_0)^k,
+\label{komplex:1durchreihe}
+\end{align}
+Die Koeffizienten dieser Potenzreihe sind
+\[
+a_k=\frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}},
+\]
+und man kann den Konvergenzradius ausrechnen:
+\[
+\frac1{\varrho}
+=
+\limsup_{k\to\infty} \root{k}\of{|a_k|} = \lim_{k\to\infty}\frac1{|z_0|^{\frac{k+1}{k}}}
+=
+\frac1{|z_0|}.
+\]
+Der Konvergenzradius ist limitiert durch die Singularität bei an der Stelle
+$z=0$.
+
+Es gibt also keine einzelne Potenzreihe, die die Funktion $f(z)=\frac1z$ in der
+ganzen komplexen Ebene darstellen kann.
+Wählt man aber einzelne Punkte $z_0$ und $z_1$ derart, dass der Kreis
+um $z_0$ mit Radius $|z_0|$ und der Kreis um $z_1$ mit Radius $|z_1|$
+überlappen, dann werden die beiden Potenzreihen im Überlappungsgebiet
+die gleichen Werte annehmen.
+
+Man könnte allso eine Kurve $\gamma$ in der komplexen Ebene wählen,
+entlang der man in jedem Punkt die Funktion $f(z)$ in eine Potenzreihe
+entwickelt.
+Liegen zwei Punkte nahe genug auf der Kurve $\gamma$, werden die
+Konvergenzkreise der Potenzreihen überlappen, und die Potenzreihen
+werden im Überlappungsgebiet die gleichen Werte liefern.
+
+Selbst wenn man eine Funktion $f(z)$ nur in einem Kreis um den Punkt $z_0$
+kennt, zum Beispiel durch eine Potenzreihe im Punkt $z_0$, kann man entlang
+einer Kurve, die $z_0$ mit $z_1$ verbindet, in jedem Punkt eine Potenzreihe
+finden, die mit der Potenzreihe in den Nachbarpunkten übereinstimmt, und
+so die Definition der Funktion entlang dieser Kurve auf ein grösseres
+Gebiet ausweiten, wie in Abbildung~\ref{komplex:fortsetzung} dargestellt.
+Man nennt dies die {\em analytische Fortsetzung} der Funktion $f(z)$
+entlange der Kurve $\gamma$.
+\index{analytische Fortsetzung}
+\index{Fortsetzung, analytische}
+
+\begin{beispiel}
+Wir haben bereits gesehen, dass sich die Funktion $f(z)=1/z$ in jedem
+Punkt $z_0$ der komplexen Ebene in die Potenzreihe~\eqref{komplex:1durchreihe}
+entwickeln lässt.
+Diese Reihe lässt sich integrieren
+\[
+F(z,z_0)
+=
+\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(k+1)z_0^{k+1}}z^{k+1},
+\]
+diese Reihe ist ebenfalls auf einem Kreis vom Radius $|z_0|$ um den
+Punkt $z_0$ konvergent.
+Wir vermuten natürlich, dass dies eine Darstellung des natürlichen
+Logarithmus einer komplexen Zahl ist.
+Natürlich ist das immer nur auf einem Kreisgebiet möglich, die Reihe
+für $z=1$ ist zum Beispiel im Punkt $z=-1$ nicht konvergent.
+
+Um eine in der ganzen komplexen Ebene definierte Funktion $\log(z)$ zu
+konstruieren, müssen wir also eine analytische Fortsetzung aufbauen.
+Bei der Integration haben wir eine frei wählbare Integrationskonstante
+$C(z_0)$, die wir so wählen müssen, dass die Reihen im Überlappungsgebiet
+übereinstimmen:
+\[
+F(z,z_0) + C(z_0) = F(z,z_1)  + C(z_1)
+\]
+für jedes $z$ im Überlappungsgebiet.
+Dadurch wird aber nur die Differenz $C(z_1)-C(z_0)$ der Werte festgelegt.
+Da wir Übereinstimmung mit der üblichen Definition des Logarithmus
+erreichen möchten, können wir $C(1)=0$ festlegen.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/fortsetzreziprok.pdf}
+\caption{Analytische Fortsetzung für die Funktion $\frac1z$
+entlang der Pfade $\gamma_+$ und $\gamma_-$.
+\label{komplex:logfortsetzung}}
+\end{figure}
+Wir konstruieren jetzt die analytische Forstsetzung entlang der Kurven
+$\gamma_+$ und $\gamma_-$ wie in Abbildung~\ref{komplex:logfortsetzung}
+dargestellt.
+Um die Differenz $C(z_1)-C(z_0)$ zu bestimmen, Werten wir die Funktionen
+$F(z,z_0)$ und $F(z,z_1)$ jeweils im rot eingezeichneten Punkt aus.
+Die exakte Berechnung ist etwas mühsam, da es sich ja nur um ein Beispiel
+handelt, können wir die Reihen auch numerisch ausrechnen, und so die
+Differenzen bestimmen:
+\begin{align*}
+&\text{Startpunkt $z_0=1$:}& C(1)&=0             &       &       \\
+&\text{entlang $\gamma_+$:}& C(i)&= i\frac{\pi}2 & C(-1) &=  i\pi\\
+&\text{entlang $\gamma_-$:}&C(-i)&=-i\frac{\pi}2 & C(-1) &= -i\pi
+\end{align*}
+Wir stellen fest, dass die analytische Fortsetzung der Logarthmusfunktion
+entlang der Kurve $\gamma_+$ die Potenzreihe
+\[
+\log_+(z)
+=
+i\pi +\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k(-1)^k}(z+1)^k
+=
+i\pi
+-
+\sum_{k=1}^\infty \frac{(z+1)^k}{k}
+\]
+ergibt, während man entlang der  Kurve $\gamma_-$
+\[
+\log_-(z)
+=
+-i\pi +\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k(-1)^k}(z+1)^k
+=
+-i\pi
+-
+\sum_{k=1}^\infty \frac{(z+1)^k}{k}
+\]
+findet.
+Die beiden analytischen Fortsetzungen entlang der Kurven $\gamma_+$ und
+$\gamma_-$ stimmen auf der negativen reellen Achse nicht überein,
+sie unterscheiden sich um $2\pi i$:
+\[
+\log_+(z)-\log_-(z)=2\pi i.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
+Das Beispiel zeigt, dass es im Allgmeinen eine auf der ganzen komplexen
+Ebene definierte komplexe Entsprechung einer reellen Funktion nicht
+zu geben braucht.
+Dieses Phänomen tritt zum Beispiel auch bei der Wurzelfunktion $f(z)=\sqrt{z}$
+auf.
+Diese Funktion ist im Punkt $z=0$ nicht differenzierbar, man muss diesen
+Punkt also aus dem Definitionsbereich ausschliessen.
+Führt man man analog zum Beispiel eine analytische Fortsetzung durch,
+findet man, dass sich die Werte von $f(z)$ für die beiden Wege $\gamma_+$
+und $\gamma_-$ durch das Vorzeichen unterscheiden.
+\subsection{Analytische Fortsetzung mit Differentialgleichungen
+\label{komplex:analytische-fortsetzung-dgl}}
+In Abschnitt~\ref{subsection:wegintegrale} wurde gezeigt, wie Wegintegrale
+Stammfunktionen komplexer Funktionen liefern können.
+Im vorangegangenen Abschnitt wurde untersucht, wie eine komplex differenzierbare
+Funktion mit Hilfe von analytischer Fortsetzung entlang einer Kurve
+ausgedehnt werden kann.
+
+Sei $f(z)$ eine komplex differenzierbare Funktion.
+In jedem beliebigen Punkt des Definitionsbereichs können wir $f(z)$
+in eine Potenzreihe entwickeln, und natürlich auch termweise integrieren.
+Es gibt also in jedem Punkt $z_0$ des Definitionsbereichs eine
+Funktion $F_{z_0}(z)$, die $F'_{z_0}(z)=f(z)$ erfüllt.
+Durch analytische Fortsetzung entlang einer Kurve $\gamma$ können
+wir eine komplex differenzierbare Funktion $f(z)$ finden, die in einer
+Umgebung der Kurve $F'(z)=f(z)$ erfüllt.
+
+Sei andererseits $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb C$ eine Kurve in $\mathbb C$.
+Dann können wir die Werte der Stammfunktion im Punkt $\gamma(b)$ durch
+\[
+F(\gamma(b)) = F(\gamma(a))+\int_\gamma f(z)\,dz
+\]
+berechnen.
+
+\begin{beispiel}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/logforts.pdf}
+\caption{Analytische Fortsetzung des Logarithmus als Lösung der
+Differentialgleichung $y'=\frac1z$.
+Bei einem Umlauf um den Nullpunkt nimmt der Wert von $y(z)$ um
+$2\pi i$ zu.
+\label{komplex:analytische-fortsetzung-log}
+}
+\end{figure}
+Wir bestimmen die Stammfunktion von $f(z)=1/z$.
+Entlang der reellen Achse weiss man bereits, dass die Stammfunktion
+der natürliche Logarithmus ist, also $F(x)=\log x$.
+Um diese Stammfunktion auf $\mathbb C$ auszudehnen, verwenden wir einen
+kreisförmigen Pfad von der reellen Achse bis zum Punkt $z$.
+Liegt $z$ in der oberen Halbebene, wählen wir einen Pfad in der
+oberen Halbebene, und umgekehrt.
+Wir können die Zahl $z$ in Polarkoordinaten darstellen als $z=re^{i\varphi}$.
+Ein Pfad von der reellen Achse kann mit
+\[
+\gamma\colon [0,1]\to\mathbb C: t\mapsto re^{it\varphi}
+\]
+parametrisiert werden.
+Der Zuwachs der Stammfunktion entlang dieses Pfades ist
+\[
+F(z)-F(r)
+=
+\int_\gamma\frac1z\,dz
+=
+\int_0^1 \frac1{e^{it\varphi}}i\varphi e^{it\varphi}\,dt
+=
+i\varphi \int_0^1\,dt
+=
+i\varphi.
+\]
+Der Wert der Stammfunktion am Anfang der Kurve ist $\log r$, somit
+folgt, dass
+\[
+\log z = \log r + i\varphi
+\]
+(Abbildung~\ref{komplex:analytische-fortsetzung-log}).
+\end{beispiel}
+
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex
new file mode 100644
index 0000000..c87b083
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex
@@ -0,0 +1,384 @@
+%
+% holomorph.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Holomorphe Funktionen
+\label{buch:funktionentheorie:section:holomorph}}
+\rhead{Holomorphe Funktionen}
+
+Wir betrachten in diesem Kapitel komplexwertige Funktionen,
+\index{komplexwertige Funktion}%
+die ein einem Teilgebiet der komplexen Ebene definiert sind.
+Ein {\em Gebiet} ist eine offene Teilmenge $\Omega\subset \mathbb C$.
+\index{Gebiet}%
+{\em Offen} heisst, dass mit jedem Punkt $z_0\in\Omega$ eine Umgebung
+\index{offen}%
+\index{Umgebung}%
+\[
+U=\{z\in\mathbb Z\,|\,|z-z_0|<\varepsilon\}
+\]
+ebenfalls in $\Omega$ enthalten ist, also $U\subset \Omega$ für genügen
+kleines $\varepsilon$.
+Sei also $f(z)$ eine in $\Omega\subset\mathbb C$ definierte
+Funktion $f\colon\Omega\to\mathbb C$.
+
+Eine komplexwertige Funktion $f(z)$ kann betrachtet werden als zwei
+reellwertige Funktionen von zwei Variablen $x$ und $y$:
+\[
+f(z)=\operatorname{Re}f(x+iy) + i \operatorname{Im}f(x+iy).
+\]
+Schreibt man
+$\operatorname{Re}f(x+iy)=u(x,y)$
+und
+$\operatorname{In}f(x+iy)=v(x,y)$,
+dann ist die komplexe Funktion vollständig durch reelle Funktionen
+beschrieben.
+Und natürlich wissen wir auch, was unter den Ableitungen der Funktionen
+$u(x,y)$ und $v(x,y)$ zu verstehen ist.
+Der Funktion $f(z)$ entspricht eine Abbildung $\mathbb R^2\to\mathbb R^2$
+\index{Abbildung}%
+\[
+(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{pmatrix}.
+\]
+Die Ableitung einer solchen Funktion im Punkt $(x_0,y_0)$
+ist eine lineare Abbildung von Vektoren, die in linearer Näherung
+\index{lineare Naherung@lineare Näherung}
+\index{Naherung@Näherung, lineare}
+den Funktionswert bei $f(z_0 + \Delta z)$
+\[
+\begin{pmatrix}
+u(x+\Delta x, y +\Delta y)\\
+v(x+\Delta x, y +\Delta y)
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+\frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}\\
+\frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix} \Delta x\\\Delta y \end{pmatrix}
++o(\Delta x, \Delta y).
+\]
+In dieser Sicht einer komplexen Funktion gibt es keine einzelne Zahl, die
+die Funktion einer Ableitung übernehmen könnte, die Ableitung
+ist eine $2\times 2$-Matrix.
+
+%
+% Definition der komplexen Ableitungen
+%
+\subsection{Komplexe Ableitung}
+Die Ableitung einer Funktion einer reellen Variablen wird mit Hilfe des
+Grenzwertes
+\[
+f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
+\]
+definiert, oder als diejenige Zahl $f'(x_0)\in\mathbb R$ mit der Eigenschaft,
+dass
+\begin{equation}
+f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0)
+\label{komplex:abldef}
+\end{equation}
+gilt.
+Der Term $x-x_0$ und die Gleichung \eqref{komplex:abldef} sind aber auch
+für komplexe Argument sinnvoll, wir definieren daher
+
+\begin{definition}
+Die komplexe Funktion $f(z)$ heisst im Punkt $z_0$ komplex differenzierbar
+und hat die komplexe Ableitung $f'(z_0)\in\mathbb C$, wenn
+\index{komplex differenzierbar}%
+\index{komplexe Ableitung}%
+\index{Ableitung!komplexe}%
+\begin{equation}
+f(z)=f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0) +o(z-z_0)
+\label{komplex:defkomplabl}
+\end{equation}
+gilt.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Die Funktion $z\mapsto f(z)=z^n$ ist überall komplex differenzierbar
+und hat die Ableitung $nz^{n-1}$.
+Um dies nachzuprüfen, müssen wir die Bedingung~\eqref{komplex:defkomplabl}
+verifizieren.
+Aus einer wohlbekannten Faktorisierung von $z^n - z_0^n$ können wir den
+Differenzenquotienten finden:
+\begin{align*}
+\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}
+&=
+\frac{z^n-z_0^n}{z-z_0}
+=
+\frac{(z-z_0)(z^{n-1}+z^{n-2}z_0+z^{n-3}z_0^2+\dots+z^{n-1})}{z-z_0}
+\\
+&=
+\underbrace{z^{n-1}+z^{n-2}z_0+z^{n-3}z_0^2+\dots+z^{n-1}
+}_{\displaystyle \text{$n$ Summanden}}.
+\end{align*}
+Lassen wir jetzt $z$ gegen $z_0$ gehen, wird die rechte Seite
+zu $nz_0^{n-1}$.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Die Funktion $z\mapsto f(z)=\bar z=x-iy$ ist nicht differenzierbar.
+Wenn $f(z)=\bar z$ differenzierbar wäre, dann müsste es eine Zahl
+$a\in\mathbb C$ geben, so dass
+\[
+\bar z-\bar z_0=a(z-z_0)+o(z-z_0)
+\]
+gilt.
+wählen wir $z=z_0+x$ bzw.~$z=z_0+iy$, dann erhalten wir
+\[
+\begin{aligned}
+z-z_0&=x:&
+\bar z-\bar z_0&=x
+&&\Rightarrow&
+\bar z-\bar z_0&=1\cdot x
+&&\Rightarrow&
+a&=1
+\\
+z-z_0&=iy:&
+\bar z-\bar z_0&=-iy
+&&\Rightarrow&
+\bar z-\bar z_0&=-1\cdot iy
+&&\Rightarrow&
+a&=-1
+\end{aligned}
+\]
+Es ist also nicht möglich, eine einzige Zahl $a$ zu finden, die als
+die Ableitung der Funktion $z\mapsto \bar z$ betrachtet werden könnte.
+\end{beispiel}
+
+Das letzte Beispiel zeigt, dass
+selbst Funktionen, deren Real- und Imaginärteil beliebig oft stetig
+differenzierbare Funktionen sind, nicht komplex differenzierbar
+sein müssen.
+Komplexe Differenzierbarkeit ist eine wesentlich stärkere Bedingung
+an eine Funktion, komplex differenzierbare Funktionen bilden eine
+echte Teilmenge aller Funktionen, deren Real- und Imaginärteil
+differenzierbar ist.
+
+%
+% Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen
+%
+\subsection{Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen}
+Komplexe Funktionen können nur differenzierbar sein, wenn sich die vier
+partiellen Ableitungen zu einer einzigen komplexen Zahl zusammenfassen
+lassen.
+Um diese Beziehung zu finden, gehen wir von einer komplexen Funktion
+\[
+f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)
+\]
+aus, und berechnen die Ableitung auf zwei verschiedene Arten, indem
+wir sowohl nach $x$ als auch nach $iy$ ableiten:
+\begin{align*}
+f'(z)&
+=
+\lim_{x\to 0}\frac{f(z+x)-f(z)}{x}
+=
+\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}
+\\
+f'(z)&
+=
+\lim_{y\to 0}\frac{f(z+iy)-f(z)}{iy}
+=
+\frac1{i}
+\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}
+=
+\frac{\partial v}{\partial y}
+-i
+\frac{\partial u}{\partial y}.
+\end{align*}
+Dies ist nur möglich, wenn Real- und Imaginärteile übereinstimmen.
+Es folgt also
+
+\begin{satz}
+\label{komplex:satz:cauchy-riemann}
+Real- und Imaginärteil $u(x,y)$ und $v(x,y)$ einer
+komplex differenzierbaren Funktion $f(z)$ mit $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$
+erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
+\index{Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen}
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\frac{\partial u}{\partial x}
+&=
+\frac{\partial v}{\partial y},
+&
+\frac{\partial u}{\partial y}
+&=
+-
+\frac{\partial v}{\partial x}.
+\end{aligned}
+\label{komplex:dgl:cauchy-riemann}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+Leitet man die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen nochmals nach
+$x$ und $y$ ab, erhält man
+\begin{equation*}
+\begin{aligned}
+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
+&=
+\frac{\partial^2 v}{\partial x\,\partial y},
+&
+\frac{\partial^2 u}{\partial x\,\partial y}
+&=
+-\frac{\partial^2 v}{\partial x^2},
+&
+\frac{\partial^2 u}{\partial y\,\partial x}
+&=
+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2},
+&
+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
+&=
+-\frac{\partial^2 v}{\partial y\,\partial x}.
+\end{aligned}
+\end{equation*}
+Die erste und die letzte sowie die mittleren zwei können zu jeweils
+einer Differentialgleichung für die Funktionen $u$ und $v$ zusammengefasst
+werden, nämlich
+\begin{equation*}
+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
++
+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
+=
+0
+\qquad\text{und}\qquad
+\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}
++
+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
+=
+0.
+\end{equation*}
+
+\begin{definition}
+Der Operator
+\[
+\Delta =
+\frac{\partial^2}{\partial x^2}
++
+\frac{\partial^2}{\partial y^2}
+\]
+heisst der {\em Laplace-Operator} in zwei Dimensionen.
+
+\index{Laplace-Operator}%
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+Eine Funktion $h(x,y)$ von zwei Variablen heisst {\em harmonisch}, wenn sie
+die Gleichung
+\[
+\Delta h=0
+\]
+erfüllt.
+\index{harmonische Funktion}%
+\index{harmonisch}%
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+Real- und Imaginärteil einer komplexen Funktion sind harmonische Funktionen.
+\end{satz}
+
+Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen schränken also einerseits stark
+ein, welche Funktionen überhaupt als Real- und Imaginärteil einer
+komplex differenzierbaren Funktion in Frage kommen.
+Andererseits koppeln sie auch Real- und Imaginärteil stark zusammen.
+
+\begin{beispiel}
+Von einer komplex differenzierbaren Funktion $f(z)$ sei nur der Realteil
+$u(x,y)=x^3 -3xy^2$ bekannt.
+Man finde alle möglichen Funktionen $f(z)$.
+
+Zunächst kontrollieren wir, ob dies überhaupt ein Realteil sein kann,
+indem wir nachrechnen, ob $u(x,y)$ harmonisch ist.
+\begin{equation*}
+\begin{aligned}
+\frac{\partial u}{\partial x}
+&=
+3x^2-3y^2
+&&\Rightarrow&
+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
+&=
+6x
+\\
+\frac{\partial u}{\partial y}
+&=
+-6xy
+&&\Rightarrow&
+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
+&=
+-6x
+\\
+&&&&\Delta u&=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=6x-6x=0,
+\end{aligned}
+\end{equation*}
+$u$ ist also harmonisch.
+
+Um die Funktion $f$ zu finden, brauchen wir jetzt noch den Imaginärteil.
+Wir finden ihn mit Hilfe der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.
+Es gilt
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\frac{\partial v}{\partial x}
+&=
+-\frac{\partial u}{\partial y}=6xy,
+&
+\frac{\partial v}{\partial y}
+&=
+\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2
+\end{aligned}
+\label{komplex:crbeispiel}
+\end{equation}
+Aus der ersten Gleichung erhält man durch Integrieren nach $x$
+\[
+v(x,y)=-3x^2y + C(y),
+\]
+die Integrations-``Konstante'' ist eine Funktion, die aber nur von $y$
+abhängen darf.
+Die zweite Cauchy-Riemann-Gleichung verwendet die Ableitung von $v$ nach $y$,
+sie ist
+\[
+\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2+C'(y).
+\]
+Aus der zweiten Gleichung von \eqref{komplex:crbeispiel} liest man
+ab, dass
+\[
+C'(y)=-3y^2
+\qquad\Rightarrow\qquad
+C(y)=-y^3+k
+\]
+sein muss.
+Damit ist $v$ bis auf eine Konstante bestimmt.
+Die zugehörige Funktion $f(z)$ ist daher
+\[
+f(z)=f(x+iy)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)+ik
+=x^3 + 3x^2iy + 3x(iy)^2+(iy)^3+ik=z^3+ik.
+\]
+Wir haben die Funktion $f(z)$ bis auf eine Konstanten $ik$
+aus ihrem Realteil rekonstruiert.
+\end{beispiel}
+Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen besagen auch, dass man nur
+die Ableitungen nach $x$ zu berechnen braucht, um die Ableitung $f'(x)$
+zu bestimmen.
+Die Rechenregeln für die Ableitung lassen sich daher direkt auf
+komplexe Funktionen übertragen:
+\begin{align*}
+\frac{d}{dz}z^n
+&=
+nz^{n-1}
+\\
+\frac{d}{dz}e^z
+&=
+e^z
+\\
+\frac{d}{dz}f(g(z))
+&=
+f'(g(z)) g'(z)
+\\
+\frac{d}{dz}\bigl(f(z)g(z)\bigr)
+&=
+f'(z)g(z)+f(z)g'(z)
+\end{align*}
+Die Ableitungsformeln ändern also nicht, die formalen Ableitungsregeln
+für holomorphe Funktionen sind die gleichen wie für reelle Funktionen.
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..66e6d0f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile
@@ -0,0 +1,26 @@
+#
+# Makefile -- build images
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	nonanalytic.pdf integralanalytisch.pdf laurent.pdf \
+	fortsetzreziprok.pdf forts.pdf logforts.pdf
+
+nonanalytic.pdf:	nonanalytic.tex
+	pdflatex nonanalytic.tex
+
+integralanalytisch.pdf:	integralanalytisch.tex
+	pdflatex integralanalytisch.tex
+
+laurent.pdf:	laurent.tex
+	pdflatex laurent.tex
+
+fortsetzreziprok.pdf:	fortsetzreziprok.tex
+	pdflatex fortsetzreziprok.tex
+
+forts.pdf:	forts.tex
+	pdflatex forts.tex
+
+logforts.pdf:	logforts.tex
+	pdflatex logforts.tex
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/forts.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/forts.pdf
new file mode 100644
index 0000000..db8199a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/forts.pdf
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/forts.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/forts.tex
new file mode 100644
index 0000000..11c45e1
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/forts.tex
@@ -0,0 +1,86 @@
+%
+% forts.tex -- analytische Fortsetzung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\pgfmathparse{-(3+3*sin(180*(1.4))-(1.4))}
+\xdef\X{\pgfmathresult}
+\pgfmathparse{-(2+2*cos(180*(1.4))-(1.4))}
+\xdef\Y{\pgfmathresult}
+
+\def\kurve#1{
+	({3+3*sin(180*(#1))-(#1)+\X},{2+2*cos(180*(#1))-(#1)+\Y})
+}
+
+\def\punkt#1{
+	\fill[color=white]
+		({3+3*sin(180*(#1))-(#1)+\X},{2+2*cos(180*(#1))-(#1)+\Y})
+		circle[radius=0.08];
+	\draw[color=red]
+		({3+3*sin(180*(#1))-(#1)+\X},{2+2*cos(180*(#1))-(#1)+\Y})
+		circle[radius=0.08];
+}
+
+\def\kreis#1#2{
+	\fill[color=gray!50,opacity=0.5] #1 circle[radius=#2];
+}
+\def\rand#1#2{
+	\draw #1 circle[radius=#2];
+}
+
+\kreis{\kurve{-0.2}}{1.2}
+\kreis{\kurve{0.0}}{1.2}
+\kreis{\kurve{0.2}}{1.2}
+\kreis{\kurve{0.4}}{1.2}
+\kreis{\kurve{0.6}}{1.2}
+\kreis{\kurve{0.8}}{1.3}
+\kreis{\kurve{1.0}}{1.5}
+\kreis{\kurve{1.2}}{1.3}
+\kreis{\kurve{1.4}}{1.2}
+\rand{\kurve{-0.2}}{1.2}
+\rand{\kurve{0.0}}{1.2}
+\rand{\kurve{0.2}}{1.2}
+\rand{\kurve{0.4}}{1.2}
+\rand{\kurve{0.6}}{1.2}
+\rand{\kurve{0.8}}{1.3}
+\rand{\kurve{1.0}}{1.5}
+\rand{\kurve{1.2}}{1.3}
+\rand{\kurve{1.4}}{1.2}
+
+\draw[->] (-1.5,0) -- (8.5,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}z$}];
+\draw[->] (0,-2.6) -- (0,5.6) coordinate[label={left:$\operatorname{Im}z$}];
+
+\draw[color=red,line width=1.4pt]
+	plot[domain=-0.2:1.4,samples=100] 
+	({3+3*sin(180*\x)-\x+\X},{2+2*cos(180*\x)-\x+\Y});
+
+\foreach \t in {-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,1.4}{
+	\punkt{\t}
+}
+
+\node[color=red] at \kurve{1.4} [above left] {$z_0$};
+\node[color=red] at \kurve{1.2} [below] {$z_1$};
+\node[color=red] at \kurve{1.0} [below] {$z_2$};
+\node[color=red] at \kurve{0.8} [below right] {$z_3$};
+\node[color=red] at \kurve{0.6} [right] {$z_4$};
+\node[color=red] at \kurve{0.4} [right] {$z_5$};
+\node[color=red] at \kurve{0.2} [above right] {$z_6$};
+\node[color=red] at \kurve{0.0} [above] {$z_7$};
+\node[color=red] at \kurve{-0.2} [above left] {$z_8$};
+
+\node[color=red] at \kurve{0.96} [above] {$\gamma$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/fortsetzreziprok.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/fortsetzreziprok.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9450e80
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/fortsetzreziprok.pdf
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/fortsetzreziprok.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/fortsetzreziprok.tex
new file mode 100644
index 0000000..4fa4a68
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/fortsetzreziprok.tex
@@ -0,0 +1,65 @@
+%
+% fortsetzreziprok.tex -- analytische Fortsetzung der 1/z-Funktion
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\def\u{3}
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=white] #1 circle[radius=0.08];
+	\draw[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\fill[color=gray!70,opacity=0.5] (\u,0) circle[radius=\u];
+\fill[color=gray!70,opacity=0.5] (0,\u) circle[radius=\u];
+\fill[color=gray!70,opacity=0.5] (-\u,0) circle[radius=\u];
+\fill[color=gray!70,opacity=0.5] (0,-\u) circle[radius=\u];
+
+%\draw[line width=0.5pt] (\u,0) circle[radius=\u];
+%\draw[line width=0.5pt] (0,\u) circle[radius=\u];
+%\draw[line width=0.5pt] (-\u,0) circle[radius=\u];
+%\draw[line width=0.5pt] (0,-\u) circle[radius=\u];
+
+\draw[->] ({-0.5-2*\u},0) -- ({2*\u+0.8},0)
+	coordinate[label={$\operatorname{Re}z$}];
+\draw[->] (0,{-0.5-2*\u}) -- (0,{2*\u+0.8})
+	coordinate[label={$\operatorname{Im}z$}];
+
+\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (0,0) circle[radius=\u];
+\node[color=darkgreen] at (70:\u) [above] {$\gamma_+$};
+\node[color=darkgreen] at (-70:\u) [below] {$\gamma_-$};
+\node at (\u,0) [above right] {$1$};
+\node at (0,\u) [above left] {$i$};
+\node at (-\u,0) [above left] {$-1$};
+\node at (0,-\u) [below left] {$-i$};
+
+\punkt{(\u,0)}{black}
+\punkt{(-\u,0)}{black}
+\punkt{(0,\u)}{black}
+\punkt{(0,-\u)}{black}
+
+\punkt{({0.5*\u},{0.5*\u})}{red}
+\punkt{({-0.5*\u},{0.5*\u})}{red}
+\punkt{({-0.5*\u},{-0.5*\u})}{red}
+\punkt{({0.5*\u},{-0.5*\u})}{red}
+
+\node[color=red] at ({0.5*\u},{0.5*\u}) [above] {$(1+i)\frac{\sqrt{2}}{2}$};
+\node[color=red] at ({0.5*\u},{-0.5*\u}) [below] {$(1-i)\frac{\sqrt{2}}{2}$};
+\node[color=red] at ({-0.5*\u},{-0.5*\u}) [below] {$(-1-i)\frac{\sqrt{2}}{2}$};
+\node[color=red] at ({-0.5*\u},{0.5*\u}) [above] {$(-1+i)\frac{\sqrt{2}}{2}$};
+
+\fill[color=white] (0,0) circle[radius=0.2];
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/integralanalytisch.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/integralanalytisch.pdf
new file mode 100644
index 0000000..051562f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/integralanalytisch.pdf
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/integralanalytisch.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/integralanalytisch.tex
new file mode 100644
index 0000000..a407eed
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/integralanalytisch.tex
@@ -0,0 +1,51 @@
+%
+% integralanalytisch.tex -- Illustration zum Beweis, das das Cauchy-Integral
+%                           auf eine analytische Funktion führt
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\fill[color=blue!20] (0,0) circle[radius=1.5];
+\draw[color=blue,line width=0.7pt] (0,0) circle[radius=1.5];
+
+\draw[->] (0,0) -- (-150:1.5);
+\node at (-150:1.0) [below] {$\varrho$};
+
+\begin{scope}
+\clip (-4,-3) rectangle (4,3);
+\draw[color=red, line width=1.4pt]
+	 (-3,0.5) 
+	.. controls (-4,-0.5) and (-3,-2) ..
+	(-2,-2)
+	.. controls (-1,-2) and (-1,-1.5) ..
+	(0,-1.5)
+	.. controls (1.0,-1.5) and (1.0,-3) ..
+	(2,-3)
+	.. controls (5,-3) and (3,5) ..
+	(-1,2);
+\end{scope}
+
+\node[color=red] at (3.2,-1.5) {$\gamma$};
+
+\coordinate (Z) at (1,0.5);
+
+\fill[color=white] (Z) circle[radius=0.05];
+\draw (Z) circle[radius=0.05];
+\node at (Z) [above] {$z$};
+
+\draw[->] (0,-3.1) -- (0,3.3) coordinate[label={left:$\operatorname{Im}z$}];
+\draw[->] (-4.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}z$}];
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/laurent.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/laurent.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7cc7652
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/laurent.pdf
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/laurent.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/laurent.tex
new file mode 100644
index 0000000..b403aea
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/laurent.tex
@@ -0,0 +1,57 @@
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+% laurent.tex -- Laurent-Reihen und Cauchy-Integral
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc,decorations.markings}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\coordinate (Z0) at (1.5,1);
+
+\def\d{0.03}
+
+\draw[->] (-2.1,0) -- (4.8,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}z$}];
+\draw[->] (0,-2.1) -- (0,4.3) coordinate[label={$\operatorname{Im}z$}];
+
+\fill[color=red!20,opacity=0.7] (Z0) circle[radius=2.5];
+
+\fill[color=white] (Z0) circle[radius=0.2];
+
+
+\draw[color=red] (Z0) circle[radius=2.5];
+\draw[color=red] (Z0) circle[radius=0.2];
+\fill[color=white] ($(Z0)+(0,-\d)$) rectangle ($(Z0)+(3,\d)$);
+\begin{scope}[decoration={
+    markings,
+    mark=at position 0.5 with {\arrow{>}}}
+    ]
+\draw[color=red,postaction={decorate}]
+	($(Z0)+({asin(-\d/2.5)}:2.5)$)
+	--
+	($(Z0)+({asin(-\d/0.2)}:0.2)$);
+\draw[color=red,postaction={decorate}]
+	($(Z0)+({asin(\d/0.2)}:0.2)$)
+	--
+	($(Z0)+({asin(\d/2.5)}:2.5)$);
+\end{scope}
+
+\draw (Z0) circle[radius=0.05];
+\node at ($(Z0)+(-0.1,-0.1)$) [below left] {$z_0$};
+
+\node[color=red] at (2.75,1) [above] {$l_1$};
+\node[color=red] at (2.75,1) [below] {$l_2$};
+
+\node[color=red] at ($(Z0)+(45:2.5)$) [above right] {$\gamma_1$};
+\node[color=red] at ($(Z0)+(0,0.2)$) [above] {$\gamma_2$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/logforts.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/logforts.pdf
new file mode 100644
index 0000000..82428cc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/logforts.pdf
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/logforts.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/logforts.tex
new file mode 100644
index 0000000..241dae6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/logforts.tex
@@ -0,0 +1,65 @@
+%
+% logforts.tex -- analytische Fortsetzung der Logarithmus-Funktion
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{2}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+\def\r{1.2}
+\def\a{65}
+
+\fill[color=gray!40] (0,0) -- (0:0.4) arc (0:\a:0.4) -- cycle;
+\node at ({\a/2}:0.3) {$t$};
+
+\draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}z$}];
+\draw[->] (0,-1.6) -- (0,1.6) coordinate[label={right:$\operatorname{Im}z$}];
+
+\draw (1,{-0.1/\skala}) -- (1,{0.1/\skala});
+\draw (2,{-0.1/\skala}) -- (2,{0.1/\skala});
+\draw (-1,{-0.1/\skala}) -- (-1,{0.1/\skala});
+\draw (-2,{-0.1/\skala}) -- (-2,{0.1/\skala});
+\node at (1,0) [below] {$1$};
+\node at (2,0) [below] {$2$};
+\node at (-1,0) [below] {$-1$};
+\node at (-2,0) [below] {$-2$};
+\draw ({-0.1/\skala},1) -- ({0.1/\skala},1);
+\node at (0,1) [left] {$1$};
+\draw ({-0.1/\skala},-1) -- ({0.1/\skala},-1);
+\node at (0,-1) [left] {$-1$};
+
+\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0:\r) arc (0:357:\r);
+
+\fill[color=white] (0:\r) circle[radius=0.03];
+\draw (0:\r) circle[radius=0.03];
+\node at (0:\r) [above right] {$y(r)=\log r$};
+
+\def\punkt#1{
+	\fill[color=white] #1 circle[radius=0.03];
+	\draw[color=red] #1 circle[radius=0.03];
+}
+\draw[->] (0,0) -- (\a:\r);
+\punkt{(\a:\r)}
+\node at ($(\a:\r)+(0,-0.2)$) [above right] {$\displaystyle y(\gamma(t)) = \int_{\gamma_{|[0,t]}}\frac{1}{z}\,dz$};
+
+\punkt{(135:\r)}
+\node at (135:\r) [above left] {$y=\gamma(\frac34\pi))=\log r +\frac34\pi i$};
+
+\punkt{(252:\r)}
+\node at (252:\r) [below left] {$y=\gamma(\frac75\pi))=\log r +\frac75\pi i$};
+
+\draw[color=red,line width=0.4pt] (1.4,-1.1) -- (1.4,-0.2) -- (357:\r);
+\punkt{(357:\r)}
+
+\node at (1.4,-1.1) [below] {$y=\gamma(\frac{119}{60}\pi))=\log r +\frac{119}{60}\pi i$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/nonanalytic.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/nonanalytic.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9cac699
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/nonanalytic.pdf
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/nonanalytic.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/nonanalytic.tex
new file mode 100644
index 0000000..258e0f5
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/nonanalytic.tex
@@ -0,0 +1,40 @@
+%
+% nonanalytic.tex -- nicht analytische reelle C^\infty-Funktion
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\draw[color=red,line width=1.4pt] plot[domain=0.01:2.5,samples=100]
+	({2*\x},{4*exp(-1/(\x*\x))});
+\draw[color=red,line width=1.4pt] plot[domain=0.01:2.5,samples=100]
+	({-2*\x},{4*exp(-1/(\x*\x))});
+
+\draw (2,-0.1) -- (2,0.1);
+\draw (4,-0.1) -- (4,0.1);
+\draw (-2,-0.1) -- (-2,0.1);
+\draw (-4,-0.1) -- (-4,0.1);
+
+\node at (2,0) [below] {$1$};
+\node at (4,0) [below] {$2$};
+\node at (-2,0) [below] {$-1$};
+\node at (-4,0) [below] {$-2$};
+
+\draw (-0.1,4) -- (0.1,4);
+\node at (-0.1,4) [left] {$1$};
+
+\draw[->] (-5.1,0) -- (5.4,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-0.1) -- (0,4.4) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+