add new image, stuff about hypergeometrich series

11 files changed, 412 insertions, 22 deletions

diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
index 13e074f..35ff758 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
@@ -8,7 +8,8 @@
 Die Eulersche Integralformel für die Gamma-Funktion in
 Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde in
 Abschnitt~\ref{buch:subsection:integral-eindeutig}
-mit dem Satz von Mollerup gerechtfertigt.
+mit dem Satz~\ref{buch:satz:bohr-mollerup}
+von Bohr-Mollerup gerechtfertigt.
 Man kann Sie aber auch als Grenzfall der Beta-Funktion verstehen,
 die in diesem Abschnitt dargestellt wird.
 
@@ -31,6 +32,7 @@ B(x,y)
 \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt
 \]
 für $\operatorname{Re}x>0$, $\operatorname{Re}y>0$.
+\index{Beta-Integral}%
 \end{definition}
 
 Aus der Definition kann man sofort ablesen, dass $B(x,y)=B(y,x)$.
@@ -321,6 +323,9 @@ $(-\frac12)!$ als Wert
 \]
 der Gamma-Funktion interpretiert.
 
+%
+% Alternative Parametrisierung
+%
 \subsubsection{Alternative Parametrisierungen}
 Die Substitution $t=\sin^2 s$ hat im vorangegangenen Abschnitt
 ermöglicht, $\Gamma(\frac12)$ zu ermitteln.
@@ -383,8 +388,10 @@ wobei wir
 \]
 verwendet haben.
 Diese Darstellung des Beta-Integrals wird später
-% XXX Ort ergänzen
+in Satz~\ref{buch:funktionentheorie:satz:spiegelungsformel}
 dazu verwendet, die Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion
+\index{Gamma-Funktion!Spiegelungsformel}%
+\index{Spiegelungsformel der Gamma-Funktion}%
 herzuleiten.
 
 Eine weitere mögliche Parametrisierung verwendet $t = (1+s)/2$
@@ -408,6 +415,9 @@ B(x,y)
 \label{buch:rekursion:gamma:beta:symm}
 \end{equation}
 
+%
+%
+%
 \subsubsection{Die Verdoppelungsformel von Legendre}
 Die trigonometrische Substitution kann dazu verwendet werden, die
 Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten.
@@ -419,6 +429,8 @@ Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten.
 2^{1-2x}\sqrt{\pi}
 \Gamma(2x)
 \]
+\index{Verdoppelungsformel}%
+\index{Gamma-Funktion!Verdoppelungsformel von Legendre}%
 \end{satz}
 
 \begin{proof}[Beweis]
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex
index cd9cadc..57e503a 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex
@@ -5,12 +5,27 @@
 %
 \subsection{Der Satz von Bohr-Mollerup
 \label{buch:rekursion:subsection:bohr-mollerup}}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf}
+\caption{Der Graph der Funktion $\log|\Gamma(x)|$ ist für $x>0$ konvex. 
+Die blau hinterlegten Bereiche zeigen an, wo die Gamma-Funktion
+negative Werte annimmt.
+\label{buch:rekursion:gamma:loggammaplot}}
+\end{figure}
 Die Integralformel und die Grenzwertdefinition für die Gamma-Funktion
 zeigen beide, dass das Problem der Ausdehnung der Fakultät zu einer
 Funktion $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ eine Lösung hat, aber es ist noch
 nicht klar, in welchem Sinn dies die einzig mögliche Lösung ist.
 Der Satz von Bohr-Mollerup gibt darauf eine Antwort.
 
+Der Graph
+in Abbildung~\ref{buch:rekursion:gamma:loggammaplot}
+zeigt, dass die Werte der Gamma-Funktion für $x>0$ so schnell
+anwachsen, dass sogar die Funktion $\log|\Gamma(x)|$ konvex ist.
+Der Satz von Bohr-Mollerup besagt, dass diese Eigenschaft zur
+Charakterisierung der Gamma-Funktion verwendet werden kann.
+
 \begin{satz}
 \label{buch:satz:bohr-mollerup}
 Eine Funktion $f\colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ mit den Eigenschaften
@@ -20,6 +35,8 @@ Eine Funktion $f\colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ mit den Eigenschaften
 \item die Funktion $\log f(t)$ ist konvex
 \end{enumerate}
 ist die Gamma-Funktion: $f(t)=\Gamma(t)$.
+\index{Satz!von Bohr-Mollerup}%
+\index{Bohr-Mollerup, Satz von}%
 \end{satz}
 
 Für den Beweis verwenden wir die folgende Eigenschaft einer konvexen
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index e4dfa9a..45acf9f 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -20,6 +20,8 @@ für alle natürlichen Zahlen $x\in\mathbb{N}$ definiert werden.
 \end{equation}
 Kann man eine reelle oder komplexe Funktion finden, die die
 Funktionalgleichung~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef}
+\index{Gamma-Funktion!Funktionalgleichung}%
+\index{Funktionalgleichung der Gamma-Funktion}%
 erfüllt und damit die Fakultät auf beliebige Argumente ausdehnt?
 
 \subsection{Definition als Grenzwert}
@@ -141,6 +143,8 @@ $x\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,-3,\dots\}$ ist der Grenzwert
 \[
 \Gamma(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{n!\,n^{x-1}}{(x)_n}.
 \] 
+\index{Grenzwertdefinition der Gamma-Funktion}%
+\index{Gamma-Funktion!Grenzwertdefinition}%
 \end{definition}
 
 \subsubsection{Rekursionsgleichung für $\Gamma(x)$}
@@ -204,7 +208,7 @@ Weil $n/(n+1)\to 1$ ist und die Funktion $z\mapsto z^{x-1}$ für alle
 nach der Definition zulässigen Werte von $x$ eine stetige Funktion ist.
 
 %
-%
+% Numerische Unzulänglichkeit der Grenzwertdefinition
 %
 \subsubsection{Numerische Unzulänglichkeiten der Grenzwertdefinition}
 \begin{table}
@@ -316,6 +320,8 @@ wobei $\gamma$ die Euler-Mascheronische Konstante
 \biggl(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n\biggr)
 \]
 ist.
+\index{Gamma-Funktion!Produktformel}%
+\index{Produktformel für die Gamma-Funkion}%
 \end{satz}
 
 \begin{proof}[Beweis]
@@ -483,6 +489,8 @@ z
 \mapsto
 \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt
 \]
+\index{Gamma-Funktion!Integraldefinition}%
+\index{Integraldefinition der Gamma-Funktion}%
 \end{definition}
 
 Man beachte, dass das Integral für $x=0$ nicht definiert ist, eine
@@ -564,6 +572,7 @@ die Werte der Fakultät annimmt.
 \subsubsection{Der Wert $\Gamma(\frac12)$}
 Die Integraldarstellung kann dazu verwendet werden, $\Gamma(\frac12)$ 
 zu berechnen.
+\index{Gamma-Funktion!WertGamma12@Wert von $\Gamma(\frac12)$}%
 Dazu verwendet man die Substition $t=s^2$ in der Integraldefinition
 der Gamma-Funktion und berechnen
 \begin{align}
@@ -618,6 +627,8 @@ Von Wielandt stammt das folgende, noch etwas speziellere Resultat,
 welches hier nicht bewiesen wird.
 
 \begin{satz}[Wielandt]
+\index{Satz!von Wielandt}%
+\index{Wielandt, Satz von}%
 Ist $f(z)$ eine für $\operatorname{Re}z>0$ definiert Funktion mit
 den folgenden drei Eigenschaften
 \begin{enumerate}
@@ -637,6 +648,7 @@ Dann ist $ f(z) = \Gamma(z) $.
 \subsubsection{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}
 Die Integraldarstellung der Gamma-Funktion erlaubt jetzt auch, die
 Laplace-Transformation der Potenzfunktion zu berechnen.
+\index{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}%
 
 \begin{satz}
 Die Laplace-Transformierte der Potenzfunktion $f(t)=t^\alpha$ ist
@@ -672,6 +684,7 @@ Durch die Substitution $st = u$ oder $t=\frac{u}{s}$ wird daraus
 % Pol erster Ordnung bei z=0
 %
 \subsubsection{Pol erster Ordnung bei $z=0$}
+\index{Gamma-Funktion!Pol@Pol bei $z=0$}%
 Wir haben zu prüfen, dass sowohl der Wert $\Gamma(1)$ korrekt ist als
 auch die Rekursionsformel~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} gilt.
 Der Wert für $z=1$ ist
@@ -725,6 +738,8 @@ Die Gamma-Funktion hat daher an der Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung.
 % Ausdehnung auf Re(z) < 0
 %
 \subsubsection{Ausdehnung auf $\operatorname{Re}z<0$}
+\index{Gamma-Funktion!analytische Fortsetzung}%
+\index{analytische Fortsetzung der Gamma-Funktion}%
 Die Integralformel konvergiert nicht für $\operatorname{Re}z\le 0$.
 Durch analytische Fortsetzung, wie sie im
 Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung}
@@ -798,9 +813,11 @@ Um diese Hypothese zu prüfen, berechnen wir das Integral für
 $z=\frac53$ mit Hilfe der äquivalenten Differentialgleichungen
 \begin{equation}
 \dot{y}(t) = t^{z-1}e^{-t}
-\qquad\text{mit Anfangsbedingung $y(0)=0$}.
+\qquad
+\text{mit Anfangsbedingung $y(0)=0$}.
 \label{buch:rekursion:gamma:eqn:gammadgl}
 \end{equation}
+\index{Gamma-Funktion!Loesung@Lösung mit Differentialgleichung}
 Der gesuchte Wert ist der Grenzwert $\lim_{t\to\infty} y(t)$.
 In der Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:table:gammaintegral}
 sind die Werte von $y(10^k)$ sowie die Differenzen 
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
index 39efc6b..1f42ade 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
@@ -200,6 +200,7 @@ ermöglichen wird, interessante Aussagen über die durch die
 Reihe beschriebenen Funktionen zu machen.
 
 \begin{definition}
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:def:allg}
 Eine durch die Reihe
 \[
 f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
@@ -218,9 +219,13 @@ wenn also
 mit Polynomen $p(k)$ und $q(k)$ ist.
 \end{definition}
 
+%
+% Beispiele von hypergeometrischen Funktionen
+%
+\subsubsection{Beispiele von hypergeometrischen Funktionen}
 Die geometrische Reihe ist natürlich eine hypergeometrische Reihe,
 wobei $p(k)/q(k)=1$ ist.
-Etwas interessanter ist die Exponentialfunktion, durch die Taylor-Reihe
+Etwas interessanter ist die Exponentialfunktion, die durch die Taylor-Reihe
 \[
 e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}
 \]
@@ -263,7 +268,30 @@ eine rationale Funktion mit Zählergrad $0$ und Nennergrad $2$.
 Es gibt also eine hypergeometrische Reihe $f(z)$ derart, dass
 $\cos x = f(x^2)$ ist.
 
-Seien $p(k)$ und $q(k)$ zwei Polynome derart, dass
+%
+% Die hypergeometrischen Funktione pFq
+%
+\subsubsection{Die hypergeometrischen Funktionen $\mathstrut_pF_q$}
+Die Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def:allg}
+einer hypergeometrischen Funktion wie auch die Verschiedenartigkeit
+der Beispiele kännen den Eindruck vermitteln, dass die diese Klasse
+von Funktionen unübersichtlich gross sein könnte.
+Dem ist jedoch nicht so.
+In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass alle hypergeometrischen
+Funktionen durch die in
+Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} definierten
+Funktionen $\mathstrut_pF_q$ ausgedrückt werden.
+Die hypergeometrischen Funktionen können also vollständig parametrisiert
+werden.
+
+Zu diesem Zweick sie
+\[
+f(x)
+=
+\sum_{k=0}^\infty a_kx^k
+\]
+eine hypergeometrische Funktion und
+seien $p(k)$ und $q(k)$ zwei Polynome derart, dass
 \[
 \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{p(k)}{q(k)}.
 \]
@@ -299,12 +327,12 @@ Dazu nehmen wir an, dass $a_i$, $i=1,\dots,n$ die Nullstellen von $p(k)$ sind
 und $b_j$, $j=1,\dots,m$ die Nullstellen von $q(k)$, dass man also
 die Polynome als
 \begin{align*}
-p(k) &= x(k-a_1)(k-a_2)\cdots(k-a_n)
+p(k) &= s(k-a_1)(k-a_2)\cdots(k-a_n)
 \\
 q(k) &= (k-b_1)(k-b_2)\cdots(k-b_m)
 \end{align*}
 schreiben kann.
-Der Faktor $x$ ist nötig, weil die Polynome $p(k)$ und $q(k)$ nicht
+Der Faktor $s$ ist nötig, weil die Polynome $p(k)$ und $q(k)$ nicht
 notwendigerweise normiert sind.
 
 Um das Produkt der Quotienten zu vereinfachen, nehmen wir für den Moment
@@ -314,14 +342,14 @@ Dann ist nach
 \[
 a_{k}
 =
-x^{k}
+s^{k}
 \frac{
 (k-1-a_1) \cdots (2-a_1)(1-a_1)(0-a_1)
 }{
 (k-1-b_1) \cdots (2-b_1)(1-b_1)(0-b_1)
 }
 =
-\frac{(-a_1)_k}{(-b_1)_k} x^k.
+\frac{(-a_1)_k}{(-b_1)_k} s^k.
 \]
 Die Koeffizienten können daher als Quotienten von Pochhammer-Symbolen
 geschrieben werden.
@@ -331,13 +359,16 @@ von der Form
 a_k
 =
 \frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k}
-x^ka_0.
+s^ka_0.
 \]
-Jede hypergeometrische Reihe kann daher in der Form
+Jede hypergeometrische Funktion kann daher in der Form
 \[
+f(x)
+=
 a_0
 \sum_{k=0}^\infty
 \frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k}
+s^k
 x^k
 \]
 geschrieben werden.
@@ -371,9 +402,10 @@ zusätzlichen Faktor $(1)_k$ im Zähler des Bruchs von Pochhammer-Symbolen
 kompensieren, wodurch sich der Grad $p$ des Zählers natürlich um $1$
 erhöht.
 
-Die oben analysierte Summe $S$ kann mit der Definition als
+Die oben analysierte Summe für $f(x)$ kann mit der
+Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} als
 \[
-S
+f(x)
 =
 a_0
 \cdot
@@ -381,11 +413,69 @@ a_0
 \begin{matrix}
 -a_1,-a_2,\dots,-a_n,1\\
 -b_1,-b_2,\dots,-a_m
-\end{matrix}; x
+\end{matrix}; sx
 \biggr)
 \]
 beschrieben werden.
 
+%
+% Elementare Rechenregeln
+%
+\subsubsection{Elementare Rechenregeln}
+Die Funktionen $\mathstrut_pF_q$ sind nicht alle unabhängig.
+In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung}
+wird gezeigt werden, dass Ableitung und Stammfunktion einer hypergeometrischen
+Funktion durch Manipulation der Parameter $a_k$ und $b_k$ bestimmt werden
+können.
+Viel einfacher sind jedoch die folgenden, aus
+Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def}
+offensichtlichen Regeln:
+
+\begin{satz}[Permutationsregel]
+Sei $\pi$ eine beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,p$ und $\sigma$ eine
+beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,q$, dann ist 
+\[
+\mathstrut_pF_q\biggl(
+\begin{matrix}
+a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,a_q
+\end{matrix}
+;x
+\biggr)
+=
+\mathstrut_pF_q\biggl(
+\begin{matrix}
+a_{\pi(1)},\dots,a_{\pi(p)}\\b_{\sigma(1)},\dots,b_{\sigma(q)}
+\end{matrix}
+;x
+\biggr).
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Kürzungsformel]
+Stimmt einer der Koeffizienten $a_k$ mit einem der Koeffizienten $b_i$
+überein, dann können sie weggelassen werden:
+\[
+\mathstrut_{p+1}F_{q+1}\biggl(
+\begin{matrix}
+c,a_1,\dots,a_p\\
+c,b_1,\dots,b_q
+\end{matrix};
+x
+\biggr)
+=
+\mathstrut_{p}F_{q}\biggl(
+\begin{matrix}
+a_1,\dots,a_p\\
+b_1,\dots,b_q
+\end{matrix};
+x
+\biggr).
+\]
+\end{satz}
+
+%
+% Beispiele von hypergeometrischen Funktionen
+%
 \subsection{Beispiele von hypergeometrischen Funktionen
 \label{buch:rekursion:hypergeometrisch:beispiele}}
 Viele der bekannten Reihenentwicklungen häufig verwendeter Funktionen
@@ -393,6 +483,9 @@ lassen sich durch die hypergeometrischen Funktionen von
 Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} ausdrücken.
 In diesem Abschnitt werden einige Beispiel dazu gegeben.
 
+%
+% Die geometrische Reihe
+%
 \subsubsection{Die geometrische Reihe}
 In der geometrischen Reihe fehlt der Nenner $k!$, es braucht
 daher einen Term $(1)_k$ im Zähler, um den Nenner zu kompensieren.
@@ -410,6 +503,9 @@ a\sum_{k=0}^\infty
 a\cdot\mathstrut_1F_0(1,x).
 \]
 
+%
+% Die Exponentialfunktion
+%
 \subsubsection{Exponentialfunktion}
 Die Exponentialfunktion ist die Reihe
 \[
@@ -421,7 +517,10 @@ benötigt, es ist daher
 e^x = \mathstrut_0F_0(x).
 \]
 
-\subsubsection{Wurzelfunktion}
+%
+% Wurzelfunktionen
+%
+\subsubsection{Wurzelfunktionen}
 Die Wurzelfunktion $x\mapsto \sqrt{x}$ hat keine Taylor-Entwicklung
 in $x=0$, aber die Funktion $x\mapsto\sqrt{1+x}$ hat die Taylor-Reihe
 \[
@@ -510,11 +609,27 @@ Die Wurzelfunktion ist daher die hypergeometrische Funktion
 \sqrt{1\pm x}
 =
 \sum_{k=0}^\infty
-\biggl(-\frac12\biggr)_k \frac{(-x)^k}{k!}
+\biggl(-\frac12\biggr)_k \frac{(\pm x)^k}{k!}
 =
 \mathstrut_1F_0(-{\textstyle\frac12};\mp x).
 \]
+Mit der Newtonschen Binomialreihe
+\begin{align*}
+(1+x)^\alpha
+&=
+1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\dots
+\\
+&=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-\alpha)_k}{k!}x^k
+=
+\mathstrut_1F_0\biggl(\begin{matrix}-\alpha\\\text{---}\end{matrix};-x\biggr)
+\end{align*}
+kann man ganz analog jede beliebige Wurzelfunktion
+durch $\mathstrut_1F_0$ ausdrücken.
 
+%
+% Logarithmusfunktion
+%
 \subsubsection{Logarithmusfunktion}
 Für $x\in (-1,1)$ konvergiert die Taylor-Reihe
 \[
@@ -581,7 +696,9 @@ x\cdot
 \mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}1,1\\2\end{matrix};-x\biggr).
 \]
 
-
+%
+% Trigonometrische Funktionen
+%
 \subsubsection{Trigonometrische Funktionen}
 \index{trigonometrische Funktionen!als hypergeometrische Funktionen}%
 Die Kosinus-Funktion wurde bereits als hypergeometrische Funktion erkannt,
@@ -684,6 +801,9 @@ x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
 \end{equation}
 durch eine hypergeometrische Funktion ausdrücken.
 
+%
+% Hyperbolische Funktionen
+%
 \subsubsection{Hyperbolische Funktionen}
 \index{hyperbolische Funktionen!als hypergeometrische Funktionen}%
 Die für die Sinus-Funktion angewendete Methode lässt sich auch
@@ -718,6 +838,9 @@ ist diese Darstellung identisch mit der von $\sin x$.
 Dies illustriert die Rolle der hypergeometrischen Funktionen als
 ``grosse Vereinheitlichung'' der bekannten speziellen Funktionen.
 
+%
+% Tschebyscheff-Polynome
+%
 \subsubsection{Tschebyscheff-Polynome}
 \index{Tschebyscheff-Polynome}%
 Man kann zeigen, dass auch die Tschebyscheff-Polynome sich durch die
@@ -762,12 +885,38 @@ Der Grad des Polynoms ist der kleinste Betrag der negativ ganzzahligen
 Werte unter den Parametern $a_k$.
 
 %
+% Die Funktionen 0F1
+%
+\subsubsection{Die Funktionen $\mathstrut_0F_1$}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf}
+\caption{Graphen der Funktionen $\mathstrut_0F_1(;\alpha;x)$ für
+verschiedene Werte von $\alpha$.
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:0f1}}
+\end{figure}
+Die Funktionen $\mathstrut_0F_1$ sind in den Beispielen mit der
+beschränkten trigonometrischen Funktion $\sin x$ und mit der
+exponentiell unbeschränkten Funktion $\sinh x$ mit dem gleichen
+Wert des Parameters und nur einem Wechsel des Vorzeichens des
+Arguments verbunden worden.
+Die Graphen der Funktionen $\mathstrut_0F_1$, die in 
+Abbildung~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:0f1} dargestellt sind,
+machen dieses Verhalten plausibel.
+Es wird sich später zeigen, dass $\mathstrut_0F_1$ auch mit den Bessel-
+und den Airy-Funktionen verwandt sind.
+
+
+%
 % Ableitung und Stammfunktion
 %
-\subsection{Ableitung und Stammfunktion hypergeometrischer Funktionen}
+\subsection{Ableitung und Stammfunktion hypergeometrischer Funktionen
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung}}
 Sowohl Ableitung wie auch Stammfunktion einer hypergeometrischen
 Funktion lässt sich immer durch hypergeometrische Reihen ausdrücken.
-
+%
+% Ableitung
+%
 \subsubsection{Ableitung}
 Wir gehen aus von der Funktion
 \begin{equation}
@@ -909,6 +1058,9 @@ Funktion $\mathstrut_0F_1$ überein, es ist also wie erwartet}
 \end{align*}
 \end{beispiel}
 
+%
+% Stammfunktion
+%
 \subsubsection{Stammfunktion}
 Eine Stammfunktion kann man auf die gleiche Art und Weise wie
 die Ableitung finden.
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp
new file mode 100644
index 0000000..24ca3f1
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp
@@ -0,0 +1,94 @@
+/*
+ * 0f1.cpp
+ *
+ * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cstring>
+#include <cstdio>
+#include <cstdlib>
+#include <cmath>
+#include <string>
+#include <iostream>
+#include <fstream>
+
+static int	N = 100;
+static double	xmin = -50;
+static double	xmax =  30;
+static int	points = 200;
+
+double	f(double b, double x) {
+	double	s = 1;
+	double	p = 1;
+	for (int k = 1; k < N; k++) {
+		p = p * x / (k * (b + k - 1.));
+		s += p;
+	}
+	return s;
+}
+
+typedef	std::pair<double, double> point_t;
+
+point_t	F(double b, double x) {
+	return std::make_pair(x, f(b, x));
+}
+
+std::string	ff(double f) {
+	if (f > 1000) { f = 1000; }
+	if (f < -1000) { f = -1000; }
+	char	b[128];
+	snprintf(b, sizeof(b), "%.4f", f);
+	return std::string(b);
+}
+
+std::ostream&	operator<<(std::ostream& out, const point_t& p) {
+	char	b[128];
+	out << "({" << ff(p.first) << "*\\dx},{" << ff(p.second) << "*\\dy})";
+	return out;
+}
+
+void	curve(std::ostream& out, double b, const std::string& name) {
+	double	h = (xmax - xmin) / points;
+	out << "\\def\\kurve" << name << "{";
+	out << std::endl << "\t" << F(b, xmin);
+	for (int i = 1; i <= points; i++) {
+		double	x = xmin + h * i;
+		out << std::endl << "\t-- " << F(b, x);
+	}
+	out << std::endl;
+	out << "}" << std::endl;
+}
+
+int	main(int argc, char *argv[]) {
+	std::ofstream	out("0f1data.tex");
+
+	double	s = 13/(xmax-xmin);
+	out << "\\def\\dx{" << ff(s) << "}" << std::endl;
+	out << "\\def\\dy{" << ff(s) << "}" << std::endl;
+	out << "\\def\\xmin{" << ff(s * xmin) << "}" << std::endl;
+	out << "\\def\\xmax{" << ff(s * xmax) << "}" << std::endl;
+
+	curve(out, 0.5, "one");
+	curve(out, 1.5, "two");
+	curve(out, 2.5, "three");
+	curve(out, 3.5, "four");
+	curve(out, 4.5, "five");
+	curve(out, 5.5, "six");
+	curve(out, 6.5, "seven");
+	curve(out, 7.5, "eight");
+	curve(out, 8.5, "nine");
+	curve(out, 9.5, "ten");
+
+	curve(out,-0.5, "none");
+	curve(out,-1.5, "ntwo");
+	curve(out,-2.5, "nthree");
+	curve(out,-3.5, "nfour");
+	curve(out,-4.5, "nfive");
+	curve(out,-5.5, "nsix");
+	curve(out,-6.5, "nseven");
+	curve(out,-7.5, "neight");
+	curve(out,-8.5, "nnine");
+	curve(out,-9.5, "nten");
+	
+	out.close();
+	return EXIT_SUCCESS;
+}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..2c35813
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex
new file mode 100644
index 0000000..1bc8b87
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex
@@ -0,0 +1,86 @@
+%
+% 0f1.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\input{0f1data.tex}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\begin{scope}
+\clip (\xmin,-1) rectangle (\xmax,5);
+\draw[color=blue!5!red,line width=1.4pt] \kurveone;
+\draw[color=blue!16!red,line width=1.4pt] \kurvetwo;
+\draw[color=blue!26!red,line width=1.4pt] \kurvethree;
+\draw[color=blue!37!red,line width=1.4pt] \kurvefour;
+\draw[color=blue!47!red,line width=1.4pt] \kurvefive;
+\draw[color=blue!57!red,line width=1.4pt] \kurvesix;
+\draw[color=blue!68!red,line width=1.4pt] \kurveseven;
+\draw[color=blue!78!red,line width=1.4pt] \kurveeight;
+\draw[color=blue!89!red,line width=1.4pt] \kurvenine;
+\draw[color=blue!100!red,line width=1.4pt] \kurveten;
+\def\ds{0.4}
+\begin{scope}[yshift=0.5cm]
+\node[color=blue!5!red] at (\xmin,{1*\ds}) [right] {$\alpha=0.5$};
+\node[color=blue!16!red] at (\xmin,{2*\ds}) [right] {$\alpha=1.5$};
+\node[color=blue!26!red] at (\xmin,{3*\ds}) [right] {$\alpha=2.5$};
+\node[color=blue!37!red] at (\xmin,{4*\ds}) [right] {$\alpha=2.5$};
+\node[color=blue!47!red] at (\xmin,{5*\ds}) [right] {$\alpha=3.5$};
+\node[color=blue!57!red] at (\xmin,{6*\ds}) [right] {$\alpha=5.5$};
+\node[color=blue!68!red] at (\xmin,{7*\ds}) [right] {$\alpha=6.5$};
+\node[color=blue!78!red] at (\xmin,{8*\ds}) [right] {$\alpha=7.5$};
+\node[color=blue!89!red] at (\xmin,{9*\ds}) [right] {$\alpha=8.5$};
+\node[color=blue!100!red]at (\xmin,{10*\ds}) [right] {$\alpha=9.5$};
+\end{scope}
+\node at (-1.7,4.5) {$\displaystyle
+y=\mathstrut_0F_1\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\alpha\end{matrix};x\biggr)$};
+\end{scope}
+
+\draw[->] (\xmin-0.2,0) -- (\xmax+0.3,0) coordinate[label=$x$];
+\draw[->] (0,-0.5) -- (0,5.3) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\begin{scope}[yshift=-6.5cm]
+\begin{scope}
+\clip (\xmin,-5) rectangle (\xmax,5);
+
+\draw[color=darkgreen!5!red,line width=1.4pt] \kurvenone;
+\draw[color=darkgreen!16!red,line width=1.4pt] \kurventwo;
+\draw[color=darkgreen!26!red,line width=1.4pt] \kurventhree;
+\draw[color=darkgreen!37!red,line width=1.4pt] \kurvenfour;
+\draw[color=darkgreen!47!red,line width=1.4pt] \kurvenfive;
+\draw[color=darkgreen!57!red,line width=1.4pt] \kurvensix;
+\draw[color=darkgreen!68!red,line width=1.4pt] \kurvenseven;
+\draw[color=darkgreen!78!red,line width=1.4pt] \kurveneight;
+\draw[color=darkgreen!89!red,line width=1.4pt] \kurvennine;
+\draw[color=darkgreen!100!red,line width=1.4pt] \kurventen;
+\end{scope}
+
+\draw[->] (\xmin-0.2,0) -- (\xmax+0.3,0) coordinate[label=$x$];
+\draw[->] (0,-5.2) -- (0,5.3) coordinate[label={right:$y$}];
+\def\ds{-0.4}
+\begin{scope}[yshift=-0.5cm]
+\node[color=darkgreen!5!red] at (\xmax,{1*\ds}) [left] {$\alpha=-0.5$};
+\node[color=darkgreen!16!red] at (\xmax,{2*\ds}) [left] {$\alpha=-1.5$};
+\node[color=darkgreen!26!red] at (\xmax,{3*\ds}) [left] {$\alpha=-2.5$};
+\node[color=darkgreen!37!red] at (\xmax,{4*\ds}) [left] {$\alpha=-2.5$};
+\node[color=darkgreen!47!red] at (\xmax,{5*\ds}) [left] {$\alpha=-3.5$};
+\node[color=darkgreen!57!red] at (\xmax,{6*\ds}) [left] {$\alpha=-5.5$};
+\node[color=darkgreen!68!red] at (\xmax,{7*\ds}) [left] {$\alpha=-6.5$};
+\node[color=darkgreen!78!red] at (\xmax,{8*\ds}) [left] {$\alpha=-7.5$};
+\node[color=darkgreen!89!red] at (\xmax,{9*\ds}) [left] {$\alpha=-8.5$};
+\node[color=darkgreen!100!red]at (\xmax,{10*\ds}) [left] {$\alpha=-9.5$};
+\end{scope}
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
index a1884f4..54ed23b 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
@@ -3,7 +3,8 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	gammaplot.pdf fibonacci.pdf order.pdf beta.pdf loggammaplot.pdf
+all:	gammaplot.pdf fibonacci.pdf order.pdf beta.pdf loggammaplot.pdf \
+	0f1.pdf
 
 gammaplot.pdf:	gammaplot.tex gammapaths.tex
 	pdflatex gammaplot.tex
@@ -34,3 +35,12 @@ loggammaplot.pdf:	loggammaplot.tex loggammadata.tex
 
 loggammadata.tex:	loggammaplot.m
 	octave loggammaplot.m
+
+0f1:	0f1.cpp
+	g++ -O -Wall -g -o 0f1 0f1.cpp
+
+0f1data.tex:	0f1
+	./0f1
+
+0f1.pdf:	0f1.tex 0f1data.tex
+	pdflatex 0f1.tex
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf
index 8ac9eb4..a2963f2 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex
index c3c17ea..8ca4e1c 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex
@@ -19,7 +19,7 @@
 
 \def\dx{1}
 \def\dy{0.6}
-\def\xmax{7.8}
+\def\xmax{8}
 \def\xmin{-4.9}
 \def\ymax{8}
 \def\ymin{-3.1}
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex
index 537fd96..017c850 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex
@@ -12,12 +12,14 @@ die durch Spiegelung an der Geraden $\operatorname{Re}x=\frac12$
 auseinander hervorgehen, und einem speziellen Beta-Integral her.
 
 \begin{satz}
+\label{buch:funktionentheorie:satz:spiegelungsformel}
 Für $0<x<1$ gilt
 \begin{equation}
 \Gamma(x)\Gamma(1-x)
 =
 \frac{\pi}{\sin\pi x}.
 \end{equation}
+\index{Gamma-Funktion!Spiegelungsformel}%
 \end{satz}
 
 \begin{figure}