some improvements in tables

4 files changed, 26 insertions, 24 deletions

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index cc99218..27724fd 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -478,6 +478,8 @@ für letztere ebenfalls sehr schnelle numerische Algorithmen liefert
 Aufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:2}--\ref{buch:elliptisch:aufgabe:4}).
 Sie kann auch verwendet werden, um die Werte der Jacobischen elliptischen
 Funktionen für komplexe Argument zu berechnen.
+Eine weiter Anwendung ist die Berechnung einer grossen Zahl von 
+Stellen der Kreiszahl $\pi$, siehe Aufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:5}.
 
 %
 % Das arithmetisch-geometrische Mittel
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex
index 9a1cafc..dbf184a 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex
@@ -21,13 +21,17 @@ Zeigen Sie, dass $k_n\to 0$ und $k_n'\to 1$ mit quadratischer Konvergenz.
 \centering
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
-n &         k         &         k'        \\
+n &         k         &         k'%
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}%
+\\
 \hline
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}%
 0 & 0.200000000000000 & 0.979795897113271 \\
 1 & 0.010205144336438 & 0.999947926158694 \\
 2 & 0.000026037598592 & 0.999999999661022 \\
 3 & 0.000000000169489 & 1.000000000000000 \\
-4 & 0.000000000000000 & 1.000000000000000 \\
+4 & 0.000000000000000 & 1.000000000000000%
+\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\
 \hline
 \end{tabular}
 \caption{Numerisches Experiment zur Folge $(k_n,k_n')$ 
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex
index b48192d..8814090 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex
@@ -4,22 +4,6 @@ Verwenden Sie den Algorithmus von Aufgabe~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:3},
 um dies für $k=\frac12$ nachzurechnen.
 
 \begin{loesung}
-Zunächst müssen wir mit dem Algorithmus des arithmetisch-geometrischen 
-Mittels
-\[
-K(k)
-\approx
-1.685750354812596
-\qquad\text{und}\qquad
-K(k')
-\approx
-2.156515647499643
-\]
-berechnen.
-Aus $k=\frac12$ kann man jetzt die Folgen $k_n$ und $u_n$ berechnen, die innert
-$N=5$ Iterationen konvergiert.
-\end{loesung}
-
 \begin{table}
 \centering
 \renewcommand{\tabcolsep}{5pt}
@@ -44,8 +28,20 @@ $N=5$ Iterationen konvergiert.
 Konvergenz der Folge $k_n$ ist bei $N=5$ eintegreten.
 \label{buch:elliptisch:aufgabe:4:table}}
 \end{table}
-
-\begin{loesung}
+Zunächst müssen wir mit dem Algorithmus des arithmetisch-geometrischen 
+Mittels
+\[
+K(k)
+\approx
+1.685750354812596
+\qquad\text{und}\qquad
+K(k')
+\approx
+2.156515647499643
+\]
+berechnen.
+Aus $k=\frac12$ kann man jetzt die Folgen $k_n$ und $u_n$ berechnen, die innert
+$N=5$ Iterationen konvergiert.
 Sie führt auf 
 \[
 u_N 
@@ -67,7 +63,6 @@ Dazu verwenden wir die komplexe Darstellung:
 =
 3.796672364211658.
 \]
-
 Da der Wert $\operatorname{sn}(u_N,k_N) = \sin u_N$ reell ist, wird auch
 die daraus wie in Aufgabe~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:3}
 konstruierte Folge $\operatorname{sn}(u_n,k_n)$ reell sein.
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex
index 4a8c15c..fa018ca 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex
@@ -6,9 +6,9 @@ Almkvist und Berndt haben gezeigt \cite{buch:almkvist-berndt}, dass
 \[
 \pi
 =
-\frac{4 M(1,\sqrt{2}/2)^2}{
+\frac{4 M(1,\!\sqrt{2}/2)^2}{
 \displaystyle 1-\sum_{n=1}^\infty 2^{n+1}(a_n^2-b_n^2)
-}
+}.
 \]
 Verwenden Sie diese Formel, um Approximationen von $\pi$ zu berechnen.
 
@@ -27,7 +27,8 @@ n & a_n               & b_n               & \pi_n%
 2 & 0.847224902923494 & 0.847201266746892 & 3.\underline{141}680293297648 \\
 3 & 0.847213084835193 & 0.847213084752765 & 3.\underline{141592653}895451 \\
 4 & 0.847213084793979 & 0.847213084793979 & 3.\underline{141592653589}822 \\
-5 & 0.847213084793979 & 0.847213084793979 & 3.\underline{141592653589}871 \\
+5 & 0.847213084793979 & 0.847213084793979 & 3.\underline{141592653589}871%
+\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\
 \hline
 \infty &              &                   & 3.141592653589793%
 \mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\