diff options
Diffstat (limited to 'buch/chapters')
4 files changed, 26 insertions, 24 deletions
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index cc99218..27724fd 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -478,6 +478,8 @@ für letztere ebenfalls sehr schnelle numerische Algorithmen liefert Aufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:2}--\ref{buch:elliptisch:aufgabe:4}). Sie kann auch verwendet werden, um die Werte der Jacobischen elliptischen Funktionen für komplexe Argument zu berechnen. +Eine weiter Anwendung ist die Berechnung einer grossen Zahl von +Stellen der Kreiszahl $\pi$, siehe Aufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:5}. % % Das arithmetisch-geometrische Mittel diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex index 9a1cafc..dbf184a 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex @@ -21,13 +21,17 @@ Zeigen Sie, dass $k_n\to 0$ und $k_n'\to 1$ mit quadratischer Konvergenz. \centering \begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} \hline -n & k & k' \\ +n & k & k'% +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}% +\\ \hline +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}% 0 & 0.200000000000000 & 0.979795897113271 \\ 1 & 0.010205144336438 & 0.999947926158694 \\ 2 & 0.000026037598592 & 0.999999999661022 \\ 3 & 0.000000000169489 & 1.000000000000000 \\ -4 & 0.000000000000000 & 1.000000000000000 \\ +4 & 0.000000000000000 & 1.000000000000000% +\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\ \hline \end{tabular} \caption{Numerisches Experiment zur Folge $(k_n,k_n')$ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex index b48192d..8814090 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex @@ -4,22 +4,6 @@ Verwenden Sie den Algorithmus von Aufgabe~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:3}, um dies für $k=\frac12$ nachzurechnen. \begin{loesung} -Zunächst müssen wir mit dem Algorithmus des arithmetisch-geometrischen -Mittels -\[ -K(k) -\approx -1.685750354812596 -\qquad\text{und}\qquad -K(k') -\approx -2.156515647499643 -\] -berechnen. -Aus $k=\frac12$ kann man jetzt die Folgen $k_n$ und $u_n$ berechnen, die innert -$N=5$ Iterationen konvergiert. -\end{loesung} - \begin{table} \centering \renewcommand{\tabcolsep}{5pt} @@ -44,8 +28,20 @@ $N=5$ Iterationen konvergiert. Konvergenz der Folge $k_n$ ist bei $N=5$ eintegreten. \label{buch:elliptisch:aufgabe:4:table}} \end{table} - -\begin{loesung} +Zunächst müssen wir mit dem Algorithmus des arithmetisch-geometrischen +Mittels +\[ +K(k) +\approx +1.685750354812596 +\qquad\text{und}\qquad +K(k') +\approx +2.156515647499643 +\] +berechnen. +Aus $k=\frac12$ kann man jetzt die Folgen $k_n$ und $u_n$ berechnen, die innert +$N=5$ Iterationen konvergiert. Sie führt auf \[ u_N @@ -67,7 +63,6 @@ Dazu verwenden wir die komplexe Darstellung: = 3.796672364211658. \] - Da der Wert $\operatorname{sn}(u_N,k_N) = \sin u_N$ reell ist, wird auch die daraus wie in Aufgabe~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:3} konstruierte Folge $\operatorname{sn}(u_n,k_n)$ reell sein. diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex index 4a8c15c..fa018ca 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex @@ -6,9 +6,9 @@ Almkvist und Berndt haben gezeigt \cite{buch:almkvist-berndt}, dass \[ \pi = -\frac{4 M(1,\sqrt{2}/2)^2}{ +\frac{4 M(1,\!\sqrt{2}/2)^2}{ \displaystyle 1-\sum_{n=1}^\infty 2^{n+1}(a_n^2-b_n^2) -} +}. \] Verwenden Sie diese Formel, um Approximationen von $\pi$ zu berechnen. @@ -27,7 +27,8 @@ n & a_n & b_n & \pi_n% 2 & 0.847224902923494 & 0.847201266746892 & 3.\underline{141}680293297648 \\ 3 & 0.847213084835193 & 0.847213084752765 & 3.\underline{141592653}895451 \\ 4 & 0.847213084793979 & 0.847213084793979 & 3.\underline{141592653589}822 \\ -5 & 0.847213084793979 & 0.847213084793979 & 3.\underline{141592653589}871 \\ +5 & 0.847213084793979 & 0.847213084793979 & 3.\underline{141592653589}871% +\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\ \hline \infty & & & 3.141592653589793% \mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\ |