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path: root/buch/chapters
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Diffstat (limited to 'buch/chapters')
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex8
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex33
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex7
4 files changed, 26 insertions, 24 deletions
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index cc99218..27724fd 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -478,6 +478,8 @@ für letztere ebenfalls sehr schnelle numerische Algorithmen liefert
Aufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:2}--\ref{buch:elliptisch:aufgabe:4}).
Sie kann auch verwendet werden, um die Werte der Jacobischen elliptischen
Funktionen für komplexe Argument zu berechnen.
+Eine weiter Anwendung ist die Berechnung einer grossen Zahl von
+Stellen der Kreiszahl $\pi$, siehe Aufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:5}.
%
% Das arithmetisch-geometrische Mittel
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex
index 9a1cafc..dbf184a 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex
@@ -21,13 +21,17 @@ Zeigen Sie, dass $k_n\to 0$ und $k_n'\to 1$ mit quadratischer Konvergenz.
\centering
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
-n & k & k' \\
+n & k & k'%
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}%
+\\
\hline
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}%
0 & 0.200000000000000 & 0.979795897113271 \\
1 & 0.010205144336438 & 0.999947926158694 \\
2 & 0.000026037598592 & 0.999999999661022 \\
3 & 0.000000000169489 & 1.000000000000000 \\
-4 & 0.000000000000000 & 1.000000000000000 \\
+4 & 0.000000000000000 & 1.000000000000000%
+\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Numerisches Experiment zur Folge $(k_n,k_n')$
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex
index b48192d..8814090 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex
@@ -4,22 +4,6 @@ Verwenden Sie den Algorithmus von Aufgabe~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:3},
um dies für $k=\frac12$ nachzurechnen.
\begin{loesung}
-Zunächst müssen wir mit dem Algorithmus des arithmetisch-geometrischen
-Mittels
-\[
-K(k)
-\approx
-1.685750354812596
-\qquad\text{und}\qquad
-K(k')
-\approx
-2.156515647499643
-\]
-berechnen.
-Aus $k=\frac12$ kann man jetzt die Folgen $k_n$ und $u_n$ berechnen, die innert
-$N=5$ Iterationen konvergiert.
-\end{loesung}
-
\begin{table}
\centering
\renewcommand{\tabcolsep}{5pt}
@@ -44,8 +28,20 @@ $N=5$ Iterationen konvergiert.
Konvergenz der Folge $k_n$ ist bei $N=5$ eintegreten.
\label{buch:elliptisch:aufgabe:4:table}}
\end{table}
-
-\begin{loesung}
+Zunächst müssen wir mit dem Algorithmus des arithmetisch-geometrischen
+Mittels
+\[
+K(k)
+\approx
+1.685750354812596
+\qquad\text{und}\qquad
+K(k')
+\approx
+2.156515647499643
+\]
+berechnen.
+Aus $k=\frac12$ kann man jetzt die Folgen $k_n$ und $u_n$ berechnen, die innert
+$N=5$ Iterationen konvergiert.
Sie führt auf
\[
u_N
@@ -67,7 +63,6 @@ Dazu verwenden wir die komplexe Darstellung:
=
3.796672364211658.
\]
-
Da der Wert $\operatorname{sn}(u_N,k_N) = \sin u_N$ reell ist, wird auch
die daraus wie in Aufgabe~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:3}
konstruierte Folge $\operatorname{sn}(u_n,k_n)$ reell sein.
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex
index 4a8c15c..fa018ca 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex
@@ -6,9 +6,9 @@ Almkvist und Berndt haben gezeigt \cite{buch:almkvist-berndt}, dass
\[
\pi
=
-\frac{4 M(1,\sqrt{2}/2)^2}{
+\frac{4 M(1,\!\sqrt{2}/2)^2}{
\displaystyle 1-\sum_{n=1}^\infty 2^{n+1}(a_n^2-b_n^2)
-}
+}.
\]
Verwenden Sie diese Formel, um Approximationen von $\pi$ zu berechnen.
@@ -27,7 +27,8 @@ n & a_n & b_n & \pi_n%
2 & 0.847224902923494 & 0.847201266746892 & 3.\underline{141}680293297648 \\
3 & 0.847213084835193 & 0.847213084752765 & 3.\underline{141592653}895451 \\
4 & 0.847213084793979 & 0.847213084793979 & 3.\underline{141592653589}822 \\
-5 & 0.847213084793979 & 0.847213084793979 & 3.\underline{141592653589}871 \\
+5 & 0.847213084793979 & 0.847213084793979 & 3.\underline{141592653589}871%
+\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\
\hline
\infty & & & 3.141592653589793%
\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\