einarbeitung der Korrekturen

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@@ -6,6 +6,7 @@ Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der R
 Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}.
 
 \subsection{Feder-Masse-System}
+\label{kra:subsection:feder-masse-system}
 Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung~\ref{kra:fig:simple_mass_spring}.
 Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$, welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist.
 Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$.
@@ -35,6 +36,7 @@ Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingu
 \end{figure}
 
 \subsection{Hamilton-Funktion}
+\label{kra:subsection:hamilton-funktion}
 Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden.
 Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten
 $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
@@ -95,7 +97,7 @@ Die Hamilton-Funktion ist also
 \begin{align*}
     \begin{split}
         H   &= T + V \\
-            &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
+        &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
     \end{split}
 \end{align*}
 Die Bewegungsgleichungen \eqref{kra:equation:bewegungsgleichung} liefern
@@ -160,7 +162,14 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir
 \end{equation}
 
 \subsection{Phasenraum}
-Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen Systems durch einen Punkt.
+\subsubsection{Motivation}
+Die Beschreibung eines klassischen physikalischen Systems führt in der Newtonschen-Mechanik, wie wir in \ref{kra:subsection:feder-masse-system} gesehen haben, auf eine DGL 2. Ordung der Dimension $n$.
+Zur Betrachung des Systems verwenden wir dabei den Konfigurationsraum, ein Raum $\mathbb{R}^n$, bei dem ein einziger Punkt die Position aller $n$ Teilchen festlegt.
+Der Nachteil des Konfigurationsraums ist dabei, dass dieser nur die Positionen der Teilchen widerspiegelt.
+Um den Zustand eines Systems vollständig zu beschreiben, muss man aber nicht nur wissen wo sich die Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt befinden, sondern auch wie sie sich bewegen.
+
+Im Gegensatz dazu führt die Beschreibung des Systems mit Hilfe der Hamilton-Mechanik \ref{kra:subsection:hamilton-funktion}, auf eine DGL 1. Ordnung der Dimension $2n$.
+Die Betrachtung erfolgt im einem Raum $\mathbb{R}^{2n}$, bei dem ein einzelner Punkt den Bewegungszustand vollständig beschreibt, dem sogennanten Phasenraum.
 Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme.
 
 \subsubsection{Harmonischer Oszillator}
@@ -205,6 +214,7 @@ Ausgeschrieben folgt
     \dot{P} = CQ + DP
 \end{align*}
 \begin{equation}
+    \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix}
     \begin{split}
         \dt U   &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\
         &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\
@@ -213,7 +223,9 @@ Ausgeschrieben folgt
         &= C  + DU - UA - UBU
     \end{split}
 \end{equation}
-was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt.
+was uns direkt auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt.
+Wir sehen das sich die Dimension der DGL reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht.
 
-% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots?
-% @TODO Fazit ?
+\subsection{Fazit}
+Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können.
+Ausserdem haben wir gesehen, dass sich bei der Entstehung der Riccati-Gleichung \eqref{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
\ No newline at end of file
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@@ -49,8 +49,33 @@ Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen
 Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \eqref{kra:equation:riccati}.
 
 \subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
-% Lösung matrix riccati
-Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
+Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-DGL entsteht und wie sie gelöst werden kann.
+Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung
+\begin{equation}
+    \label{kra:equation:matrix-dgl}
+    \begin{pmatrix}
+        \dot{X}(t) \\
+        \dot{Y}(t)
+    \end{pmatrix}
+    =
+    \underbrace{
+        \begin{pmatrix}
+            A & B \\
+            C & D
+        \end{pmatrix}
+    }_{\displaystyle{H}},
+\end{equation}
+mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$ welche zusammen die sogennante Hamilonsche-Matrix bilden.
+Betrachten wir das Verhältniss von $Y$ zu $X$
+\[
+    P(t) = Y(t)X^{-1}
+\]
+und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-DGL
+\[
+    \dot{P}(t) = C  + DU - UA - UBU.
+\]
+
+Die Lösung erhalten wir dann mit
 \begin{equation}
     \label{kra:matrixriccati-solution}
     \begin{pmatrix}
@@ -61,7 +86,7 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt
     \Phi(t_0, t)
     \begin{pmatrix}
         I(t) \\
-        U_0(t)
+        P_0(t)
     \end{pmatrix}
     =
     \begin{pmatrix}
@@ -70,11 +95,11 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt
     \end{pmatrix}
     \begin{pmatrix}
         I(t) \\
-        U_0(t)
+        P_0(t)
     \end{pmatrix}
 \end{equation}
 \begin{equation}
-    U(t) =
+    P(t) =
     \begin{pmatrix}
         \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t)
     \end{pmatrix}
@@ -83,7 +108,4 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt
     \end{pmatrix}
     ^{-1}
 \end{equation}
-wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix ist.
-\begin{equation}
-    \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
-\end{equation}
+wobei $\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix von \eqref{kra:equation:matrix-dgl} ist \cite{kra:kalmanisae}.