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authortschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>2022-08-19 11:10:07 +0200
committertschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>2022-08-19 11:10:07 +0200
commit3dd42149bf496fe5cca749e69f839c2f6ab888a7 (patch)
tree6deb4e76ef891e22712f711515a9bad7a288de6e /buch/papers/parzyl
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-rw-r--r--buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.pngbin99330 -> 209118 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil2.tex27
2 files changed, 20 insertions, 7 deletions
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png
index 7c32877..f55e3cf 100644
--- a/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png
+++ b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index d37c650..f0b5c34 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -12,7 +12,7 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld
\centering
\begin{minipage}{.7\textwidth}
\centering
- \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf}
+ \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf}
\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
\label{parzyl:fig:leiterplatte}
\end{minipage}%
@@ -23,11 +23,12 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld
\label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
\end{minipage}
\end{figure}
-Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
+Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
+
Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
\begin{equation}
- F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
+ F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
\end{equation}
Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen
\begin{equation}
@@ -59,23 +60,31 @@ Aus dieser Bedingung folgt
0
}_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
\end{equation}
-Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
+Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
+
+
Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als
\begin{equation}
\nabla^2\phi(x,y) = 0.
\end{equation}
-Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen.
+Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen.
+
+
Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
\begin{equation}
\phi(x,y) = U(x,y).
\end{equation}
-Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld
+Orthogonal zu den Äquipotenzialfläche sind die Feldlinien des elektrische Feld
\begin{equation}
E(x,y) = V(x,y).
\end{equation}
+
+
Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete
komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden,
welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
+
+
Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
\begin{equation}
F(s)
@@ -93,6 +102,8 @@ Dies kann umgeformt werden zu
i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
.
\end{equation}
+
+
Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden,
indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
\begin{equation}
@@ -103,7 +114,9 @@ Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
\tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
\end{equation}
beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom
-kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+
+
Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
\begin{equation}
x = \sigma \tau,