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Sturmliouville/erik branch

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--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -20,21 +20,21 @@
 %  5. Base of orthonormal functions
 
 \section{Eigenschaften von Lösungen
-\label{sturmliouville:section:solution-properties}}
+\label{sturmliouville:sec:solution-properties}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
 
-Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
+Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösung eines
 Sturm-Liouville-Problems diskutiert.
-Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen
-zustande kommt, damit diese später bei den Beispielen verwendet werden kann.
+Im wesentlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen
+zustande kommt, damit diese später in den Beispielen verwendet werden kann.
 Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut
 unter welchen Voraussetzungen die Lösungen dieses Problems orthogonal sind.
 Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem
-dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion
+dieser Art ist und es wird auf au die Orthogonalität der Lösungsfunktionen
 geschlossen.
 
 \subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen
-\label{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix}}
+\label{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix}}
 
 % TODO: intro
 
@@ -44,16 +44,17 @@ Dass $A$ symmetrisch ist, bedeutet, dass
     \langle Av, w \rangle
     =
     \langle v, Aw \rangle
+    \qquad
+    v, w \in \mathbb{R}^n
 \]
-für $v, w \in \mathbb{R}^n$ erfüllt ist.
+erfüllt ist.
 
 Für reelle, symmetrische Matrizen zeigt dies auch direkt, dass die Matrix
 selbstadjungiert ist.
 Das ist wichtig, da der Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}
-für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist.
-
-Dieser sagt nun aus, dass die Matrix $A$ diagonalisierbar ist.
-In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in  \mathbb{R}^n$ des 
+für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist. Dieser sagt nun aus, dass die
+Matrix $A$ diagonalisierbar ist.
+In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in \mathbb{R}^n$ des 
 Eigenwertproblems
 \[
     A v_i
@@ -81,7 +82,7 @@ Dieser wird nun verwendet um die Differenzialgleichung
 \]
 in das Eigenwertproblem
 \begin{equation}
-    \label{sturmliouville:eigenvalue-problem}
+    \label{sturmliouville:eq:eigenvalue-problem}
     L y
     =
     \lambda y.
@@ -90,12 +91,12 @@ umzuschreiben.
 
 \subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen}
 
-Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eigenvalue-problem} näher
+Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eq:eigenvalue-problem} näher
 angeschaut.
 Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der
 Operator $L$ genauer betrachtet.
 Analog zur Matrix $A$ aus 
-Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für
 $L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
 \[
     \langle L v, w\rangle
@@ -104,13 +105,15 @@ $L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
 \]
 gilt.
 Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits
-gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems
-sicher gestellt.
-
-Um nun über den Spektralsatz auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu
-schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter \"kompakter Operator\" sein.
-Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese für $L$ gegeben und wird
-im Weiteren nicht näher diskutiert.
+gezeigt, ist dies durch die
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen} des
+Sturm-Liouville-Problems sicher gestellt.
+
+Um nun über den Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} auf die
+Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu schliessen, muss der Operator $L$ ein
+sogenannter ''kompakter Operator'' sein.
+Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese Eigenschaft für $L$
+gegeben und wird im Weiteren nicht näher diskutiert.
 
 Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die
 Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine