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author | runterer <r.unterer@gmx.ch> | 2022-05-26 20:38:30 +0200 |
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committer | runterer <r.unterer@gmx.ch> | 2022-05-26 20:38:30 +0200 |
commit | 14b48dfeb636fe25b0745a2ab617cc5d307c06e6 (patch) | |
tree | 623fee528b1452891ad150444a02c741aa0a4b26 /buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex | |
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-rw-r--r-- | buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex | 7 |
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diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex index 49fea74..db41676 100644 --- a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex +++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex @@ -2,9 +2,8 @@ \rhead{Zusammenhang mit der Gammafunktion} In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie sich die Zetafunktion durch die Gammafunktion $\Gamma(s)$ ausdrücken lässt. -Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ wird später für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht. +Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ ist nicht nur interessant, er wird später auch für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht. -%TODO ref Gamma Wir erinnern uns an die Definition der Gammafunktion in \eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis} \begin{equation*} \Gamma(s) @@ -51,12 +50,12 @@ Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhal &= \frac{1}{e^u - 1}. \end{align} -Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir %TODO formulieren als Satz +Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir den gewünschten Zusammenhang \begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final} \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} \frac{u^{s-1}}{e^u -1} - du. + du \qed \end{equation} |