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diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index 4729a93..61549e0 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -3,38 +3,58 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Definition
+\section{Herleitung%
+  % \section{Einleitung
+  % \section{Definition
   \label{laguerre:section:definition}}
-\rhead{Definition}
-Die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
+\rhead{Definition}%
+In einem ersten Schritt möchten wir die Laguerre-Polynome
+aus der Laguerre-\-Differentialgleichung herleiten.
+Zudem werden wir die Lösung auf die assoziierten Laguerre-Polynome ausweiten.
+Im Anschluss soll dann noch die Orthogonalität dieser Polynome bewiesen werden.
+
+\subsection{Assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}
+Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
 \begin{align}
 x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x)
 =
 0
 , \quad
-n \in \mathbb{N}_0
+n \in \mathbb{N}
 , \quad
 x \in \mathbb{R}
 \label{laguerre:dgl}
 .
 \end{align}
-Spannenderweise wurde die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung
+Spannenderweise wurde die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung
 zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben,
 aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt.
 Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
-Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
+
+\subsection{Potenzreihenansatz%
+\label{laguerre:subsection:potenzreihenansatz}}
+Hier wird die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
 weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann.
 Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall.
-Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
-Potenzreihenansatz.
-Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
-erscheint dieser Ansatz sinnvoll.
-Setzt man nun den Ansatz
+Wir stellen die Vermutung auf,
+dass die Lösungen orthogonale Polynome sind.
+Die Orthogonalität der Lösung werden wir im
+Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:orthogonal} beweisen.
+Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir aufgrund
+der getroffenen Vermutungen einen Potenzreihenansatz.
+Der Potenzreihenansatz ist gegeben als
+% Da wir bereits wissen, 
+% dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
+% erscheint dieser Ansatz sinnvoll. 
 \begin{align*}
 y(x)
  & =
 \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
-\\
+% \\
+.
+\end{align*}
+Für die 1. und 2. Ableitungen erhalten wir
+\begin{align*}
 y'(x)
  & =
 \sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1}
@@ -46,8 +66,16 @@ y''(x)
 \sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2}
 =
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
+.
 \end{align*}
-in die Differentialgleichung ein, erhält man
+
+\subsection{Lösen der Laguerre-Differentialgleichung}
+Setzt man nun den Potenzreihenansatz in
+\eqref{laguerre:dgl}
+%die Differentialgleichung 
+ein,
+% erhält man
+resultiert
 \begin{align*}
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k
 +
@@ -64,18 +92,21 @@ n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
 0.
 \end{align*}
 Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung
-\begin{align*}
+\begin{align}
 a_{k+1}
  & =
 \frac{k-n}{(k+1) (k + \nu + 1)} a_k
-\end{align*}
+\label{laguerre:rekursion}
+\end{align}
 ableiten.
 Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad
 $n$,
 denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$.
-Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich,
+Aus %der Rekursionsbeziehung 
+\eqref{laguerre:rekursion} ist zudem ersichtlich,
 dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann.
-Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$
+Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten
+% $a_1, a_2, a_3$
 \begin{align*}
 a_1
 =
@@ -105,8 +136,10 @@ k & >n:
   &
 a_k
   & =
-0.
+0
+.
 \end{align*}
+Die Koeffizienten wechseln also für $k \leq n$ das Vorzeichen.
 Somit erhalten wir für $\nu = 0$ die Laguerre-Polynome
 \begin{align}
 L_n(x)
@@ -114,7 +147,7 @@ L_n(x)
 \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
 \label{laguerre:polynom}
 \end{align}
-und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome
+und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die assoziierten Laguerre-Polynome
 \begin{align}
 L_n^\nu(x)
 =
@@ -132,22 +165,27 @@ Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
 \end{figure}
 
 \subsection{Analytische Fortsetzung}
-Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der
-Differentialgleichung mit der Form
+Durch die analytische Fortsetzung können wir zudem noch die zweite Lösung der
+Differentialgleichung erhalten.
+Laut \eqref{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1} hat die Lösung
+die Form
 \begin{align*}
 \Xi_n(x)
 =
-L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
+L_n(x) \log(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
 .
 \end{align*}
-Nach einigen aufwändigen Rechnungen, 
+Eine Herleitung dazu lässt sich im
+Abschnitt \ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing}
+im ersten Teil des Buches finden.
+Nach einigen aufwändigen Rechnungen,
 % die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt,
-die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden,
+die den Rahmen dieses Kapitels sprengen würden,
 erhalten wir
 \begin{align*}
 \Xi_n
 =
-L_n(x) \ln(x)
+L_n(x) \log(x)
 +
 \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k}
 (\alpha_{n-k} - \alpha_n - 2 \alpha_k)x^k
diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index 4adbe86..b007c2d 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -3,32 +3,83 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Orthogonalität
-  \label{laguerre:section:orthogonal}}
-Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} 
+\subsection{Orthogonalität%
+\label{laguerre:subsection:orthogonal}}
+\rhead{Orthogonalität}%
+Im Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:potenzreihenansatz}
 haben wir die Behauptung aufgestellt,
 dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind.
 Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern.
-Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein
-Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
-bei den Laguerre-Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe
-Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}).
-Der Beweis kann äquivalent auch über den Sturm-Liouville-Operator
+%
+Um die Orthogonalität von Funktionen zu zeigen,
+bieten sich folgende Möglichkeiten an:
+\begin{enumerate}
+\item Identifizieren der Funktion als Eigenfunktion eines Skalarproduktes
+mit einem selbstadjungierten Operator.
+Dafür muss aber zuerst bewiesen werden,
+dass der verwendete Operator selbstadjungiert ist.
+Die Theorie dazu findet sich in den
+Abschnitten~\ref{buch:orthogonal:section:orthogonale-polynome-und-dgl} und
+\ref{buch:orthogonalitaet:section:bessel}.
+\item Umformen der Differentialgleichung in die Form der
+Sturm-Liouville-Differentialgleichung,
+denn für dieses verallgemeinerte Problem
+ist die Orthogonalität bereits bewiesen.
+Die Theorie dazu findet sich im Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}.
+\end{enumerate}
+
+% \subsubsection{Plan}
+\subsubsection{Idee}
+Für den Beweis der Orthogonalität der Laguerre-Polynome möchten
+wir den zweiten Ansatz über das Sturm-Liouville-Problem verwenden.
+% Dazu müssen wir die Laguerre-Differentialgleichung~\eqref{laguerre:dgl}
+% in die Form der Sturm-Liouville-Differentialgleichung bringen.
+Allerdings möchten wir nicht die Laguerre-Differentialgleichung
+in die richtige Form bringen,
+sondern den Laguerre-Operator
 \begin{align}
-S
+\Lambda
 =
-\frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right).
-\label{laguerre:slop}
+x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
+\label{laguerre:lagop}
+.
 \end{align}
-und den Laguerre-Operator
+Da es sich beim Sturm-Liouville-Problem um ein Eigenwertproblem handelt,
+kann die Orthogonalität äquivalent über denn Sturm-Liouville-Operator
 \begin{align}
-\Lambda
+S
 =
-x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
+\frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right).
+\label{laguerre:slop}
 \end{align}
-erhalten werden,
-indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen.
-Aus der Beziehung
+bewiesen werden.
+Dazu müssen wir die Operatoren einander gleichsetzen.
+
+% Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein
+% Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
+% bei den Laguerre-Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe
+% Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}).
+% Der Beweis kann äquivalent auch über den Sturm-Liouville-Operator
+% \begin{align}
+% S
+% =
+% \frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right).
+% \label{laguerre:slop}
+% \end{align}
+% und den Laguerre-Operator
+% \begin{align}
+% \Lambda
+% =
+% x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
+% \end{align}
+% erhalten werden,
+% indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen.
+
+\subsubsection{Umformen in Sturm-Liouville-Operator}
+% Aus der Beziehung von
+Setzen wir nun 
+\eqref{laguerre:lagop} und \eqref{laguerre:slop}
+einander gleich
 \begin{align}
 S
  & =
@@ -39,48 +90,52 @@ S
  & =
 x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}
 \label{laguerre:sl-lag}
+,
 \end{align}
 lässt sich sofort erkennen, dass $q(x) = 0$.
 Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung
 \begin{align*}
 x \frac{dp}{dx}
 =
--(\nu + 1 - x) p
+(\nu + 1 - x) p
 \end{align*}
 erfüllen muss.
 Durch Separation erhalten wir dann
 \begin{align*}
 \int \frac{dp}{p}
  & =
--\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx
+\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx
 =
--\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx
+\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx
 \\
 \log p
  & =
--(\nu + 1)\log x - x + c
+(\nu + 1)\log x - x + c
 \\
 p(x)
  & =
--C x^{\nu + 1} e^{-x}
+C x^{\nu + 1} e^{-x}
 .
 \end{align*}
 Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich
 \begin{align*}
 \frac{C}{w(x)}
 \left(
-x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} +
+-x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} -
 (\nu + 1 - x) x^{\nu} e^{-x} \frac{d}{dx}
 \right)
 =
 x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}.
 \end{align*}
-Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden, dass $w(x) = x^\nu
-e^{-x}$ und $C=1$ mit $\nu > -1$.
-Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an,
-deshalb ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur geeignet für den
-Definitionsbereich $(0, \infty)$.
-Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen,
+Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden,
+dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=-1$. %mit $\nu \geq 0$.
+Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an.
+Ausserdem hat die Gewichtsfunktion $w(x)$ für negative $\nu$ einen Pol bei $x=0$,
+daher ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur für den
+Definitionsbereich $(0, \infty)$ geeignet.
+
+\subsubsection{Randbedingungen}
+Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen
 \begin{align}
 k_0 y(0) + h_0 p(0)y'(0)
  & =
@@ -93,10 +148,12 @@ k_\infty y(\infty) + h_\infty p(\infty) y'(\infty)
 \label{laguerre:sllag_randb}
 \end{align}
 mit $|k_i|^2 + |h_i|^2 \neq 0,\,\forall i \in \{0, \infty\}$, erfüllt sind.
-Am linken Rand (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randa}) kann $y(0) = 1$, $k_0 =
-0$ und $h_0 = 1$ verwendet werden,
+%
+Am linken Rand \eqref{laguerre:sllag_randa} kann $y(0) = 1$, $k_0 = 0$ und
+$h_0 = 1$ verwendet werden,
 was auch die Laguerre-Polynome ergeben haben.
-Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb})
+
+Für den rechten Rand ist die Bedingung \eqref{laguerre:sllag_randb}
 \begin{align*}
 \lim_{x \rightarrow \infty} p(x) y'(x)
  & =
@@ -105,9 +162,27 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb})
 0
 \end{align*}
 für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$.
-Damit können wir schlussfolgern: 
-Die verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind orthogonal
-bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$
-mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$.
-Die Laguerre-Polynome ($\nu=0$) sind somit orthognal im Intervall $(0, \infty)$
-mit der Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$.
+
+% Somit können wir schlussfolgern:
+\begin{satz}
+Die Laguerre-Polynome %($\nu=0$)
+\eqref{laguerre:polynom}
+% \begin{align*}
+% L_n(x)
+% =
+% \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
+% \end{align*}
+sind orthognale Polynome bezüglich des Skalarproduktes
+im Intervall~$(0, \infty)$ mit der Gewichts\-funktion~$w(x)=e^{-x}$.
+\end{satz}
+
+\begin{satz}
+Die assoziierten Laguerre-Polynome \eqref{laguerre:allg_polynom}
+% \begin{align*}
+% L_n^\nu(x)
+% =
+% \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k.
+% \end{align*}
+sind orthogonale Polynome bezüglich des Skalarproduktes 
+im Intervall~$(0, \infty)$ mit der Gewichts\-funktion~$w(x)=x^\nu e^{-x}$.
+\end{satz}
diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
index 2e5fc06..0cf17b9 100644
--- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -3,17 +3,34 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Anwendung: Berechnung der Gamma-Funktion
+\section{Anwendung: Berechnung der
+  Gamma-Funktion%
   \label{laguerre:section:quad-gamma}}
+\rhead{Approximation der Gamma-Funktion}%
 Die Gauss-Laguerre-Quadratur kann nun verwendet werden,
-um exponentiell abfallende Funktionen im Definitionsbereich $(0, \infty)$ zu
-berechnen.
-Dabei bietet sich z.B. die Gamma-Funkion hervorragend an,
+um exponentiell abfallende Funktionen im Definitionsbereich~$(0, \infty)$
+zu berechnen.
+Dabei bietet sich zum Beispiel die Gamma-Funktion hervorragend an,
 wie wir in den folgenden Abschnitten sehen werden.
 
-\subsection{Gamma-Funktion}
+Im ersten Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:gamma} möchten wir noch einmal
+die wichtigsten Eigenschaften der Gamma-Funktion betrachten,
+bevor wir dann im zweiten Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:gauss-lag-gamma}
+diese Eigenschaften nutzen werden,
+damit wir die Gauss-Laguerre-Quadratur für die Gamma-Funktion
+markant verbessern können.
+% damit wir sie dann in einem nächsten Schritt verwenden können,
+% um unsere Approximationsmethode zu verbessern
+% Im zweiten Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:gauss-lag-gamma} 
+% wenden wir dann die Gauss-Laguerre-Quadratur auf die Gamma-Funktion und
+% erweitern die Methode 
+
+\subsection{Gamma-Funktion%
+\label{laguerre:subsection:gamma}}
 Die Gamma-Funktion ist eine Erweiterung der Fakultät auf die reale und komplexe
 Zahlenmenge.
+Mehr Informationen zur Gamma-Funktion lassen sich im
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:gamma} finden.
 Die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} beschreibt die Gamma-Funktion als
 Integral der Form
 \begin{align}
@@ -22,24 +39,30 @@ Integral der Form
 \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
 ,
 \quad
-\text{wobei Realteil von $z$ grösser als $0$}
+\text{wobei } \operatorname{Re}(z) > 0
 \label{laguerre:gamma}
 .
 \end{align}
-Der Term $e^{-t}$ im Integranden und der Integrationsbereich erfüllen 
-genau die Bedingungen der Laguerre-Integration.
+Der Term $e^{-x}$ im Integranden und der Integrationsbereich erfüllen
+genau die Bedingungen der Gauss-Laguerre-Integration.
 % Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und
 % der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren.
-Weiter zu erwähnen ist, dass für die verallgemeinerte Laguerre-Integration die
-Gewichtsfunktion $t^\nu e^{-t}$ exakt dem Integranden für $\nu=z-1$ entspricht.
+Weiter zu erwähnen ist, dass für die assoziierte Gauss-Laguerre-Integration die
+Gewichtsfunktion $x^\nu e^{-x}$  exakt dem Integranden
+für $\nu = z - 1$ entspricht.
 
 \subsubsection{Funktionalgleichung}
 Die Gamma-Funktion besitzt die gleiche Rekursionsbeziehung wie die Fakultät,
 nämlich
 \begin{align}
+\Gamma(z+1)
+=
 z \Gamma(z)
+\quad
+\text{mit }
+\Gamma(1)
 =
-\Gamma(z+1)
+1
 .
 \label{laguerre:gamma_funktional}
 \end{align}
@@ -61,21 +84,65 @@ her.
 Dadurch lassen Werte der Gamma-Funktion sich für $z$ in der rechten Halbebene
 leicht in die linke Halbebene übersetzen und umgekehrt.
 
-\subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur}
+\subsection{Berechnung mittels
+Gauss-Laguerre-Quadratur%
+\label{laguerre:subsection:gauss-lag-gamma}}
 In den vorherigen Abschnitten haben wir gesehen,
-dass sich die Gamma-Funktion bestens für die Gauss-Laguerre-Quadratur eignet.
+dass sich die Gamma-Funktion bestens für die Gauss-Laguerre-Quadratur
+\begin{align*}
+\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+=
+\int_0^\infty f(x) w(x) \, dx
+\approx
+\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i
+\end{align*}
+eignet.
 Nun bieten sich uns zwei Optionen,
 diese zu berechnen:
 \begin{enumerate}
-\item Wir verwenden die verallgemeinerten Laguerre-Polynome, dann $f(x)=1$.
-\item Wir verwenden die Laguerre-Polynome, dann $f(x)=x^{z-1}$.
+\item Wir verwenden die assoziierten Laguerre-Polynome $L_n^\nu(x)$ mit
+$w(x) = x^\nu e^{-x}$, $\nu = z - 1$ und $f(x) = 1$.
+% $f(x)=1$.
+% \begin{align*}
+% \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+% =
+% \int_0^\infty f(x) w(x) \, dx
+% \quad
+% \text{mit }
+% w(x)
+% =
+% x^\nu e^{-x},
+% \nu
+% =
+% z - 1
+% \text{ und }
+% f(x) = 1
+% .
+% \end{align*}
+\item Wir verwenden die Laguerre-Polynome $L_n(x)$ mit
+$w(x) = e^{-x}$ und $f(x) = x^{z - 1}$.
+% $f(x)=x^{z-1}$
+% \begin{align*}
+% \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+% =
+% \int_0^\infty f(x) w(x) \, dx
+% \quad
+% \text{mit }
+% w(x)
+% =
+% e^{-x}
+% \text{ und }
+% f(x) = x^{z - 1}
+% .
+% \end{align*}
 \end{enumerate}
 Die erste Variante wäre optimal auf das Problem angepasst,
 allerdings müssten die Gewichte und Nullstellen für jedes $z$
 neu berechnet werden,
 da sie per Definition von $z$ abhängen.
 Dazu kommt,
-dass die Berechnung der Gewichte $A_i$ nach \cite{laguerre:Cassity1965AbcissasCA}
+dass die Berechnung der Gewichte $A_i$ nach
+\cite{laguerre:Cassity1965AbcissasCA}
 \begin{align*}
 A_i
 =
@@ -103,6 +170,18 @@ Somit entscheiden wir uns aufgrund der vorherigen Punkte,
 die zweite Variante weiterzuverfolgen.
 
 \subsubsection{Direkter Ansatz}
+%
+\begin{figure}
+\centering
+% \input{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Relativer Fehler des direkten Ansatzes
+für verschiedene reelle Werte von $z$ und Grade $n$ der
+Laguerre-Polynome}%
+\label{laguerre:fig:rel_error_simple}
+\end{figure}
+%.
 Wenden wir also die Gauss-Laguerre-Quadratur aus
 \eqref{laguerre:laguerrequadratur} auf die Gamma-Funktion
 \eqref{laguerre:gamma} an,
@@ -110,20 +189,10 @@ ergibt sich
 \begin{align}
 \Gamma(z)
 \approx
-\sum_{i=1}^n x_i^{z-1} A_i.
+\sum_{i=1}^n x_i^{z-1} A_i
 \label{laguerre:naive_lag}
+.
 \end{align}
-
-\begin{figure}
-\centering
-% \input{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pgf}
-\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf}
-%\vspace{-12pt}
-\caption{Relativer Fehler des direkten Ansatzes
-für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
-\label{laguerre:fig:rel_error_simple}
-\end{figure}
-
 Bevor wir die Gauss-Laguerre-Quadratur anwenden,
 möchten wir als ersten Schritt eine Fehlerabschätzung durchführen.
 Für den Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} wird die $2n$-te Ableitung
@@ -146,7 +215,7 @@ R_n
 ,
 \label{laguerre:gamma_err_simple}
 \end{align}
-wobei $\xi$ ein geeigneter Wert im Interval $(0, \infty)$ ist
+wobei $\xi$ ein geeigneter Wert im Intervall $(0, \infty)$ ist
 und $n$ der Grad des verwendeten Laguerre-Polynoms.
 Eine Fehlerabschätzung mit dem Fehlerterm stellt sich als unnütz heraus,
 da $R_n$ für $z < 2n - 1$ bei $\xi \rightarrow 0$ eine Singularität aufweist
@@ -154,8 +223,8 @@ und für $z > 2n - 1$ bei $\xi \rightarrow \infty$ divergiert.
 Nur für den unwahrscheinlichen Fall $ z = 2n - 1$
 wäre eine Fehlerabschätzung plausibel.
 
-Wenden wir nun also direkt die Gauss-Laguerre-Quadratur auf die Gamma-Funktion
-an.
+Wenden wir nun also direkt die Gauss-Laguerre-Quadratur
+auf die Gamma-Funktion an.
 Dazu benötigen wir die Gewichte nach
 \eqref{laguerre:quadratur_gewichte}
 und als Stützstellen die Nullstellen des Laguerre-Polynomes $L_n$.
@@ -163,18 +232,17 @@ Evaluieren wir den relativen Fehler unserer Approximation zeigt sich ein
 Bild wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple}.
 Man kann sehen,
 wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z \leq 2n$.
-Laut der Theorie der Gauss-Quadratur auch ist das zu erwarten,
+Laut der Theorie der Gauss-Quadratur ist das auch zu erwarten,
 da die Approximation via Gauss-Quadratur
-exakt ist für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$
-und hinzukommt,
-dass zudem von $z$ noch $1$ abgezogen wird im Exponenten.
+exakt ist für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$ und
+der Integrand $x^{z-1}$ wird für $z \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$
+zu einem Polynom .
+% Hinzukommt, dass zudem von $z$ noch $1$ abgezogen wird im Exponenten.
 Es ist ersichtlich,
-dass sich für den Polynomgrad $n$ ein Interval gibt,
+dass sich für den Polynomgrad $n$ ein Intervall gibt,
 in dem der relative Fehler minimal ist.
 Links steigt der relative Fehler besonders stark an,
 während er auf der rechten Seite zu konvergieren scheint.
-Um die linke Hälfte in den Griff zu bekommen,
-könnten wir die Reflektionsformel der Gamma-Funktion ausnutzen.
 
 \begin{figure}
 \centering
@@ -182,10 +250,12 @@ könnten wir die Reflektionsformel der Gamma-Funktion ausnutzen.
 \includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pdf}
 %\vspace{-12pt}
 \caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Spiegelung negativer Realwerte
-für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
+für verschiedene reelle Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
 \label{laguerre:fig:rel_error_mirror}
 \end{figure}
 
+Um die linke Hälfte in den Griff zu bekommen,
+könnten wir die Reflektionsformel der Gamma-Funktion verwenden.
 Spiegelt man nun $z$ mit negativem Realteil mittels der Reflektionsformel,
 ergibt sich ein stabilerer Fehler in der linken Hälfte,
 wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_mirror}.
@@ -203,9 +273,10 @@ das Problem in den Griff zu bekommen.
 \subsubsection{Analyse des Integranden}
 Wie wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben,
 scheint der Integrand problematisch.
-Darum möchten wir jetzt den Integranden analysieren,
-um ihn besser verstehen zu können und
-dadurch geeignete Gegenmassnahmen zu entwickeln.
+Darum möchten wir ihn jetzt analysieren,
+damit wir ihn besser verstehen können.
+Dies sollte es uns ermöglichen,
+anschliessend geeignete Gegenmassnahmen zu entwickeln.
 
 % Dieser Abschnitt soll eine grafisches Verständnis dafür schaffen,
 % wieso der Integrand so problematisch ist.
@@ -245,16 +316,17 @@ dass kleine Exponenten um $0$ genauere Resultate liefern sollten.
 In Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand_exp} fügen wir
 die Dämpfung der Gewichtsfunktion $w(x)$
 der Gauss-Laguerre-Quadratur wieder hinzu
-und erhalten so wieder den kompletten Integranden $x^{z-1} e^{-x}$
+und erhalten so wieder den kompletten Integranden $x^{z} e^{-x}$
 der Gamma-Funktion.
 Für negative $z$ ergeben sich immer noch Singularitäten,
 wenn $x \rightarrow 0$.
-Um $1$ wächst der Term $x^z$ schneller als die Dämpfung $e^{-x}$,
+Um $x = 1$ wächst der Term $x^z$ für positive $z$
+schneller als die Dämpfung $e^{-x}$,
 aber für $x \rightarrow \infty$ geht der Integrand gegen $0$.
 Das führt zu glockenförmigen Kurven,
 die für grosse Exponenten $z$ nach der Stelle $x=1$ schnell anwachsen.
 Zu grosse Exponenten $z$ sind also immer noch problematisch.
-Kleine positive $z$ scheinen nun also auch zulässig zu sein.
+Kleine positive $z$ scheinen nun aber auch zulässig zu sein.
 Damit formulieren wir die Vermutung,
 dass $a(n)$,
 welches das Intervall $[a(n), a(n) + 1]$ definiert,
@@ -263,7 +335,7 @@ grösser als $0$ und kleiner als $2n-1$ ist.
 
 \subsubsection{Ansatz mit Verschiebungsterm}
 % Mittels der Funktionalgleichung \eqref{laguerre:gamma_funktional} 
-% kann der Wert von $\Gamma(z)$ im Interval $z \in [a,a+1]$,
+% kann der Wert von $\Gamma(z)$ im Intervall $z \in [a,a+1]$,
 % in dem der relative Fehler minimal ist,
 % evaluiert werden und dann mit der Funktionalgleichung zurückverschoben werden.
 Nun stellt sich die Frage,
@@ -322,28 +394,15 @@ s(z, m) \cdot (z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z + m - 2n - 1}
 \label{laguerre:gamma_err_shifted}
 .
 \end{align}
-
+%
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics{papers/laguerre/images/targets.pdf}
 % %\vspace{-12pt}
-\caption{$a$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
+\caption{$m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
 \label{laguerre:fig:targets}
 \end{figure}
-% wobei  ist
-% mit $z^*(n) \in \mathbb{R}$ wollen wir finden,
-% in dem wir den Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} anpassen
-% und in einem nächsten Schritt minimieren.
-% Zudem nehmen wir an,
-% dass $z < z^*(n)$ ist.
-% Wir fügen einen Verschiebungsterm um $m \in \mathbb{N}$ Stellen ein,
-% daraus folgt
 %
-% Damit wir den idealen Verschiebungsterm $m^*$ finden können,
-% müssen wir mittels des Fehlerterms \eqref{laguerre:gamma_err_shifted}
-% ein Optimierungsproblem
-%
-% Das Optimierungsproblem daraus lässt sich als
 Daraus formulieren wir das Optimierungproblem
 \begin{align*}
 m^*
@@ -361,9 +420,10 @@ nur wirklich praktisch sinnvoll für kleine $n$ ist,
 können die Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ empirisch gesucht werden.
 
 Wir bestimmen nun die optimalen Verschiebungsterme empirisch
-für $n = 2,\ldots, 12$ im Intervall $z \in (0, 1)$,
-da $z$ sowieso um den Term $m$ verschoben wird,
-reicht die $m^*$ nur in diesem Intervall zu analysieren.
+für $n = 1,\ldots, 12$ im Intervall $z \in (0, 1)$,
+da $z$ sowieso mit den Term $m$ verschoben wird,
+reicht es,
+die $m^*$ nur in diesem Intervall zu analysieren.
 In Abbildung~\ref{laguerre:fig:targets} sind die empirisch bestimmten $m^*$
 abhängig von $z$ und $n$ dargestellt.
 In $n$-Richtung lässt sich eine klare lineare Abhängigkeit erkennen und
@@ -382,7 +442,7 @@ Den linearen Regressor
 =
 \alpha n + \beta
 \end{align*}
-machen wir nur abhängig von $n$
+machen wir nur abhängig von $n$,
 in dem wir den Mittelwert $\overline{m}$ von $m^*$ über $z$ berechnen.
 
 \begin{figure}
@@ -395,8 +455,8 @@ in dem wir den Mittelwert $\overline{m}$ von $m^*$ über $z$ berechnen.
 \end{figure}
 
 In Abbildung~\ref{laguerre:fig:schaetzung} sind die Resultate
-der linearen Regression aufgezeigt mit $\alpha = 1.34094$ und $\beta =
-0.854093$.
+der linearen Regression aufgezeigt mit $\alpha = 1.34154$ und $\beta =
+0.848786$.
 Die lineare Beziehung ist ganz klar ersichtlich und der Fit scheint zu genügen.
 Der optimale Verschiebungsterm kann nun mit
 \begin{align*}
@@ -413,8 +473,8 @@ gefunden werden.
 In einem ersten Schritt möchten wir analysieren,
 wie gut die Abschätzung des optimalen Verschiebungsterms ist.
 Dazu bestimmen wir den relativen Fehler für verschiedene Verschiebungsterme $m$
-rund um $m^*$ bei gegebenem Polynomgrad $n = 8$ für $z \in (0, 1)$.
-Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_shifted} sind die relativen Fehler
+in der Nähe von $m^*$ bei gegebenem Polynomgrad $n = 8$ für $z \in (0, 1)$.
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_shifted} sind die relativen Fehler
 der Approximation dargestellt.
 Man kann deutlich sehen,
 dass der relative Fehler anwächst,
@@ -428,7 +488,7 @@ dann beim Übergang auf die orange Linie wechselt.
 \includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pdf}
 %\vspace{-12pt}
 \caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Verschiebungsterm
-für verschiedene reele Werte von $z$ und Verschiebungsterme $m$.
+für verschiedene reelle Werte von $z$ und Verschiebungsterme $m$.
 Das verwendete Laguerre-Polynom besitzt den Grad $n = 8$.
 $m^*$ bezeichnet hier den optimalen Verschiebungsterm.}
 \label{laguerre:fig:rel_error_shifted}
@@ -467,7 +527,7 @@ Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_range}.
 \includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_range.pdf}
 %\vspace{-12pt}
 \caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit optimalen Verschiebungsterm
-für verschiedene reele Werte von $z$ und Laguerre-Polynome vom Grad $n$}
+für verschiedene reelle Werte von $z$ und Laguerre-Polynome vom Grad $n$}
 \label{laguerre:fig:rel_error_range}
 \end{figure}
 
@@ -512,21 +572,36 @@ H_k(z)
 \frac{(-1)^k (-z)_k}{(z+1)_k}
 \end{align*}
 mit $H_0 = 1$ und $\sum_0^n g_k = 1$ (siehe \cite{laguerre:lanczos}).
-Diese Methode wurde zum Beispiel in 
-{\em GNU Scientific Library}, {\em Boost}, {\em CPython} und 
+Diese Methode wurde zum Beispiel in
+{\em GNU Scientific Library}, {\em Boost}, {\em CPython} und
 {\em musl} implementiert.
-Diese Methode erreicht für $n = 7$ typischerweise Genauigkeit von $13$
-korrekten, signifikanten Stellen für reele Argumente.
-Zum Vergleich: die vorgestellte Methode erreicht für $n = 7$ 
-eine minimale Genauigkeit von $6$ korrekten, signifikanten Stellen 
-für reele Argumente.
-Das Resultat ist etwas enttäuschend,
-aber nicht unerwartet,
-da die Lanczos-Methode spezifisch auf dieses Problem zugeschnitten ist und 
+Diese Methode erreicht für $n = 7$ typischerweise eine Genauigkeit von $13$
+korrekten, signifikanten Stellen für reelle Argumente.
+Zum Vergleich: die vorgestellte Methode erreicht für $n = 7$
+eine minimale Genauigkeit von $6$ korrekten, signifikanten Stellen
+für reelle Argumente.
+
+\subsubsection{Fazit}
+% Das Resultat ist etwas enttäuschend,
+Die Genauigkeit der vorgestellten Methode schneidet somit schlechter ab
+als die Lanczos-Methode.
+Dieser Erkenntnis kommt nicht ganz unerwartet,
+% aber nicht unerwartet,
+da die Lanczos-Methode spezifisch auf dieses Problem zugeschnitten ist und
 unsere Methode eine erweiterte allgemeine Methode ist.
-Was die Komplexität der Berechnungen im Betrieb angeht,
-ist die Gauss-Laguerre-Quadratur wesentlich ressourcensparender,
-weil sie nur aus $n$ Funktionsevaluationen, 
-wenigen Multiplikationen und Additionen besteht.
+Allerdings besticht die vorgestellte Methode
+durch ihre stark reduzierte Komplexität. % und Rechenaufwand.
+% Was die Komplexität der Berechnungen im Betrieb angeht,
+% ist die Gauss-Laguerre-Quadratur wesentlich ressourcensparender,
+% weil sie nur aus $n$ Funktionsevaluationen,
+% wenigen Multiplikationen und Additionen besteht.
+Was den Rechenaufwand angeht,
+benötigt die vorgestellte Methode,
+für eine Genauigkeit von $n-1$ signifikanten Stellen,
+nur $n$ Funktionsevaluationen
+und wenige zusätzliche Multiplikationen und Additionen.
 Demzufolge könnte diese Methode Anwendung in Systemen mit wenig Rechenleistung
-und/oder knappen Energieressourcen finden.
-\ No newline at end of file
+und/oder knappen Energieressourcen finden.
+Die vorgestellte Methode ist ein weiteres Beispiel dafür,
+wie Verfahren durch die Kenntnis der Eigenschaften einer Funktion
+verbessert werden können.
+\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/images/estimates.pdf b/buch/papers/laguerre/images/estimates.pdf
index bd995de..fe48f47 100644
--- a/buch/papers/laguerre/images/estimates.pdf
+++ b/buch/papers/laguerre/images/estimates.pdf
diff --git a/buch/papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf b/buch/papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf
index 21278f5..f31d81d 100644
--- a/buch/papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf
+++ b/buch/papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf
diff --git a/buch/papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf
index 3212e42..0072d28 100644
--- a/buch/papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf
+++ b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf
diff --git a/buch/papers/laguerre/images/targets.pdf b/buch/papers/laguerre/images/targets.pdf
index 9514a6d..dc61c88 100644
--- a/buch/papers/laguerre/images/targets.pdf
+++ b/buch/papers/laguerre/images/targets.pdf
diff --git a/buch/papers/laguerre/main.tex b/buch/papers/laguerre/main.tex
index 57a6560..133d686 100644
--- a/buch/papers/laguerre/main.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/main.tex
@@ -8,24 +8,27 @@
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Patrik Müller}
 
-{\parindent0pt Die} Laguerre\--Polynome, 
-benannt nach Edmond Laguerre (1834 - 1886),
-sind Lösungen der ebenfalls nach Laguerre benannten Differentialgleichung.
-Laguerre entdeckte diese Polynome, als er Approximations\-methoden 
-für das Integral 
+{\parindent0pt Die} Laguerre\--Polynome,
+benannt nach Edmond Laguerre (1834 -- 1886),
+sind Lösungen der ebenfalls nach %Laguerre 
+ihm
+benannten Differentialgleichung.
+Laguerre entdeckte diese Polynome, als er Approximations\-methoden
+für das Integral
 % $\int_0^\infty \exp(-x) / x \, dx $ 
 \begin{align*}
 \int_0^\infty \frac{e^{-x}}{x} \, dx
 \end{align*}
 suchte.
-Darum möchten wir uns in diesem Kapitel, 
+Darum möchten wir uns in diesem Kapitel,
 ganz im Sinne des Entdeckers,
-den Laguerre-Polynomen für Approximationen von Integralen mit 
-exponentiell-abfallenden Funktionen widmen.
+den Laguerre-Polynomen für Approximationen von Integralen mit
+exponentiell abfallenden Funktionen widmen.
 Namentlich werden wir versuchen, mittels Laguerre-Polynomen und
-der Gauss-Quadratur eine geeignete Approximation für die Gamma-Funktion zu finden.
+der Gauss-Quadratur eine geeignete Approximation für die Gamma-Funktion zu
+finden.
 
-Laguerre-Polynome tauchen zudem auch in der Quantenmechanik im radialen Anteil 
+Laguerre-Polynome tauchen zudem auch in der Quantenmechanik im radialen Anteil
 der Lösung für die Schrödinger-Gleichung eines Wasserstoffatoms auf.
 
 \input{papers/laguerre/definition}
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.pdf b/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.pdf
deleted file mode 100644
index 3d00de3..0000000
--- a/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.pdf
+++ /dev/null
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
index ecd02ab..b5e1131 100644
--- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
@@ -51,7 +51,7 @@ R_n(\xi)
 % \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
 % \resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
 \includegraphics[width=0.77\textwidth]{../images/rel_error_simple.pdf}
-\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reele Werte
+\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reelle Werte
 von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
 \end{figure}
 
@@ -163,7 +163,7 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat}
 \alpha n + \beta
 \\
 &\approx
-1.34093 n + 0.854093
+1.34154 n + 0.848786
 \\
 m^*
 &=
diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index a494362..0e32012 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -3,20 +3,21 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Gauss-Quadratur
+\section{Gauss-Quadratur%
   \label{laguerre:section:quadratur}}
+\rhead{Gauss-Quadratur}%
 Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren,
 welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen verwendet.
-Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im 
+Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im
 Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} gefunden werden.
 Als grundlegende Idee wird die Beobachtung,
 dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen,
 verwendet.
 Stellt man also sicher,
-dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert, 
+dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert,
 sollte es auch für andere Funktionen angemessene Resultate liefern.
-Es wird ein Polynom verwendet, 
-welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$ 
+Es wird ein Interpolationspolynom verwendet,
+welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$
 die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt.
 Als Resultat kann das Integral via einer gewichteten Summe der Form
 \begin{align}
@@ -29,25 +30,35 @@ berechnet werden.
 Die Gauss-Quadratur ist exakt für Polynome mit Grad $2n -1$,
 wenn ein Interpolationspolynom von Grad $n$ gewählt wurde.
 
-\subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur
+\subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur%
 \label{laguerre:subsection:gausslag-quadratur}}
 Wir möchten nun die Gauss-Quadratur auf die Berechnung
 von uneigentlichen Integralen erweitern,
-spezifisch auf das Interval $(0, \infty)$.
+spezifisch auf das Intervall~$(0, \infty)$.
 Mit dem vorher beschriebenen Verfahren ist dies nicht direkt möglich.
-Mit einer Transformation die das unendliche Intervall $(a, \infty)$ mit
-\begin{align*}
-x
-=
-a + \frac{1 - t}{t}
-\end{align*}
-auf das Intervall $[0, 1]$ transformiert,
-kann dies behoben werden.
-Für unseren Fall gilt $a = 0$.
+% Mit einer Transformation
+% \begin{align*}
+% x
+% =
+% % a + 
+% \frac{1 - t}{t}
+% \end{align*}
+% die das unendliche Intervall~$(0, \infty)$ 
+% auf das Intervall~$[0, 1]$ transformiert,
+% kann dies behoben werden.
+% % Für unseren Fall gilt $a = 0$.
 Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent.
-Darum müssen wir das Polynom mit einer Funktion multiplizieren,
-die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht,
-damit das Integral immer noch konvergiert.
+Es ist also nötig,
+den Integranden durch Funktionen zu approximieren,
+die genügend schnell gegen $0$ gehen.
+Man kann Polynome beliebigen Grades verwenden,
+wenn sie mit einer Funktion multipliziert werden,
+die schneller gegen $0$ geht als jedes Polynom.
+Damit stellen wir sicher,
+dass das Integral immer noch konvergiert.
+% Darum müssen wir das Polynom mit einer Funktion multiplizieren,
+% die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht,
+% damit das Integral immer noch konvergiert.
 Die Laguerre-Polynome $L_n$ schaffen hier Abhilfe,
 da ihre Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ schneller
 gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom.
@@ -55,20 +66,33 @@ gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom.
 % $L_n$ ausweiten.
 % Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich
 % der Gewichtsfunktion $e^{-x}$.
-Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich wie folgt
-umformulieren:
+Um also das Integral einer Funktion $g(x)$ im Intervall~$(0,\infty)$ zu
+berechen,
+formt man das Integral wie folgt um:
+\begin{align*}
+\int_0^\infty g(x) \, dx
+=
+\int_0^\infty f(x) e^{-x} \, dx
+\end{align*}
+Wir approximieren dann $f(x)$ durch ein Interpolationspolynom
+wie bei der Gauss-Quadratur.
+% Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich daher wie folgt
+% umformulieren:
+Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} wird also
+für die Gauss-Laguerre-Quadratur zu
 \begin{align}
 \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx
 \approx
 \sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i
 \label{laguerre:laguerrequadratur}
+.
 \end{align}
 
 \subsubsection{Stützstellen und Gewichte}
 Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen
-des verwendeten Polynoms genommen werden.
-Für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und
-als Gewichte $A_i$ die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden.
+des Approximationspolynoms genommen werden.
+Für das Laguerre-Polynom $L_n(x)$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und
+als Gewichte $A_i$ die Integrale von $l_i(x) e^{-x}$ verwendet werden.
 Dabei sind
 \begin{align*}
 l_i(x_j)
@@ -76,12 +100,12 @@ l_i(x_j)
 \delta_{ij}
 =
 \begin{cases}
-1 & i=j      \\
+1 & i=j          \\
 0 & \text{sonst}
 \end{cases}
 % .
 \end{align*}
-die Lagrangschen Interpolationspolynome.
+die Lagrangeschen Interpolationspolynome.
 Laut \cite{laguerre:hildebrand2013introduction} können die Gewichte mit
 \begin{align*}
 A_i
@@ -97,8 +121,11 @@ des orthogonalen Polynoms $\phi_n(x)$, $\forall i =0,\ldots,n$ und
 \int_0^\infty w(x) \phi_n^2(x)\,dx
 \end{align*}
 dem Normalisierungsfaktor.
+
 Wir setzen nun $\phi_n(x) = L_n(x)$ und
-nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten aus,
+nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten
+(ersichtlich am Term $(-1)^k$ in \eqref{laguerre:polynom})
+aus,
 damit erhalten wir
 \begin{align*}
 A_i
@@ -122,39 +149,41 @@ Für Laguerre-Polynome gilt
 Daraus folgt
 \begin{align}
 A_i
-&=
+ & =
 - \frac{1}{n L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)}
-.
 \label{laguerre:gewichte_lag_temp}
+.
 \end{align}
 Nun kann die Rekursionseigenschaft der Laguerre-Polynome
+\cite{laguerre:hildebrand2013introduction}
+% (siehe \cite{laguerre:hildebrand2013introduction})
 \begin{align*}
-x L'_n(x) 
-&= 
+x L'_n(x)
+ & =
 n L_n(x) - n L_{n-1}(x)
 \\
-&= (x - n - 1) L_n(x) + (n + 1) L_{n+1}(x)
+ & = (x - n - 1) L_n(x) + (n + 1) L_{n+1}(x)
 \end{align*}
 umgeformt werden und da $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$ sind,
-vereinfacht sich der Term zu
+vereinfacht sich die Gleichung zu
 \begin{align*}
 x_i L'_n(x_i)
-&=
-- n L_{n-1}(x_i) 
+ & =
+- n L_{n-1}(x_i)
 \\
-&=
- (n + 1) L_{n+1}(x_i)
+ & =
+(n + 1) L_{n+1}(x_i)
 .
 \end{align*}
-Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein,
+Setzen wir diese Beziehung nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein,
 ergibt sich
 \begin{align}
 \nonumber
 A_i
-&=
+ & =
 \frac{1}{x_i \left[ L'_n(x_i) \right]^2}
 \\
-&=
+ & =
 \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
 .
 \label{laguerre:quadratur_gewichte}
diff --git a/buch/papers/laguerre/references.bib b/buch/papers/laguerre/references.bib
index d21009b..1a4a903 100644
--- a/buch/papers/laguerre/references.bib
+++ b/buch/papers/laguerre/references.bib
@@ -10,15 +10,13 @@
   series={Dover Books on Mathematics},
   year={2013},
   publisher={Dover Publications},
-  pages = {389}
+  pages = {389-392}
 }
 
 @book{laguerre:abramowitz+stegun,
   added-at = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
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index 21551f3..1acd7f7 100644
--- a/buch/papers/laguerre/scripts/estimates.py
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/estimates.py
@@ -15,7 +15,7 @@ if __name__ == "__main__":
     )
     
     N = 200
-    ns = np.arange(2, 13)
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index 9700ab4..05db5d3 100644
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@@ -46,7 +46,7 @@ if __name__ == "__main__":
     ax.set_yticks(get_ticks(-ylim, ylim), minor=True)
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     ax.set_ylim(-ylim, ylim)
-    ax.set_ylabel(r"$y$", y=0.95, labelpad=-18, rotation=0, fontsize="large")
+    ax.set_ylabel(r"$y$", y=0.95, labelpad=-14, rotation=0, fontsize="large")
 
     ax.legend(ncol=2, loc=(0.125, 0.01), fontsize="large")
 
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_simple.py b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_simple.py
index 686500b..e1ea36a 100644
--- a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_simple.py
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_simple.py
@@ -18,7 +18,7 @@ if __name__ == "__main__":
 
     # Simple / naive
     xmin = -5
-    xmax = 30
+    xmax = 25
     ns = np.arange(2, 12, 2)
     ylim = np.array([-11, 6])
     x = np.linspace(xmin + ga.EPSILON, xmax - ga.EPSILON, 400)
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/targets.py b/buch/papers/laguerre/scripts/targets.py
index 3bc7f52..69f94ba 100644
--- a/buch/papers/laguerre/scripts/targets.py
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/targets.py
@@ -38,7 +38,7 @@ if __name__ == "__main__":
     )
     
     N = 200
-    ns = np.arange(2, 13)
+    ns = np.arange(1, 13)
     
     bests = find_best_loc(N, ns=ns)