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authorNao Pross <naopross@thearcway.org>2020-06-02 17:30:26 +0200
committerNao Pross <naopross@thearcway.org>2020-06-02 17:30:26 +0200
commit3afe93cfe1e110a4c3dc01f50075fd0f673862e0 (patch)
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KomFour-3afe93cfe1e110a4c3dc01f50075fd0f673862e0.zip
Write some more theorems for complex numbers
-rw-r--r--komfour_zf.tex127
1 files changed, 104 insertions, 23 deletions
diff --git a/komfour_zf.tex b/komfour_zf.tex
index b9ed253..13d46e6 100644
--- a/komfour_zf.tex
+++ b/komfour_zf.tex
@@ -20,9 +20,9 @@
\usepackage{amsthm}
%% Layout
-\usepackage{multicol}
\usepackage{enumitem}
+
%% License configuration
\usepackage[
type={CC},
@@ -51,6 +51,7 @@
\newcommand\defeq{\overset{\mathrm{def.}}{=}}
%% number sets
+\newcommand\Nset{\mathbb{N}}
\newcommand\Rset{\mathbb{R}}
\newcommand\Cset{\mathbb{C}}
@@ -59,17 +60,34 @@
\newcommand\cjsl[1]{\cos #1 + j\sin #1}
\newcommand\ej[1]{e^{j#1}}
-\newcommand\conj[1]{\overline{j #1}}
-\renewcommand\Re{Re}
-\renewcommand\Im{Im}
+\newcommand\conj[1]{\overline{#1}}
+\newcommand\len[1]{\lvert#1\rvert}
+
+\renewcommand\Re{\operatorname{Re}}
+\renewcommand\Im{\operatorname{Im}}
%% Theorems
+\newtheoremstyle{komfourzf} % name of the style to be used
+ {\topsep}
+ {\topsep}
+ {}
+ {0pt}
+ {\bfseries}
+ {.}
+ { }
+ { }
+
+\theoremstyle{komfourzf}
\newtheorem{theorem}{Satz}
+
\setlist[description]{%
align=right, labelwidth=2cm, leftmargin=!, %
format={\normalfont\slshape}}
+\setlist[itemize]{%
+ align=right, labelwidth=5mm, leftmargin=!}
+
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Document
@@ -79,37 +97,100 @@
\tableofcontents
\section{Komplexe Zahlen}
+
\begin{theorem}[Komplexe Einheit]
\(
j \defeq +\sqrt{-1} \iff j^2 = -1
\)
\end{theorem}
-\begin{theorem}[Multiplikation] \(a, b \in \Cset\) \(\arg a = \phi, \arg b = \theta\)
-\begin{description}
- \item[Kartesich] \(a \odot b = (a_1 b_1 - a_2 b_2) + j (a_1 b_2 + a_2 b_1)\)
- \item[Polar] \(a\odot b &= |a|\cdot|b|\exp{j(\phi + \theta)}\)
-\end{description}
+
+\begin{theorem}[Summe] Seien \(a, b \in \Cset\),
+ \(a = a_1 + ja_2, a_1,a_2 \in \Rset\) und \"ahnlich f\"ur \(b\)
+\[
+ a \oplus b = (a_1 + b_1) + j (a_2 + b_2)
+\]
\end{theorem}
-\begin{theorem}[Division] \(a, b \in \Cset\) \(\arg a = \phi, \arg b = \theta\)
-\begin{description}
- \item[Kartesich]
- \item[Polar] \(a / b &= |a|/|b|\exp{j(\phi - \theta)}\)
-\end{description}
+
+\begin{theorem}[Multiplikation] Seien \(a, b \in \Cset\)
+ \(\arg a = \phi, \arg b = \theta\)
+ \begin{description}
+ \item[Kartesich] \(a \odot b = (a_1 b_1 - a_2 b_2) + j (a_1 b_2 + a_2 b_1)\)
+ \item[Polar] \(a\odot b = |a|\cdot|b|\exp{j(\phi + \theta)}\)
+ \end{description}
\end{theorem}
+\begin{theorem}[Division] Seien \(a, b \in \Cset\)
+ mit \(\arg a = \phi, \arg b = \theta\),
+ dann \(a / b = |a|/|b|\exp{j(\phi - \theta)}\)
+\end{theorem}
-\subsection{Algebra}
-Seien \(a, b \in \Cset\) und \(a = a_1 + ja_2, a_1,a_2 \in \Rset\) und \"ahnlich f\"ur \(b\)
-\begin{align*}
- a \oplus b &= (a_1 + b_1) + j (a_2 + b_2) \\
-\end{align*}
+\begin{theorem}[Potenzen]~
+ \begin{itemize}
+ \item F\"ur \(n \in \Nset\) gilt
+ \(\cjs(x)^n = \cjs(nx) \iff \left(\ej{x}\right)^n = \ej{nx}\)
+ \item
+ \end{itemize}
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[Wurzeln] Sei \(\Cset \ni z = r\ej{\phi}\).
+ \(z\) hat genau \(n\) verschiedene \(n\)-te Wurzeln
+ (\(n \in \Nset\))
+ \[
+ w_{k+1} = \sqrt[n]{r}\exp \frac{j(\phi + 2k\pi)}{n}
+ \qquad k = 0,1,\ldots,n-1
+ \]
+ Beachtung! Allgemein \(a,b \in \Cset: \sqrt[n]{ab} \neq \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\)
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[Polynome in \(\Cset\)]~ %
+ \begin{itemize}
+ \item Jedes komplexe Polynom vom Grad \(\geq 1\) hat mindestens eine Nullstelle.
+
+ \item Ein komplexes Polynom \(p(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0\) vom
+ Grad \(n\) zerf\"allt in \(\Cset\) in lauter lineare Faktoren, wobei \(z_k
+ \in \Cset\) als Nullstellen von \(p(z)\) nicht unbedingt verschieden sein
+ m\"ussen.
+
+ \item Ein komplexes Polynom \(p(z)\) vom Grad \(n\) hat in \(\Cset\) genau
+ \(n\) (verschiedene) Nullstellen, wenn diese mit ihrer Vielfachheit
+ gez\"ahlt werden.
+ \end{itemize}
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[Polynome mit reellen Koeffizienten]~ %
+ \begin{itemize}
+ \item F\"ur Polynome mit reellen Koeffizienten \(p(z)\) treten nicht-reelle
+ Nullstellen nur als \emph{konjugiert-komplexe} Paare \(w, \conj{w}\).
+ In der komplexen Linearfaktor-Zerlegung von \(p(z)\) k\"onnen dan wei
+ Faktoren \((z-z_0)\) und \((z-\conj{z_0})\) jeweils zu einem
+ quadratischen Faktor \[
+ z^2 - 2 \Re(z_0) z + \len{z}^2
+ \] mit \emph{reellen} Koeffizienten zusammengefasst werden.
+
+ \item Ein Polynom mit reellen Koeffizienten von \emph{ungeraden} Grad hat
+ mindestens eine \emph{reelle} Nullstelle.
+
+ \item Alle Nullstellen des Polynoms \(p(z) = a_n z^n + \cdot + a_1 z + a_0\)
+ liegen in der Gauss'schen Zahlenebene in einer Kreisscheibe um der
+ Ursprung mit Radius \[
+ R = \sum_{k=0}^n \left\lvert\frac{a_k}{a_n}\right\rvert
+ \]
+
+ %% TODO: kubische Gleichung
+
+ \item F\"ur allgemeine Gleichungen vom Grad 5 und gr\"osser existieren
+ prinzipiell \emph{keine} nur aus den 4 Grundoperationen und Wurzeln
+ zusammengesetzten L\"osungsformeln.
+ \end{itemize}
+\end{theorem}
-\subsection{Neue Operationen}
-\subsection{Graphische Darstellung}
-\subsubsection{Ebene Geometrie}
+\section{Komplexwertige Funktionen}
+\section{Fourierreihen}
+\section{Spektren}
+\section{Diskrete Fouriertransformation}
\section{Lizenz}
\doclicenseThis
\end{document}
-% vim: set et ts=2 sw=2 spelllang=de spell wrap linebreak :
+% vim: set et ts=2 sw=2 spelllang=de spell linebreak :