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diff --git a/komfour_zf.tex b/komfour_zf.tex index b9ed253..13d46e6 100644 --- a/komfour_zf.tex +++ b/komfour_zf.tex @@ -20,9 +20,9 @@ \usepackage{amsthm} %% Layout -\usepackage{multicol} \usepackage{enumitem} + %% License configuration \usepackage[ type={CC}, @@ -51,6 +51,7 @@ \newcommand\defeq{\overset{\mathrm{def.}}{=}} %% number sets +\newcommand\Nset{\mathbb{N}} \newcommand\Rset{\mathbb{R}} \newcommand\Cset{\mathbb{C}} @@ -59,17 +60,34 @@ \newcommand\cjsl[1]{\cos #1 + j\sin #1} \newcommand\ej[1]{e^{j#1}} -\newcommand\conj[1]{\overline{j #1}} -\renewcommand\Re{Re} -\renewcommand\Im{Im} +\newcommand\conj[1]{\overline{#1}} +\newcommand\len[1]{\lvert#1\rvert} + +\renewcommand\Re{\operatorname{Re}} +\renewcommand\Im{\operatorname{Im}} %% Theorems +\newtheoremstyle{komfourzf} % name of the style to be used + {\topsep} + {\topsep} + {} + {0pt} + {\bfseries} + {.} + { } + { } + +\theoremstyle{komfourzf} \newtheorem{theorem}{Satz} + \setlist[description]{% align=right, labelwidth=2cm, leftmargin=!, % format={\normalfont\slshape}} +\setlist[itemize]{% + align=right, labelwidth=5mm, leftmargin=!} + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Document @@ -79,37 +97,100 @@ \tableofcontents \section{Komplexe Zahlen} + \begin{theorem}[Komplexe Einheit] \( j \defeq +\sqrt{-1} \iff j^2 = -1 \) \end{theorem} -\begin{theorem}[Multiplikation] \(a, b \in \Cset\) \(\arg a = \phi, \arg b = \theta\) -\begin{description} - \item[Kartesich] \(a \odot b = (a_1 b_1 - a_2 b_2) + j (a_1 b_2 + a_2 b_1)\) - \item[Polar] \(a\odot b &= |a|\cdot|b|\exp{j(\phi + \theta)}\) -\end{description} + +\begin{theorem}[Summe] Seien \(a, b \in \Cset\), + \(a = a_1 + ja_2, a_1,a_2 \in \Rset\) und \"ahnlich f\"ur \(b\) +\[ + a \oplus b = (a_1 + b_1) + j (a_2 + b_2) +\] \end{theorem} -\begin{theorem}[Division] \(a, b \in \Cset\) \(\arg a = \phi, \arg b = \theta\) -\begin{description} - \item[Kartesich] - \item[Polar] \(a / b &= |a|/|b|\exp{j(\phi - \theta)}\) -\end{description} + +\begin{theorem}[Multiplikation] Seien \(a, b \in \Cset\) + \(\arg a = \phi, \arg b = \theta\) + \begin{description} + \item[Kartesich] \(a \odot b = (a_1 b_1 - a_2 b_2) + j (a_1 b_2 + a_2 b_1)\) + \item[Polar] \(a\odot b = |a|\cdot|b|\exp{j(\phi + \theta)}\) + \end{description} \end{theorem} +\begin{theorem}[Division] Seien \(a, b \in \Cset\) + mit \(\arg a = \phi, \arg b = \theta\), + dann \(a / b = |a|/|b|\exp{j(\phi - \theta)}\) +\end{theorem} -\subsection{Algebra} -Seien \(a, b \in \Cset\) und \(a = a_1 + ja_2, a_1,a_2 \in \Rset\) und \"ahnlich f\"ur \(b\) -\begin{align*} - a \oplus b &= (a_1 + b_1) + j (a_2 + b_2) \\ -\end{align*} +\begin{theorem}[Potenzen]~ + \begin{itemize} + \item F\"ur \(n \in \Nset\) gilt + \(\cjs(x)^n = \cjs(nx) \iff \left(\ej{x}\right)^n = \ej{nx}\) + \item + \end{itemize} +\end{theorem} + +\begin{theorem}[Wurzeln] Sei \(\Cset \ni z = r\ej{\phi}\). + \(z\) hat genau \(n\) verschiedene \(n\)-te Wurzeln + (\(n \in \Nset\)) + \[ + w_{k+1} = \sqrt[n]{r}\exp \frac{j(\phi + 2k\pi)}{n} + \qquad k = 0,1,\ldots,n-1 + \] + Beachtung! Allgemein \(a,b \in \Cset: \sqrt[n]{ab} \neq \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\) +\end{theorem} + +\begin{theorem}[Polynome in \(\Cset\)]~ % + \begin{itemize} + \item Jedes komplexe Polynom vom Grad \(\geq 1\) hat mindestens eine Nullstelle. + + \item Ein komplexes Polynom \(p(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0\) vom + Grad \(n\) zerf\"allt in \(\Cset\) in lauter lineare Faktoren, wobei \(z_k + \in \Cset\) als Nullstellen von \(p(z)\) nicht unbedingt verschieden sein + m\"ussen. + + \item Ein komplexes Polynom \(p(z)\) vom Grad \(n\) hat in \(\Cset\) genau + \(n\) (verschiedene) Nullstellen, wenn diese mit ihrer Vielfachheit + gez\"ahlt werden. + \end{itemize} +\end{theorem} + +\begin{theorem}[Polynome mit reellen Koeffizienten]~ % + \begin{itemize} + \item F\"ur Polynome mit reellen Koeffizienten \(p(z)\) treten nicht-reelle + Nullstellen nur als \emph{konjugiert-komplexe} Paare \(w, \conj{w}\). + In der komplexen Linearfaktor-Zerlegung von \(p(z)\) k\"onnen dan wei + Faktoren \((z-z_0)\) und \((z-\conj{z_0})\) jeweils zu einem + quadratischen Faktor \[ + z^2 - 2 \Re(z_0) z + \len{z}^2 + \] mit \emph{reellen} Koeffizienten zusammengefasst werden. + + \item Ein Polynom mit reellen Koeffizienten von \emph{ungeraden} Grad hat + mindestens eine \emph{reelle} Nullstelle. + + \item Alle Nullstellen des Polynoms \(p(z) = a_n z^n + \cdot + a_1 z + a_0\) + liegen in der Gauss'schen Zahlenebene in einer Kreisscheibe um der + Ursprung mit Radius \[ + R = \sum_{k=0}^n \left\lvert\frac{a_k}{a_n}\right\rvert + \] + + %% TODO: kubische Gleichung + + \item F\"ur allgemeine Gleichungen vom Grad 5 und gr\"osser existieren + prinzipiell \emph{keine} nur aus den 4 Grundoperationen und Wurzeln + zusammengesetzten L\"osungsformeln. + \end{itemize} +\end{theorem} -\subsection{Neue Operationen} -\subsection{Graphische Darstellung} -\subsubsection{Ebene Geometrie} +\section{Komplexwertige Funktionen} +\section{Fourierreihen} +\section{Spektren} +\section{Diskrete Fouriertransformation} \section{Lizenz} \doclicenseThis \end{document} -% vim: set et ts=2 sw=2 spelllang=de spell wrap linebreak : +% vim: set et ts=2 sw=2 spelllang=de spell linebreak : |