typos chapter 1

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diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
index ab80d6f..4e382b5 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
@@ -66,7 +66,8 @@ Zahlen mit der Eigenschaft
 \qquad\Leftrightarrow\qquad
 a+b' = a'+b.
 \]
-Man nennt eine solche Menge eine {\em Äquivalenzklasse} der Relation $\sim$.
+%Man nennt eine solche
+Eine Menge ist eine {\em Äquivalenzklasse} der Relation $\sim$.
 \index{Aquivalenzklasse@Äquivalenzklasse}
 Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} ist die Menge aller solchen
 \index{ganze Zahlen}%
@@ -81,7 +82,7 @@ stellt das Paar $(b,a)$ eine ganze Zahl dar mit der Eigenschaft
 \begin{equation}
 z+(b,a)
 =
-(a,b) + (b+a) = (a+b,a+b) \sim (0,0) = 0
+(a,b) + (b,a) = (a+b,a+b) \sim (0,0) = 0
 \label{buch:zahlen:eqn:entgegengesetzt}
 \end{equation}
 dar.
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
index 2053326..533ddc1 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
@@ -21,7 +21,7 @@ zu definieren.
 
 Die Ordnungsrelation sagt aber auch, dass $x^2\ge 0$ ist für jedes
 $x\in\mathbb{R}$, so dass $x^2+1>0$ sein muss.
-Dies ist der Grund, warum die Gleichung \ref{buch:zahlen:eqn:igleichung}
+Dies ist der Grund, warum die Gleichung \eqref{buch:zahlen:eqn:igleichung}
 keine Lösung in $\mathbb{R}$ haben kann.
 Im Umkehrschluss folgt auch, dass eine Erweiterung der reellen Zahlen,
 in der die Gleichung \eqref{buch:zahlen:eqn:igleichung} lösbar ist,
@@ -218,9 +218,9 @@ Wir können den Quotienten auch durch Real- und Imaginärteil ausdrücken:
 &=
 \frac{a+bi}{c+di}
 =
-\frac{(a+bi)(c+di)}{(c+di)(c-di)}
+\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}
 =
-\frac{ac-bd +(ad+bc)i}{c^2+d^2}.
+\frac{ac+bd +(ad-bc)i}{c^2+d^2}.
 \end{align*}
 
 
@@ -239,7 +239,7 @@ zw\overline{z}\overline{w}
 =
 z\overline{z}w\overline{w}
 =
-|z|^2|w|^2
+|z|^2|w|^2.
 \end{align*}
 Der Betrag des Produktes ist also das Produkt der Beträge.
 
@@ -282,8 +282,8 @@ Daraus liest man ab, dass das Argument eines Produkts die Summe der
 Argumente ist.
 Die Multiplikation mit einer festen komplexen Zahl führt also mit der ganzen
 komplexen Ebene eine Drehstreckung durch.
-Auf diese geometrische Beschreibung der Multiplikation werden wir zurückkommen,
-wenn wir die komplexen Zahlen als Matrizen beschreiben wollen.
+Auch auf diese geometrische Beschreibung der Multiplikation werden wir
+zurückkommen, wenn wir die komplexen Zahlen als Matrizen beschreiben wollen.
 
 \subsubsection{Algebraische Vollständigkeit}
 Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ sind als Erweiterung von $\mathbb{R}$
@@ -297,9 +297,9 @@ Dies ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra.
 \index{Fundamentalsatz der Algebra}%
 Jede algebraische Gleichung der Form
 \[
-p(x)=x^n + a_{n-1}x^{n-1}+a_1x+a_0=0,\qquad a_k\in\mathbb{C}
+p(x)=x^n + a_{n-1}x^{n-1}+a_1x+a_0=0%,\qquad a_k\in\mathbb{C}
 \]
-mit komplexen Koeffizienten hat $n$ möglicherweise mit Vielfachheit
+mit komplexen Koeffizienten $a_k\in\mathbb{C}$ hat $n$ möglicherweise mit Vielfachheit
 gezählte Nullstellen $\alpha_1,\dots,\alpha_m$, d.~h.~das Polynom $p(x)$
 lässt sich in Linearfaktoren
 \[
@@ -360,7 +360,8 @@ kann auch dividiert werden.
 Aus den Regeln für die Quadrate der Einheiten in
 \eqref{buch:zahlen:eqn:quaternionenregeln} folgt zum Beispiel
 $i^{-1}=-i$, $j^{-1}=-j$ und $k^{-1}=-k$.
-Die letzte Bedingung liefert daraus
+Die letzte Bedingung in~\eqref{buch:zahlen:eqn:quaternionenregeln}
+liefert daraus
 \[
 i\!jk=-1
 \qquad\Rightarrow\qquad
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
index 629e539..def03ac 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
@@ -165,7 +165,7 @@ a\cdot(b+c) = ab+ac
 \]
 gelten.
 Bei einem nicht kommutativen Produkt ist es notwendig,
-zwischen Links- und Rechts-Distributivgesetz zu unterscheiden.
+zwischen Links- und Rechtsdistributivgesetz zu unterscheiden.
 
 Die Distributivgesetze drücken die wohlbekannte Regel des
 Ausmultiplizierens aus.
@@ -181,8 +181,8 @@ Sie gelten immer für Matrizen.
 Die Lösbarkeit von Gleichungen der Form $ax=b$ mit $a,b\in\mathbb{N}$
 gibt Anlass zum sehr nützlichen Konzept der Teilbarkeit.
 \index{Teilbarkeit}%
-Die Zahl $b$ heisst {\em teilbar} durch $a$, wenn die Gleichung $ax=b$ eine
-Lösung in $\mathbb{N}$ hat.
+Die Zahl $b$ heisst {\em teilbar} durch $a$, in Formeln $a\mid b$,
+wenn die Gleichung $ax=b$ eine Lösung in $\mathbb{N}$ hat.
 \index{teilbar}%
 Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ und durch sich selbst teilbar,
 denn $n\cdot 1 = n$.
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
index 666bc21..dc2fe29 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
@@ -40,9 +40,17 @@ Faktor unterscheiden,
 (c, d)
 \quad \Leftrightarrow \quad
 \exists \lambda \in \mathbb Z\setminus\{0\} \colon
+(
 \lambda a = c
 \wedge
 \lambda b = d
+)
+\vee
+(
+a = \lambda c
+\wedge
+b = \lambda d
+)
 .
 \]
 Dass es sich hierbei wieder um eine Äquivalenzrelation handelt, lässt sich
@@ -50,7 +58,7 @@ einfach nachprüfen.
 
 Durch die neuen Regen gibt es nun zu jedem Paar $(a, b)$ mit $a \ne 0$
 ein Inverses $(b, a)$ bezüglich der Multiplikation,
-wie man anhand der folgenden Rechnung sieht,
+wie man anhand der folgenden Rechnung sieht:
 \[
 (a, b) \cdot (b, a)
 =
@@ -72,7 +80,7 @@ Die Rechenregeln werden dadurch zu den wohlvertrauten
 \[
 \frac{a}{b}+\frac{c}{d}
 =
-\frac{ad+bc}{bd},
+\frac{ad+bc}{bd}
 \qquad\text{und}\qquad
 \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}
 =
@@ -180,7 +188,7 @@ Wann immer die Wahl des Körpers keine Rolle spielt, werden wir den
 Körper mit $\Bbbk$ bezeichnen.
 \index{k@$\Bbbk$}%
 
-Ein Körper $\Bbbk$ zeichnet sich dadurch aus, dass alle ELemente ausser $0$
+Ein Körper $\Bbbk$ zeichnet sich dadurch aus, dass alle Elemente ausser $0$
 invertierbar sind. 
 Diese wichtige Teilmenge wird mit $\Bbbk^* = \Bbbk \setminus\{0\}$ mit
 bezeichnet.
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
index 7af07e8..307b219 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
@@ -49,7 +49,7 @@ In der Analysis definiert man zu diesem Zweck, dass $a$ der Grenzwert
 einer Folge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$
 ein $N$ gibt derart, dass $|a_n-a|<\varepsilon$ für $n>N$ ist.
 Das Problem dieser wohlbekannten Definition für die Konstruktion
-reeller Zahle ist, dass im Falle der Folge
+reeller Zahlen ist, dass im Falle der Folge
 \[
 (a_n)_{n\in\mathbb{N}}=
 \biggl(1,