zweite Lesung

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index 4f2fb5a..6f55f23 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex
@@ -7,8 +7,8 @@
 \label{buch:chapter:matrizengruppen}}
 \lhead{Matrizengruppen}
 \rhead{}
-Matrizen können dazu verwendet werden, Symmetrien von geometrischen oder
-physikalischen Systemen zu beschreiben.
+Matrizen können dazu verwendet werden, Symmetrien von geometrischen Objekten
+oder physikalischen Systemen zu beschreiben.
 \index{Symmetrie}%
 \index{physikalisches System}%
 Neben diskreten Symmetrien wie zum Beispiel Spiegelungen gehören dazu
@@ -44,8 +44,8 @@ Lie-Klammer-Produkt $[A,B]=AB-BA$, auch Kommutator genannt.
 \index{Lie-Klammer}%
 \index{Kommutator}%
 Lie-Gruppe und Lie-Algebra sind eng miteinander verknüpft,
-so eng, dass sich die meisten Eigenschaften der Gruppe aus den Eigenschaften
-der Lie-Gruppe aus der Lie-Algebra ableiten lassen.
+so eng, dass sich die meisten Eigenschaften der Lie-Gruppe aus den
+Eigenschaften der Lie-Algebra ableiten lassen.
 Die Verbindung wird hergestellt durch die Exponentialabbildung.
 Ziel dieses Kapitels ist, die Grundzüge dieses interessanten 
 Zusammenhangs darzustellen.
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
index 0f6429f..b84b244 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
@@ -5,7 +5,6 @@
 %
 \section{Lie-Algebren
 \label{buch:section:lie-algebren}}
-\rhead{Lie-Algebren}
 Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen
 Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen
 Vektorraum $M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können.
@@ -29,6 +28,7 @@ Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$
 übereinstimmt.
 \index{Vektorprodukt}%
 
+\rhead{Lie-Algebren}
 %
 % Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe
 %
@@ -92,24 +92,25 @@ e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t}
 =
 (AB-BA) \frac{t^2}{2} + \ldots
 =
+\phantom{-}
 [A,B]\frac{t^2}{2}+\ldots
 \\
 e^{Bt}e^{At} - e^{(A+B)t}
 &=
 \biggl(BA-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
-+\ldots
++\ldots,
 =
 (BA-AB)
 \frac{t^2}{2}
 +\ldots
 =
--[A,B]\frac{t^2}{2}
+-[A,B]\frac{t^2}{2}+\ldots,
 \\
 e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At}
 &=
 (AB-BA)t^2+\ldots
 =
-\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots
+\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots,
 \end{align*}
 wobei $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird.
 
@@ -247,15 +248,15 @@ Solche Matrizen haben die Form
 \]
 Die antisymmetrischen Matrizen
 \[
-\omega_{23}
+\Omega_{23}
 =
 \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix},
 \quad
-\omega_{31}
+\Omega_{31}
 =
 \begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix},
 \quad
-\omega_{12}
+\Omega_{12}
 =
 \begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
 \]
@@ -263,11 +264,11 @@ bilden eine Basis für $\operatorname{so}(3)$, man kann
 \[
 \Omega
 =
-\omega_1\omega_{23}
+\omega_1\Omega_{23}
 +
-\omega_2\omega_{31}
+\omega_2\Omega_{31}
 +
-\omega_3\omega_{12}
+\omega_3\Omega_{12}
 \]
 schreiben.
 Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional.
@@ -276,7 +277,7 @@ Die Kommutatoren der Basisvektoren sind
 \begin{equation}
 \setlength\arraycolsep{4pt}
 \begin{aligned}
-[\omega_{23},\omega_{31}]
+[\Omega_{23},\Omega_{31}]
 &=
 \begin{pmatrix}
 0&-1&0\\
@@ -284,10 +285,10 @@ Die Kommutatoren der Basisvektoren sind
 0&0&0
 \end{pmatrix}
 =
-\omega_{12},
+\Omega_{12},
 %\\
 &
-[\omega_{31},\omega_{12}]
+[\Omega_{31},\Omega_{12}]
 &=
 \begin{pmatrix}
 0&0&0\\
@@ -295,10 +296,10 @@ Die Kommutatoren der Basisvektoren sind
 0&1&0
 \end{pmatrix}
 =
-\omega_{23},
+\Omega_{23},
 %\\
 &
-[\omega_{12},\omega_{23}]
+[\Omega_{12},\Omega_{23}]
 &=
 \begin{pmatrix}
 0&0&1\\
@@ -306,7 +307,7 @@ Die Kommutatoren der Basisvektoren sind
 -1&0&0
 \end{pmatrix}
 =
-\omega_{31},
+\Omega_{31},
 \end{aligned}
 \label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}
 \end{equation}
@@ -324,19 +325,19 @@ Achse ist eine Drehung um die $x_3$-Achse.
 Abbildung~\ref{buch:lie:fig:kommutator} illustriert, wie der
 Kommutator die Nichtkommutativität der Gruppe $\operatorname{SO}(3)$
 wiedergibt.
-Die Matrix $\omega_{23}$ erzeugt eine Drehung $R_{x_1,\alpha}$
+Die Matrix $\Omega_{23}$ erzeugt eine Drehung $R_{x_1,\alpha}$
 um die $x_1$-Achse,
-die Matrix $\omega_{31}$ eine Drehung $R_{x_2,\beta}$ um die $x_2$ Achse.
-Der Kommutator $[\omega_{23},\omega_{31}]=\omega_{12}$ beschreibt in
+die Matrix $\Omega_{31}$ eine Drehung $R_{x_2,\beta}$ um die $x_2$ Achse.
+Der Kommutator $[\Omega_{23},\Omega_{31}]=\Omega_{12}$ beschreibt in
 niedrigster Ordnung den Unterschied, der entsteht, wenn man die
 beiden Drehungen in verschiedenen Reihenfolgen ausführt.
 Dies ist eine Drehung $R_{x_3,\gamma}$ um die $x_3$-Achse.
 
-Aus der Rodriguez-Formel~\ref{buch:lie:eqn:rodrigues} wissen wir
+Aus der Rodrigues-Formel~\ref{buch:lie:eqn:rodrigues} wissen wir
 bereits, dass die Ableitung der Drehung das Vektorprodukt
 $\vec{\omega}\times\vec{x}$ ist.
 Dieses kann jedoch auch als
-$\Omega\vec{x} = \vec{omega}\times\vec{x}$
+$\Omega\vec{x} = \vec{\omega}\times\vec{x}$
 ausgedrückt werden.
 
 Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $\vec{x}$ ist
@@ -482,10 +483,10 @@ somit ist
 \operatorname{sl}_n(\mathbb{R})
 =
 \{
-A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; \operatorname{Spur}(A)=0
+A\in M_n(\mathbb{R}) \mid \operatorname{Spur}(A)=0
 \}
 \]
-mit dem Kommutator eine Lie-Algebra.
+mit dem Kommutator von Matrizen als Lie-Klammer eine Lie-Algebra.
 
 %
 % Die Lie-Algebra von U(n)
@@ -496,8 +497,8 @@ Die Lie-Gruppe
 U(n)
 =
 \{
-A\in M_n(\mathbb{C}
-\;|\;
+A\in M_n(\mathbb{C})
+\mid
 AA^*=I
 \}
 \]
@@ -507,7 +508,7 @@ AA^*=I
 heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die
 das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen
 Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen.
-Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$
+Sei $\gamma(t)$ eine differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$
 derart, dass $\gamma(0)=I$.
 Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf 
 \begin{equation*}
@@ -568,7 +569,7 @@ imaginär.
 %
 \subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$}
 Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den
-spurlosen antihermiteschen Matrizen.
+spurlosen antihermiteschen $2\times 2$-Matrizen.
 \index{su(n)@$\operatorname{su}(n)$}%
 Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen:
 \[
@@ -658,7 +659,7 @@ Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren
 2i\sigma_2,
 \end{align*}
 Bis auf eine Skalierung stimmt dies überein mit den Kommutatorprodukten
-der Matrizen $\omega_{23}$, $\omega_{31}$ und $\omega_{12}$
+der Matrizen $\Omega_{23}$, $\Omega_{31}$ und $\Omega_{12}$
 in \eqref{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}.
 Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte
 \begin{align*}
@@ -688,9 +689,9 @@ Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte
 \end{align*}
 Die lineare Abbildung, die
 \begin{align*}
-\omega_{23}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_1\\
-\omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\
-\omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3
+\Omega_{23}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_1\\
+\Omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\
+\Omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3
 \end{align*}
 abbildet, ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$
 auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$.
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
index 94df38e..9f0c26f 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
@@ -26,7 +26,7 @@ $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ heraus.
 
 \subsection{Mannigfaltigkeitsstruktur der Matrizengruppen
 \label{buch:subsection:mannigfaltigkeitsstruktur-der-matrizengruppen}}
-Eine Matrizengruppe wird automatsich zu einer Mannigfaltigkeit,
+Eine Matrizengruppe wird automatisch zu einer Mannigfaltigkeit,
 wenn es gelingt, eine Karte für eine Umgebung des neutralen Elements
 zu finden.
 Dazu muss gezeigt werden, dass sich aus einer solchen Karte für jedes
@@ -46,7 +46,7 @@ gU_e
 h\mapsto \varphi_e(g^{-1}h)
 \]
 eine Karte für die Umgebung $U_g$ des Gruppenelementes $g$.
-schreibt man $l_{g}$ für  die Abbildung $h\mapsto gh$, dann
+Schreibt man $l_{g}$ für  die Abbildung $h\mapsto gh$, dann
 kann man die Kartenabbildung auch $\varphi_g = \varphi_e\circ l_{g^{-1}}$
 schreiben.
 
@@ -98,8 +98,9 @@ Mannigfaltigkeit ist derart, dass die Abbildungen
 \begin{align*}
 G\times G \to G &: (g_1,g_2)\mapsto g_1g_2
 \\
-G\to G &: g \mapsto g^{-1}
+G\to G &: g \mapsto g^{-1},
 \end{align*}
+die zu den Gruppenoperationen gehören,
 differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten sind.
 \end{definition}
 
@@ -354,13 +355,83 @@ entstehen aus $J$ durch Drehung mit der Matrix $R_\alpha$ und Skalierung
 mit der Winkelgeschwindigkeit $\dot{\alpha}(t)$.
 \index{Winkelgeschwindigkeit}%
 
+\subsection{Symmetrien des harmonischen Oszillators
+\label{buch:gruppen:symmetrien-harm-osz}}
+Im Abschnitt über den harmonischen Oszillator
+auf Seite~\pageref{buch:gruppen:harmonischer-oszillator}
+wurde für die Einparameteruntergruppe
+$\Phi_t\in\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ der
+Ausdruck~\eqref{buch:gruppen:eqn:phi} gefunden.
+Die Ableitung von $\Phi_t$ an der Stelle $t=0$ ist
+\begin{align*}
+\frac{d}{dt}\Phi_t\bigg|_{t=0}
+&=
+\frac{d}{dt}
+\begin{pmatrix}
+\cos\omega t&-\frac{1}{\omega}\sin\omega t\\
+\omega\sin\omega t&\cos\omega t
+\end{pmatrix}
+\bigg|_{t=0}
+=
+\begin{pmatrix}
+-\omega\sin\omega t&-\cos\omega t\\
+\omega^2\cos\omega t&-\omega\sin\omega t
+\end{pmatrix}
+\bigg|_{t=0}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&-1\\\omega^2&0
+\end{pmatrix}
+=
+A.
+\end{align*}
+Die Potenzen von $A$ sind
+\[
+A^2
+=
+\begin{pmatrix} -\omega^2&0\\0&-\omega^2\end{pmatrix}
+=
+-\omega^2 I,
+\quad
+A^3
+=
+-\omega^2 A,
+\quad
+A^4
+=
+\omega^4 I.
+\]
+Die Potenzen wiederholen sich bis auf den Faktor $\omega^4$ mit Periode 4.
+Damit kann man jetzt die Exponentialabbildung für $At$ berechnen:
+\begin{align*}
+e^{At}
+&=
+I+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\frac{A^4t^4}{4!}+\frac{A^5t^5}5!+\dots
+\\
+&=
+I+\frac{1}{\omega}A\omega t-I\frac{\omega^2t^2}{2!}
+-\frac1{\omega}A\frac{\omega^3t^3}{3!}
++\frac{\omega^4t^4}{4!}
++\frac{1}{\omega}\frac{\omega^5t^5}5!+\dots
+\\
+&= I\cos\omega t + \frac1{\omega}A\sin\omega t
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\omega t       &-\frac{1}{\omega}\sin\omega t\\
+\omega\sin\omega t & \cos\omega t
+\end{pmatrix} = \Phi_t.
+\end{align*}
+Der Fluss der Differentialgleichung des harmonischen Oszillators ist
+also nichts anderes als die Exponentialabbildung der Ableitung $A$ zur
+Zeit $t=0$.
+
 %
 % Isometrien von R^n
 %
 \subsection{Isometrien von $\mathbb{R}^n$
 \label{buch:gruppen:isometrien}}
 Isometrien von $\mathbb{R}^n$ führen automatisch auf eine interessante
-Lie-Gruppe.
+Lie-Gruppe, die in diesem Abschnitt untersucht werden soll.
 
 \subsubsection{Skalarprodukt}
 Lineare Abbildungen des Raumes $\mathbb{R}^n$ können durch
@@ -368,22 +439,23 @@ $n\times n$-Matrizen beschrieben werden.
 Die Matrizen, die das Standardskalarprodukt $\mathbb{R}^n$ erhalten,
 bilden eine Gruppe, die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden soll.
 Eine Matrix $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ ändert das Skalarprodukt nicht, wenn
-für jedes beliebige Paar $x,y$ von Vektoren gilt
-$\langle Ax,Ay\rangle = \langle x,y\rangle$.
+für jedes beliebige Paar $x,y$ von Vektoren 
+$\langle Ax,Ay\rangle = \langle x,y\rangle$ gilt.
 Das Standardskalarprodukt kann mit dem Matrixprodukt ausgedrückt werden:
-\[
+\begin{equation}
 \langle Ax,Ay\rangle
 =
 (Ax)^tAy
 =
 x^tA^tAy
-=
+\overset{!}{=}
 x^ty
 =
 \langle x,y\rangle
-\]
+\label{buch:gruppen:eqn:orthogonalbed}
+\end{equation}
 für jedes Paar von Vektoren $x,y\in\mathbb{R}$.
-
+%
 Mit dem Skalarprodukt kann man auch die Matrixelemente einer Matrix
 einer Abbildung $f$ in der Standardbasis bestimmen.
 Das Skalarprodukt $\langle e_i, v\rangle$ ist die Länge der Projektion
@@ -393,11 +465,12 @@ Die Matrix $A$ der Abbildung $f$ hat folglich die Matrixelemente
 $a_{i\!j}=e_i^tAe_j$.
 
 \subsubsection{Die orthogonale Gruppe $\operatorname{O}(n)$}
-Die Matrixelemente von $A^tA$ sind
-$\langle A^tAe_i, e_j\rangle =\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{i\!j}$
-also die der Einheitsmatrix.
-Die Matrix $A$ erfüllt $AA^t=I$ oder $A^{-1}=A^t$.
-Dies sind die {\em orthogonalen} Matrizen.
+Die Matrixelemente von $A^tA$ können
+mit der Bedingung \eqref{buch:gruppen:eqn:orthogonalbed}
+berechnet werden als
+$\langle A^tAe_i, e_j\rangle =\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{i\!j}$.
+Die Matrix $A$ erfüllt also $AA^t=I$ oder $A^{-1}=A^t$.
+Solche Matrizen heissen {\em orthogonale} Matrizen.
 \index{orthogonale Matrix}%
 Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der isometrischen Abbildungen
 \index{O(n)@$\operatorname{O}(n)$}%
@@ -425,9 +498,10 @@ Im Spezialfall $n=2$ ist die Gruppe $\operatorname{O}(2)$ eindimensional.
 \subsubsection{Tangentialvektoren}
 Die orthogonalen Matrizen bilden eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
 von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, nicht jede Matrix $M_n(\mathbb{R})$ 
-kann also ein Tangentialvektor von $O(n)$ sein.
+kann also ein Tangentialvektor von $\operatorname{O}(n)$ sein.
 Um herauszufinden, welche Matrizen als Tangentialvektoren in Frage
-kommen, betrachten wir eine Kurve $\gamma\colon\mathbb{R}\to O(n)$
+kommen, betrachten wir eine Kurve
+$\gamma\colon\mathbb{R}\to \operatorname{O}(n)$
 von orthogonalen Matrizen mit $\gamma(0)=I$.
 Orthogonal bedeutet 
 \[
@@ -465,11 +539,39 @@ Für $n=2$ sind alle antisymmetrischen Matrizen Vielfache der Matrix
 $J$, wie in Abschnitt~\ref{buch:gruppen:drehungen2d}
 gezeigt wurde.
 
-Für jedes Paar $i<j$ ist die Matrix $A_{i\!j}$ mit den Matrixelementen
-$(A_{i\!j})_{i\!j}=-1$ und $(A_{i\!j})_{ji}=1$
+Für jedes Paar $i<j$ ist die Matrix
+\begin{equation}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,baseline=(O)]
+\coordinate (O) at (0,0);
+\draw[dotted,color=gray] (-1.2,0.42) -- (2.5,0.42);
+\draw[dotted,color=gray] (-1.2,-0.4) -- (2.5,-0.4);
+\draw[dotted,color=gray] (-0.14,-1.4) -- (-0.14,1.4);
+\draw[dotted,color=gray] (0.96,-1.4) -- (0.96,1.4);
+\node at (2.5,0.42) [right] {$i\mathstrut$};
+\node at (2.5,-0.40) [right] {$j\mathstrut$};
+\node at (-0.14,1.4) [above] {$i\mathstrut$};
+\node at (0.96,1.4) [above] {$j\mathstrut$};
+\node at (0,0) {$\displaystyle
+\Omega_{i\!j}
+=
+\begin{pmatrix*}[r]
+& & & & &  & & & \\
+& & & & &  & & & \\
+& & &0& &-1& & & \\
+& & & & &  & & & \\
+& & &1& & 0& & & \\
+& & & & &  & & & \\
+& & & & &  & & &
+\end{pmatrix*}
+$};
+\end{tikzpicture}
+\label{buch:gruppen:eqn:Omega}
+\end{equation}
+mit den Matrixelementen
+$(\Omega_{i\!j})_{i\!j}=-1$ und $(\Omega_{i\!j})_{ji}=1$
 antisymmetrisch.
-Für $n=2$ ist $A_{12}=J$.
-Die $n(n-1)/2$ Matrizen $A_{i\!j}$ bilden eine Basis des
+Für $n=2$ ist $\Omega_{12}=J$.
+Die $n(n-1)/2$ Matrizen $\Omega_{i\!j}$ bilden eine Basis des
 $n(n-1)/2$-dimensionale Tangentialraumes von $\operatorname{O}(n)$.
 
 Tangentialvektoren in einem anderen Punkt $g\in\operatorname{O}(n)$
@@ -489,8 +591,9 @@ Die Gruppe
 \[
 \operatorname{SO}(n)
 =
-\{A\in\operatorname{O}(n)\;|\; \det A=1\}
+\{A\in\operatorname{O}(n)\mid\det A=1\}
 \]
+der orientierungserhaltenden Isometrien von $\mathbb{R}^n$
 heisst die {\em spezielle orthogonale Gruppe}.
 \index{spezielle orthogonale Gruppe}%
 \index{orthogonale Gruppe, speziell}%
@@ -537,13 +640,13 @@ R_{z,\gamma}
 \end{pmatrix}
 \\
 &=
-e^{A_{23}t}
+e^{\Omega_{23}t}
 &
 &=
-e^{-A_{13}t}
+e^{-\Omega_{13}t}
 &
 &=
-e^{A_{21}t}
+e^{\Omega_{21}t}
 \end{align*}
 die Drehungen um die Koordinatenachsen um den Winkel $\alpha$
 beschreiben.
@@ -564,15 +667,15 @@ $|\vec{k}|=1$, kann man mit dem Vektorprodukt und dem Skalarprodukt
 beschreiben.
 Die Vektoren $\vec{x}-(\vec{x}\cdot\vec{k})\vec{k}$, $-\vec{x}\times\vec{k}$
 und $\vec{k}$ bilden ein Rechtssystem im Punkt $\vec{x}$, dessen zweite
-Achse tangential an die Bahn von $\vec{x}$ unter der Drehung ist.
-
+Achse tangential an die Bahn von $\vec{x}$ unter der Drehung ist
+(siehe Abbildung~\ref{buch:lie:fig:rodrigues}).
+%
 Die Komponente $(\vec{k}\cdot\vec{x})\vec{k}$ parallel zu $\vec{k}$
 ändert sich bei der Drehung nicht.
 In der Ebene mit der orthogonalen Basis aus den Vektoren
 $\vec{x}-(\vec{x}\cdot\vec{k})\vec{k}$ und $-\vec{x}\times\vec{k}$
 kann man die Drehung $R_\alpha$ um den Winkel $\alpha$ mit den
-trigonometrischen Funktionen beschreiben
-(siehe Abbildung~\ref{buch:lie:fig:rodrigues}):
+trigonometrischen Funktionen beschreiben:
 \begin{align}
 \vec{x}
 \mapsto
@@ -595,10 +698,13 @@ R_\alpha\vec{x}
 \vec{k}\times\vec{x}\sin\alpha.
 \label{buch:lie:eqn:rodrigues}
 \end{align}
-Dies ist bekannt als die {\em Formel von Rodrigues}
+\eqref{buch:lie:eqn:rodrigues} 
+ist bekannt als die {\em Formel von Rodrigues}.
 \index{Formel von Rodrigues}%
 \index{Rodrigues-Formel}%
-Wir halten noch fest, dass die Ableitung an der Stelle $\alpha=0$
+Wir halten noch fest, dass die Ableitung
+von \eqref{buch:lie:eqn:rodrigues} 
+an der Stelle $\alpha=0$
 der Tangentialvektor
 \begin{equation}
 \frac{d}{d\alpha}R_\alpha\vec{x}\,\bigg|_{\alpha=0}
@@ -631,9 +737,9 @@ Die volumenerhaltenden Abbildungen bilden die Gruppe
 =
 \{
 A\in M_n(\mathbb{R})
-\;|\;
+\mid
 \det (A) = 1
-\}
+\},
 \]
 sie heisst die {\em spezielle lineare Gruppe}.
 \index{spezielle lineare Gruppe}%
@@ -651,7 +757,7 @@ Für alle $t\in\mathbb{R}$ ist $\det A(t)=1$, daher ist die Ableitung
 \quad\text{an der Stelle $t=0$.}
 \]
 Für $n=2$ ist
-\begin{align*}
+\begin{align}
 A(t)
 &=
 \begin{pmatrix}
@@ -665,22 +771,29 @@ c(t)&d(t)
 \det A(t)\bigg|_{t=0}
 &=
 \frac{d}{dt}\bigl(a(t)d(t)-b(t)c(t)\bigr)\bigg|_{t=0}
+\notag
 \\
 &&&&
 &=
 \dot{a}(0) d(0)+a(0)\dot{d}(0)
 -
 \dot{b}(0) c(0)-b(0)\dot{c}(0)
+\notag
 \\
 &&&&
 &=
 \dot{a}(0) + \dot{d}(0)
+\notag
 \\
 &&&&
+\frac{d}{dt}
+\det A(t)\bigg|_{t=0}
 &=
 \operatorname{Spur}\frac{dA}{dt}.
-\end{align*}
-Dies gilt nicht nur im Falle $n=2$, sondern ganz allgemein für beliebige
+\label{buch:gruppen:eqn:spurformel}
+\end{align}
+Die Spurformel~\eqref{buch:gruppen:eqn:spurformel}
+gilt nicht nur im Falle $n=2$, sondern ganz allgemein für beliebige
 $n\times n$-Matrizen.
 
 \begin{satz}
@@ -691,8 +804,10 @@ mit $A(0)=I$, dann ist $\operatorname{Spur}\dot{A}(0)=0$.
 \begin{proof}[Beweis]
 Die Entwicklung der Determinante von $A$ nach der ersten Spalte ist
 \[
-\det A(t) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \det A_{i1}(t).
+\det A(t) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \det A_{i1}(t),
 \]
+Wobei $A_{i\!j}(t)$ der $i$-$k$-Minor von $A(t)$ ist
+(Seite~\pageref{buch:linear:def:minor}).
 Die Ableitung nach $t$ ist
 \[
 \frac{d}{dt} \det A(t)
@@ -824,8 +939,13 @@ Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:sl2} visualisiert.
 
 Die Matrizen $e^{At}$ sind Streckungen der einen Koordinatenachse und
 Stauchungen der anderen derart, dass das Volumen erhalten bleibt.
+Die Bahn eines Punktes unter Wirkung von $e^{At}$ ist eine Hyperbel
+mit den Koordinatenachsen als Asymptoten.
+
 Die Matrizen $e^{Bt}$ sind Drehmatrizen, die Längen und Winkel und
 damit erst recht den Flächeninhalt erhalten.
+Die Bahn eines Punktes ist ein Kreis um den Nullpunkt.
+
 Die Matrizen der Form $e^{Ct}$ haben die Vektoren $(1,\pm1)$ als
 Eigenvektoren:
 \begin{align*}
@@ -869,6 +989,8 @@ Die Matrizen $e^{Ct}$ strecken die Richtung $(1,1)$ um $e^t$ und
 die dazu orthogonale Richtung $(1,-1)$ um den Faktor $e^{-t}$.
 Dies ist die gegenüber $e^{At}$ um $45^\circ$ verdrehte Situation,
 auch diese Matrizen sind flächenerhaltend.
+Die Bahnen einzelner Punkte unter $e^{Ct}$ sind Hyperbeln mit
+den Winkelhalbierenden als Asymptoten.
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics{chapters/60-gruppen/images/scherungen.pdf}
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
index 7222c2c..ece02b5 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
@@ -28,7 +28,8 @@ ergeben die gleichen Werte wie Messungen entsprechenden Strecken
 in der linken Hälfte, was den Begriff Symmetrie rechtfertigt.
 \label{buch:lie:bild:castlehoward}}
 \end{figure}
-In der Physik wird dem Begriff der Symmetrie daher auch eine erweiterte
+
+In der Physik wird dem Begriff der Symmetrie eine erweiterte
 Bedeutung gegeben.
 Jede Transformation eines Systems, welche bestimmte Grössen nicht
 verändert, wird als Symmetrie bezeichnet.
@@ -39,7 +40,7 @@ Koordinatensystems ändert daher die Bewegungsgleichungen nicht, sie ist
 eine Symmetrie des Systems.
 
 Umgekehrt kann man fragen, welche Symmetrien ein System hat.
-Da sich Symmetrien zusammensetzen und umkehren lassen, kann man in davon
+Da sich Symmetrien zusammensetzen und umkehren lassen, kann man davon
 ausgehen, dass die Symmetrietransformationen eine Gruppe bilden.
 Besonders interessant ist dies im Falle von Transformationen, die
 durch Matrizen beschrieben weren.
@@ -94,8 +95,8 @@ ihre Normale erhalten.
 Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie solche Symmetriedefinitionen
 auf algebraische Bedingungen an die Matrixelemente führen.
 
-Zu jeder Abbildung $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, unter der 
-ein geometrisches Objekt in $\mathbb{R}^n$ unveränder bleibt, können wir
+Zu jeder linearen Abbildung $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, unter der 
+ein geometrisches Objekt in $\mathbb{R}^n$ unverändert bleibt, können wir
 sofort weitere Abbildungen angeben, die ebenfalls Symmetrien sind.
 Zum Beispiel sind die iterierten Abbildungen $f\circ f$, $f\circ f\circ f$
 usw., die wir auch $f^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ schreiben werden,
@@ -131,9 +132,8 @@ beschrieben werden.
 Ein Kreis um den Nullpunkt bleibt unter jeder dieser Drehungen invariant.
 Im Gegensatz dazu sind alle gleichseitigen Dreiecke mit Schwerpunkt $0$
 nur unter der einen Drehung $R_{\frac{2\pi}3}$ invariant.
-Eine minimale Menge, die einen vorgegebenen Punkt enthält und unter
-allen Drehungen $R_\alpha$ invariant ist, ist immer ein Kreis um
-den Nullpunkt.
+Ein vorgegebener Punkt bewegt sich unter der Wirkung der Drehung
+$R_\alpha$ auf einem Kreis um den Nullpunkt.
 
 \begin{definition}
 \label{buch:lie:def:einparameteruntergruppe}
@@ -148,7 +148,7 @@ Die Abbildung
 \[
 \varphi
 \colon
-\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})
+\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})
 :
 \alpha \mapsto
 R_{\alpha}
@@ -161,6 +161,7 @@ R_{\alpha}
 ist also eine Einparameteruntergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.
 
 \subsubsection{Der harmonische Oszillator}
+\label{buch:gruppen:harmonischer-oszillator}
 \index{harmonischer Oszillator}%
 \index{Oszillator}%
 \begin{figure}
@@ -171,8 +172,9 @@ Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
 im Phasenraum sind Ellipsen mit Halbachsenverhältnis $\omega^{-1}$.
 \label{chapter:gruppen:fig:phasenraum}}
 \end{figure}
-Eine Masse $m$ verbunden mit einer Feder mit der Federkonstanten $K$
+Eine Masse $m$ ist aufgehängt an einer Feder mit der Federkonstanten $K$
 \index{Federkonstante}%
+und
 schwingt um die Ruhelage $x=0$ entsprechend der Differentialgleichung
 \[
 m\frac{d^2}{dt^2} x(t) =  -Kx(t).
@@ -242,7 +244,7 @@ p(t)
 \end{equation}
 schreiben.
 Die Matrizen $\Phi_t$ bilden eine Einparameteruntergruppe von
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, da
+$\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$, da
 \begin{align*}
 \Phi_s\Phi_t
 &=
@@ -284,10 +286,10 @@ beschreibt.
 \subsubsection{Fluss einer Differentialgleichung}
 \index{Fluss}%
 Die Abbildungen $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} sind jeweils
-Matrizen in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
+Matrizen in $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.
 Der Grund dafür ist, dass die
 Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
-linear ist.
+linear zu sein braucht.
 Dies hat zur Folge, dass für zwei Anfangsbedingungen $x_1,x_2\in\mathbb{R}^2$
 die Lösung für Linearkombinationen $\lambda x_1+\mu x_2$ durch
 Linearkombination der Lösungen erhalten werden kann, also
@@ -377,12 +379,14 @@ $x(t_0)+hf(t_0,x_0)$ für alle $h\ne 0$ nicht mehr auf der Kugeloberfläche
 liegen.
 Physikalisch äussert sich das in einer zusätzlichen Kraft, die nötig
 ist, die Bahn auf der Kugeloberfläche zu halten.
-Diese Kraft stellt zum Beispiel sicher, dass die Vektoren $f(t,x)$ für
+Solche Zwangskräfte leisten keine Arbeit, sorgen aber zum Beispiel
+dafür, dass die Vektoren $f(t,x)$ für
 Punkte $x$ auf der Kugeloberfläche immer tangential an die Kugel sind.
 Trotzdem ist der Tangentialvektor oder der Geschwindigkeitsvektor 
 nicht mehr ein Objekt, welches als Teil der Kugeloberfläche definiert
 werden kann, er kann nur definiert werden, wenn man sich die Kugel als
 in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen kann.
+Der Betrag der Zwangskräfte hängt von der Krümmung der Fläche ab.
 
 Um die Idee einer Differentialgleichung auf einer beliebigen Fläche
 konsistent zu machen, ist daher notwendig, die Idee einer Tagentialrichtung
@@ -417,8 +421,8 @@ kann das Problem lösen, indem er eine lokale Karte für das Gebiet
 um den Pol erstellt.
 Dafür kann er beliebige Koordinaten verwenden, zum Beispiel auch
 ein kartesisches Koordinatensystem, er muss nur eine Methode haben,
-wie er seine Koordinaten wieder auf geographische Länge und Breite
-umrechnen will.
+nach der er seine Koordinaten wieder auf geographische Länge und Breite
+umrechnen kann.
 Und wenn er über Geschwindigkeiten kommunizieren will, dann muss
 er auch Ableitungen von Kurven in seinem kartesischen Koordinatensystem
 umrechnen können auf die Kugelkoordinaten.
@@ -475,7 +479,7 @@ Karten und Atlanten regeln also nur, wie sich verschiedene lokale
 Koordinatensysteme ineinander umrechnen lassen.
 
 \begin{beispiel}
-$M=\mathbb{R}^n$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit denn 
+$M=\mathbb{R}^n$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, denn 
 die identische Abbildung $M\to \mathbb{R}^n$ ist eine Karte und ein
 Atlas von $M$.
 \end{beispiel}
@@ -494,19 +498,23 @@ gibt.
 Die Projektionen auf die einzelnen Koordinaten liefern die folgenden
 vier Karten:
 \begin{align*}
-\varphi_1&\colon U_{x>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x>0\} \to\mathbb{R}
+\color{red}
+\varphi_1&{\color{red}\colon U_{x>0}=\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x>0\}}\to\mathbb{R}
 :
 (x,y) \mapsto y
 \\
-\varphi_2&\colon U_{x<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x<0\} \to\mathbb{R}
+\color{blue}
+\varphi_2&{\color{blue}\colon U_{x<0}=\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x<0\}}\to\mathbb{R}
 :
 (x,y) \mapsto y
 \\
-\varphi_3&\colon U_{y>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y>0\} \to\mathbb{R}
+\color{darkgreen}
+\varphi_3&{\color{darkgreen}\colon U_{y>0}=\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y>0\}}\to\mathbb{R}
 :
 (x,y) \mapsto x
 \\
-\varphi_4&\colon U_{y<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y<0\} \to\mathbb{R}
+\color{orange}
+\varphi_4&{\color{orange}\colon U_{y<0}=\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y<0\}}\to\mathbb{R}
 :
 (x,y) \mapsto x
 \end{align*}
@@ -526,36 +534,44 @@ ist je nach Quadrant durch
 &\text{1.~Quadrant}&
 \varphi_{31}
 &=
-\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-y^2\mathstrut}
+{\color{darkgreen}\varphi_3}\circ{\color{red}\varphi_1}^{-1}
+\colon
+y\mapsto\phantom{-}{\textstyle\sqrt{1-y^2\mathstrut}}
 &
 D\varphi_{31}
 &=
 -\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}}
 \\
 &\text{2.~Quadrant}&
-\varphi_{24}
+\varphi_{23}
 &=
-\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-x^2\mathstrut}
+{\color{blue}\varphi_2}\circ{\color{darkgreen}\varphi_3}^{-1}
+\colon
+x\mapsto\phantom{-}{\textstyle\sqrt{1-x^2\mathstrut}}
 &
-D\varphi_{24}
+D\varphi_{23}
 &=
 -\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}}
 \\
 &\text{3.~Quadrant}&
 \varphi_{42}
 &=
-\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto-\sqrt{1-y^2\mathstrut}
+{\color{orange}\varphi_4}\circ{\color{blue}\varphi_2}^{-1}
+\colon
+y\mapsto-{\textstyle\sqrt{1-y^2\mathstrut}}
 &
 D\varphi_{42}
 &=
 \phantom{-}\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}}
 \\
 &\text{4.~Quadrant}&
-\varphi_{14}
+\varphi_{41}
 &=
-\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto-\sqrt{1-x^2\mathstrut}
+{\color{red}\varphi_1}\circ{\color{orange}\varphi_4}^{-1}
+\colon
+x\mapsto-{\textstyle\sqrt{1-x^2\mathstrut}}
 &
-D\varphi_{14}
+D\varphi_{41}
 &=
 \phantom{-}\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}}
 \end{align*}
@@ -725,7 +741,7 @@ Dies ist möglich, weil die Kreislinie eine kontinuierliche Symmetrie,
 nämlich die Drehung um den Winkel $t$ hat, die es erlaubt, den Punkt $(1,0)$
 in den Punkt $(\cos t,\sin t)$ abzubilden.
 Erst diese Symmetrie ermöglicht den Vergleich.
-Dieser Ansatz ist für alle Matrizengruppen erfolgreich,
+Dieser Ansatz ist für alle Matrizengruppen generell erfolgreich,
 wie wir später sehen werden.
 
 Ein weiterer Ansatz, Tangentialvektoren zu vergleichen, ist die Idee, 
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex
index 2acf6f6..1cde6e3 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex
@@ -48,7 +48,7 @@ D_\alpha&\vec{t}\\
 \right|
 \;
 \alpha\in\mathbb{R},\vec{t}\in\mathbb{R}^2
-\right\}
+\right\}.
 \]
 Wir kürzen die Elemente von $G$ auch als $(\alpha,\vec{t})$ ab.
 \begin{teilaufgaben}
@@ -181,7 +181,7 @@ Y
 0&0&0\\
 0&0&1\\
 0&0&0
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}.
 \end{align*}
 \item
 Die Vertauschungsrelationen sind
@@ -226,7 +226,7 @@ DY-YD
 &=
 XY-YX
 =
-0-0=0
+0-0=0.
 \qedhere
 \end{align*}
 \end{teilaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex
index 14fbe2b..a154703 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex
@@ -117,12 +117,12 @@ Dies ist am einfachsten in der Matrixform nachzurechnen:
 \begin{pmatrix} e^{s_1}&0\\0&1\end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} e^{s_2}&0\\0&1\end{pmatrix}
 &=
-\begin{pmatrix}e^{s_1+s_2}&0\\0&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}e^{s_1+s_2}&0\\0&1\end{pmatrix},
 &
 \begin{pmatrix} 1&t_1\\0&1\end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} 1&t_2\\0&1\end{pmatrix}
 &=
-\begin{pmatrix} 1&t_1+t_2\\0&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix} 1&t_1+t_2\\0&1\end{pmatrix}.
 \end{align*}
 \item
 Die Tangentialvektoren werden erhalten durch ableiten der
@@ -138,7 +138,7 @@ T
 &=
 \frac{d}{dt} \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{t=0}
 =
-\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}.
 \end{align*}
 \item Der Kommutator ist
 \[