zweite Lesung

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diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex
index c9d0d8c..c8d6379 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex
@@ -71,7 +71,7 @@ mehr Gewicht als eine Seite mit vielen Links, unter denen der Link
 auf die Seite $j$ einer von Vielen ist.
 Im Beispiel-Internet der Abbildung~\ref{buch:figure:modellinternet}
 signalisiert die Seite $6$ mit nur einem Link auf die Seite $8$
-viel deutlicher, dass $8$ eine wichtige Seite ist, also die die
+viel deutlicher, dass $8$ eine wichtige Seite ist, also dies die
 Seite $5$ tut, die auch noch zwei andere Links enthält.
 Wir können diesen Unterschied berücksichtigen, indem wir zu einem
 Wahrscheinlichkeitsmodell übergehen, was wir im folgenden Abschnitt
@@ -91,7 +91,7 @@ einer bestimmten Seite landet.
 Wir bezeichnen mit $S_i$ das Ereignis, dass sich der Besucher auf
 der Seite mit der Nummer $i$ befindet, wobei $i=1,\dots,N$.
 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(S_i)$.
-Ohne weitere Information müssten wir davon ausgehen, dass jede Seite
+Ohne weitere Information müssen wir davon ausgehen, dass jede Seite
 etwa gleich wahrscheinlich ist, dass also $P(S_i) = 1/N$.
 
 Wir wissen jedoch mehr.
@@ -128,6 +128,7 @@ Falls es einen Link gibt, ist $P(S'_j\mid S_i)\ge 0$.
 A priori wissen wir nicht, wie wahrscheinlich es ist, dass der Besucher
 dem Link auf die Seite $j$ folgt, normalerweise werden nicht alle
 Links mit gleicher Wahrscheinlichkeit verwendet.
+Darüber hben wir aber keine Detailinformation.
 Wir nehmen daher vereinfachend an, dass alle Links gleich wahrscheinlich
 sind.
 Enthält die Seite $i$ genau $n_i$ Links, dann ist die Wahrscheinlichkeit,
@@ -142,13 +143,13 @@ Es gilt
 \begin{equation}
 P(S'_j)
 =
-P(S'j\mid S_1) P(S_1)
+P(S'_j\mid S_1) P(S_1)
 +
-P(S'j\mid S_2) P(S_2)
+P(S'_j\mid S_2) P(S_2)
 +
 \dots
 +
-P(S'j\mid S_N) P(S_N)
+P(S'_j\mid S_N) P(S_N)
 =
 \sum_{i=1}^N P(S_j'\mid S_i)P(S_i)
 .
@@ -212,7 +213,7 @@ entlang eines Links.
 
 \begin{beispiel}
 Für das Beispiel-Internet von Abbildung~\ref{buch:figure:modellinternet}
-ist die zugehörige Matrix
+ist die zugehörige Link-Matrix
 \begin{equation}
 H =
 \begin{pmatrix}
@@ -423,7 +424,7 @@ diskutiert wird.
 
 Natürlich ist die heutzutage verwendete Matrix mit Sicherheit komplizierter.
 In der vorgestellten Form unterstützt sie zum Beispiel auch das folgende
-Geschäftsmodell, welches in der Anfangszeit von Google eine Zeitlang 
+Geschäftsmodell, welches in der Anfangszeit von Google eine Zeit lang 
 erfolgreich war.
 Ein Anbieter betreibt zu diesem Zweck eine grosse Zahl von Websites,
 deren Seiten im Wesentlichen aus Suchbegriffen und Links untereinander
@@ -457,7 +458,7 @@ Relevanz einer Seite.
 
 Wir nehmen an, dass sich diese Wahscheinlichkeit nur langsam ändert.
 Diese Annahme trifft nicht zu für neue Nachrichten, die durchaus eine
-hohe Relevanz haben, für es aber noch nicht viele Links geben kann,
+hohe Relevanz haben, für die es aber noch nicht viele Links geben kann,
 die die Relevanz in der Google-Matrix erkennbar machen.
 Die Annahme bedeutet, dass sich die Verteilung $p$ sehr viel langsamer 
 ändert als der Navigationsprozess entlang der Links erfolgt.
@@ -516,7 +517,7 @@ p
 Der Vektor $p_0$ ist ein Einheitsvektor in der euklidischen Norm.
 Er kann daher nicht eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein,
 da sich die Elemente nicht zu $1$ summieren.
-Die $L^1$-Norm $\|\;\cdot\;\|_1$ eines Vektors ist die Summe der Beträge aller
+Die $l^1$-Norm $\|\;\cdot\;\|_1$ eines Vektors ist die Summe der Beträge aller
 Elemente eines Vektors.
 Indem man $p_0$ durch die Summe aller Einträge von $p_0$ teilt,
 erhält man die Wahrscheinlichkeitsverteilung $p$.
@@ -580,9 +581,9 @@ Numerische Ungenauigkeiten können bewirken, dass die Iteration mit der
 Matrix $A/\lambda_1$ trotzdem nicht konvergiert.
 Man kann dies komponsieren, indem man nach jeder Iteration normiert.
 Da der gesuchte Eigenvektor eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein muss,
-muss die $L^1$-Norm $1$ sein.
-Statt mit der euklidischen $L^2$-Norm zu normieren, normiert man daher
-besser mit der $L^1$-Norm.
+muss die $l^1$-Norm $1$ sein.
+Statt mit der euklidischen $l^2$-Norm zu normieren, normiert man daher
+besser mit der $l^1$-Norm.
 Damit ergibt sich das folgende Verfahren zur Bestimmung der Pagerank-Verteilung
 $p$ für die Google-Matrix.
 
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/diffusion.jpg b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/diffusion.jpg
index b79b07b..565ae99 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/diffusion.jpg
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/diffusion.jpg
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/diffusion.pdf b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/diffusion.pdf
index ac4c0ff..46207a5 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/diffusion.pdf
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/diffusion.pdf
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/diffusion.png b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/diffusion.png
index f4c6294..46e6895 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/diffusion.png
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/diffusion.png
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/dreieck.pdf b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/dreieck.pdf
index 0cca2e1..fb8a6bc 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/dreieck.pdf
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/dreieck.pdf
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov2.pdf b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov2.pdf
index d534c8f..457a650 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov2.pdf
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov2.pdf
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov2.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov2.tex
index c2fab2e..3cf2f2f 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov2.tex
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov2.tex
@@ -14,6 +14,8 @@
 \def\skala{1}
 \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
 
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
 \def\punkt#1#2#3{
 	\fill[color=white] #1 circle[radius=0.10];
 	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.13];
@@ -68,6 +70,11 @@
 	}
 }
 
+\fill[color=darkgreen!20]
+	(-0.5,{-4.2*\ys}) rectangle ({5*\xs+0.5},{-0.8*\ys});
+\fill[color=blue!20]
+	(-0.5,{-8.2*\ys}) rectangle ({5*\xs+0.5},{-4.8*\ys});
+
 \begin{scope}
 \clip (-0.5,{-8.5*\ys}) rectangle ({5*\xs+0.5},-0.5);
 \fan{-1}{gray}
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.jpg b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.jpg
index 53544cb..aaa5f80 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.jpg
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.jpg
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf
index 39aa3cd..7a17ed1 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.png b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.png
index a2bd9bf..2ea451d 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.png
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.png
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex
index 6dad883..226c3d3 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex
@@ -23,17 +23,17 @@ Ein stochastischer Prozess ist eine Familie von Zufallsvariablen
 \index{Zufallsvariable}%
 $X_t$ mit Werten in einer Menge $\mathcal{S}$ von Zuständen.
 Der Parameter $t$ wird üblicherweise als die Zeit interpretiert,
-er kann beliebige reelle Werte oder diskrete Werte annahmen, im letzten
+er kann beliebige reelle oder diskrete Werte annehmen, im letzten
 Fall spricht man von einem Prozess mit diskreter Zeit.
 
 Das Ereignis $\{X_t=x\}$ wird gelesen als ``zur Zeit $t$ befindet sich
 der Prozess im Zustand $x$''.
 Mit $P(X_t = x)$ wir die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass sich
 der Prozess zur Zeit $t$ im Zustand $x$ befindet.
-Die Funktion $t\mapsto X_t$ beschreiben also den zeitlichen Ablauf
+Die Funktion $t\mapsto X_t$ beschreibt also den zeitlichen Ablauf
 der vom Prozess durchlaufenen Zustände.
 Dies ermöglicht, Fragen nach dem Einfluss früherer Zustände,
-also des Eintretens eines Ereignisses $\{X_{t_0}=x\}$ auf das Eintreten eines
+also des Eintretens eines Ereignisses $\{X_{t_0}=x\}$, auf das Eintreten eines
 Zustands $s\in\mathcal{S}$ zu einem späteren Zeitpunkt $t_1>t_0$
 zu studieren.
 Das Ereignis $\{X_t = x\}$ kann man sich als abhängig von der Vorgeschichte
@@ -41,17 +41,17 @@ vorstellen.
 \index{Vorgeschichte}%
 Die Vorgeschichte besteht dabei aus dem Eintreten gewisser Ereignisse
 \[
-\{X_0=x_0\},
-\{X_1=x_1\},
-\{X_2=x_2\},
-\dots,
+\{X_0=x_0\},\;
+\{X_1=x_1\},\;
+\{X_2=x_2\},\;
+\dots,\;
 \{X_n=x_n\}
 \]
 zu früheren Zeiten $t_0<t_1<\dots<t_n<t$.
 Die bedingte Wahrscheinlichkeit
 \begin{equation}
 P(X_t = x \mid
-X_{t_n}=x_n\wedge X_{t_{n-1}}=x_{n-1}\wedge\dots\wedge X_{t_1}=x_1\wedge
+X_{t_n}=x_n\wedge X_{t_{n-1}}=x_{n-1}\wedge\ldots\wedge X_{t_1}=x_1\wedge
 X_{t_0}=x_0)
 \label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:historybedingt}
 \end{equation}
@@ -62,7 +62,7 @@ die Zustände $x_0,x_1,\dots,x_n$ durchlaufen hat.
 \subsubsection{Gedächtnislosigkeit}
 \index{Markov-Eigenschaft}%
 In vielen Fällen ist nur der letzte durchlaufene Zustand wichtig.
-Die Zustände in den Zeitpunkten $t_0<\dots<t_{n-1}$ haben dann keinen
+Die Zustände zu den Zeitpunkten $t_0<\dots<t_{n-1}$ haben dann keinen
 Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit.
 Auf die bedingte
 Wahrscheinlichkeit~\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:historybedingt}
@@ -170,7 +170,7 @@ p_{x_1x_0}(t_1,s)
 \prod_{i=0}^{n}
 p_{x_{i+1}x_i}(t_{i+1}t_i)
 \]
-heisst die {\em Pfadwahrscheinlichkeit} für genannten Pfad.
+heisst die {\em Pfadwahrscheinlichkeit} für den genannten Pfad.
 \index{Pfadwahrscheinlichkeit}%
 \end{definition}
 
@@ -256,7 +256,7 @@ Die Summe der Elemente einer Spalte
 
 \begin{beispiel}
 Die Permutationsmatrix einer Permutation $\sigma\in S_n$ 
-(Abschnitt~\label{buch:section:permutationsmatrizen})
+(Abschnitt~\ref{buch:section:permutationsmatrizen})
 \index{Permutationsmatrix}%
 ist eine Matrix mit Einträgen $0$ und $1$, so dass die erste Bedingung
 erfüllt ist.
@@ -329,8 +329,8 @@ Die Summe aller Zeilen von $T-I$ ist also $0$, die Matrix $T-I$
 ist singulär.
 
 Dass $T-I$ singulär ist, garantiert aber noch nicht,
-dass alle Einträge in einem zum Eigenwert $1$
-Eigenvektor auch tatsächlich nichtnegativ gewählt werden können.
+dass alle Einträge in einem Eigenvektor zum Eigenwert $1$
+auch tatsächlich nichtnegativ gewählt werden können.
 Die Perron-Frobienus-Theorie von
 \index{Perron-Frobenius-Theorie}%
 Abschnitt~\ref{buch:section:positive-vektoren-und-matrizen}
@@ -405,16 +405,17 @@ Eine eindeutige stationäre Verteilung können wir also nur erwarten,
 wenn alle Zustände miteinander kommunizieren.
 
 \begin{definition}
-Eine homogene Markov-Kette heisst {\em irreduzibel}, alle Zustände miteinander
-kommunizieren.
+Eine homogene Markov-Kette heisst {\em irreduzibel},
+wenn alle Zustände miteinander kommunizieren.
 \index{irreduzible Markov-Kette}
 \end{definition}
 
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/markov2.pdf}
-\caption{Diese Markov-Kette zerfällt in verschiedene irreduzible
-Markov-Ketten, dere Zustandsmengen nicht miteinander kommunizieren.
+\caption{Diese Markov-Kette zerfällt in zwei verschiedene irreduzible
+Markov-Ketten (blau und grün hinterlegt),
+deren Zustandsmengen nicht miteinander kommunizieren.
 Solche Markov-Ketten können unabhängig voneinander studiert werden.
 \label{buch:wahrscheinlichkeit:fig:markovzerfall}}
 \end{figure}
@@ -580,7 +581,7 @@ Die konstante Verteilung $\frac13U$ ist offensichtlich eine
 stationäre Verteilung.
 In Abschnitt~\ref{buch:section:positive-vektoren-und-matrizen}
 wird gezeigt, dass es die einzige ist.
-Sei jetzt $p(0)$ eine beliebiger Vektor in $\mathbb{R}^3$ mit
+Sei jetzt $p(0)$ ein beliebiger Vektor in $\mathbb{R}^3$ mit
 nichtnegativen Einträgen, die sich zu $1$ summieren.
 Dann bilden die Vektoren $p(n)=T^np(0)$ einen Dreierzyklus
 \begin{align*}
@@ -718,7 +719,7 @@ heisst {\em absorbierend}, wenn $T_{ii}=1$ ist.
 Eine Markov-Kette mit mindestens einem absorbierenden Zustand heisst
 {\em absorbierende Markov-Kette}.
 \index{absorbierende Markov-Kette}%
-Nicht absorbierende Zustände heissen {\em transient}
+Nicht absorbierende Zustände heissen {\em transient}.
 \index{transienter Zustand}%
 \end{definition}
 
@@ -827,7 +828,7 @@ B_{k}=\begin{cases}
 0&\qquad\text{sonst,}
 \end{cases}
 \]
-die genau dann $1$ ist, wenn der Prozess ausgehend von $j$ im Zustand
+die genau dann $1$ ist, wenn der Prozess ausgehend vom Zustand $j$
 beim $k$-ten Schritt den Zustand $i$ besucht.
 Die Zufallsvariable der Anzahl $B$ der Besuche des Zustands $i$ ist die
 Summe der $B_k$.
@@ -836,7 +837,7 @@ jetzt als Erwartungswert ausdrücken lässt, es ist
 $P(X_k=i \mid X_0=j) = E(B_k)$.
 
 Damit lässt sich jetzt die Fundamentalmatrix auf andere Art interpretieren.
-Der Eintrag $N_{i\!j}$ ist
+Der Eintrag $F_{i\!j}$ ist
 \begin{align*}
 F_{i\!j}
 &=
@@ -855,7 +856,7 @@ P(X_2=i\mid X_0=j)
 &=E(B_0+B_1+B_2+\dots)
 =E(B).
 \end{align*}
-Die Summe der $B_k$ ist aber die erwartete Anzahl der Besuch im Zustand $i$.
+Die Summe der $B_k$ ist die erwartete Anzahl der Besuch im Zustand $i$.
 
 \begin{satz}
 \label{buch:markov:satz:anzahlbesuche}
@@ -866,9 +867,12 @@ Element $F_{i\!j}$ der Fundamentalmatrix $F=(I-Q)^{-1}$.
 
 \subsubsection{Absorptionszeit}
 \index{Absorptionszeit}%
+\begin{frage}
 Wie lange dauert es im Mittel, bis der Prozess ausgehend vom Zustand $j$
 in einem Absorbptionszustand $i$ stecken bleibt?
-Sie ist gleich gross wie die Zeit, während der der Prozess nicht absorbierende
+\end{frage}
+Die Absorptionszeit ist gleich gross wie die Zeit,
+während der der Prozess nicht absorbierende
 Zustände besucht.
 Die Zeit $t_j$, bis der Prozess in einen absorbierenden Zustand wechselt, ist also
 die erwartete Anzahl Besuche nicht absorbierender Zustände.
@@ -878,7 +882,7 @@ t_j
 =
 \sum_{\text{$i$ nicht absorbierend}} E(\text{Anzahl Besuche von $i$}\mid X_0=j)
 =
-\sum_{\text{$i$ nicht absorbierend}} F_{i\!j}.
+\sum_{i} F_{i\!j}.
 \]
 $t_j$ ist also die Summe der Elemente der Spalte $j$ der Fundamentalmatrix $F$.
 Man kann diese Summe auch vektoriell schreiben mit einem Zeilenvektor $U^t$
@@ -897,10 +901,12 @@ Einträge in Spalte $j$ der Fundamentalmatrix $F$.
 
 \subsubsection{Absorptionswahrscheinlichkeit}
 \index{Absorptionswahrscheinlichkeit}%
+\begin{frage}
 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Prozess ausgehend von
 Zustand $j$ irgendwann im Zustand $i$ absorbiert wird?
+\end{frage}
 Die Potenzen $T^k$ der Übergangsmatrix enthalten in Zeile $j$
-und Spalte $i$ die Wahrscheinlichkeit, dass nach spätestens $k$ Schritten
+und Spalte $i$ die Wahrscheinlichkeit, dass dies nach spätestens $k$ Schritten
 geschehen ist.
 Wir müssen daher den Grenzwert
 \(
@@ -925,9 +931,11 @@ die Wahrscheinlichkeit, dass der Prozess ausgehend vom Zustand $j$
 irgendwann im Zustand $i$ absorbiert wird.
 
 \subsubsection{Absorption über den letzten Zustand $l$}
+\begin{frage}
 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die von $j$ ausgehende
 Absorption in den Zustand $i$ als letzten Zustand vor der Absorption
 den Zustand $l$ hat?
+\end{frage}
 Wir schreiben $l\overset{\smash{k}}{\twoheadrightarrow} i$ für das Ereignis, dass der Prozess
 im $k$-ten Schritt über den letzten
 Zustand $l$ in den Absorbtionszustand $i$ übergeht.
@@ -970,8 +978,11 @@ geschrieben werden.
 
 \subsubsection{Wartezeit für eine beliebige Markov-Kette}
 \index{Wartezeit}%
-Die mittlere Wartezeit bis zum Erreichen eines Zustands in einer
-beliebigen Markov-Kette kann mit der
+\begin{frage}
+Wie gross ist die mittlere Wartezeit, bis eine beliebige Markov-Kette
+einen bestimmten Zustand erreicht?
+\end{frage}
+Auch diese mittlere Wartezeit kann mit der
 Theorie zur Berechnung der Absorptionszeit berechnet werden.
 Dazu modifiziert man den Prozess dahingehend, dass der Zielzustand
 ein absorbierender Zustand wird.
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex
index f27da0b..105e7ab 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex
@@ -5,7 +5,6 @@
 %
 \section{Das Paradoxon von Parrondo
 \label{buch:section:paradoxon-von-parrondo}}
-\rhead{Das Paradoxon von Parrondo}
 Das Paradoxon von Parrondo ist ein der Intuition widersprechendes
 Beispiel für eine Kombination von Spielen mit negativer Gewinnerwartung,
 deren Kombination zu einem Spiel mit positiver Gewinnerwartung führt.
@@ -18,6 +17,8 @@ eine sehr einfache Analyse.
 \subsection{Die beiden Teilspiele
 \label{buch:subsection:teilspiele}}
 
+\rhead{Das Paradoxon von Parrondo}
+
 \subsubsection{Das Spiel $A$}
 Das Spiel $A$ besteht darin, eine Münze zu werfen.
 Je nach Ausgang gewinnt oder verliert der Spieler eine Einheit.
@@ -69,8 +70,9 @@ Dreierreste des Kapitals.
 \end{figure}%
 Für den Verlauf des Spiels spielt nur der Dreierrest des Kapitals
 eine Rolle.
-Es gibt daher drei mögliche Zustände $0$, $1$ und $2$.
-In einem Spielzug finde ein Übergang in einen anderen Zustand
+Es gibt daher drei mögliche Zustände $0$, $1$ und $2$
+(Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:spielB}).
+In einem Spielzug findet ein Übergang in einen anderen Zustand
 statt, der Eintrag $b_{ij}$ ist die Wahrscheinlichkeit
 \[
 b_{ij}
@@ -188,7 +190,7 @@ E(Y\mid K\equiv 2)
 \end{pmatrix}
 =
 U^t
-G\odot B.
+(G\odot B).
 \]
 Die Gewinnerwartung ist dann das Produkt
 \[
@@ -369,7 +371,7 @@ P(Y=+1\mid K\equiv 2) \cdot P(K\equiv 2)
 \frac{13}{26}
 =
 \frac12
-\\
+\\[8pt]
 P(Y=-1)
 &=
 P(Y=-1\mid K\equiv 0) \cdot P(K\equiv 0)
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex
index 159d6d3..4e57fe0 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex
@@ -29,16 +29,16 @@ erklärt.
 \label{buch:subsection:elementare-eigenschaften}}
 In diesem Abschnitt betrachten wir ausschliesslich reelle Vektoren
 und Matrizen.
-Die Komponenten sind somit immer mit miteinander vergleichbar, daraus
+Die Komponenten sind somit immer miteinander vergleichbar, daraus
 lässt sich auch eine Vergleichsrelation zwischen Vektoren
 ableiten.
 
 \begin{definition}
 Ein Vektor $v\in\mathbb{R}^n$ heisst {\em positiv}, geschrieben
-$v>0$, wenn alle seine Komponenten positiv sind: $v_i>0\forall i$.
+$v>0$, wenn alle seine Komponenten positiv sind: $v_i>0\,\forall i$.
 Ein Vektor $v\in\mathbb{R}^n$ heisst {\em nichtnegativ}, in Formeln
 $v\ge 0$, wenn alle
-seine Komponenten nicht negativ sind: $v_i\ge 0\forall i$.
+seine Komponenten nicht negativ sind: $v_i\ge 0\,\forall i$.
 \index{positiver Vektor}%
 \index{nichtnegativer Vektor}%
 \end{definition}
@@ -67,9 +67,9 @@ Die Definition funktionieren analog auch für Matrizen:
 
 \begin{definition}
 Eine Matrix $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$  heisst {\em positiv},
-wenn alle ihre Einträge $a_{i\!j}$ positiv sind: $a_{i\!j}>0\forall i,j$.
+wenn alle ihre Einträge $a_{i\!j}$ positiv sind: $a_{i\!j}>0\,\forall i,j$.
 Eine Matrix $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$  heisst {\em nichtnegativ},
-wenn alle ihre Einträge $a_{i\!j}$ nichtnegativ sind: $a_{i\!j}\ge 0\forall i,j$.
+wenn alle ihre Einträge $a_{i\!j}$ nichtnegativ sind: $a_{i\!j}\ge 0\,\forall i,j$.
 \index{positive Matrix}%
 \index{nichtnegative Matrix}%
 Man schreibt $A>B$ bzw.~$A\ge B$ wenn $A-B>0$ bzw.~$A-B\ge 0$.
@@ -132,7 +132,7 @@ und dass daher für alle $n\ge 5$ die Matrix $A^n$ positiv ist.
 
 Die Eigenschaft der Matrix $A$ von
 \eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:diffusion}, dass $A^n>0$
-für genügend grosses $n$ ist bei Permutationsmatrizen nicht
+für genügend grosses $n$ ist, ist bei Permutationsmatrizen nicht
 vorhanden.
 Die Zyklen-Zerlegung einer Permutationsmatrix zeigt, welche
 Unterräume von $\mathbb{R}^n$ die iterierten Bilder eines
@@ -144,14 +144,16 @@ Unterräumen statt.
 \begin{beispiel}
 Die Matrix
 \begin{equation}
-A=\begin{pmatrix}
+A=\left(\begin{array}{ccc|ccc}
 0.9&0.1&   &   &   &   \\
 0.1&0.8&0.1&   &   &   \\
    &0.1&0.9&   &   &   \\
+\hline
    &   &   &0.9&0.1&   \\
    &   &   &0.1&0.8&0.1\\
    &   &   &   &0.1&0.9
-\end{pmatrix}
+\end{array}
+\right)
 \label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:diffusionbloecke}
 \end{equation}
 besteht aus zwei $3\times 3$-Blöcken.
@@ -164,6 +166,7 @@ Teilmatrizen, aber die Matrix $A^n$ ist für alle $n$ nicht positiv.
 \end{beispiel}
 
 \begin{definition}
+\label{buch:positiv:def:primitiv}
 Eine nichtnegative Matrix mit der Eigenschaft, dass $A^n>0$ für
 ein genügend grosses $n$, heisst {\em primitiv}.
 \index{primitive Matrix}%
@@ -323,6 +326,7 @@ gleiche Richtung haben (rot).
 Hier dargestellt am Beispiel von Zahlen in der komplexen Zahlenebene.
 In dieser Form wird die verallgemeinerte Dreiecksungleichung in
 Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:verallgdreieckC}
+angewendet.
 \label{buch:wahrscheinlichkeit:fig:dreieck}}
 \end{figure}
 
@@ -344,7 +348,7 @@ gewöhnliche Dreiecksungleichung.
 
 Wir nehmen daher jetzt an, die Aussage sei für $n$ bereits bewiesen,
 wir müssen sie für $n+1$ beweisen.
-Die Summe von $n+1$ Vektoren kann man $u=u_1+\dots+u_n$ und $v=u_{n+1}$
+Die Summe von $n+1$ Vektoren kann man in $u=u_1+\dots+u_n$ und $v=u_{n+1}$
 aufteilen.
 Es gilt nach der gewöhnlichen Dreiecksungleichung, dass
 \[
@@ -465,8 +469,8 @@ Das ist nur möglich, wenn $\lambda > 0$.
 Wenn $v$ ein Eigenvektor von $A$ ist, dann ist auch jedes Vielfache
 davon ein Eigenvektor, insbesondere können einzelne Komponenten
 des Vektors $v$ auch negativ sein.
-Der folgende Satz zeigt aber, dass man der Vektor aus den Beträgen
-von der Komponenten von $v$ ebenfalls ein Eigenvektor zum 
+Der folgende Satz zeigt aber, dass der Vektor aus den Beträgen
+der Komponenten von $v$ ebenfalls ein Eigenvektor zum 
 gleichen Eigenwert ist.
 Insbesondere gibt es immer einen nichtnegativen Eigenvektor.