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diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex index 9f0c26f..76fa0ee 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex @@ -12,7 +12,7 @@ Die Gruppe \[ \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) = -\{ A \in M_n(\mathbb{R})\;|\; \det A \ne 0\} +\{ A \in M_n(\mathbb{R}) \mid \det A \ne 0\} \] besteht aus den Matrizen, deren Determinante nicht $0$ ist. Da die Menge der Matrizen mit $\det A=0$ eine abgeschlossene Menge @@ -266,7 +266,7 @@ Jede komplexe Zahl $z$ vom Betrag $1$ kann geschrieben werden in der Form $z=e^{i\alpha}$. Die Abbildung $f$ ist also eine Parametrisierung des Einheitskreises in der Ebene. -Wir bezeichen $S^1=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|=1\}$ die komplexen Zahlen vom +Wir bezeichen $S^1=\{z\in\mathbb{C} \mid |z|=1\}$ die komplexen Zahlen vom Betrag $1$. $S^1$ ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, da für alle Zahlen $z,w\in S^1$ gilt @@ -479,7 +479,7 @@ daher aus den Matrizen \[ \operatorname{O}(n) = -\{ A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; AA^t=I\}. +\{ A\in M_n(\mathbb{R}) \mid AA^t=I\}. \] Die Matrixgleichung $AA^t=I$ liefert $n(n+1)/2$ unabhängige Bedingungen, die die orthogonalen Matrizen innerhalb der $n^2$-dimensionalen diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex index ece02b5..3db4873 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex @@ -499,22 +499,22 @@ Die Projektionen auf die einzelnen Koordinaten liefern die folgenden vier Karten: \begin{align*} \color{red} -\varphi_1&{\color{red}\colon U_{x>0}=\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x>0\}}\to\mathbb{R} +\varphi_1&{\color{red}\colon U_{x>0}=\{(x,y) \mid x^2+y^2=1\wedge x>0\}}\to\mathbb{R} : (x,y) \mapsto y \\ \color{blue} -\varphi_2&{\color{blue}\colon U_{x<0}=\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x<0\}}\to\mathbb{R} +\varphi_2&{\color{blue}\colon U_{x<0}=\{(x,y) \mid x^2+y^2=1\wedge x<0\}}\to\mathbb{R} : (x,y) \mapsto y \\ \color{darkgreen} -\varphi_3&{\color{darkgreen}\colon U_{y>0}=\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y>0\}}\to\mathbb{R} +\varphi_3&{\color{darkgreen}\colon U_{y>0}=\{(x,y) \mid x^2+y^2=1\wedge y>0\}}\to\mathbb{R} : (x,y) \mapsto x \\ \color{orange} -\varphi_4&{\color{orange}\colon U_{y<0}=\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y<0\}}\to\mathbb{R} +\varphi_4&{\color{orange}\colon U_{y<0}=\{(x,y) \mid x^2+y^2=1\wedge y<0\}}\to\mathbb{R} : (x,y) \mapsto x \end{align*} @@ -588,7 +588,7 @@ die Kreislinie (Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}). Ganz analog zum vorangegangenen Beispiel über die Kreisline lässt sich für eine $n$-di\-men\-sio\-nale Sphäre \[ -S^n = \{ (x_1,\dots,x_{n+1})\;|\; x_0^2+\dots+x_n^2=1\} +S^n = \{ (x_1,\dots,x_{n+1}) \mid x_0^2+\dots+x_n^2=1\} \] immer ein Atlas aus $2^{n+1}$ Karten mit den Koordinatenabbildungen \[ @@ -596,7 +596,7 @@ immer ein Atlas aus $2^{n+1}$ Karten mit den Koordinatenabbildungen \colon U_{i,\pm} = -\{p\in S^n\;|\; \pm x_i >0\} +\{p\in S^n \mid \pm x_i >0\} \to \mathbb{R}^n : |