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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2022-07-01 20:55:53 +0200 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2022-07-01 20:55:53 +0200 |
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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex index 3709300..8a638a7 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex @@ -228,6 +228,7 @@ Nach Multiplikation mit $\operatorname{qp}(u,k)^4$ erhält man den folgenden Satz. \begin{satz} +\index{Satz!Differentialgleichung von $1/\operatorname{pq}(u,k)$}% Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert $\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung @@ -383,6 +384,7 @@ n & a_n & b_n & x_n & \caption{Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ für $u=0.6$ und $k=0.$2 mit Hilfe des arithmetisch-geo\-me\-tri\-schen Mittels. In der ersten Phase des Algorithmus (rot) wird die Folge der arithmetischen +\index{Algorithmus!arithmetisch-geometrisches Mittel}% und geometrischen Mittel berechnet, in der zweiten Phase werden die Approximationen von $x_0=\operatorname{sn}(u,k)$. Bei $n=5$ erreicht die Iteration des arithmetisch-geometrischen Mittels @@ -394,6 +396,8 @@ In Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:agm} auf Seite~\pageref{buch:elliptisch:subsubection:berechnung-fxk-agm} wurde erklärt, wie das unvollständige elliptische Integral $F(x,k)$ mit Hilfe des arithmetisch-geometrischen Mittels berechnet werden kann. +\index{Algorithmus!arithmetisch-geometrisches Mittel}% +\index{arithmetisch-geometrisches Mittel!Algorithmus}% Da $\operatorname{sn}^{-1}(x,k) = F(x,k)$ die Umkehrfunktion ist, kann man den Algorithmus auch zur Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ verwenden. @@ -533,6 +537,7 @@ zusammengestellt. % \subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung +\index{Differentialgleichung!das anharmonischen Oszillators}% \begin{equation} \biggl( \frac{dx}{dt} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index 25f7083..466aeb7 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -179,6 +179,7 @@ Da im Integral nur $k^2$ auftaucht, wird sich $K(k)$ als hypergeometrische Funktion von $k^2$ ausdrücken lassen. \begin{satz} +\index{Satz!vollständiges elliptisches Integral als hypergeometrische Funktion}% \label{buch:elliptisch:satz:hyperK} Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ lässt sich durch die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ als @@ -430,7 +431,7 @@ Für $\varepsilon=1$ ist $a=0$, es entsteht eine Strecke mit Länge $E(1)=1$. \begin{satz} \label{buch:elliptisch:satz:hyperE} -Das volständige elliptische Integral $E(k)$ ist +Das vollständige elliptische Integral $E(k)$ ist \[ E(k) = @@ -496,6 +497,7 @@ b_0&=b &&\text{und}& b_{n+1} &= \sqrt{a_nb_n} &&\text{geometrisches Mittel} definiert sind. \begin{satz} +\index{Satz!arithmetisch-geometrisches Mittel}% Falls $a>b>0$ ist, nimmt die Folge $(a_k)_{k\ge 0}$ monoton ab und $(b_k)_{k\ge 0}$ nimmt monoton zu. Beide konvergieren quadratisch gegen einen gemeinsamen Grenzwert. @@ -636,6 +638,7 @@ mit einem Computer-Algebra-System ausführen lässt finden, dass tatsächlich korrekt ist. \begin{satz} +\index{Satz!Gauss-Integrale}% \label{buch:elliptisch:agm:integrale} Für $a_1=(a+b)/2$ und $b_1=\sqrt{ab}$ gilt \[ @@ -653,6 +656,7 @@ Dies gilt natürlich für alle Glieder der Folge zur Bestimmung des arithmetisch-geometrischen Mittels. \begin{satz} +\index{Satz!Iab@$I(a,b)$ und arithmetisch geometrisches Mittel}% Für $a\ge b>0$ gilt \begin{equation} I(a,b) @@ -719,6 +723,7 @@ k=\sqrt{1-k^{\prime 2}} \end{align*} \begin{satz} +\index{Satz!vollständige elliptische Integrale und arithmetisch-geometrisches Mittel}% \label{buch:elliptisch:agm:satz:Ek} Für $0<k\le 1$ ist \[ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex index 670b1de..0ff9cdb 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex @@ -480,6 +480,7 @@ wählt, dass Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln \begin{satz} +\index{Satz!Ableitungen der Jacobischen elliptischen Funktionen}% \label{buch:elliptisch:satz:ableitungen} Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben die Ableitungen \begin{equation} |