Merge branch 'AndreasFMueller:master' into master

16 files changed, 968 insertions, 0 deletions

diff --git a/buch/papers/dreieck/Makefile b/buch/papers/dreieck/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..f0cb602
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/Makefile
@@ -0,0 +1,9 @@
+#
+# Makefile -- make file for the paper dreieck
+#
+# (c) 2020 Prof Dr Andreas Mueller
+#
+
+images:
+	@echo "no images to be created in dreieck"
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/Makefile.inc b/buch/papers/dreieck/Makefile.inc
new file mode 100644
index 0000000..843da8d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/Makefile.inc
@@ -0,0 +1,14 @@
+#
+# Makefile.inc -- dependencies for this article
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+dependencies-dreieck =						\
+	papers/dreieck/packages.tex					\
+	papers/dreieck/main.tex					\
+	papers/dreieck/references.bib				\
+	papers/dreieck/teil0.tex					\
+	papers/dreieck/teil1.tex					\
+	papers/dreieck/teil2.tex					\
+	papers/dreieck/teil3.tex
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/Makefile b/buch/papers/dreieck/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..c979599
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/images/Makefile
@@ -0,0 +1,18 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	order.pdf beta.pdf
+
+order.pdf:	order.tex orderpath.tex
+	pdflatex order.tex
+
+orderpath.tex:	order.m
+	octave order.m
+
+beta.pdf:	beta.tex betapaths.tex
+	pdflatex beta.tex
+
+betapaths.tex:	betadist.m
+	octave betadist.m
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf b/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf
new file mode 100644
index 0000000..cd5ed80
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/beta.tex b/buch/papers/dreieck/images/beta.tex
new file mode 100644
index 0000000..f0ffdf0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/images/beta.tex
@@ -0,0 +1,236 @@
+%
+% beta.tex -- display some symmetric beta distributions
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\input{betapaths.tex}
+\begin{document}
+\def\skala{12}
+\definecolor{colorone}{rgb}{1.0,0.6,0.0}
+\definecolor{colortwo}{rgb}{1.0,0.0,0.0}
+\definecolor{colorthree}{rgb}{0.6,0.0,0.6}
+\definecolor{colorfour}{rgb}{0.6,0.0,1.0}
+\definecolor{colorfive}{rgb}{0.0,0.0,1.0}
+\definecolor{colorsix}{rgb}{0.4,0.6,1.0}
+\definecolor{colorseven}{rgb}{0.0,0.0,0.0}
+\definecolor{coloreight}{rgb}{0.0,0.8,0.8}
+\definecolor{colornine}{rgb}{0.0,0.8,0.2}
+\definecolor{colorten}{rgb}{0.2,0.4,0.0}
+\definecolor{coloreleven}{rgb}{0.6,1.0,0.0}
+\definecolor{colortwelve}{rgb}{1.0,0.8,0.4}
+
+\def\achsen{
+	\foreach \x in {0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}{
+		\draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+		\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+	}
+	\foreach \y in {1,2,3,4}{
+		\draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+		\node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+	}
+	\def\x{1}
+	\draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+	\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+	\def\x{0}
+	\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+
+	\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1*\dx+0.4/\skala},0)
+		coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,{\betamax*\dy+0.4/\skala},0)
+		coordinate[label={right:$\beta(a,b,x)$}];
+}
+
+\def\farbcoord#1#2{
+	({\dx*(0.63+((#1)/5)*0.27)},{\dx*(0.18+((#2)/5)*0.27)})
+}
+\def\farbviereck{
+	\foreach \x in {1,2,3,4}{
+		\draw[color=gray!30] \farbcoord{\x}{0} -- \farbcoord{\x}{4};
+		\draw[color=gray!30] \farbcoord{0}{\x} -- \farbcoord{4}{\x};
+	}
+	\draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{4.4}{0}
+		coordinate[label={$a$}];
+	\draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{0}{4.4}
+		coordinate[label={left: $b$}];
+	\foreach \x in {1,2,3,4}{
+		\node[color=gray] at \farbcoord{4}{\x} [right] {\tiny $b=\x$};
+		%\fill[color=white,opacity=0.7] 
+		%	\farbcoord{(\x-0.1)}{3.3}
+		%	rectangle
+		%	\farbcoord{(\x+0.1)}{4};
+		\node[color=gray] at \farbcoord{\x}{4} [right,rotate=90]
+			{\tiny $a=\x$};
+	}
+}
+\def\farbpunkt#1#2#3{
+	\fill[color=#3] \farbcoord{#1}{#2} circle[radius={0.1/\skala}];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\dx{1.1}
+\def\dy{0.1}
+\def\opa{0.1}
+
+\def\betamax{4.9}
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betabb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betacc -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betadd -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaff -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betagg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betahh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaii -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betajj -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone]    \betaaa;
+\draw[color=colortwo]    \betabb;
+\draw[color=colorthree]  \betacc;
+\draw[color=colorfour]   \betadd;
+\draw[color=colorfive]   \betaee;
+\draw[color=colorsix]    \betaff;
+\draw[color=colorseven]  \betagg;
+\draw[color=coloreight]  \betahh;
+\draw[color=colornine]   \betaii;
+\draw[color=colorten]    \betajj;
+\draw[color=coloreleven] \betakk;
+\draw[color=colortwelve] \betall;
+
+\end{scope}
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphaten}{\betaten}{colorten}
+\farbpunkt{\alphanine}{\betanine}{colornine}
+\farbpunkt{\alphaeight}{\betaeight}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphaseven}{\betaseven}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphasix}{\betasix}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafour}{\betafour}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphathree}{\betathree}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwo}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betaone}{colorone}
+
+
+\def\betamax{4.9}
+
+\begin{scope}[yshift=-0.6cm]
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaea -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaeb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betaec -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaed -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaef -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betaeg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betaeh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaei -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaej -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaek -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone]    \betaea;
+\draw[color=colortwo]    \betaeb;
+\draw[color=colorthree]  \betaec;
+\draw[color=colorfour]   \betaed;
+\draw[color=colorfive]   \betaee;
+\draw[color=colorsix]    \betaef;
+\draw[color=colorseven]  \betaeg;
+\draw[color=coloreight]  \betaeh;
+\draw[color=colornine]   \betaei;
+\draw[color=colorten]    \betaej;
+\draw[color=coloreleven] \betaek;
+\draw[color=colortwelve] \betael;
+\end{scope}
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeleven}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaten}{colorten}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betanine}{colornine}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeight}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaseven}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betasix}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafour}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betathree}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwo}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaone}{colorone}
+
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-1.2cm]
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaal -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betabl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betacl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betadl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betafl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betagl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betahl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betail -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betajl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone]    \betaal;
+\draw[color=colortwo]    \betabl;
+\draw[color=colorthree]  \betacl;
+\draw[color=colorfour]   \betadl;
+\draw[color=colorfive]   \betael;
+\draw[color=colorsix]    \betafl;
+\draw[color=colorseven]  \betagl;
+\draw[color=coloreight]  \betahl;
+\draw[color=colornine]   \betail;
+\draw[color=colorten]    \betajl;
+\draw[color=coloreleven] \betakl;
+\draw[color=colortwelve] \betall;
+\end{scope}
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphaeleven}{\betatwelve}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphaten}{\betatwelve}{colorten}
+\farbpunkt{\alphanine}{\betatwelve}{colornine}
+\farbpunkt{\alphaeight}{\betatwelve}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphaseven}{\betatwelve}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphasix}{\betatwelve}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafour}{\betatwelve}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphathree}{\betatwelve}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwelve}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betatwelve}{colorone}
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/betadist.m b/buch/papers/dreieck/images/betadist.m
new file mode 100644
index 0000000..5b466a6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/images/betadist.m
@@ -0,0 +1,58 @@
+#
+# betadist.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global N;
+N = 201;
+global nmin;
+global nmax;
+nmin = -4;
+nmax = 7;
+n = nmax - nmin + 1
+A = 3;
+
+t = (nmin:nmax) / nmax;
+alpha = 1 + A * t .* abs(t)
+#alpha(1) = 0.01;
+
+#alpha = [ 1, 1.03, 1.05, 1.1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5 ];
+beta = alpha;
+names = [ "one"; "two"; "three"; "four"; "five"; "six"; "seven"; "eight";
+	  "nine"; "ten"; "eleven"; "twelve" ]
+
+function retval = Beta(a, b, x)
+	retval = x^(a-1) * (1-x)^(b-1) / beta(a, b);
+	if (retval > 100)
+		retval = 100
+	end
+end
+
+function plotbeta(fn, a, b, name)
+	global N;
+	fprintf(fn, "\\def\\beta%s{\n", strtrim(name));
+	fprintf(fn, "\t({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", 0, Beta(a, b, 0));
+	for x = (1:N-1)/(N-1)
+		X = (1-cos(pi * x))/2;
+		fprintf(fn, "\n\t--({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			X, Beta(a, b, X));
+	end
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+fn = fopen("betapaths.tex", "w");
+
+for i = (1:n)
+	fprintf(fn, "\\def\\alpha%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), alpha(i));
+	fprintf(fn, "\\def\\beta%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), beta(i));
+end
+
+for i = (1:n)
+	for j = (1:n)
+		printf("working on %d,%d:\n", i, j);
+		plotbeta(fn, alpha(i), beta(j),
+			char(['a' + i - 1, 'a' + j - 1]));
+	end
+end
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/order.m b/buch/papers/dreieck/images/order.m
new file mode 100644
index 0000000..762f458
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/images/order.m
@@ -0,0 +1,119 @@
+#
+# order.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global N;
+N = 10;
+global subdivisions;
+subdivisions = 100;
+global P;
+P = 0.5
+
+function retval = orderF(p, n, k)
+	retval = 0;
+	for i = (k:n)
+		retval = retval + nchoosek(n,i) * p^i * (1-p)^(n-i);
+	end
+end
+
+function retval = orderd(p, n, k)
+	retval = 0;
+	for i = (k:n)
+		s = i * p^(i-1) * (1-p)^(n-i);
+		s = s - p^i * (n-i) * (1-p)^(n-i-1);
+		retval = retval + nchoosek(n,i) * s;
+	end
+end
+
+function retval = orders(p, n, k)
+	retval = k * nchoosek(n, k) * p^(k-1) * (1-p)^(n-k);
+end
+
+function orderpath(fn, k, name)
+	fprintf(fn, "\\def\\order%s{\n\t(0,0)", name);
+	global N;
+	global subdivisions;
+	for i = (0:subdivisions)
+		p = i/subdivisions;
+		fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			p, orderF(p, N, k));
+	end
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+function orderdpath(fn, k, name)
+	fprintf(fn, "\\def\\orderd%s{\n\t(0,0)", name);
+	global N;
+	global subdivisions;
+	for i = (1:subdivisions-1)
+		p = i/subdivisions;
+		fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			p, orderd(p, N, k));
+	end
+	fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)");
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+function orderspath(fn, k, name)
+	fprintf(fn, "\\def\\orders%s{\n\t(0,0)", name);
+	global N;
+	global subdivisions;
+	for i = (1:subdivisions-1)
+		p = i/subdivisions;
+		fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			p, orders(p, N, k));
+	end
+	fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)");
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+fn = fopen("orderpath.tex", "w");
+
+orderpath(fn,   0, "zero");
+orderdpath(fn,  0, "zero");
+orderspath(fn,  0, "zero");
+
+orderpath(fn,   1, "one");
+orderdpath(fn,  1, "one");
+orderspath(fn,  1, "one");
+
+orderpath(fn,   2, "two");
+orderdpath(fn,  2, "two");
+orderspath(fn,  2, "two");
+
+orderpath(fn,   3, "three");
+orderdpath(fn,  3, "three");
+orderspath(fn,  3, "three");
+
+orderpath(fn,   4, "four");
+orderdpath(fn,  4, "four");
+orderspath(fn,  4, "four");
+
+orderpath(fn,   5, "five");
+orderdpath(fn,  5, "five");
+orderspath(fn,  5, "five");
+
+orderpath(fn,   6, "six");
+orderdpath(fn,  6, "six");
+orderspath(fn,  6, "six");
+
+orderpath(fn,   7, "seven");
+orderdpath(fn,  7, "seven");
+orderspath(fn,  7, "seven");
+
+orderpath(fn,   8, "eight");
+orderdpath(fn,  8, "eight");
+orderspath(fn,  8, "eight");
+
+orderpath(fn,   9, "nine");
+orderdpath(fn,  9, "nine");
+orderspath(fn,  9, "nine");
+
+orderpath(fn,  10, "ten");
+orderdpath(fn, 10, "ten");
+orderspath(fn, 10, "ten");
+
+fclose(fn);
+
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/order.pdf b/buch/papers/dreieck/images/order.pdf
new file mode 100644
index 0000000..98a5fbe
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/images/order.pdf
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/order.tex b/buch/papers/dreieck/images/order.tex
new file mode 100644
index 0000000..9a2511c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/images/order.tex
@@ -0,0 +1,125 @@
+%
+% order.tex -- Verteilungsfunktion für Ordnungsstatistik
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{8}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\n{10}
+\def\E#1#2{
+	\draw[color=#2]
+		({\dx*#1/(\n+1)},{-0.1/\skala}) -- ({\dx*#1/(\n+1)},{4.4*\dy});
+	\node[color=#2] at ({\dx*#1/(\n+1)},{3.2*\dy})
+		[rotate=90,above right] {$k=#1$};
+}
+\def\var#1#2{
+	\pgfmathparse{\dx*sqrt(#1*(\n-#1+1)/((\n+1)*(\n+1)*(\n+2)))}
+	\xdef\var{\pgfmathresult}
+	\fill[color=#2,opacity=0.5]
+		({\dx*#1/(\n+1)-\var},0) rectangle ({\dx*#1/(\n+1)+\var},{4.4*\dy});
+}
+
+\input{orderpath.tex}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\dx{1.6}
+\def\dy{0.5}
+
+\def\pfad#1#2{
+\draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0) 
+	--
+	#1
+	--
+	({1*\dx+0.1/\skala},0.5);
+}
+
+\pfad{\orderzero}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderone}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordertwo}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderthree}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderfour}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderfive}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordersix}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordereight}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordernine}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderten}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderseven}{darkgreen}
+
+\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1.03*\dx},0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={right:$F(X)$}];
+\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{
+	\draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+	\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+}
+\foreach \y in {0.5,1}{
+	\draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+	\node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+}
+
+\node[color=darkgreen] at (0.65,{0.5*\dy}) [above,rotate=55] {$k=7$};
+
+\begin{scope}[yshift=-0.7cm]
+\def\dy{0.125}
+
+\foreach \k in {1,2,3,4,5,6,8,9,10}{
+	\E{\k}{blue!30}
+}
+\def\k{7}
+\var{\k}{orange!40}
+\node[color=blue] at ({\dx*\k/(\n+1)},{4.3*\dy}) [above] {$E(X_{7:n})$};
+
+\def\pfad#1#2{
+	\draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0) 
+		--
+		#1
+		--
+		({1*\dx+0.1/\skala},0.0);
+}
+
+\begin{scope}
+\clip ({-0.1/\skala},{-0.1/\skala})
+	rectangle ({1*\dx+0.1/\skala},{0.56+0.1/\skala});
+
+\pfad{\orderdzero}{red!20}
+\pfad{\orderdone}{red!20}
+\pfad{\orderdtwo}{red!20}
+\pfad{\orderdthree}{red!20}
+\pfad{\orderdfour}{red!20}
+\pfad{\orderdfive}{red!20}
+\pfad{\orderdsix}{red!20}
+\pfad{\orderdeight}{red!20}
+\pfad{\orderdnine}{red!20}
+\pfad{\orderdten}{red!20}
+\E{\k}{blue}
+\pfad{\orderdseven}{red}
+
+\end{scope}
+
+\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1.03*\dx},0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={right:$\varphi(X)$}];
+\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{
+	\draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+	\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+}
+\foreach \y in {1,2,3,4}{
+	\draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+	\node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+}
+
+\node[color=red] at ({0.67*\dx},{2.7*\dy}) [above] {$k=7$};
+
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/main.tex b/buch/papers/dreieck/main.tex
new file mode 100644
index 0000000..d7bc769
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/main.tex
@@ -0,0 +1,28 @@
+%
+% main.tex -- Paper zum Thema <dreieck>
+%
+% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
+%
+\chapter{$\int P(t) e^{-t^2} \,dt$ in geschlossener Form?
+\label{chapter:dreieck}}
+\lhead{Integrierbarkeit in geschlossener Form}
+\begin{refsection}
+\chapterauthor{Andreas Müller}
+
+\noindent
+Der Risch-Algorithmus erlaubt, eine definitive Antwort darauf zu geben,
+\index{Risch-Algorithmus}%
+\index{elementare Stammfunktion}%
+ob eine elementare Funktion eine Stammfunktion in geschlossener Form hat.
+Der Algorithmus ist jedoch ziemlich kompliziert.
+In diesem Kapitel soll ein spezieller Fall mit Hilfe der Theorie der
+orthogonale Polynome, speziell der Hermite-Polynome, behandelt werden,
+wie er in der Arbeit \cite{dreieck:polint} untersucht wurde.
+
+\input{papers/dreieck/teil0.tex}
+\input{papers/dreieck/teil1.tex}
+\input{papers/dreieck/teil2.tex}
+\input{papers/dreieck/teil3.tex}
+
+\printbibliography[heading=subbibliography]
+\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/dreieck/packages.tex b/buch/papers/dreieck/packages.tex
new file mode 100644
index 0000000..fd4ebce
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/packages.tex
@@ -0,0 +1,10 @@
+%
+% packages.tex -- packages required by the paper dreieck
+%
+% (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+
+% if your paper needs special packages, add package commands as in the
+% following example
+%\usepackage{packagename}
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/references.bib b/buch/papers/dreieck/references.bib
new file mode 100644
index 0000000..47bd865
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/references.bib
@@ -0,0 +1,15 @@
+%
+% references.bib -- Bibliography file for the paper dreieck
+%
+% (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
+%
+
+@article{dreieck:polint,
+	author = { George Stoica },
+	title = { Polynomials and Integration in Finite Terms },
+	journal = { Amer. Math. Monthly },
+	volume = 129,
+	year = 2022,
+	number = 1,
+	pages = {80--81}
+}
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil0.tex b/buch/papers/dreieck/teil0.tex
new file mode 100644
index 0000000..f9affe7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/teil0.tex
@@ -0,0 +1,50 @@
+%
+% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Problemstellung\label{dreieck:section:problemstellung}}
+\rhead{Problemstellung}
+Es ist bekannt, dass das Fehlerintegral
+\[
+\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}{2\sigma}}\,dt
+\]
+nicht in geschlossener Form dargestellt werden kann.
+Mit der in Kapitel~\ref{buch:chapter:integral} skizzierten Theorie von
+Liouville und dem Risch-Algorithmus kann dies strengt gezeigt werden.
+
+Andererseits gibt es durchaus Integranden, die $e^{-t^2}$ enthalten,
+für die eine Stammfunktion in geschlossener Form gefunden werden kann.
+Zum Beispiel folgt aus der Ableitung
+\[
+\frac{d}{dt} e^{-t^2}
+=
+-2te^{-t^2}
+\]
+die Stammfunktion
+\[
+\int te^{-t^2}\,dt
+=
+-\frac12 e^{-t^2}.
+\]
+Leitet man $e^{-t^2}$ zweimal ab, erhält man
+\[
+\frac{d^2}{dt^2} e^{-t^2}
+=
+(4t^2-2) e^{-t^2}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\int (t^2-{\textstyle\frac12}) e^{-t^2}\,dt
+=
+{\textstyle\frac14}
+e^{-t^2}.
+\]
+Es gibt also viele weitere Polynome $P(t)$, für die der Integrand
+$P(t)e^{-t^2}$ eine Stammfunktion in geschlossener Form hat.
+Damit stellt sich jetzt das folgende allgemeine Problem.
+
+\begin{problem}
+\label{dreieck:problem}
+Für welche Polynome $P(t)$ hat der Integrand $P(t)e^{-t^2}$
+eine elementare Stammfunktion?
+\end{problem}
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil1.tex b/buch/papers/dreieck/teil1.tex
new file mode 100644
index 0000000..45c1a23
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/teil1.tex
@@ -0,0 +1,94 @@
+%
+% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Hermite-Polynome
+\label{dreieck:section:hermite-polynome}}
+\rhead{Hermite-Polyome}
+In Abschnitt~\ref{dreieck:section:problemstellung} hat sich schon angedeutet,
+dass die Polynome, die man durch Ableiten von $e^{-t^2}$ erhalten
+kann, bezüglich des gestellten Problems besondere Eigenschaften
+haben.
+Zunächst halten wir fest, dass die Ableitung einer Funktion der Form
+$P(t)e^{-t^2}$ mit einem Polynom $P(t)$ 
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt} P(t)e^{-t^2}
+=
+P'(t)e^{-t^2} -2tP(t)e^{-t^2}
+=
+(P'(t)-2tP(t)) e^{-t^2}
+\label{dreieck:eqn:ableitung}
+\end{equation}
+ist.
+Insbesondere hat die Ableitung wieder die Form $Q(t)e^{-t^2}$
+mit einem Polynome $Q(t)$, welches man auch als
+\[
+Q(t)
+=
+e^{t^2}\frac{d}{dt}P(t)e^{-t^2}
+\]
+erhalten kann.
+
+Die Polynome, die man aus der Funktion $H_0(t)=e^{-t^2}$ durch
+Ableiten erhalten kann, wurden bereits in
+Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:rodrigues}
+bis auf ein Vorzeichen hergeleitet, sie heissen die Hermite-Polynome 
+\index{Hermite-Polynome}%
+und es gilt
+\[
+H_n(t) 
+=
+(-1)^n
+e^{t^2} \frac{d^n}{dt^n} e^{-t^2}.
+\]
+Das Vorzeichen dient dazu sicherzustellen, dass der Leitkoeffizient
+immer $1$ ist.
+Das Polynom $H_n(t)$ hat den Grad $n$.
+
+In Abschnitt wurde auch gezeigt, dass die Polynome $H_n(t)$
+bezüglich des Skalarproduktes
+\[
+\langle f,g\rangle_{w}
+=
+\int_{-\infty}^\infty f(t)g(t)e^{-t^2}\,dt,
+\qquad
+w(t)=e^{-t^2},
+\]
+orthogonal sind.
+Ausserdem folgt aus \eqref{dreieck:eqn:ableitung}
+die Rekursionsbeziehung
+\begin{equation}
+H_{n}(t)
+=
+2tH_{n-1}(t)
+-
+H_{n-1}'(t)
+\label{dreieck:eqn:rekursion}
+\end{equation}
+für $n>0$.
+
+Im Hinblick auf die Problemstellung ist jetzt die Frage interessant,
+ob die Integranden $H_n(t)e^{-t^2}$ eine Stammfunktion in geschlossener
+Form haben.
+Mit Hilfe der Rekursionsbeziehung~\eqref{dreieck:eqn:rekursion}
+kann man für $n>0$ unmittelbar verifizieren, dass
+\begin{align*}
+\int H_n(t)e^{-t^2}\,dt
+&=
+\int \bigl( 2tH_{n-1}(t) - H'_{n-1}(t)\bigr)e^{-t^2}\,dt
+\\
+&=
+-\int \bigl( \exp'(-t^2) H_{n-1}(t) + H'_{n-1}(t)\bigr)e^{-t^2}\,dt
+\\
+&=
+-\int \bigl( e^{-t^2}H_{n-1}(t)\bigr)' \,dt
+=
+-e^{-t^2}H_{n-1}(t)
+\end{align*}
+ist.
+Für $n>0$ hat also $H_n(t)e^{-t^2}$ eine elementare Stammfunktion.
+Die Hermite-Polynome sind also Lösungen für das
+Problem~\ref{dreieck:problem}.
+
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil2.tex b/buch/papers/dreieck/teil2.tex
new file mode 100644
index 0000000..8e89f6a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/teil2.tex
@@ -0,0 +1,115 @@
+%
+% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Beliebige Polynome
+\label{dreieck:section:beliebig}}
+\rhead{Beliebige Polynome}
+Im Abschnitt~\ref{dreieck:section:hermite-polynome} wurden die
+Hermite-Polynome $H_n(t)$ mit $n>0$ als Lösungen des gestellten
+Problems erkannt.
+Eine Linearkombination von solchen Polynomen hat natürlich
+ebenfalls eine elementare Stammfunktion.
+Das Problem kann daher neu formuliert werden:
+
+\begin{problem}
+\label{dreieck:problem2}
+Welche Polynome $P(t)$ lassen sich aus den Hermite-Polynomen
+$H_n(t)$ mit $n>0$ linear kombinieren?
+\end{problem}
+
+Sei also
+\[
+P(t) = p_0 + p_1t + \ldots + p_{n-1}t^{n-1} + p_nt^n
+\]
+ein beliebiges Polynom vom Grad $n$.
+Eine elementare Stammfunktion von $P(t)e^{-t^2}$ existiert sicher,
+wenn sich $P(t)$ aus den Funktionen $H_n(t)$ mit $n>0$ linear
+kombinieren lässt.
+Gesucht ist also zunächst eine Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination
+von Hermite-Polynomen.
+
+\begin{lemma}
+Jedes Polynome $P(t)$ vom Grad $n$ lässt sich auf eindeutige Art und
+Weise als Linearkombination
+\begin{equation}
+P(t) = a_0H_0(t) + a_1H_1(t) + \ldots + a_nH_n(t)
+=
+\sum_{k=0}^n a_nH_n(t)
+\label{dreieck:lemma}
+\end{equation}
+von Hermite-Polynomen schreiben.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst halten wir fest, dass aus der
+Rekursionsformel~\eqref{dreieck:eqn:rekursion}
+folgt, dass der Leitkoeffizient bei jedem Rekursionsschnitt
+mit $2$ multipliziert wird.
+Der Leitkoeffizient von $H_n(t)$ ist also $2^n$.
+
+Wir führen den Beweis mit vollständiger Induktion.
+Für $n=0$ ist $P(t)=p_0 = p_0 H_0(t)$ als Linearkombination von
+Hermite-Polynomen darstellbar, dies ist die Induktionsverankerung.
+
+Wir nehmen jetzt im Sinne der Induktionsannahme an,
+dass sich ein Polynom vom Grad $n-1$ als
+Linearkombination der Polynome $H_0(t),\dots,H_{n-1}(t)$ schreiben
+lässt und untersuchen ein Polynom $P(t)$ vom Grad $n$.
+Da der Leitkoeffizient des Polynoms $H_n(t)$ ist $2^n$, ist zerlegen
+wir
+\[
+P(t)
+=
+\underbrace{\biggl(P(t) - \frac{p_n}{2^n} H_n(t)\biggr)}_{\displaystyle = Q(t)}
++
+\frac{p_n}{2^n} H_n(t).
+\]
+Das Polynom $Q(t)$ hat Grad $n-1$, besitzt also nach Induktionsannahme
+eine Darstellung
+\[
+Q(t) = a_0H_0(t)+a_1H_1(t)+\ldots+a_{n-1}H_{n-1}(t)
+\]
+als Linearkombination der Polynome $H_0(t),\dots,H_{n-1}(t)$.
+Somit ist
+\[
+P(t)
+= a_0H_0(t)+a_1H_1(t)+\ldots+a_{n-1}H_{n-1}(t) +
+\frac{p_n}{2^n} H_n(t)
+\]
+eine Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination der Polynome
+$H_0(t),\dots,H_n(t)$.
+Damit ist der Induktionsschritt vollzogen und das Lemma für alle
+$n$ bewiesen.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+\label{dreieck:satz1}
+Die Funktion $P(t)e^{-t^2}$ hat genau dann eine elementare Stammfunktion,
+wenn in der Darstellung~\eqref{dreieck:lemma}
+von $P(t)$ als Linearkombination von Hermite-Polynomen $a_0=0$ gilt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Es ist
+\begin{align*}
+\int P(t)e^{-t^2}\,dt
+&=
+a_0\int e^{-t^2}\,dt
++
+\int
+\sum_{k=1} a_kH_k(t)\,dt
+\\
+&=
+a_0
+\frac{\sqrt{\pi}}2
+\operatorname{erf}(t)
++
+\sum_{k=1} a_k\int H_k(t)\,dt.
+\end{align*}
+Da die Integrale in der Summe alle elementar darstellbar sind,
+ist das Integral genau dann elementar, wenn $a_0=0$ ist.
+\end{proof}
+
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil3.tex b/buch/papers/dreieck/teil3.tex
new file mode 100644
index 0000000..c0c046a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/teil3.tex
@@ -0,0 +1,77 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Integralbedingung
+\label{dreieck:section:integralbedingung}}
+\rhead{Lösung}
+Die Tatsache, dass die Hermite-Polynome orthogonal sind, erlaubt, das
+Kriterium von Satz~\ref{dreieck:satz1} in einer besonders attraktiven
+Integralform zu formulieren.
+
+Aus den Polynomen $H_n(t)$ lassen sich durch Normierung die
+\index{orthogonale Polynome}%
+\index{Polynome, orthogonale}%
+orthonormierten Polynome
+\[
+\tilde{H}_n(t)
+=
+\frac{1}{\| H_n\|_w} H_n(t)
+\qquad\text{mit}\quad
+\|H_n\|_w^2
+=
+\int_{-\infty}^\infty H_n(t)e^{-t^2}\,dt
+\]
+bilden.
+Da diese Polynome eine orthonormierte Basis des Vektorraums der Polynome
+bilden, kann die gesuchte Zerlegung eines Polynoms $P(t)$ auch mit
+Hilfe des Skalarproduktes gefunden werden:
+\begin{align*}
+P(t)
+&=
+\sum_{k=1}^n
+\langle \tilde{H}_k, P\rangle_w
+\tilde{H}_k(t)
+=
+\sum_{k=1}^n
+\biggl\langle \frac{H_k}{\|H_k\|_w}, P\biggr\rangle_w
+\frac{H_k(t)}{\|H_k\|_w}
+=
+\sum_{k=1}^n
+\underbrace{
+\frac{ \langle H_k, P\rangle_w }{\|H_k\|_w^2}
+}_{\displaystyle =a_k}
+H_k(t).
+\end{align*}
+Die Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination von Hermite-Polynomen
+hat somit die Koeffizienten
+\[
+a_k = \frac{\langle H_k,P\rangle_w}{\|H_k\|_w^2}.
+\]
+Aus dem Kriterium $a_0=0$ dafür, dass eine elementare Stammfunktion
+von $P(t)e^{-t^2}$ existiert, wird daher die Bedingung, dass
+$\langle H_0,P\rangle_w=0$ ist.
+Da $H_0(t)=1$ ist, folgt als Bedingung
+\[
+a_0
+=
+\langle H_0,P\rangle_w
+=
+\int_{-\infty}^\infty P(t) e^{-t^2}\,dt
+=
+0.
+\]
+
+\begin{satz}
+Ein Integrand der Form $P(t)e^{-t^2}$ mit einem Polynom $P(t)$
+hat genau dann eine elementare Stammfunktion, wenn
+\[
+\int_{-\infty}^\infty P(t)e^{-t^2}\,dt = 0
+\]
+ist.
+\end{satz}
+
+
+
+