diff options
author | Patrik Müller <patrik.mueller@ost.ch> | 2022-06-02 15:53:49 +0200 |
---|---|---|
committer | Patrik Müller <patrik.mueller@ost.ch> | 2022-06-02 15:53:49 +0200 |
commit | fac45f54d4cee5018c063b4a720695cbf3040fa9 (patch) | |
tree | be5cb9eb93a04f9691ccfdc3657672d808403ca8 /buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex | |
parent | Add presentation (diff) | |
download | SeminarSpezielleFunktionen-fac45f54d4cee5018c063b4a720695cbf3040fa9.tar.gz SeminarSpezielleFunktionen-fac45f54d4cee5018c063b4a720695cbf3040fa9.zip |
Correct typos in presentation
Diffstat (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex')
-rw-r--r-- | buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex | 23 |
1 files changed, 18 insertions, 5 deletions
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex index f5f889e..2e4e4e2 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -6,14 +6,20 @@ \Gamma(z) & = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx +\uncover<2->{ \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i +} +\uncover<3->{ = \sum_{i=1}^{n} x^{z-1} A_i +} \\\\ +\uncover<4->{ & \text{wobei } A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2} \text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$} +} \end{align*} \end{frame} @@ -66,7 +72,7 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \item Vermutung: Integrand ist problematisch } \uncover<3->{ -\item[$\Rightarrow$] Analysieren des Integranden +\item[$\Rightarrow$] Analysieren von $f(x)$ und dem Integranden } \end{itemize} \end{frame} @@ -110,7 +116,7 @@ mit Funktionalgleichung zurückverschieben \item Minimieren des Fehlerterms mit zusätzlichem Verschiebungsterm } \uncover<4->{$\Rightarrow$ Schwierig das Maximum des Fehlerterms zu bestimmen} -\uncover<5->{\item Emprisch $a(n)$ bestimmen} +\uncover<5->{\item Empirisch $a(n)$ bestimmen} \uncover<6->{$\Rightarrow$ Sinnvoll, da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \end{itemize} @@ -120,13 +126,13 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \begin{align*} \Gamma(z) \approx -\frac{1}{(z-m)_m} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i +\frac{1}{(z-m)_{m}} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i \end{align*} \begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=0.5\textwidth]{../images/targets.pdf} -\caption{Verschiebungsterm $m$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} +\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} \end{figure} \end{frame} @@ -142,8 +148,15 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \end{column} \begin{column}{0.39\textwidth} \begin{align*} +\hat{m} +&= +\alpha n + \beta +\\ +&\approx +1.34093 n + 0.854093 +\\ m^* -= +&= \lceil \hat{m} - \operatorname{Re}z \rceil \end{align*} \end{column} |