fixes kapitel 1

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diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
index 7e0ec8c..827346d 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
@@ -93,7 +93,7 @@ $-z$ heisst der $z$ {\em entgegengesetzte Wert} oder die
 {\em entgegengesetzte Zahl} zu $z$.
 
 \subsubsection{Lösung von Gleichungen}
-Gleichungen der Form $a=x+b$ können jetzt für beliebige ganze Zahlen
+Gleichungen der Form $a=x+b$ können jetzt für beliebige natürliche Zahlen
 immer gelöst werden.
 Dazu schreibt man $a,b\in\mathbb{N}$ als Paare und sucht die
 Lösung in der Form $x=(u,v)$.
@@ -106,11 +106,31 @@ Man erhält
 Das Paar $(u,v) = (a,b)$ ist eine Lösung, die man normalerweise als
 $a-b = (a,0) + (-(b,0)) = (a,0) + (0,b) = (a,b)$ schreibt.
 
+Für ganze Zahlen $a=(a_+,a_-)$ und $b=(b_+,b_-)$ kann man die Gleichung
+mit der gleichen Methode lösen, man addiert $-b=(b_-,b_+)$ und bekommt
+die Lösung
+\[
+\begin{aligned}
+(a_+,a_-) &= (u,v) + (b_+,b_-)
+&
+\quad &\Rightarrow \quad
+&
+(u,v)+(b_+,b_-) + (b_-,b_+)
+&=
+(a_+,a_-) + (b_-,b_+)
+\\
+&&
+\quad &\Rightarrow \quad
+&
+(u,v) &= (a_++b_-,a_-+b_+).
+\end{aligned}
+\]
+
 \subsubsection{Ring}
 \index{Ring}%
 Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen sogenannten {\em Ring},
 \index{Ring}%
-eine algebraische Struktur in der Addition, Subtraktion und
+eine algebraische Struktur, in der Addition, Subtraktion und
 Multiplikation definiert sind.
 Weitere Beispiele von Ringen werden später vorgestellt,
 darunter
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
index 17f6e16..f1f2f05 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
@@ -17,7 +17,7 @@ haben weiterhin keine Lösung.
 Der Grund dafür ist das Bestreben bei der Konstruktion der reellen Zahlen, 
 die Ordnungsrelation zu erhalten.
 \index{Ordnungsrelation}%
-Diese ermöglicht, Näherungsintervall und Intervallschachtelungen
+Diese ermöglicht, Näherungsintervalle und Intervallschachtelungen
 zu definieren.
 
 Die Ordnungsrelation sagt aber auch, dass $x^2\ge 0$ ist für jedes
@@ -66,7 +66,7 @@ ist
 \]
 mit den Rechenoperationen~\eqref{buch:zahlen:cregeln}.
 Die Menge $\mathbb{C}$ verhält sich daher wie eine zweidimensionaler
-reeller Vektorraum.
+reeller Vektorraum mit Basisvektoren $1$ und $i$.
 
 \subsubsection{Real- und Imaginärteil}
 Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der {\em Realteil} $a=\Re z$
@@ -74,8 +74,11 @@ Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der {\em Realteil} $a=\Re z$
 und $b$ heisst der {\em Imaginärteil} $\Im z$.
 \index{Imaginärteil}%
 Real- und Imaginärteil sind lineare Abbildungen $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$,
-sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend
-auch die reelle und die imaginäre Achse heissen.
+wenn man $\mathbb{C}$ als linearen $\mathbb{R}$-Vektorraum betrachtet.
+Sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend
+auch die {\em reelle} und die {\em imaginäre Achse} heissen.
+\index{reelle Achse}%
+\index{imaginäre Achse}%
 
 Die Multiplikation mit $i$ vertauscht Real- und Imaginärteil:
 \[
@@ -97,7 +100,8 @@ Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:ringe}
 komplexe Zahlen als Matrizen beschreiben.
 
 \subsubsection{Gausssche Zahlenebene}
-Beschränkt man die Multiplikation auf einen reellen Faktor, wird $\mathbb{C}$
+Beschränkt man die Multiplikation auf einen reellen Faktor, wird $\mathbb{C}$,
+wie wir bereits ausgeführt haben,
 zu einem zweidimensionalen reellen Vektorraum.
 Man kann die komplexe Zahl $a+bi$ daher auch als Punkt $(a,b)$ in der
 sogenannten {\em Gaussschen Ebene} betrachten (Abbildung~\ref{buch:zahlen:cfig}).
@@ -110,7 +114,7 @@ genauer untersuchen müssen.
 \centering
 \includegraphics{chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf}
 \caption{Argument und Betrag einer komplexen Zahl $z=a+ib$ in der 
-Gaussschen Zahlenebene
+Gaussschen Zahlen\-ebene
 \label{buch:zahlen:cfig}}
 \end{figure}%
 
@@ -125,8 +129,9 @@ charakterisiert werden.
 
 \subsubsection{Komplexe Konjugation}
 Der komplexen Zahl $u=a+bi$ ordnen wir die sogenannte
-{\em komplex konjugierte} Zahl $\overline{z} = a-bi$.
-Mit Hilfe der komplexen Konjugation kann man den Real- und Imaginärteil
+{\em komplex konjugierte} Zahl $\overline{z} = a-bi$ zu.
+Mit Hilfe der komplexen Konjugation $z\mapsto\overline{z}$
+kann man den Real- und Imaginärteil
 \index{komplexe Konjugation}%
 \index{Konjugation, komplexe}%
 algebraisch ausdrücken:
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
index 8c51346..629e539 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
@@ -57,7 +57,7 @@ Aus der Nachfolgereigenschaft lässt sich durch wiederholte Anwendung
 die vertrautere Addition konstruieren.
 \index{Addition!in $\mathbb{N}$}%
 Um die Zahl $n\in\mathbb{N}$ um $m\in\mathbb{N}$ zu vermehren, also
-$n+m$ auszurechnen, kann man rekursive Regeln
+$n+m$ auszurechnen, kann man die rekursiven Regeln
 \begin{align*}
 n+0&=n\\
 n+m'&=(n+m)'
@@ -79,7 +79,7 @@ Nach diesen Regeln ist
 =
 (((5)')')'.
 \]
-Dies ist genau die Art und Weise, wie kleine Kinder Rechnen lernen.
+Dies ist genau die Art und Weise, wie kleine Kinder rechnen lernen.
 Sie zählen von $5$ ausgehend um $3$ weiter, manchmal unter Zuhilfenahme
 ihrer Finger.
 Der dritte Nachfolger von $5$ heisst üblicherweise $8$.
@@ -88,7 +88,7 @@ Die algebraische Struktur, die hier konstruiert worden ist, heisst
 ein {\em Monoid}.
 \index{Monoid}%
 Allerdings kann man darin zum Beispiel nur selten Gleichungen
-lösen, zum Beispiel hat $3+x=1$ keine Lösung.
+lösen, so etwa hat $3+x=1$ keine Lösung.
 Die Addition ist nicht immer umkehrbar.
 
 \subsubsection{Multiplikation}
@@ -164,7 +164,7 @@ a\cdot(b+c) = ab+ac
 (a+b)\cdot c = ac+bc
 \]
 gelten.
-Bei einem nicht-kommutativen Produkt ist es hierbei notwendig,
+Bei einem nicht kommutativen Produkt ist es notwendig,
 zwischen Links- und Rechts-Distributivgesetz zu unterscheiden.
 
 Die Distributivgesetze drücken die wohlbekannte Regel des
@@ -195,8 +195,8 @@ Die Zahlen
 \]
 haben keine weiteren Teiler. Sie heissen {\em Primzahlen}.
 \index{Primzahl}%
-Die Menge der natürlichen Zahlen ist die naheliegende Arena
-für die Zahlentheorie.
+Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit der Teilbarkeit zur naheliegenden
+Arena für die Zahlentheorie.
 \index{Zahlentheorie}%
 
 \subsubsection{Konstruktion der natürlichen Zahlen aus der Mengenlehre}
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
index 440cc73..666bc21 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
@@ -8,7 +8,7 @@
 \label{buch:section:rationale-zahlen}}
 \rhead{Rationale Zahlen}
 In den ganzen Zahlen sind immer noch nicht alle linearen Gleichungen
-lösbar, es gibt keine ganze Zahl $x$ mit $3x=1$.
+lösbar: Es gibt keine ganze Zahl $x$ mit $3x=1$.
 Die nötige Erweiterung der ganzen Zahlen lernen Kinder noch bevor sie
 die negativen Zahlen kennenlernen.
 
@@ -32,14 +32,14 @@ $z \mapsto (z, 1)$ in diese Menge von Paaren einbetten.
 
 Ähnlich wie schon bei den ganzen Zahlen ist diese Darstellung
 aber nicht eindeutig.
-Zwei Paare sind äquivalent, wenn sich deren beide Elemente um denselben Faktor
-unterscheiden,
+Zwei Paare sind äquivalent, wenn sich ihre beide Elemente um denselben
+Faktor unterscheiden,
 \[
 (a, b)
 \sim
 (c, d)
 \quad \Leftrightarrow \quad
-\exists \lambda \in \mathbb Z \colon
+\exists \lambda \in \mathbb Z\setminus\{0\} \colon
 \lambda a = c
 \wedge
 \lambda b = d
@@ -76,9 +76,9 @@ Die Rechenregeln werden dadurch zu den wohlvertrauten
 \qquad\text{und}\qquad
 \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}
 =
-\frac{ac}{bd}
+\frac{ac}{bd}.
 \]
-und die speziellen Brüche $\frac{0}{b}$ und $\frac{1}{1}$ erfüllen die
+Die speziellen Brüche $\frac{0}{b}$ und $\frac{1}{1}$ erfüllen die
 Regeln
 \[
 \frac{a}{b}+\frac{0}{d} = \frac{ad}{bd} \sim \frac{a}{b},
@@ -104,15 +104,17 @@ Zum Beispiel folgt
 wir müssen also die beiden Brüche als gleichwertig betrachten.
 Allgemein gelten die zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$
 als äquivalent, wenn $ad-bc= 0$ gilt.
-Dies ist gleichbedeutend mit der früher definierten Äquivalenzrelation
-und bestätigt, dass die beiden Brüche
-\[
+Dies ist gleichbedeutend mit der früher definierten Äquivalenzrelation.
+Aus ihr folgt wieder, dass die beiden Brüche
+\begin{equation}
 \frac{ac}{bc} 
 \qquad\text{und}\qquad
 \frac{a}{b}
-\]
+\label{buch:zahlen:eqn:kuerzen-erweitern}
+\end{equation}
 als gleichwertig zu betrachten sind.
-Der Übergang von links nach rechts heisst {\em Kürzen},
+Der Übergang von links nach rechts in \eqref{buch:zahlen:eqn:kuerzen-erweitern}
+heisst {\em Kürzen},
 \index{Kürzen}%
 der Übergang von rechts nach links heisst {\em Erweitern}.
 \index{Erweitern}%
@@ -127,7 +129,7 @@ gewohnten Rechenregeln, die bereits in $\mathbb{Z}$ gegolten haben,
 uneingeschränkt möglich.
 
 \subsubsection{Kehrwert}
-Zu jedem Bruch $\frac{a}{b}$ lässt sich der Bruch $\frac{b}{a}$,
+Zu jedem Bruch $\frac{a}{b}$, $a\ne 0$, lässt sich der Bruch $\frac{b}{a}$,
 der sogenannte {\em Kehrwert}
 \index{Kehrwert}%
 konstruieren.
@@ -144,7 +146,8 @@ Der Kehrwert ist also das multiplikative Inverse, jede von $0$ verschiedene
 rationale Zahl hat eine solche Inverse.
 
 \subsubsection{Lösung von linearen Gleichungen}
-Mit dem Kehrwert lässt sich jetzt jede lineare Gleichung lösen.
+Mit dem Kehrwert lässt sich jetzt jede lineare Gleichung mit ganzen
+Koeffizienten lösen.
 \index{lineares Gleichungssystem}%
 Die Gleichung $ax=b$ hat die Lösung
 \[
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
index 06eb7aa..7af07e8 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
@@ -13,7 +13,7 @@ Pythagoräern aufgefallen.
 \index{Pythagoräer}
 Ziel dieses Abschnitts ist, den Körper $\mathbb{Q}$ zu einem
 Körper $\mathbb{R}$ zu erweitern, in dem die Gleichung
-gelöst werden kann, ohne dabei Ordnungsrelation zu zerstören, die
+gelöst werden kann, ohne dabei die Ordnungsrelation zu zerstören, die
 die hilfreiche und anschauliche Vorstellung der Zahlengeraden
 liefert.
 \index{Zahlengerade}%
@@ -37,7 +37,7 @@ schnell, sie sind mit der sogenannten Kettenbruchentwicklung der
 Zahl $\sqrt{2}$ gewonnen worden.}.
 Jedes der Intervalle enthält auch das nachfolgende Intervall, und
 die intervalllänge konvergiert gegen 0.
-Eine solche \emph{Intervallschachtelung} beschreibt also genau eine Zahl,
+Eine solche \emph{Intervallschachtelung} beschreibt also genau eine ``Zahl'',
 \index{Intervallschachtelung}%
 aber möglicherweise keine, die sich als Bruch schreiben lässt.
 
@@ -52,10 +52,10 @@ Das Problem dieser wohlbekannten Definition für die Konstruktion
 reeller Zahle ist, dass im Falle der Folge
 \[
 (a_n)_{n\in\mathbb{N}}=
-(1,
+\biggl(1,
 \frac75,
 \frac{41}{29},
-\frac{239}{169},\dots) \to a=\sqrt{2}
+\frac{239}{169},\dots\biggr) \to a=\sqrt{2}
 \]
 das Objekt $a$ noch gar nicht existiert.
 Es gibt keine rationale Zahl, die als Grenzwert dieser Folge dienen
@@ -71,7 +71,7 @@ Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man auch als Menge
 aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $a_n\in\mathbb{Q}$,
 betrachten.
 \index{Cauchy-Folge}%
-Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn es für jedes $\varepsilon>0$
+Eine Folge ist eine {\em Cauchy-Folge}, wenn es für jedes $\varepsilon>0$
 eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$
 für $n,m>N(\varepsilon)$.
 Ab einer geeigneten Stelle $N(\varepsilon)$ sind die Folgenglieder also