zweite Lesung

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diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex b/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex
index e3b6742..041e3b2 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex
@@ -27,9 +27,9 @@ Formel für die Determinante einer Matrix führt.
 \input{chapters/50-permutationen/determinante.tex}
 
 \section*{Übungsaufgaben}
-\rhead{Übungsaufgaben}
 \aufgabetoplevel{chapters/50-permutationen/uebungsaufgaben}
 \begin{uebungsaufgaben}
 \uebungsaufgabe{5001}
+\rhead{Übungsaufgaben}
 \end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
index b30f9a2..b8298b1 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
@@ -6,7 +6,6 @@
 %
 \section{Determinante
 \label{buch:section:determinante}}
-\rhead{Determinante}
 Das Signum einer Permutationsmatrizen lässt sich
 gemäss~\eqref{buch:permutationen:determinante}
 mit der Determinanten berechnen.
@@ -27,7 +26,7 @@ Die Matrizen $A_{i\!j}$ sind die Minoren der Matrix $A$
 (siehe auch Seite~\pageref{buch:linear:def:minor}).
 In den Produkten $a_{i\!j}\cdot\det(A_{i\!j})$ enthält 
 die Untermatrix $A_{i\!j}$ weder Elemente der Zeile $i$ noch der 
-Zeile $j$.
+Spalte $j$.
 Die Summanden auf der rechten Seite von
 \eqref{buch:permutationen:entwicklungssatz}
 sind daher Produkte der Form
@@ -52,6 +51,7 @@ i_1&i_2&i_3&\dots&i_n
 \]
 eine Permutation ist.
 
+\rhead{Determinante}
 Die Determinante muss sich daher als Summe über alle Permutationen
 in der Form
 \begin{equation}
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
index 2577b48..3fa6aa7 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
@@ -44,7 +44,7 @@ aus zwei identischen Zeilen.
 Die Verknüpfung zweier solcher Permutationen kann leicht graphisch
 dargestellt werden: dazu werden die beiden Permutationen
 untereinander geschrieben und Spalten der zweiten Permutation
-in der Reihen folge der Zahlen in der zweiten Zeile der ersten
+in der Reihenfolge der Zahlen in der zweiten Zeile der ersten
 Permutation angeordnet.
 Die zusammengesetzte Permutation kann dann in der zweiten Zeile
 der zweiten Permutation abgelesen werden:
@@ -75,7 +75,7 @@ dass die Zahlen in der ersten Zeile ansteigend sind:
 
 \subsection{Zyklenzerlegung
 \label{buch:subsection:zyklenzerlegung}}
-Eine Permutation $\sigma\in S_n$ kann auch mit sogenanten Zyklenzerlegung
+Eine Permutation $\sigma\in S_n$ kann auch mit der sogenanten Zyklenzerlegung
 \index{Zyklenzerlegung}%
 analysiert werden.
 
@@ -98,7 +98,8 @@ Zum Beispiel:
 \begin{center}
 \includegraphics{chapters/50-permutationen/images/zyklenzerlegung.pdf}
 \end{center}
-Der folgende Algorithmus findet die Zyklenzerlegung einer Permutation.
+Der folgende Satz stellt einen Algorithmus bereit, mit dem die
+Zyklenzerlegung einer Permutation gefunden werden kann.
 
 \begin{satz}
 Sei $\sigma\in S_n$ eine Permutation. Der folgende Algorithmus findet
@@ -143,7 +144,7 @@ m = \operatorname{kgV} (|Z_1|,|Z_2|,\dots,|Z_k|).
 Zwei Elemente $g_1,g_2\in G$ einer Gruppe heissen {\em konjugiert}, wenn
 \index{konjugiert}
 es ein Element $c\in G$ gibt derart, dass $cg_1c^{-1}=g_2$.
-Bei Matrizen bedeutet dies bedeutet, dass die beiden Matrizen durch
+Bei Matrizen bedeutet dies, dass die beiden Matrizen durch
 Basiswechsel auseinander hervorgehen.
 Dasselbe lässt sich auch im Kontext der symmetrischen Gruppe sagen.
 
@@ -175,16 +176,16 @@ $\sigma_1^k\gamma = \gamma\sigma_2^k$, also
 \[
 \gamma(Z_i)
 =
-\{\gamma(x),\sigma_1(\gamma(x)),\sigma_1^2(\gamma(x)),\dots\},
+\{\gamma(x),\sigma_1(\gamma(x)),\sigma_1^2(\gamma(x)),\dots\}.
 \]
-Also ist $\gamma(Z_i)$ ein Zyklus von $\sigma_1$.
+Somit ist $\gamma(Z_i)$ ein Zyklus von $\sigma_1$.
 Die Permutation $\gamma$ bildet also Zyklen von $\sigma_2$ auf Zyklen
 von $\sigma_1$ ab.
 Es folgt daher der folgende Satz:
 
 \begin{satz}
 Seien $\sigma_1,\sigma_2\in S_n$ konjugiert $\sigma_1=\gamma\sigma_2\gamma^{-1}$
-mit dem $\gamma\in S_n$.
+mit $\gamma\in S_n$.
 Wenn $Z_1,\dots,Z_k$ die Zyklen von $\sigma_2$ sind, dann sind 
 $\gamma(Z_1),\dots,\gamma(Z_k)$ die Zyklen von $\sigma_1$.
 \end{satz}
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.pdf b/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.pdf
index cdfa186..f620b81 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.pdf
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.pdf
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.tex b/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.tex
index ee58d4a..fca7aa5 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.tex
@@ -35,7 +35,7 @@
 \begin{pmatrix}
 1&2&3&4&5&6\\
 2&1&3&5&6&4
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}.
 $};
 
 \end{tikzpicture}
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
index 037c441..8977635 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
@@ -9,7 +9,7 @@
 Die Eigenschaft, dass eine Vertauschung das Vorzeichen kehrt, ist
 eine wohlbekannte Eigenschaft der Determinanten.
 In diesem Abschnitt soll daher eine Darstellung von Permutationen
-als Matrizen gezeigt werden und die Verbindung zwischen dem
+als Matrizen vorgestellt werden und die Verbindung zwischen dem
 Vorzeichen einer Permutation und der Determinanten hergestellt
 werden.
 \index{Determinante}%
@@ -64,8 +64,8 @@ A_\sigma
 \begin{definition}
 \label{buch:permutationen:def:permutationsmatrix}
 \index{Permutationsmatrix}%
-Eine {\em Permutationsmatrix} ist eine Matrix $P\in M_n(\Bbbk)$ 
-derart, die in jeder Zeile und Spalte genau eine $1$ enthalten ist,
+Eine {\em Permutationsmatrix} ist eine Matrix $P\in M_n(\Bbbk)$,
+die in jeder Zeile und Spalte genau eine $1$ enthält,
 während alle anderen Matrixelemente $0$ sind.
 \end{definition}
 
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
index 5815c8a..dcbf2e0 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
@@ -5,7 +5,6 @@
 %
 \section{Permutationen und Transpositionen
 \label{buch:section:permutationen-und-transpositionen}}
-\rhead{Transpositionen}
 Im vorangegangenen Abschnitt haben wir Permutationen durch die
 Zyklenzerlegung charakterisiert.
 Es zeigt sich aber, dass sich eine Permutation in noch elementarere
@@ -26,6 +25,7 @@ x&\qquad\text{sonst.}
 \end{cases}
 \]
 \end{definition}
+\rhead{Transpositionen}
 
 Eine Transposition hat genau einen Zyklus der Länge $2$, alle anderen
 Zyklen haben die Länge $1$.
@@ -91,7 +91,7 @@ d.~h.
 \operatorname{sgn}(\sigma_1)
 \operatorname{sgn}(\sigma_2).
 \]
-Da ganz offensichtlich $\sigma_1\sigma_2$ mit $k_1+k_2$ Transpositionen
+Offensichtlich kann $\sigma_1\sigma_2$ mit $k_1+k_2$ Transpositionen
 geschrieben werden kann, wenn $\sigma_i$ mit $k_i$ Transpositionen geschrieben
 werden kann.
 
@@ -113,7 +113,7 @@ S_n.
 \]
 \index{Kern}%
 \index{alterniernde Gruppe}%
-heisst die {\em alternierende Gruppe} der Ordnung $n$
+heisst die {\em alternierende Gruppe} der Ordnung $n$.
 Die Elemente von $A_n$ heissen auch die {\em geraden} Permutationen,
 \index{gerade Permutation}%
 \index{ungerade Permutation}%