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path: root/buch/chapters/50-permutationen
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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-09-25 16:43:39 +0200
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-09-25 16:43:39 +0200
commitf88b8071a623096f9004007ced8ec97195aaa218 (patch)
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zweite Lesung
Diffstat (limited to 'buch/chapters/50-permutationen')
-rw-r--r--buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex4
-rw-r--r--buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex15
-rw-r--r--buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.pdfbin13814 -> 15311 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex6
-rw-r--r--buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex6
7 files changed, 18 insertions, 17 deletions
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex b/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex
index e3b6742..041e3b2 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex
@@ -27,9 +27,9 @@ Formel für die Determinante einer Matrix führt.
\input{chapters/50-permutationen/determinante.tex}
\section*{Übungsaufgaben}
-\rhead{Übungsaufgaben}
\aufgabetoplevel{chapters/50-permutationen/uebungsaufgaben}
\begin{uebungsaufgaben}
\uebungsaufgabe{5001}
+\rhead{Übungsaufgaben}
\end{uebungsaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
index b30f9a2..b8298b1 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
@@ -6,7 +6,6 @@
%
\section{Determinante
\label{buch:section:determinante}}
-\rhead{Determinante}
Das Signum einer Permutationsmatrizen lässt sich
gemäss~\eqref{buch:permutationen:determinante}
mit der Determinanten berechnen.
@@ -27,7 +26,7 @@ Die Matrizen $A_{i\!j}$ sind die Minoren der Matrix $A$
(siehe auch Seite~\pageref{buch:linear:def:minor}).
In den Produkten $a_{i\!j}\cdot\det(A_{i\!j})$ enthält
die Untermatrix $A_{i\!j}$ weder Elemente der Zeile $i$ noch der
-Zeile $j$.
+Spalte $j$.
Die Summanden auf der rechten Seite von
\eqref{buch:permutationen:entwicklungssatz}
sind daher Produkte der Form
@@ -52,6 +51,7 @@ i_1&i_2&i_3&\dots&i_n
\]
eine Permutation ist.
+\rhead{Determinante}
Die Determinante muss sich daher als Summe über alle Permutationen
in der Form
\begin{equation}
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
index 2577b48..3fa6aa7 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
@@ -44,7 +44,7 @@ aus zwei identischen Zeilen.
Die Verknüpfung zweier solcher Permutationen kann leicht graphisch
dargestellt werden: dazu werden die beiden Permutationen
untereinander geschrieben und Spalten der zweiten Permutation
-in der Reihen folge der Zahlen in der zweiten Zeile der ersten
+in der Reihenfolge der Zahlen in der zweiten Zeile der ersten
Permutation angeordnet.
Die zusammengesetzte Permutation kann dann in der zweiten Zeile
der zweiten Permutation abgelesen werden:
@@ -75,7 +75,7 @@ dass die Zahlen in der ersten Zeile ansteigend sind:
\subsection{Zyklenzerlegung
\label{buch:subsection:zyklenzerlegung}}
-Eine Permutation $\sigma\in S_n$ kann auch mit sogenanten Zyklenzerlegung
+Eine Permutation $\sigma\in S_n$ kann auch mit der sogenanten Zyklenzerlegung
\index{Zyklenzerlegung}%
analysiert werden.
@@ -98,7 +98,8 @@ Zum Beispiel:
\begin{center}
\includegraphics{chapters/50-permutationen/images/zyklenzerlegung.pdf}
\end{center}
-Der folgende Algorithmus findet die Zyklenzerlegung einer Permutation.
+Der folgende Satz stellt einen Algorithmus bereit, mit dem die
+Zyklenzerlegung einer Permutation gefunden werden kann.
\begin{satz}
Sei $\sigma\in S_n$ eine Permutation. Der folgende Algorithmus findet
@@ -143,7 +144,7 @@ m = \operatorname{kgV} (|Z_1|,|Z_2|,\dots,|Z_k|).
Zwei Elemente $g_1,g_2\in G$ einer Gruppe heissen {\em konjugiert}, wenn
\index{konjugiert}
es ein Element $c\in G$ gibt derart, dass $cg_1c^{-1}=g_2$.
-Bei Matrizen bedeutet dies bedeutet, dass die beiden Matrizen durch
+Bei Matrizen bedeutet dies, dass die beiden Matrizen durch
Basiswechsel auseinander hervorgehen.
Dasselbe lässt sich auch im Kontext der symmetrischen Gruppe sagen.
@@ -175,16 +176,16 @@ $\sigma_1^k\gamma = \gamma\sigma_2^k$, also
\[
\gamma(Z_i)
=
-\{\gamma(x),\sigma_1(\gamma(x)),\sigma_1^2(\gamma(x)),\dots\},
+\{\gamma(x),\sigma_1(\gamma(x)),\sigma_1^2(\gamma(x)),\dots\}.
\]
-Also ist $\gamma(Z_i)$ ein Zyklus von $\sigma_1$.
+Somit ist $\gamma(Z_i)$ ein Zyklus von $\sigma_1$.
Die Permutation $\gamma$ bildet also Zyklen von $\sigma_2$ auf Zyklen
von $\sigma_1$ ab.
Es folgt daher der folgende Satz:
\begin{satz}
Seien $\sigma_1,\sigma_2\in S_n$ konjugiert $\sigma_1=\gamma\sigma_2\gamma^{-1}$
-mit dem $\gamma\in S_n$.
+mit $\gamma\in S_n$.
Wenn $Z_1,\dots,Z_k$ die Zyklen von $\sigma_2$ sind, dann sind
$\gamma(Z_1),\dots,\gamma(Z_k)$ die Zyklen von $\sigma_1$.
\end{satz}
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.pdf b/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.pdf
index cdfa186..f620b81 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.pdf
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.tex b/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.tex
index ee58d4a..fca7aa5 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.tex
@@ -35,7 +35,7 @@
\begin{pmatrix}
1&2&3&4&5&6\\
2&1&3&5&6&4
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}.
$};
\end{tikzpicture}
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
index 037c441..8977635 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
@@ -9,7 +9,7 @@
Die Eigenschaft, dass eine Vertauschung das Vorzeichen kehrt, ist
eine wohlbekannte Eigenschaft der Determinanten.
In diesem Abschnitt soll daher eine Darstellung von Permutationen
-als Matrizen gezeigt werden und die Verbindung zwischen dem
+als Matrizen vorgestellt werden und die Verbindung zwischen dem
Vorzeichen einer Permutation und der Determinanten hergestellt
werden.
\index{Determinante}%
@@ -64,8 +64,8 @@ A_\sigma
\begin{definition}
\label{buch:permutationen:def:permutationsmatrix}
\index{Permutationsmatrix}%
-Eine {\em Permutationsmatrix} ist eine Matrix $P\in M_n(\Bbbk)$
-derart, die in jeder Zeile und Spalte genau eine $1$ enthalten ist,
+Eine {\em Permutationsmatrix} ist eine Matrix $P\in M_n(\Bbbk)$,
+die in jeder Zeile und Spalte genau eine $1$ enthält,
während alle anderen Matrixelemente $0$ sind.
\end{definition}
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
index 5815c8a..dcbf2e0 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
@@ -5,7 +5,6 @@
%
\section{Permutationen und Transpositionen
\label{buch:section:permutationen-und-transpositionen}}
-\rhead{Transpositionen}
Im vorangegangenen Abschnitt haben wir Permutationen durch die
Zyklenzerlegung charakterisiert.
Es zeigt sich aber, dass sich eine Permutation in noch elementarere
@@ -26,6 +25,7 @@ x&\qquad\text{sonst.}
\end{cases}
\]
\end{definition}
+\rhead{Transpositionen}
Eine Transposition hat genau einen Zyklus der Länge $2$, alle anderen
Zyklen haben die Länge $1$.
@@ -91,7 +91,7 @@ d.~h.
\operatorname{sgn}(\sigma_1)
\operatorname{sgn}(\sigma_2).
\]
-Da ganz offensichtlich $\sigma_1\sigma_2$ mit $k_1+k_2$ Transpositionen
+Offensichtlich kann $\sigma_1\sigma_2$ mit $k_1+k_2$ Transpositionen
geschrieben werden kann, wenn $\sigma_i$ mit $k_i$ Transpositionen geschrieben
werden kann.
@@ -113,7 +113,7 @@ S_n.
\]
\index{Kern}%
\index{alterniernde Gruppe}%
-heisst die {\em alternierende Gruppe} der Ordnung $n$
+heisst die {\em alternierende Gruppe} der Ordnung $n$.
Die Elemente von $A_n$ heissen auch die {\em geraden} Permutationen,
\index{gerade Permutation}%
\index{ungerade Permutation}%