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diff --git a/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex b/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex index 78f9cfb..e27c42e 100644 --- a/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex +++ b/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex @@ -22,22 +22,24 @@ \section{Riesz-Darstellungssatz} % XXX Was sagt der Satz -% XXX \folie{2/hilbertraum/riesz.tex} -% XXX Warum ist das ein Problem für unendlichdimensionale Vektorräume -% XXX \folie{2/hilbertraum/rieszproblem.tex} +\folie{2/hilbertraum/riesz.tex} +\folie{2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex} % XXX Beweisidee % XXX \folie{2/hilbertraum/rieszbeweis.tex} \section{$A^*$} -% XXX Definition als Awnendung des Satzes von Riesz -% XXX \folie{2/hilbertraum/adjungiert.tex} +% XXX Definition als Anwendung des Satzes von Riesz +\folie{2/hilbertraum/adjungiert.tex} % XXX Spektraltheorie -% XXX \folie{2/hilbertraum/spektraltheorie.tex} +\folie{2/hilbertraum/spektral.tex} \section{PDE und Hilbertraum} % XXX Der Operator D^2 + p(x) auf [0,1] -% XXX \folie{2/hilbertraum/sturm.tex} +\folie{2/hilbertraum/sturm.tex} % XXX Laplace-Operator und L^2 -% XXX \folie{2/hilbertraum/laplace.tex} +\folie{2/hilbertraum/laplace.tex} +\folie{2/hilbertraum/qm.tex} +\folie{2/hilbertraum/energie.tex} +\folie{2/hilbertraum/sobolev.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc index b2af216..cbd4dfe 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc @@ -22,5 +22,14 @@ chapter2 = \ ../slides/2/hilbertraum/basis.tex \ ../slides/2/hilbertraum/plancherel.tex \ ../slides/2/hilbertraum/l2.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/riesz.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/spektral.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/sturm.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/laplace.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/qm.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/energie.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/sobolev.tex \ ../slides/2/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex index 2fe48c1..d3714c3 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex @@ -20,3 +20,12 @@ \folie{2/hilbertraum/basis.tex} \folie{2/hilbertraum/plancherel.tex} \folie{2/hilbertraum/l2.tex} +\folie{2/hilbertraum/riesz.tex} +\folie{2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex} +\folie{2/hilbertraum/adjungiert.tex} +\folie{2/hilbertraum/spektral.tex} +\folie{2/hilbertraum/sturm.tex} +\folie{2/hilbertraum/laplace.tex} +\folie{2/hilbertraum/qm.tex} +\folie{2/hilbertraum/energie.tex} +\folie{2/hilbertraum/sobolev.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex new file mode 100644 index 0000000..afafab8 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex @@ -0,0 +1,79 @@ +% +% adjungiert.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Adjungierter Operator} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +\begin{itemize} +\item +$A\colon H\to L$ lineare Abbildung zwischen Hilberträumen, $y\in L$ +\item +\[ +H\to\mathbb{C} +: +x\mapsto \langle y, Ax\rangle_L +\] +ist eine lineare Abbildung $H\to\mathbb{C}$ +\item +Nach dem Darstellungssatz gibt es $v\in H$ mit +\[ +\langle y,Ax\rangle_L = \langle v,x\rangle_H +\quad +\forall x\in H +\] +\end{itemize} +Die Abbildung +\[ +L\to H +: +y\mapsto v =: A^*y +\] +heisst {\em adjungierte Abbildung} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Endlichdimensional (Matrizen)} +\[ +A^* = \overline{A}^t +\] +\end{block} +\vspace{-8pt} +\begin{block}{Selbstabbildungen} +Für Operatoren $A\colon H\to H$ ist $A^*\colon H\to H$ +\[ +\langle x,Ay\rangle += +\langle A^*x, y\rangle +\quad +\forall x,y\in H +\] +\end{block} +\vspace{-8pt} +\begin{block}{Selbstadjungierte Operatoren} +\[ +A=A^* +\;\Leftrightarrow\; +\langle x,Ay \rangle += +\langle A^*x,y \rangle += +\langle Ax,y \rangle +\] +Matrizen: +\begin{itemize} +\item hermitesch +\item für reelle Hilberträume: symmetrisch +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex new file mode 100644 index 0000000..7868cb4 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% +% energie.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Energie --- Zeitentwicklung --- Schrödinger} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.30\textwidth} +\begin{block}{Totale Energie} +Hamilton-Funktion +\begin{align*} +H +&= +\frac12mv^2 + V(x) +\\ +&= +\frac{p^2}{2m} + V(x) +\end{align*} +\end{block} +\begin{block}{Quantisierungsregel} +\begin{align*} +\text{Variable}&\to \text{Operator} +\\ +x_k & \to x_k +\\ +p_k & \to \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_k} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.66\textwidth} +\begin{block}{Energie-Operator} +\[ +H += +-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(x) +\] +\end{block} +\begin{block}{Eigenwertgleichung} +\[ +-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t) = E\psi(x,t) +\] +Zeitunabhängige Schrödingergleichung +\end{block} +\begin{block}{Zeitabhängigkeit = Schrödingergleichung} +\[ +-\frac{\hbar}{i} +\frac{\partial}{\partial t} +\psi(x,t) += +-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t) +\] +Eigenwertgleichung durch Separation von $t$ +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex index 2991aca..e2f2262 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex @@ -31,6 +31,8 @@ Norm: \|f\|^2 = \int_a^b |f(x)|^2\,dx \] \item Vollständigkeit? +$\rightarrow$ +Lebesgue Konvergenz-Satz \end{itemize} \end{block} \end{column} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex index 29a1822..c030eb7 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex @@ -7,22 +7,73 @@ \begin{frame}[t] \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} -\frametitle{Beispiel: $l^2$} +\frametitle{Beispiele: $\mathbb{R},\mathbb{R}^2,\dots,\mathbb{R}^n,\dots,l^2$} \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Definition} \begin{itemize} -\item Folgen von komplexen Zahlen +\item Quadratsummierbare Folgen von komplexen Zahlen \[ l^2 = -\{(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,|\, x_k \in\mathbb{C}\} +\biggl\{ +(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,\bigg|\, \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 < \infty +\biggr\} +\] +\item Skalarprodukt: +\begin{align*} +\langle x,y\rangle +&= +\sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k, +& +\|x\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 +\end{align*} +\item Vollständigkeit, +Konvergenz: Cauchy-Schwarz-Ungleichung +\[ +\biggl| +\sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k +\biggr| +\le +\sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 +\sum_{l=0}^\infty |y_l|^2 \] \end{itemize} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Standardbasisvektoren} +\begin{align*} +e_i +&= +(0,\dots,0,\underset{\underset{\textstyle i}{\textstyle\uparrow}}{1},0,\dots) +\\ +(e_i)_k &= \delta_{ik} +\end{align*} +sind orthonormiert: +\begin{align*} +\langle e_i,e_j\rangle +&= +\sum_k \overline{\delta}_{ik}\delta_{jk} += +\delta_{ij} +\end{align*} +\end{block} +\vspace{-16pt} +\begin{block}{Analyse} +$x_k$ kann mit Skalarprodukten gefunden werden: +\begin{align*} +\hat{x}_i += +\langle e_i,x\rangle +&= +\sum_{k=0}^\infty \overline{\delta}_{ik} x_k += +x_i +\end{align*} +(Fourier-Koeffizienten) +\end{block} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex new file mode 100644 index 0000000..5e0bba9 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% +% laplace.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Höhere Dimension} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.44\textwidth} +\begin{block}{Problem} +Gegeben: $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ein Gebiet +\\ +Gesucht: Lösungen von $\Delta u=0$ mit $u_{|\partial\Omega}=0$ +\end{block} +\begin{block}{Funktionen} +Hilbertraum $H$ der Funktionen $f:\overline{\Omega}\to\mathbb{C}$ +mit $f_{|\partial\Omega}=0$ +\end{block} +\begin{block}{Skalarprodukt} +\[ +\langle f,g\rangle += +\int_{\Omega} \overline{f}(x) g(x)\,d\mu(x) +\] +\end{block} +\begin{block}{Laplace-Operator} +\[ +\Delta \psi = \operatorname{div}\operatorname{grad}\psi +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.52\textwidth} +\begin{block}{Selbstadjungiert} +\begin{align*} +\langle f,\Delta g\rangle +&= +\int_{\Omega} \overline{f}(x)\operatorname{div}\operatorname{grad}g(x)\,d\mu(x) +\\ +&= +\int_{\partial\Omega} +\underbrace{\overline{f}(x)}_{\displaystyle=0}\operatorname{grad}g(x)\,d\nu(x) +\\ +&\qquad +- +\int_{\Omega} +\operatorname{grad}\overline{f}(x)\cdot \operatorname{grad}g(x) +\,d\mu(x) +\\ +&=\int_{\Omega}\operatorname{div}\operatorname{grad}\overline{f}(x)g(x)\,d\mu(x) +\\ +&= +\langle \Delta f,g\rangle +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex index 3caa54d..eaf8aaa 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex @@ -17,9 +17,12 @@ $\mathcal{B}=\{b_k\;|\; k>0\}$, $x\in H$ \end{block} \begin{block}{Analyse: Fourier-Koeffizienten} \begin{align*} -a_k &= \hat{x}_k=\langle b_k, x\rangle +a_k = \hat{x}_k &=\langle b_k, x\rangle +\\ +\hat{x}&=\mathcal{F}x \end{align*} \end{block} +\vspace{-10pt} \begin{block}{Synthese: Fourier-Reihe} \begin{align*} \tilde{x} @@ -29,6 +32,7 @@ a_k &= \hat{x}_k=\langle b_k, x\rangle \sum_k \langle x,b_k\rangle b_k \end{align*} \end{block} +\vspace{-6pt} \begin{block}{Analyse von $\tilde{x}$} \begin{align*} \langle b_l,\tilde{x}\rangle @@ -67,7 +71,24 @@ b_l,\sum_{k}\langle b_k,x\rangle b_k \|\tilde{x}\|^2 &= \sum_k |\hat{x}_k|^2 += +\|\hat{x}\|_{l^2}^2 += +\|\mathcal{F}x\|_{l^2}^2 +\end{align*} +\end{block} +\vspace{-12pt} +\begin{block}{Isometrie} +\begin{align*} +\mathcal{F} +\colon +H \to l^2 +\colon +x\mapsto \hat{x} \end{align*} +Alle separablen Hilberträume sind isometrisch zu $l^2$ via +%Fourier-Transformation +$\mathcal{F}$ \end{block} \end{column} \end{columns} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex new file mode 100644 index 0000000..1a2bbbc --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex @@ -0,0 +1,82 @@ +% +% qm.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Anwendung: Quantenmechanik} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Zustände (Wellenfunktion)} +$L^2$-Funktionen auf $\mathbb{R}^3$ +\[ +\psi\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{C} +\] +\end{block} +\vspace{-6pt} +\begin{block}{Wahrscheinlichkeitsinterpretation} +\[ +|\psi(x)|^2 = \left\{ +\begin{minipage}{4.6cm}\raggedright +Wahrscheinlichkeitsdichte für Position $x$ des Teilchens +\end{minipage}\right. +\] +\end{block} +\vspace{-6pt} +\begin{block}{Skalarprodukt} +\[ +\langle\psi,\psi\rangle += +\int_{\mathbb{R}^3} |\psi(x)|^2\,dx = 1 +\] +\end{block} +\vspace{-6pt} +\begin{block}{Messgrösse $A$} +Selbstadjungierter Operator $A$ +\\ +$\rightarrow$ +Hilbertbasis $|i\rangle$ von EV von $A$ +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Überlagerung} +\begin{align*} +|\psi\rangle +&= +\sum_i +w_i|i\rangle +\\ +\langle \psi|\psi\rangle +&= +\sum_i |w_i|^2 \qquad\text{(Plancherel)} +\end{align*} +$|w_i|^2=|\langle \psi|i\rangle|^2$ Wahrscheinlichkeit für Zustand $|i\rangle$ +\end{block} +\begin{block}{Erwartungswert} +\begin{align*} +E(A) +&= +\sum_i |w_i|^2 \alpha_i += +\sum_i \overline{w}_i\alpha_i w_i +\\ +&= +\sum_{i,j} \overline{w}_j\alpha_i w_i \langle j|i\rangle += +\sum_{i} \overline{w}_j\langle j| \sum_i \alpha_i w_i |i\rangle +\\ +&= +\sum_{i,j} \overline{w}_j w_i \langle j| +A|i\rangle += +\langle \psi| A |\psi\rangle +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex new file mode 100644 index 0000000..88c456c --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex @@ -0,0 +1,66 @@ +% +% riesz.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Darstellungssatz von Riesz} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Dualraum} +$V$ ein Vektorraum, $V^*$ der Raum aller Linearformen +\[ +f\colon V\to \mathbb{C} +\] +\end{block} +\begin{block}{Beispiel: $l^\infty$} +$l^\infty=\text{beschränkte Folgen in $\mathbb{C}$}$, +Linearformen: +\begin{align*} +f(x) +&= +\sum_{i=0}^\infty f_ix_i +\\ +\|f\| +&= +\sup_{\|x\|_{\infty}\le 1} +|f(x)| += +\sum_{k\in\mathbb{N}} |f_k| +\\ +\Rightarrow +l^{\infty*} +&= +l^1 +\qquad(\ne l^2) +\\ +&=\{\text{summierbare Folgen in $\mathbb{C}$}\} +\end{align*} + +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Beispiel: $\mathbb{C}^n$} +${\mathbb{C}^n}^* = \mathbb{C}^n$ +\end{block} +\begin{theorem}[Riesz] +Zu einer stetigen Linearform $f\colon H\to\mathbb{C}$ gibt es $v\in H$ mit +\[ +f(x) = \langle v,x\rangle +\quad\forall x\in H +\] +und $\|f\| = \|v\|$ +\end{theorem} +\begin{block}{Dualraum von $H$} +$H^*=H$ +\end{block} +Der Hilbertraum ist die ``intuitiv richtige, unendlichdimensionale'' +Verallgemeinerung von $\mathbb{C}^n$ +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..e2c26f5 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex @@ -0,0 +1,96 @@ +% +% rieszbeispiel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Linearform auf $L^2$-Funktionen} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Linearform auf $\mathbb{C}^n$} +\begin{align*} +{\color{blue}x}&=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}, +& +f({\color{blue}x}) +&= +\begin{pmatrix}f_1&f_2&\dots&f_n\end{pmatrix} {\color{blue}x} +\\ +{\color{red}v}&= +\rlap{$ +\begin{pmatrix} +\overline{f}_1&\overline{f}_2&\dots&\overline{f}_n +\end{pmatrix}^t +\;\Rightarrow\; +f({\color{blue}x})=\langle {\color{red}v},{\color{blue}x}\rangle +$} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Linearform auf $L^2([a,b])$} +\begin{align*} +{\color{red}x}&\in L^2([a,b]) +\\ +f&\colon L^2([a,b]) \to \mathbb{C} +: {\color{red}x} \mapsto f({\color{red}x}) +\intertext{Riesz-Darstellungssatz: $\exists {\color{blue}v}\in L^2([a,b])$} +f({\color{red}x}) +&= +\int_a^b {\color{blue}\overline{v}(t)}{\color{red}x(t)}\,dt +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{scope}[xshift=-3.5cm] +\def\s{0.058} +\foreach \n in {0,...,5}{ + \draw[color=red,line width=3pt] + ({\n+\s},{1/(\n+0.5)}) -- ({\n+\s},0); + \node[color=red] at ({\n},{-0.2+1/(\n+0.5)}) + [above right] {$v_\n\mathstrut$}; + \draw[color=blue,line width=3pt] + ({\n-\s},{0.4+0.55*sin(200*\n)+0.25*\n}) -- ({\n-\s},0); + \node[color=blue] at ({\n},{-0.2+0.4+0.55*sin(200*\n)+0.25*\n}) + [above left] {$x_\n\mathstrut$}; +} +\draw[->] (-0.6,0) -- (6,0) coordinate[label={$n$}]; +\draw[->] (-0.5,-0.1) -- (-0.5,2.5) coordinate[label={right:$x$}]; +\foreach \n in {0,...,5}{ + \fill (\n,0) circle[radius=0.08]; + \node at (\n,0) [below] {$\n$\strut}; +} +\node at (5.6,0) [below] {$\cdots$\strut}; +\end{scope} +\begin{scope}[xshift=3.5cm] +\fill[color=red!40,opacity=0.5] + plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{1/(\x+0.5)}) + -- + (5,0) -- (0,0) -- cycle; +\fill[color=blue!40,opacity=0.5] + plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.4+0.55*sin(200*\x)+0.25*\x}) + -- (5,0) -- (0,0) -- cycle; +\draw[color=red,line width=1.4pt] + plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{1/(\x+0.5)}); +\node[color=red] at (0,2) [right] {$x(t)$}; + +\draw[color=blue,line width=1.4pt] + plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.4+0.55*sin(200*\x)+0.25*\x}); +\node[color=blue] at (4.5,2) [right]{$v(t)$}; + +\draw[->] (-0.6,0) -- (6.0,0) coordinate[label={$t$}]; +\draw[->] (-0.5,-0.1) -- (-0.5,2.5) coordinate[label={right:$x$}]; +\draw (0.0,-0.1) -- (0.0,0.1); +\node at (0.0,0) [below] {$a$\strut}; +\draw (5.0,-0.1) -- (5.0,0.1); +\node at (5.0,0) [below] {$b$\strut}; +\end{scope} +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex new file mode 100644 index 0000000..425c263 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex @@ -0,0 +1,48 @@ +% +% sobolev.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Sobolev-Raum} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Vektorrraum $W$} +Funktionen $f\colon \Omega\to\mathbb{C}$ +\begin{itemize} +\item +$f\in L^2(\Omega)$ +\item +$\nabla f\in L^2(\Omega)$ +\item +homogene Randbedingungen: +$f_{|\partial \Omega}=0$ +\end{itemize} +\end{block} +\begin{block}{Skalarprodukt} +\begin{align*} +\langle f,g\rangle_W +&= +\int_\Omega \overline{\nabla f}(x)\cdot\nabla g(x)\,d\mu(x) +\\ +&\qquad + \int_{\Omega} \overline{f}(x)\,g(x)\,d\mu(x) +\\ +&=\langle f,-\Delta g + g\rangle_{L^2(\Omega)} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Vollständigkeit} +\dots +\end{block} +\begin{block}{Anwendung} +``Ein Hilbertraum für jedes partielle Differentialgleichungsproblem'' +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex new file mode 100644 index 0000000..b7a44f8 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex @@ -0,0 +1,87 @@ +% +% spektral.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Spektraltheorie für selbstadjungierte Operatoren} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Voraussetzungen} +\begin{itemize} +\item +Hilbertraum $H$ +\item +$A\colon H\to H$ linear +\end{itemize} +\end{block} +\begin{block}{Eigenwerte} +$x\in H$ ein EV von $A$ zum EW $\lambda\ne 0$ +\begin{align*} +\langle x,x\rangle +&= +\frac1{\lambda} +\langle x,\lambda x\rangle += +\frac1{\lambda} +\langle x,Ax\rangle +\\ +&= +\frac1{\lambda} +\langle Ax,x\rangle += +\frac{\overline{\lambda}}{\lambda} +\langle x,x\rangle +\\ +\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}&=1 +\quad\Rightarrow\quad +\overline{\lambda} = \lambda +\quad\Rightarrow\quad +\lambda\in\mathbb{R} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Orthogonalität} +$u,v$ EV zu EW $\mu,\lambda\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, $\overline{\mu}=\mu\ne\lambda$ +\begin{align*} +\langle u,v\rangle +&= +\frac{1}{\mu} +\langle \mu u,v\rangle += +\frac{1}{\mu} +\langle Au,v\rangle +\\ +&= +\frac{1}{\mu} +\langle u,Av\rangle += +\frac{1}{\mu} +\langle u,\lambda v\rangle += +\frac{\lambda}{\mu} +\langle u,v\rangle +\\ +\Rightarrow +\; +0 +&= +\underbrace{\biggl(\frac{\lambda}{\mu}-1\biggr)}_{\displaystyle \ne 0} +\langle u,v\rangle +\;\Rightarrow\; +\langle u,v\rangle = 0 +\end{align*} +EV zu verschiedenen EW sind orthogonal +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\begin{block}{Spektralsatz} +Es gibt eine Hilbertbasis von $H$ aus Eigenvektoren von $A$ +\end{block} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex new file mode 100644 index 0000000..1d772d6 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex @@ -0,0 +1,56 @@ +% +% sturm.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Sturm-Liouville-Problem} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Wellengleichung} +Saite mit variabler Massedichte führt auf die DGL +\[ +-y''(t) + q(t) y(t) = \lambda y(t), +\quad +q(t) > 0 +\] +mit Randbedingungen $y(0)=y(1)=0$ +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Sturm-Liouville-Operator} +\[ +A=-\frac{d^2}{dt^2} + q(t) = -D^2 + p +\] +auf differenzierbaren Funktionen $\Omega=[0,1]\to\mathbb{C}$ mit Randwerten +\[ +f(0)=f(1)=0 +\] +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\begin{block}{Selbstadjungiert} +\begin{align*} +\langle f,Ag \rangle +&= +\langle f,-D^2 g\rangle + \langle f,qg\rangle += +- +\int_0^1 \overline{f}(t) \frac{d^2}{dt^2}g(t)\,dt ++\langle f,qg\rangle +\\ +&=-\underbrace{[\overline{f}(t)g'(t)]_0^1}_{\displaystyle=0} ++\int_0^1 \overline{f}'(t)g'(t)\,dt ++\langle f,qg\rangle +=-\int_0^1 \overline{f}''(t)g(t)\,dt ++\langle qf,g\rangle +\\ +&=\langle Af,g\rangle +\end{align*} +\end{block} +\end{frame} +\egroup |