2. Lesung abgeschlossen

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index 31ec208..ab86928 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex
@@ -134,7 +134,9 @@ z_1
  0\\
  0
 \end{pmatrix*},
-&z_2
+&
+\phantom{\mathstrut_0}
+z_2
 &=
 \tiny
 \begin{pmatrix*}[r]
@@ -555,7 +557,9 @@ Es ist also nötig, eine Teilmenge
 \]
 von Vektoren auszuwählen, die linear
 unabhängig sind.
-Diese bilden eine Basis von $B_k(C)$.
+Diese bilden eine Basis von $B_k(C)$ und sind als
+blaue Dreiecke in Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:homoboundaries}
+dargestellt.
 
 \begin{figure}
 \centering
@@ -585,7 +589,7 @@ Man erhält so die Beziehungen
 \partial_2e_6^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &z_6& &   &+&z_8& &   & &      & &      & &      & &      \\
 \partial_2e_7^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &z_{10}& &      & &      & &      \\
 \partial_2e_8^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &z_{11}& &      & &      \\
-\partial_2e_9^{(2)} &=&   &\phantom{+}&   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &      &\phantom{+} &      & &z_{12}&+&z_{13}
+\partial_2e_9^{(2)} &=&   &\phantom{+}&   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &      &\phantom{+} &      & &z_{12}&+&z_{13}.
 \end{array}
 \end{equation}
 Dies reicht jedoch nicht, um herauszufinden, welche der blauen Dreiecke
@@ -609,7 +613,7 @@ Vektoren.
 
 Diese Auswahl lässt sich sehr leicht mit Hilfe der folgenden
 Variante des Gauss-Algorithmus realisieren.
-Dazu werden die $n_{k+1}$ Zeilen Gauss-Tableau zunächst mit den Vektoren
+Dazu werden die $n_{k+1}$ Zeilen eines Gauss-Tableaus zunächst mit den Vektoren
 $\partial_{k+1}{e_i^{(k+1)}}^t$ gefüllt.
 Führt man in diesem Tableau die Vorwärtsreduktion durch, wobei man
 entstehende Nullzeilen einfach überspringt, bleiben nur noch Zeilen
@@ -783,18 +787,18 @@ also genau ein weisses Dreieck.
 \includegraphics[width=\textwidth]{chapters/95-homologie/torus/torus.jpg}
 \caption{Basis der Homologiegruppen eines Torus $T^2$.
 Der Algorithmus findet zwei Basisklassen für $H(T^2)$, der eine Zyklus
-geht durch das ``Loch'' des Torus (blau), der andere folgt mehr oder
-weniger dem Äquator.
+geht durch das ``Loch'' des Torus (blau), der andere folgt 
+dem Äquator.
 \label{buch:homologie:fig:torus}}
 \end{figure}
 
-Um den Algorithmus durchzuführen, bilden wir daher das Gauss-Tableau
+Um den Algorithmus für das Beispiel durchzuführen, bilden wir daher das Gauss-Tableau
 in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableau},
 bestehend aus den Vektoren $\partial_2e_i^{(2)}$ in den ersten 9
 Zeilen und den Zyklen $z_1,\dots,z_{13}$ in den folgenden 13 Zeilen.
 Das reduzierte Tableau nach der Vorwärtsreduktion ist in
 Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}
-dargestellt, amn erkennt, dass die Zyklen $z_1$ bis $z_4$, $z_7$ und $z_8$,
+dargestellt, man erkennt, dass die Zyklen $z_1$ bis $z_4$, $z_7$ und $z_8$,
 $z_9$ und $z_{10}$ sowie $z_{13}$ weggelassen werden müssen.
 Es bleiben die folgenden Zyklen:
 \begin{center}
@@ -813,7 +817,7 @@ Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses} zusammengestellt.
 Jede solche Klasse entspricht genau einem der ``Löcher'', der weissen
 Dreiecke.
 Die Homologie kann man also als eine exakte Version der Idee eines
-Vektorraums erzeugt von den ``Löchern'' eines Polygons verstehen.
+Vektorraums erzeugt von den ``Löchern'' eines Polyeders verstehen.
 
 \subsubsection{Basis von $H_k(C)$}
 Die im vorangegangenen Abschnitt konstruierte Basis kann jetzt auch
@@ -833,7 +837,7 @@ findet es die beiden in Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:torus} dargestellten
 Zyklen.
 Sie zeigen schön, wie die Homologieklassen die beiden Arten von ``Löchern''
 erkennen.
-Zum einen ist da der blaue Zyklus, der das ``Loch'' im inneren des Torus
+Zum einen ist da der blaue Zyklus, der das ``Loch'' im Inneren des Torus
 umschliesst.
-Der rote Zyklus dagegen folgt mehr oder weniger dem Äquator und repräsentiert
+Der rote Zyklus dagegen folgt ungefähr dem Äquator und repräsentiert
 damit die ``Ringform'' des Torus.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex
index 88968d2..89aee68 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex
@@ -22,13 +22,13 @@ der Graphentheorie nicht unterschiedbar.
 Als topologische Räume sind das Dreieck und sein Rand aber ganz klar
 unterschiedbar: In einem Dreieck ist jeder geschlossene Pfad in einen 
 Punkt zusammenziehbar, aber die Randkurve ist nicht mehrzusammenziehbar,
-sobald man das innere des Dreiecks entfernt.
+sobald man das Innere des Dreiecks entfernt.
 \label{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}}
 \end{figure}
 Die Randkurve ist in einem Dreieck zusammenziehbar, aber sobald man
 das innere des Dreiecks entfernt, ist die Randkurve nicht mehr
 zusammenziehbar.
-Dreieck und der Rand des Dreiecks sind also grundsätzlich verschieden.
+Dreieck und der Rand des Dreiecks sind also wie man sagt topologisch verschieden.
 
 Die Inzidenzmatrix ordnet jeder Kante ihre beiden Endpunkte zu.
 Die Homologietheorie verallgemeinert diese Idee.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex b/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex
index 03e389b..3e29809 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex
@@ -136,4 +136,4 @@ Für die Euler-Charakteristik eines endlichdimensionalen Kettenkomplexes $C$ gil
 \]
 \end{satz}
 Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, dass die Euler-Charakteristik
-als Spezialfall der Lefshetz-Zahl verstanden werden kann.
+als Spezialfall der sogenannten Lefshetz-Zahl verstanden werden kann.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
index de9dff5..8c08d76 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
@@ -9,7 +9,7 @@ Zu jeder Abbildung $f\colon X\to X$ eines topologischen Raumes in sich
 selbst gehört die zugehörige lineare Abbildung $f_*\colon H_*(X)\to H_*(X)$
 der Homologiegruppen.
 Diese linearen Abbildungen sind im Allgemeinen viel einfacher zu
-analysieren.
+analysieren als Abbildungen topologischer Räume.
 %Zum Beispiel soll in Abschnitt~\ref{buch:subsection:lefshetz}
 %die Lefshetz-Spurformel abgeleitet werden, die eine Aussagen darüber
 %ermöglicht, ob eine Abbildung einen Fixpunkt haben kann.
@@ -28,7 +28,7 @@ analysieren.
 %\subsection{Lefshetz-Fixpunktsatz
 %\label{buch:subsection:lefshetz}}
 Eine Selbstabbildung $f_*\colon C_*\to C_*$ von Kettenkomplexen führt auf
-eine Selbstabbiludng der Homologiegruppen $H(f)\colon H(C)\to H(C)$.
+eine Selbstabbildung der Homologiegruppen $H(f)\colon H(C)\to H(C)$.
 Da sowohl $H_k$ wie auch $C_k$ endlichdimensionale Vektorräume sind, 
 ist die Spur von $H_k(f)$ wohldefiniert.
 
@@ -72,7 +72,7 @@ Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:induzierte-abbildung} wurde gezeigt,
 dass die Basis des Komplexes immer so gewählt werden kann, dass für
 die Spuren der Teilmatrizen von $f_k$ die
 Formel~\eqref{buch:homologie:eqn:spur} gilt.
-Damit kann jetzt die alternierenierden Summe der Spuren von $f_k$ ermittelt
+Damit kann jetzt die alternierenden Summe der Spuren von $f_k$ ermittelt
 werden:
 \begin{align*}
 \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_k)
@@ -136,3 +136,9 @@ Erst recht ist die Lefshetz-Zahl $\lambda(f)=0$.
 Wenn also die Lefshetz-Zahl verschieden ist von Null, dann muss $f$
 notwendigerweise einen Fixpunkt haben.
 
+Dieser Fixpunktsatz zeigt, dass die Topologie eines Raumes $X$ Situationen
+erzwingen kann, wo eine Abbildung $f\colon X\to X$ einen Fixpunkt, oder
+anders ausgedrückt ein Lösung der Gleichung $f(x)=x$ haben muss.
+Diese Eigenschaft bleibt sogar bei Deformation erhalten.
+
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex
index 747c00f..f377f48 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex
@@ -9,7 +9,9 @@
 Die Idee der Trangulation ermöglicht, komplizierte geometrische 
 Objekte mit einem einfachen ``Gerüst'' auszustatten und so zu
 analysieren. 
-Projiziert man ein mit einer Kugel konzentrisches Tetraeder auf die
+Projiziert man
+wie im Beispiel auf Seite~\pageref{buch:homologie:projektion}
+ein mit einer Kugel konzentrisches Tetraeder auf die
 Kugel, entsteht eine Triangulation der Kugeloberfläche.
 Statt eine Kugel zu studieren, kann man also auch ein Tetraeder untersuchen.
 
@@ -31,7 +33,7 @@ reduziert.
 In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie diese Idee auf höhere
 Dimensionen ausgedehnt werden.
 Es soll möglich werden, kompliziertere Fragen des Zusammenhangs, zum
-Beispiel das Vorhandensein von Löchern mit algebraischen Mitteln
+Beispiel das Vorhandensein von Löchern, mit algebraischen Mitteln
 zu analysieren.
 
 \input{chapters/95-homologie/homologieketten.tex}
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex
index b684c79..93f402e 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex
@@ -8,12 +8,13 @@
 Wegzusammenhang lässt sich untersuchen, indem man in der Triangulation
 nach Linearkombinationen von Kanten sucht, die als Rand die beiden Punkte
 haben.
-Zwei Punkte sind also nicht verbindbar und liegen damit in verschiedenen
+Zwei Punkte sind nicht verbindbar und liegen damit in verschiedenen
 Komponenten, wenn die beiden Punkte nicht Rand irgend einer
 Linearkombination von Kanten sind.
 Komponenten können also identifiziert werden, indem man unter allen
-Linearkombinationen von Punkten, also $C_0$ all diejenigen ignoriert,
-die Rand einer Linearkombinationv on Kanten sind, also $\partial_1C_1$.
+Linearkombinationen von Punkten, dargestellt als Vektoren in $C_0$, all diejenigen ignoriert,
+die Rand einer Linearkombinationv on Kanten sind.
+Dies ist das Bild $\partial_1C_1$.
 Der Quotientenraum $H_0=C_0/\partial_1C_1$ enthält also für jede Komponente
 eine Dimension.
 
@@ -47,8 +48,8 @@ möglich.
 Einen zusammenziehbaren Weg kann man sich also als den Rand eines Dreiecks
 einer vorstellen.
 ``Löcher'' sind durch geschlossene Wege erkennbar, die nicht Rand eines
-Dreiecks sein können.
-Wir müssen also ``Ränder'' ignorieren.
+Dreiecks oder einer Menge zusammenpassender Dreiecke sein können.
+Wir müssen solche ``Ränder'' ignorieren.
 
 \begin{definition}
 Die Elemente von
@@ -64,7 +65,7 @@ B_k^C
 heissen die {\em ($k$-dimensionalen) Ränder} von $C_*$.
 \end{definition}
 
-Algebraisch ausgedrückt interessieren uns also nur Zyklen, die selbst
+Algebraisch ausgedrückt interessieren uns nur Zyklen, die selbst
 keine Ränder sind.
 Der Quotientenraum $Z_1/B_1$ ignoriert unter den Zyklen diejenigen, die
 Ränder sind, drückt also algebraisch die Idee des eindimensionalen
@@ -76,7 +77,7 @@ Die $k$-dimensionale Homologiegruppe des Kettenkomplexes $C_*$ ist
 \[
 H_k(C) = Z_k/B_k = \ker \partial_k / \operatorname{im} \partial_{k+1}.
 \]
-Wenn nur von einem Kettenkomplex die Rede ist, kann auch $H_k(C)=H_k$
+Wenn nur von einem einzigen Kettenkomplex die Rede ist, kann auch $H_k(C)=H_k$
 abgekürzt werden.
 \end{definition}
 
@@ -120,20 +121,23 @@ Der Randoperator $\partial_1$ hat die Matrix
  1& 0& 0&-1&-1& 0\\
  0& 1& 0& 1& 0&-1\\
  0& 0& 1& 0& 1& 1
-\end{pmatrix*}.
+\end{pmatrix*},
 \]
+die Adjazenzmatrix des Kantengraphen.
 
 Wir erwarten natürlich, dass sich zwei beliebige Ecken verbinden lassen,
 dass es also nur eine Komponente gibt und dass damit $H_1=\Bbbk$ ist.
-Dazu beachten wir, dass das Bild von $\partial_1$ genau aus den Vektoren
-besteht, deren Komponentensumme $0$ ist.
+Um dies zu berechnen, brauchen wir zunächst $Z_0=\ker\partial_0=C_0$.
+Das Bild von $\partial_1$ besteht genau aus den Vektoren,
+deren Komponentensumme $0$ ist.
 Das Bild $B_0$ von $\partial_1$ ist daher die Lösungsmenge der einen
 Gleichung
 \(
 x_0+x_1+x_2+x_3=0.
 \)
 Der Quotientenraum $H_0=Z_0/B_0 = C_0/\operatorname{im}\partial_1$
-ist daher wie erwartet eindimensional.
+ist daher wie erwartet eindimensional, der erste Standardbasisvektor
+kann als Repräsentant der Basis von $H_0$ dienen.
 
 Wir bestimmen jetzt die Homologiegruppe $H_1$.
 Da sich im Tetraeder jeder geschlossene Weg zusammenziehen lässt,
@@ -192,6 +196,11 @@ z_3
 \end{pmatrix*}
 \]
 gehören.
+In Abbildung~\ref{buch:homologie:tetraeder:fig} kann man unschwer erkennen,
+dass $z_1$ die Grundfläche des Tetraeders ist, $z_2$ das Dreieck vorne
+rechts und $z_3$ das Dreieck vorne links.
+Die Rückseite kommt nicht als unabhängiger Zyklus vor, da sie als $z_1-z_2+z_3$
+gebildet werden kann.
 
 $C_2$ hat die vier Seitenflächen
 \[
@@ -226,7 +235,7 @@ Insbesondere lassen sich alle Zyklen als Ränder darstellen, die
 Homologiegruppe $H_1=0$ verschwindet.
 
 Die Zyklen in $C_2$ sind die Lösungen von $\partial_2z=0$.
-Der Gauss-Algorithmus für $\partial_2$ liefert das -Tableau
+Der Gauss-Algorithmus für $\partial_2$ liefert das Schlusstableau
 \[
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
 \hline
@@ -247,7 +256,7 @@ z
 =
 \begin{pmatrix*}[r]
 -1\\1\\-1\\1
-\end{pmatrix*}
+\end{pmatrix*}.
 \]
 $Z_2$ besteht also aus Vielfachen des Vektors $z$.
 
@@ -263,8 +272,8 @@ Die Randabbildung $\partial_3$ hat die Matrix
 -1
 \end{pmatrix*}.
 \]
-Die Zyklen $Z_2$ und die Ränder $B_2$ bilden also dieselbe Menge, auch
-die Homologie-Gruppe $H_2$ ist $0$.
+Die Zyklen $Z_2$ und die Ränder $B_2$ bilden also dieselbe Menge, daher ist
+die Homologie-Gruppe $H_2=0$.
 
 Da es keine vierdimensionalen Simplizes gibt, ist $B_3=0$.
 Die Zyklen $Z_3$ bestehen aus den Lösungen von $\partial_3w=0$, da
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/induzierteabb.tex b/buch/chapters/95-homologie/induzierteabb.tex
index 13591d7..6e5c1d9 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/induzierteabb.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/induzierteabb.tex
@@ -21,7 +21,7 @@ Wir müssen jetzt aber noch zeigen, dass eine andere Wahl des Zyklus
 das gleiche Element in $H_k(D)$ ergibt.
 Dazu genügt es zu sehen, dass sich $f(z)$ höchstens um einen Rand
 ändert, wenn man $z$ um einen Rand ändert.
-Sei also $b\in B^C_k$ ein Rand, es gibt also ein $w\in C_{k+1}$ mit
+Sei also $b\in B^C_k$ ein Rand, d.~h.~es gibt ein $w\in C_{k+1}$ mit
 $\partial^C_{k+1}w=b$.
 Dann gilt aber auch
 \[
@@ -53,12 +53,12 @@ c_1,\dots,c_s
 \]
 wobei die Vektoren  die folgende Bedeutung haben:
 \begin{center}
-\begin{tabular}{|l|l|}
+\begin{tabular}{|l|p{9cm}|}
 \hline
 Vektoren&Bedeutung\\
 \hline
 $b_1,\dots,b_r$ & Basis für $B_k(C)$ \\
-$z_1,\dots,z_l$ & zusätzliche Vektoren für eine Basis von $Z_k(C)$ \\
+$z_1,\dots,z_l$ &{\raggedright zusätzliche Vektoren für eine Basis von $Z_k(C)$, Repräsentanten für eine Basis von $H_k(C)$}\\
 $c_1,\dots,c_s$ & zusätzliche Vektoren für eine Basis von $C_k$ \\
 \hline
 \end{tabular}
@@ -113,7 +113,7 @@ von $\partial_k$ auf die Basisvektoren von $B_{k-1}$ abgebildet werden.
 In dieser Basis ist $\Delta_k$ eine Einheitsmatrix.
 \label{buch:homologie:fig:komplexbasis}}
 \end{figure}%
-Die Bedingung \eqref{buch:komplex:abbildung} für die Komplexabbildung
+Die Bedingung \eqref{buch:komplex:abbildung} für die Abbildung von Kettenkomplexen
 bekommt jetzt die Matrixform
 \begin{equation}
 \left.
@@ -168,7 +168,7 @@ Block $f_{k,Z}$ notwendig, die Matrix von $H_k(f)$ in der gewählten
 Basis von $H_k(C)$ bzw.~$H_k(D)$ ist also genau die Matrix $f_{k,Z}$.
 
 
-Wie Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:komplexbasis} können die
+Wie Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:komplexbasis} illustriert, können die
 Basisvektoren $c_*$ in $C_k$ so gewählt werden, dass sie vom Randoperator
 $\partial_k$ auf die Basisvektoren von $Z_{k-1}$ abgebildet werden.
 Bei dieser Wahl wird die Matrix $\Delta_k$ eine Einheitsmatrix.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex
index bc4fcf3..7e02a1f 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex
@@ -7,12 +7,12 @@
 \label{buch:section:komplex}}
 \rhead{Kettenkomplexe}
 Die algebraische Struktur, die in Abschnitt~\ref{buch:subsection:triangulation}
-konstruiert wurde, kann noch etwas abstrakter konstruiert werden.
-Es ergibt sich das Konzept eines Kettenkomplexes.
-Die Triangulation gibt also Anlass zu einem Kettenkomplex.
-So lässt sich zu einem geometrischen Objekt ein algebraisches 
+konstruiert wurde, kann noch etwas abstrakter gefasst werden.
+Es ergibt sich das im folgenden dargestellte Konzept eines Kettenkomplexes.
+%Die Triangulation gibt also Anlass zu einem Kettenkomplex.
+So lässt sich mittels Triangulation zu einem geometrischen Objekt ein algebraisches 
 Vergleichsobjekt konstruieren.
-Im Idealfall lassens ich anschliessend geometrische Eigenschaften mit
+Im Idealfall lassen sich anschliessend geometrische Fragen mit
 algebraischen Rechnungen zum Beispiel in Vektorräumen mit Matrizen
 beantworten.
 
@@ -102,11 +102,10 @@ kommutatives Diagramm dargestellt werden.
 \end{tikzcd}
 \label{buch:komplex:abbcd}
 \end{equation}
-Die Relation~\eqref{buch:komplex:abbildung} drückt aus, dass man jeden
+Die Relation~\eqref{buch:komplex:abbildung} drückt aus, dass man beliebig
 den Pfeilen im Diagram~\eqref{buch:komplex:abbcd} folgen kann und
 dabei zwischen zwei Vektorräumen unabhängig vom Weg die gleiche Abbildung
 resultiert.
-
 Die Verfeinerung einer Triangulation erzeugt eine solche Abbildung von
 Komplexen.
 
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
index 65ab441..a38a507 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
@@ -12,12 +12,12 @@ die sogenannten Simplizes entwickeln müssen.
 
 \subsection{Simplizes und Rand
 \label{buch:subsection:simplices}}
-Die Inzidenz-Matrix eines Graphen hat einer Kante die beiden Endpunkte
+Die Inzidenzmatrix eines Graphen hat einer Kante die beiden Endpunkte
 mit verschiedenen Vorzeichen zugeordnet.
 
 \subsubsection{Rand eines Dreiecks}
 Dieses Idee soll jetzt verallgemeinert werden.
-Der Rand des Dreiecks $\triangle$ in
+Der Rand des Dreiecks $\triangle P_0P_1P_2$ in
 Abbildung~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}
 besteht aus den Kanten $P_0P_1$, $P_1P_2$ und $P_0P_2$.
 Für eine algebraische Definition müssen die Kanten offenbar eine
@@ -27,8 +27,7 @@ Dem Dreieck $\triangle$ werden dann die drei Kanten $k_{01}$, $k_{02}$
 und $k_{12}$ zuogeordnet, aber mit zusätzlichen Vorzeichen, die
 die Orientierung festhalten.
 Durchläuft man den Rand von $\triangle$ in der Reihenfolge $P_0P_1P_2$,
-dann müssen die Kanten $k_{12}$ und $k_{02}$ ein negatives Vorzeichen
-erhalten.
+dann muss die Kante $k_{02}$ ein negatives Vorzeichen erhalten.
 
 Wir können diese Zuordnung wieder mit einer Matrix ausdrücken.
 \[
@@ -69,9 +68,10 @@ wobei die beiden positiven reellen Zahlen $t_0,t_1\in\mathbb{R}$ die
 Bedingung $t_0 + t_1 = 1$ erfüllen.
 Für ein eindimensionales Objekt brauchen wir also zwei Punkte und zwei
 positive Parameter, die sich zu $1$ summieren.
-Die Mengen $\triangle_1=\{ (t_0,t_1)\,|t_i\ge 0, t_0+t_1=1\}$ kann also
-ganz allgemein als Parameterraum zur Beschreibung eindimensionalen Objektes
-mit den Endpunkten dienen.
+Die Mengen $\triangle_1=\{ (t_0,t_1)\mid t_i\ge 0, t_0+t_1=1\}$ kann also
+ganz allgemein als Parameterraum zur Beschreibung eines eindimensionalen Objektes
+$\triangle_1$
+mit den Endpunkten $0$ und $1$ dienen.
 Eine Strecke ist also eine Abbildung der Form
 \begin{equation}
 s_1
@@ -105,7 +105,7 @@ heisst das $n$-dimensionale Standardsimplex.
 \index{Standardsimplex}%
 \end{definition}
 
-Die Standardbasisvektoren von  $\mathbb{R}^{n+1}$ werden $e_0,\dots,e_n$
+Die Standardbasisvektoren von  $\mathbb{R}^{n+1}$ werden mit $e_0,\dots,e_n$
 bezeichnet und sind die Ecken des $n$-dimensionalen Standardsimplex.
 
 \subsubsection{Simplizes in $\mathbb{R}^N$}
@@ -155,21 +155,23 @@ Wir schreiben auch $[P_0,P_1,\dots,P_n]$ für dieses Simplex.
 
 \subsubsection{Rechnen mit Simplizes}
 Wir möchten später ein geometrisches Objekt aus Simplizes zusammensetzen.
-Dazu müssen wir mehrere Simplizes so ein einen Raum abbilden können, dass
+Dies soll rein algebraisch geschehen, die einzelnen Simplizes sollen
+formal als Basisvektoren eines abstrakten Vektorraums verwendet werden.
+Damit das geht, müssen die Simplizes so platziert sein, dass
 sie an den Rändern zusammenpassen.
-Dazu müssen wir mit ``Kombinationen'' von Simplizes rechnen können.
-Wir betrachten daher
-jedes Simplex als einen Basisvektor eines abstrakten Vektorraumes.
 
 Simplizes verschiedener Dimension in $\mathbb{R}^N$ können natürlich 
 immer unterschieden werden, wir können also den Vektorraum in einzelne
-Vektorräume aufteilnen, einen für jede Dimension.
-In Dimension $l$ bezeichnen wir mit $C_l$ den Vektorraum, dessen
-Basisvektoren $l+1$-Tupel
+Vektorräume aufteilen, einen für jede Dimension.
+Der Vektorraum in Dimension $l$ wird von den $l$-dimensionalen Simplizes 
+als Basis erzeugt und wir bezeichnen ihn mit $C_l$.
+Da die Eckpunkte ein Simplex in $\mathbb{R}^N$ festlegen, ist ein
+$l$-dimensionales Simplex, als ein Basisvektor von $C_l$ durch
+das $l+1$-Tupel
 \(
 [P_0,\dots,P_l]
 \)
-von Punkten von $\mathbb{R}^N$ sind.
+von Punkten von $\mathbb{R}^N$ gegeben.
 Der Vektorraum $C_l$ besteht dann aus Linearkombinationen
 \[
 C_l
@@ -274,8 +276,9 @@ Der Rand des Simplex $[P_0,\dots,P_l]$ ist
 \]
 Darauf muss jetzt der Randoperator $\partial_{l-1}$ angewendet
 werden.
-Dabei wird jeweils der Index $i$ übersprungen, bei der Bildung der
-Summe müssen die Teile daher separat betrachtet werden:
+Dabei wird auf der rechten Seit jeweils der Index $i$ des weggelassenen
+Punktes übersprungen, bei der Bildung der
+Summe müssen die Teile vor und nach $i$ daher separat betrachtet werden:
 \begin{align}
 \partial_{l-1}\partial_l[P_0,\dots,P_l]
 &=
@@ -304,6 +307,9 @@ Summe müssen die Teile daher separat betrachtet werden:
 [P_0,\dots,\widehat{P_i},\dots,\widehat{P_j}\dots,P_l]
 \notag
 \end{align}
+Auf der letzten Zeile sind die Summen über alle Paare
+$(i,j)\in\{0,\dots,n\}^2$ zu erstrecken, die die zusätzliche
+Bedingung $j<i$ bzw.~$j>i$ erfüllen.
 Der Exponent $j-1$ im zweiten Term von
 \eqref{buch:homologie:eqn:randrand}
 trägt der Tatsache Rechnung,
@@ -383,7 +389,7 @@ dass sich die Gestalt der gesamten Menge dadurch ändert.
 \label{buch:subsection:triangulation}}
 Unser Ziel ist, geometrische Objekte besser verstehen zu können.
 Dabei sind uns Deformationen und sogar Knicke egal, es interessiert uns
-nur die ``Gestalt'' des Objekts.
+nur die ``Gestalt'' oder ``Topologie'' des Objekts.
 Entfernungen zwischen Punkten sind ebenfalls von untergeordneter 
 Bedeutung, da sie bei Deformation nicht erhalten bleiben.
 Der Begriff des ``topologischen Raumes'' fasst diese Ideen mathematisch
@@ -405,12 +411,13 @@ und $g\colon Y\to X$ gibt, die zu einander invers sein.
 Oder wenn sich $X$ stetig auf $Y$ abbilden lässt, so dass auch die
 Umkehrabbildung stetig ist.
 Eine solche Abbildung heisst ein {\em Homöomorphismus}, die beiden Räume
-$X$ und $Y$ heissen {\em homomorph}.
+$X$ und $Y$ heissen {\em homöomorph}.
 
 Eine Kugel ist natürlich kein Polyeder, aber sie kann leicht homöomorph
 auf ein dreidimensionales Simplex abgebildet werden.
 
 \begin{beispiel}
+\label{buch:homologie:projektion}
 Sei $T$ ein reguläres Tetraeder mit den Ecken auf der dreidimensionalen
 Einheitskugel $B^3$.
 Für jeden Richtungsvektor $x\ne 0$ sei $l(x)$ Entfernung vom Mittelpunkt des
@@ -436,12 +443,16 @@ l(x) x&\quad\text{für $x\ne 0$}\\
 \end{cases}
 \]
 zueinander inverse stetige Abbildungen oder Homöomorphismen.
+Dies funktioniert natürlich nicht nur ein Tetraeder, sondern für jedes
+beliebige konvexe Polyeder.
 \end{beispiel}
 
 Im Folgenden sollen daher nur solche topologischen Räume untersucht werden,
 die homöomorph sind zu einem Polyeder.
 Man nennt die homöomorphe Abbildung eines Polyeders auf so einen Raum
 auch eine Triangulation.
+Triangulationen reduzieren die algebraischen Untersuchungen auf jene
+von Polyedern.
 Durch Unterteilung der Simplizes in kleiner Simplizes kann eine solche
 Triangulation beliebig verfeinert werden.