chapter 8, intro typos

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index b8298b1..9ca210d 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
@@ -6,7 +6,7 @@
 %
 \section{Determinante
 \label{buch:section:determinante}}
-Das Signum einer Permutationsmatrizen lässt sich
+Das Signum einer Permutationsmatrix lässt sich
 gemäss~\eqref{buch:permutationen:determinante}
 mit der Determinanten berechnen.
 Umgekehrt sollte es auch möglich sein, eine Formel
@@ -70,28 +70,28 @@ schreiben lassen, wobei die Koeffizienten $c(\sigma)$ noch zu bestimmen
 sind.
 Setzt man in
 \eqref{buch:permutationen:cformel}
-eine Permutationsmatrix $P_\tau$ ein, dann verschwinden alle
-Terme auf der rechten Seite ausser dem zur Permutation $\tau$,
+eine Permutationsmatrix $P_\gamma$ ein, dann verschwinden alle
+Terme auf der rechten Seite ausser dem zur Permutation $\gamma$,
 also
 \[
-\det(P_\tau)
+\det(P_\gamma)
 =
 \sum_{\sigma \in S_n}
 c(\sigma)
 \,
-(P_\tau)_{1\sigma(1)}
-(P_\tau)_{2\sigma(2)}
+(P_\gamma)_{1\sigma(1)}
+(P_\gamma)_{2\sigma(2)}
 \cdots
-(P_\tau)_{n\sigma(n)}
+(P_\gamma)_{n\sigma(n)}
 =
-c(\tau)
+c(\gamma)
 \,
 1\cdot 1\cdots 1
 =
-c(\tau).
+c(\gamma).
 \]
-Der Koeffizientn $c(\tau)$ ist also genau das Vorzeichen
-der Permutation $\tau$.
+Der Koeffizient $c(\gamma)$ ist also genau das Vorzeichen
+der Permutation $\gamma$.
 Damit erhalten wir den folgenden Satz:
 
 \begin{satz}
@@ -106,12 +106,12 @@ a_{2\sigma(2)}
 \cdots
 a_{n\sigma(n)}
 =
-\sum_{\tau\in S_n}
-\operatorname{sgn}(\tau)
-a_{\tau(1)1}
-a_{\tau(2)2}
+\sum_{\gamma\in S_n}
+\operatorname{sgn}(\gamma)
+a_{\gamma(1)1}
+a_{\gamma(2)2}
 \cdots
-a_{\tau(n)n}.
+a_{\gamma(n)n}.
 \]
 Insbesondere folgt auch $\det(A)=\det(A^t)$.
 \end{satz}
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index 24ed053..32bf217 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
@@ -12,7 +12,7 @@ Da es in dieser Diskussion nicht auf die Art der Objekte ankommt,
 nehmen wir als Objektmenge die Zahlen $[n] = \{ 1,\dots,n\}$
 (siehe auch Definition~\ref{buch:zahlen:def:[n]}).
 Die Operation, die die Objekte in eine bestimmte Reihenfolge bringt,
-ist eine Abbildung $\sigma\colon[n]\to[n]$.
+ist eine umkehrbare Abbildung $\sigma\colon[n]\to[n]$.
 
 \begin{definition}
 \label{buch:permutationen:def:permutation}
@@ -80,8 +80,8 @@ Eine Permutation $\sigma\in S_n$ kann auch mit der sogenanten Zyklenzerlegung
 analysiert werden.
 
 \begin{definition}
-Ein Zyklus $Z$ ist eine unter $\sigma$ invariante Teilmenge von $[n]$
-minimaler Grösse.
+Der Zyklus $Z$ eines Elements von $[n]$ ist die unter $\sigma$ invariante
+Teilmenge von $[n]$ minimaler Grösse, die das Element enthält.
 \index{Zyklus}%
 \index{invariante Teilmenge}%
 \index{minimale Grösse}%
@@ -106,11 +106,11 @@ Sei $\sigma\in S_n$ eine Permutation. Der folgende Algorithmus findet
 die Zyklenzerlegung von $\sigma$:
 \begin{enumerate}
 \item
-$i=1$
+$i=1$.
 \item
 Wähle das erste noch nicht verwendete Element
 \[
-s_i=\min\biggl( [n] \setminus \bigcup_{j< i} Z_j\biggr)
+s_i=\min\biggl( [n] \setminus \bigcup_{j< i} Z_j\biggr).
 \]
 \item
 Bestimme alle Elemente, die aus $s_i$ durch Anwendung von $\sigma$
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
index 9108824..0a5aea0 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
@@ -77,7 +77,7 @@ Die Verknüpfung von Permutationen wird zur Matrixmultiplikation
 von Permutationsmatrizen, die Zuordnung $\sigma\mapsto P_\sigma$
 ist also ein Homomorphismus
 \index{Homomorphismus}%
-$S_n \to M_n(\Bbbk^n)$,
+$S_n \to \operatorname{GL}_n(\Bbbk)$,
 es ist
 $P_{\sigma_1\sigma_2}=P_{\sigma_1}P_{\sigma_2}$.
 $\sigma$ heisst gemäss Definition~\ref{buch:vektorenmatrizen:def:darstellung}
@@ -105,9 +105,11 @@ P_{\tau_{i\!j}}
 \end{pmatrix}.
 \]
 
-Die Permutation $\sigma$ mit dem Zyklus $1\to 2\to\dots\to l-1\to l\to 1$
+Die Permutation $\sigma$ mit dem Zyklus
+$1\mapsto 2\mapsto\dots\mapsto l-1\mapsto l\mapsto 1$
 der Länge $l$ kann aus aufeinanderfolgenden Transpositionen zusammengesetzt
-werden, die zugehörigen Permutationsmatrizen sind
+werden.
+Die zugehörigen Permutationsmatrizen sind
 \begin{align*}
 P_\sigma
 &=
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
index 222a7cc..8e8fefb 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
@@ -32,7 +32,8 @@ Zyklen haben die Länge $1$.
 
 \subsection{Zyklus und Permutationen aus Transpositionen}
 Sei $\sigma$ die zyklische Vertauschung der Elemente $1,\dots,k\in [n]$,
-also die Permutation, die $1\to2\to3\to\dots\to k-2\to k-1\to k\to 1$
+also die Permutation, die
+$1\mapsto2\mapsto3\mapsto\dots\mapsto k-2\mapsto k-1\mapsto k\mapsto 1$
 abbildet.
 Dieser Zyklus lässt sich wie folgt aus Transpositionen zusammensetzen:
 \begin{center}
@@ -63,7 +64,7 @@ werden.
 Die Anzahl Transpositionen, die zur Darstellung einer Permutation
 nötig ist, ändert sich aber immer nur um eine gerade Zahl.
 Die Anzahl ist also keine Invariante einer Permutation, aber ob
-die Anzahl gerade ist oder nicht, ist sehr wohl eine charkterisierende
+die Anzahl gerade ist oder nicht, ist sehr wohl eine charkteristische
 Eigenschaft einer Permutation.
 
 \begin{definition}
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
index e19f76f..6ee51cf 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
@@ -204,7 +204,7 @@ eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra.
 \begin{definition}
 Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt
 \[
-[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v],
+[\;\,,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v],
 \]
 welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi}
 erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}.
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
index c67a304..fb1b4ae 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
@@ -21,7 +21,7 @@ $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ eine offene Teilmenge in $\mathbb{R}^{n^2}$,
 sie besitzt also automatisch die Struktur einer $n^2$-Mannigfaltigkeit.
 Doch auch alle anderen Matrizengruppen,
 die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden sollen,
-stellens ich als Untermannigfaltigkeiten von
+stellen sich als Untermannigfaltigkeiten von
 $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ heraus.
 
 \subsection{Mannigfaltigkeitsstruktur der Matrizengruppen
@@ -181,8 +181,8 @@ Sie ist also Lösung der Differentialgleichung~\eqref{buch:gruppen:eqn:expdgl}.
 Die Drehungen der Ebene sind die orientierungserhaltenden Symmetrien
 des Einheitskreises, der in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}
 als Mannigfaltigkeit erkannt wurde.
-Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrix
-beschrieben werden kann.
+Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrizen
+beschrieben werden können.
 
 \subsubsection{Die Untergruppe
 $\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$}
@@ -882,7 +882,7 @@ Der Tangentialraum ist also dreidimensional.
 für die Lie-Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ der flächenerhaltenden
 linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^2$.
 In allen drei Fällen wird das blaue Quadrat mit den Ecken in den
-Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe zu
+Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe 
 zum roten Viereck verzerrt, der Flächeninhalt bleibt aber erhalten.
 In den beiden Fällen $B$ und $C$ stellen die grünen Kurven die Bahnen
 der Bilder der Standardbasisvektoren dar.
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
index 3db4873..640c73f 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
@@ -289,7 +289,7 @@ Die Abbildungen $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} sind jeweils
 Matrizen in $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.
 Der Grund dafür ist, dass die
 Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
-linear zu sein braucht.
+linear sind.
 Dies hat zur Folge, dass für zwei Anfangsbedingungen $x_1,x_2\in\mathbb{R}^2$
 die Lösung für Linearkombinationen $\lambda x_1+\mu x_2$ durch
 Linearkombination der Lösungen erhalten werden kann, also
@@ -468,8 +468,8 @@ derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$
 \to
 \varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)
 \]
-als Abbildung von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar
-ist.
+als Abbildungen von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar
+sind.
 Eine {\em $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit} ist eine
 Menge $M$ mit einem differenzierbaren Atlas.
 \index{Atlas}%
@@ -698,6 +698,7 @@ Die Koordinatenumrechnung ist gegeben durch
 \dot{x}(t)
 =
 D\varphi_{31}(\gamma(t)) 
+\cdot
 \dot{y}(t).
 \]
 Für die spezielle Kurve $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ wird dies zu
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/chapter.tex b/buch/chapters/70-graphen/chapter.tex
index 14240f4..80f953d 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/chapter.tex
@@ -18,8 +18,8 @@ dann Beziehungen zwischen diesen Objekten.
 Graphen haben zwar nur eine eindimensionale Geometrie, sie können aber auch als
 erste Approximation höherdimensionaler geometrischer Strukturen dienen.
 
-Die Bedeutung des Graphenkozeptes wird unterstrichen von der Vielzahl
-von Fragestellungen, die über Graphen gestellt worden sind, und der
+Die Bedeutung des Graphenkonzeptes wird unterstrichen von der Vielzahl
+von Fragestellungen, die über Graphen untersucht worden sind, und der
 zugehörigen Lösungsalgorithmen, die zu ihrer Beantwortung gefunden
 worden sind.
 Die Komplexitätstheorie hat sogar gezeigt, dass sich jedes NP-vollständige
@@ -28,7 +28,7 @@ Problem in ein Graphenproblem umformulieren lässt.
 
 Das Problem, einen Stundenplan zu finden, der sicherstellt, dass
 \index{Stundenplan}%
-alle Studierenden jedes Fach besuchen können, für die sie sich
+alle Studierenden jedes Fach besuchen können, für das sie sich
 angemeldet haben, lässt sich zum Beispiel wie folgt als ein
 Graphenproblem formulieren.
 Die Fächer betrachten wir als Knoten des Graphen.