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diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc
index 8dba738..a4505cb 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc
@@ -9,4 +9,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/010-potenzen/polynome.tex				\
 	chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex				\
 	chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex				\
+	chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex			\
+	chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/102.tex			\
+	chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/103.tex			\
 	chapters/010-potenzen/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex
index d887142..7dc30d4 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex
@@ -42,11 +42,13 @@ Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:potenzreihen} erinnert.
 \input{chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex}
 \input{chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex}
 
-%\section*{Übungsaufgaben}
-%\rhead{Übungsaufgaben}
-%\aufgabetoplevel{chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben}
-%\begin{uebungsaufgaben}
-%\uebungsaufgabe{0}
+\section*{Übungsaufgaben}
+\rhead{Übungsaufgaben}
+\aufgabetoplevel{chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben}
+\begin{uebungsaufgaben}
+\uebungsaufgabe{101}
+\uebungsaufgabe{102}
+\uebungsaufgabe{103}
 %\uebungsaufgabe{1}
-%\end{uebungsaufgaben}
+\end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex b/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex
index af4c2f2..3d55710 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex
@@ -58,7 +58,6 @@ die Nullstelle als Rückgabewert hat.
 \centering
 \includegraphics{chapters/010-potenzen/images/wurzel.pdf}
 \caption[Graph der Wurzelfunktionen]{Graph der Wurzelfunktionen
-%$x\mapsto\root{n}\of{x\mathstrut}$
 \ensuremath{x\mapsto\root{n}\of{x}}
 als Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen $x\mapsto x^n$ für
 $n=2$ ({\color{red}rot}), $n=3$ ({\color{blue}blau}),
@@ -92,8 +91,6 @@ Für $n=2$ wird die Wurzel als
 geschrieben.
 \end{definition}
 
-TODO: Graph der Wurzelfunktion hinzufügen
-
 Mit der Wurzelfunktion ist es jetzt möglich, auch kompliziertere
 Gleichungen zu lösen:
 \begin{enumerate}
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
index df74574..5f119e5 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
@@ -78,5 +78,27 @@ numerischen Mathematik.
 % Muss später ausgedehnt werden auf Potenzreihen
 
 \subsection{Polynom-Berechnung}
-% Effiziente Berechnung von Polynomen ist zentral für die Numerik
+Die naive Berechnung der Werte eines Polynoms beginnt mit der Berechnung
+der Potenzen.
+Die Anzahl nötiger Multiplikationen kann minimiert werden, indem man
+das Polynom als
+\[
+a_nx^n
++
+a_{n+1}x^{n+1}
++
+\dots
++
+a_1x
++
+a_0
+=
+((\dots((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dots )x+a_1)x+a_0
+\]
+schreibt.
+Beginnend bei der innersten Klammer sind genau $n$ Multiplikationen
+und $n+1$ Additionen nötig, im Gegensatz zu $2n$ Multiplikationen
+und $n$ Additionen bei der naiven Vorgehensweise.
+
+
 
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex b/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex
index 932e1e4..a003fcb 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex
@@ -276,6 +276,12 @@ Auf diese allgemeingültige Eigenschaft wird in Abschnitt
 eingegangen.
 \end{beispiel}
 
+Auch das Quotientenkriterium kann zur Berechnung des Konvergenzradius
+herangezogen werden.
+Falls $a_k\ne 0$ ab einem gewissen Index $k$ ist und der Grenzwert
+von $a_{k}/a_{k+1}$ für $k\to\infty$ existiert, dann ist der
+Grenzwert der Konvergenzradius.
+
 %
 % Tayler-Reihe
 %
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
index ca6100b..29d1d4b 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
@@ -16,6 +16,10 @@ zum Beispiel beim Design von Filtern in der Elektronik.
 Nach dem Satz von Weierstrass~\ref{buch:potenzen:satz:weierstrass}
 lässt sich jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall durch
 ein Polynom approximieren.
+Interpolation kann zur Konstruktion solcher approximierender Polynome
+verwendet werden, wie die folgenden Abschnitte zeigen sollen.
+Die Optimierung des Approximationsfehlers führt auf die Spezifikation
+einer interessanten Familie von Polynomen.
 
 \subsubsection{Lagrange-Interplationspolynome}
 Eine mögliche Lösung des Problems, solche approximierenden Polynome
@@ -66,6 +70,7 @@ Für $j\ne k$ enthält der Zähler von $l_j(x_k)$ den Faktor
 $(x-x_k)$, der für $x=x_k$ verschwindet.
 Daher verschwindet auch $l_j(x)$ für $x=x_k$.
 
+\index{Lagrange-Interpolationspolynom}%
 Das sogenannte {\em Lagrange-Interpolationspolynom} ist das Polynom
 \[
 p(x)
@@ -132,6 +137,7 @@ bekannt, dass die Kosinus eines Vielfachen des Winkels immer
 als Polynom des Kosinus des Winkels dargestellt werden können.
 
 \begin{definition}
+\index{Tschebyscheff-Polynom}%
 \label{buch:potenzen:def:tschebyscheff}
 Das Polynom
 \[
@@ -166,6 +172,7 @@ orthogonaler Polynome sind.
 Mit der Abkürzung $y=\arccos(x)$ oder $x=\cos(y)$ bekommt man aus
 der Definition~\label{buch:potenzen:def:tschebyscheff}
 der Tschebyscheff-Polynome
+\index{Drei-Term-Rekursion!für Tschebyscheff-Polynome}
 \begin{align*}
 xT_n(x)
 &=
@@ -183,7 +190,11 @@ x\,T_n(x)
 Auflösen nach $T_{n+1}(x)$ ergibt
 \begin{equation}
 T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x),
-\quad T_1(x)=x, T_0(x)=1
+\quad
+\text{mit Startwerten}
+\quad T_1(x)=x,
+\quad
+T_0(x)=1.
 \label{buch:potenzen:tschebyscheff:eqn:rekursion}
 \end{equation}
 Damit können die Tschebyscheff-Polynome sehr effizient berechnet werden:
@@ -233,6 +244,7 @@ sehr effizient zu berechnen.
 \subsubsection{Multiplikationsformel}
 Aus der Definition mit Hilfe trigonometrischer Funktionen
 lässt sich auch eine Multiplikationsformel ableiten.
+\index{Multiplikationsformel}%
 
 \begin{satz}
 Es gilt
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex b/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex
new file mode 100644
index 0000000..197b196
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex
@@ -0,0 +1,37 @@
+Finden Sie eine Potenzreihe für die Funktion
+\(
+z\mapsto \frac{1}{z}
+\)
+im Punkt $z_0\ne 0$.
+
+\begin{hinweis}
+Berechnen Sie $1/(z_0 - (z_0-z))$.
+\end{hinweis}
+
+\begin{loesung}
+Die Funktion im Hinweis kann in die Form einer geometrischen Reihe
+gebracht werden:
+\begin{align*}
+\frac{1}{z_0-(z_0-z)}
+&=
+\frac{1}{z_0}
+\cdot
+\frac{1}{1-(\frac{z_0-z}{z_0})}
+=
+\frac{1}{z_0}
+\sum_{k=0}^\infty \biggl(\frac{z_0-z}{z_0}\biggr)^k
+=
+\frac{1}{z_0}
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{z_0^k} (z-z_0)^k
+=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}} (z-z_0)^k.
+\end{align*}
+Die Koeffizienten der gesuchten Potenzreihe sind daher 
+\[
+a_k = \frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}}.
+\qedhere
+\]
+\end{loesung}
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/102.tex b/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/102.tex
new file mode 100644
index 0000000..98e9fcc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/102.tex
@@ -0,0 +1,17 @@
+Berechnen Sie den Konvergenzradius der Exponentialreihe
+$e^z=\sum_{k=0}^\infty z^k/k!$
+
+\begin{loesung}
+Mit $a_k=1/k!$ folgt mit dem Quotientenkriterium
+\[
+\frac{a_{k+1}}{a_k}
+=
+\frac{(k+1)!}{k!}
+=
+k+1
+\to
+\infty
+\]
+für $k\to\infty$.
+Der Konvergenzradius ist daher unendlich.
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/103.tex b/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/103.tex
new file mode 100644
index 0000000..5d0c3e0
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/103.tex
@@ -0,0 +1,21 @@
+Verwenden Sie das Resultat von Aufgabe~\ref{101}, um die $k$-te Ableitung
+der Funktion $1/z$ an der Stelle $z_0$ zu berechnen.
+
+\begin{loesung}
+Die Taylor-Reihe von $f(z)=1/z$ an der Stelle $z_0$ ist
+\[
+\mathscr{T}_{z_0}f(z)
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}
+(z-z_0)^k
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}} (z-z_0)^k
+\quad\Rightarrow\quad
+f^{(k)}(z_0)
+=
+k!\frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}}.
+\qedhere
+\]
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kugel/Makefile b/buch/chapters/090-pde/kugel/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..4daf173
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/kugel/Makefile
@@ -0,0 +1,18 @@
+#
+# Makefile -- build images for cover
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	spherical30.png spherical31.png spherical32.png spherical33.png
+
+spherical30.png:	common.inc spherical30.pov
+	povray +A0.1 +UA +W1080 +H1080 -Ospherical30.png spherical30.pov
+
+spherical31.png:	common.inc spherical31.pov
+	povray +A0.1 +UA +W1080 +H1080 -Ospherical31.png spherical31.pov
+
+spherical32.png:	common.inc spherical32.pov
+	povray +A0.1 +UA +W1080 +H1080 -Ospherical32.png spherical32.pov
+
+spherical33.png:	common.inc spherical33.pov
+	povray +A0.1 +UA +W1080 +H1080 -Ospherical33.png spherical33.pov
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kugel/common.inc b/buch/chapters/090-pde/kugel/common.inc
new file mode 100644
index 0000000..ed5f78c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/kugel/common.inc
@@ -0,0 +1,227 @@
+//
+// common.inc
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "colors.inc"
+#include "math.inc"
+
+global_settings {
+        assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.035;
+#declare thetasteps = 100;
+	#declare phisteps = 200;
+
+#declare PositiveColor = rgb<1.0,0.6,0.2>;
+#declare NegativeColor = rgb<0.6,0.2,0.6>;
+
+camera {
+	location <-33, 20, 50>
+	look_at <0, 0, 0>
+	right x * imagescale
+	up y * imagescale
+}
+
+background { color rgbt <0,0,0,1> }
+
+light_source {
+	<10, 5, 40> color White
+	area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
+	adaptive 1
+        jitter
+}
+
+//sky_sphere {
+//	pigment {
+//		color rgb<1,1,1>
+//	}
+//}
+
+//
+// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with
+// color <c>
+//
+#macro arrow(from, to, arrowthickness, c)
+#declare arrowdirection = vnormalize(to - from);
+#declare arrowlength = vlength(to - from);
+union {
+	sphere {
+		from, 1.1 * arrowthickness
+	}
+	cylinder {
+		from,
+		from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+		arrowthickness
+	}
+	cone {
+		from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+		2 * arrowthickness,
+		to,
+		0
+	}
+	pigment {
+		color c
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+#end
+
+//arrow(<-1.1,0,0>, <1.1,0,0>, 0.01, White)
+//arrow(<0,-1.1,0>, <0,1.1,0>, 0.01, White)
+//arrow(<0,0,-1.1>, <0,0,1.1>, 0.01, White)
+
+#declare P33 = function(X) { (1-X*X) * sqrt(1-X*X) };
+#declare P33abl = function(X) { -3*X*sqrt(1-X*X) };
+#declare P32 = function(X) { 2.7 * (1-X*X) * X };
+#declare P32abl = function(X) { 2.7 * (1-3*X*X) };
+#declare P31 = function(X) { (0.75) * (5*X*X-1) * sqrt(1-X*X) };
+#declare P31abl = function(X) { 0.75 * (15*X*X-11)*X / sqrt(1-0.9999*X*X) };
+#declare P30 = function(X) { (1/2) * (5*X*X-3)*X };
+#declare P30abl = function(X) { (1/2) * 15*X*X-3 };
+
+#macro kugel0(phi,theta)
+<cos(phi)*sin(theta), cos(theta), sin(phi)*sin(theta)>
+#end
+#macro kugelphi(phi,theta)
+<-sin(phi)*sin(theta), 0, cos(phi)*sin(theta)>
+#end
+#macro kugeltheta(phi,theta)
+<cos(phi)*cos(theta), -sin(theta), sin(phi)*cos(theta)>
+#end
+
+#declare fcos = function(phi,eps) { abs(cos(phi)) * (1+eps*sgn(cos(phi))) }
+#declare fradius = function(r,eps) { sqrt(abs(r)) * (1+eps*sgn(r)) }
+
+#macro kugel(phi, theta, m, eps)
+	#switch (m)
+	#case (0)
+		fradius(P30(cos(theta)) * cos(m*phi),eps) * kugel0(phi,theta)
+	#break
+	#case (1)
+		fradius(P31(cos(theta)) * cos(m*phi),eps) * kugel0(phi,theta)
+	#break
+	#case (2)
+		fradius(P32(cos(theta)) * cos(m*phi),eps) * kugel0(phi,theta)
+	#break
+	#case (3)
+		fradius(P33(cos(theta)) * cos(m*phi),eps) * kugel0(phi,theta)
+	#end
+#end
+
+#macro normale(phi, theta, m, eps)
+	#switch (m)
+	#case (0)
+	vnormalize(vcross(
+		P30(cos(theta))*(-m)*sin(m*phi)*kugelphi(phi,theta)
+		+
+		fradius(P30(cos(theta))*cos(m*phi),eps) * kugelphi(phi,theta),
+		P30abl(cos(theta))*(-sin(theta))*cos(m*phi) * kugel0(phi,theta)
+		+
+		fradius(P30(cos(theta))*cos(m*phi),eps) * kugeltheta(phi,theta)
+		
+	))
+	#break
+	#case (1)
+	vnormalize(vcross(
+		P31(cos(theta))*(-m)*sin(m*phi)*kugelphi(phi,theta)
+		+
+		fradius(P31(cos(theta))*cos(m*phi),eps) * kugelphi(phi,theta),
+		P31abl(cos(theta))*(-sin(theta))*cos(m*phi) * kugel0(phi,theta)
+		+
+		fradius(P31(cos(theta))*cos(m*phi),eps) * kugeltheta(phi,theta)
+		
+	))
+	#break
+	#case (2)
+	vnormalize(vcross(
+		P32(cos(theta))*(-m)*sin(m*phi)*kugelphi(phi,theta)
+		+
+		fradius(P32(cos(theta))*cos(m*phi),eps) * kugelphi(phi,theta),
+		P32abl(cos(theta))*(-sin(theta))*cos(m*phi) * kugel0(phi,theta)
+		+
+		fradius(P32(cos(theta))*cos(m*phi),eps) * kugeltheta(phi,theta)
+		
+	))
+	#break
+	#case (3)
+	vnormalize(vcross(
+		P33(cos(theta))*(-m)*sin(m*phi)*kugelphi(phi,theta)
+		+
+		fradius(P33(cos(theta))*cos(m*phi),eps) * kugelphi(phi,theta),
+		P33abl(cos(theta))*(-sin(theta))*cos(m*phi) * kugel0(phi,theta)
+		+
+		fradius(P33(cos(theta))*cos(m*phi),eps) * kugeltheta(phi,theta)
+		
+	))
+	#break
+	#end
+#end
+
+#macro kugelflaeche(m, eps, farbe)
+mesh {
+	#declare thetastep = pi / thetasteps;
+	#declare thetamin = thetastep;
+	#declare thetamax = pi - thetastep;
+
+	#declare phistep = pi / phisteps;
+	#declare phimin = 0;
+	#declare phimax = 2 * pi;
+
+	#declare phi = phimin;
+	#while (phi < phimax - phistep/2)
+		triangle {
+			kugel(0, 0, m, eps),
+			kugel(phi, thetamin, m, eps),
+			kugel(phi + phistep, thetamin, m, eps)
+		}
+
+		#declare theta = thetamin;
+		#while (theta < thetamax - thetastep/2)
+			triangle {
+				kugel(phi, theta, m, eps),
+				kugel(phi + phistep, theta, m, eps),
+				kugel(phi + phistep, theta + thetastep, m, eps)
+			}
+			triangle {
+				kugel(phi, theta, m, eps),
+				kugel(phi, theta + thetastep, m, eps),
+				kugel(phi + phistep, theta + thetastep, m, eps)
+			}
+			#declare theta = theta + thetastep;
+		#end
+
+		triangle {
+			kugel(0, pi, m, eps),
+			kugel(phi, thetamax, m, eps),
+			kugel(phi + phistep, thetamax, m, eps)
+		}
+
+		#declare phi = phi + phistep;
+	#end
+	pigment {
+		color farbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+#end
+
+//sphere {
+//	<0,0,0>, 1
+//	pigment {
+//		color rgbt<1,1,1,0.7>
+//	}
+//	finish {
+//		specular 0.95
+//		metallic
+//	}
+//}
+
+
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical30.png b/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical30.png
new file mode 100644
index 0000000..d24d786
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical30.png
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical30.pov b/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical30.pov
new file mode 100644
index 0000000..1a7d979
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical30.pov
@@ -0,0 +1,11 @@
+//
+// spherical30.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+
+#version 3.7;
+#include "common.inc"
+
+kugelflaeche(0, 0.001, PositiveColor)
+kugelflaeche(0, -0.001, NegativeColor)
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical31.png b/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical31.png
new file mode 100644
index 0000000..95d9789
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical31.png
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical31.pov b/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical31.pov
new file mode 100644
index 0000000..bc161f0
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical31.pov
@@ -0,0 +1,11 @@
+//
+// spherical30.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+
+#version 3.7;
+#include "common.inc"
+
+kugelflaeche(1, 0.001, PositiveColor)
+kugelflaeche(1, -0.001, NegativeColor)
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical32.png b/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical32.png
new file mode 100644
index 0000000..1ba6bd0
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical32.png
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical32.pov b/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical32.pov
new file mode 100644
index 0000000..6cb20c8
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical32.pov
@@ -0,0 +1,11 @@
+//
+// spherical30.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+
+#version 3.7;
+#include "common.inc"
+
+kugelflaeche(2, 0.001, PositiveColor)
+kugelflaeche(2, -0.001, NegativeColor)
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical33.png b/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical33.png
new file mode 100644
index 0000000..fb9de45
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical33.png
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical33.pov b/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical33.pov
new file mode 100644
index 0000000..8a9a53a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/kugel/spherical33.pov
@@ -0,0 +1,11 @@
+//
+// spherical30.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+
+#version 3.7;
+#include "common.inc"
+
+kugelflaeche(3, 0.001, PositiveColor)
+kugelflaeche(3, -0.001, NegativeColor)
diff --git a/buch/chapters/090-pde/membran/Makefile b/buch/chapters/090-pde/membran/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..35dfd14
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/membran/Makefile
@@ -0,0 +1,15 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	membran.png
+
+membran.inc:	membran.m
+	octave membran.m
+
+size="+W1920 +H540"
+size="+W3840 +H1080"
+
+membran.png:	membran.pov membran.inc
+	povray +A0.1 +UA $(size) -Omembran.png membran.pov
diff --git a/buch/chapters/090-pde/membran/membran.m b/buch/chapters/090-pde/membran/membran.m
new file mode 100644
index 0000000..acc45b9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/membran/membran.m
@@ -0,0 +1,109 @@
+#
+# membran.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global n;
+n = 3;
+global A;
+A = 0.2;
+global nullstelle;
+nullstelle = 13.0152;
+global skala;
+skala = 1 / nullstelle;
+phisteps = 628;
+phistep = 2 * pi / phisteps;
+rsteps = 200;
+rstep = 1 / rsteps;
+
+fn = fopen("membran.inc", "w");
+fprintf(fn, "#macro flaeche()\n");
+
+function retval = punkt(fn, phi, r, n)
+	global nullstelle;
+	global skala;
+	global A;
+	fprintf(fn, "\n\t    <%.4f, %.4f, %.4f>",
+		r * cos(phi),
+		A * besselj(n, nullstelle * r) * cos(n * phi),
+		r * sin(phi)
+	);
+endfunction
+
+for i = (0:phisteps)
+	phi = i * phistep;
+	r = rstep;
+	fprintf(fn, "\ttriangle {");
+	punkt(fn, 0, 0, n);		fprintf(fn, ",");
+	punkt(fn, phi, rstep, n);	fprintf(fn, ",");
+	punkt(fn, phi+phistep, rstep, n);
+	fprintf(fn, "\n\t}\n");
+
+	for j = (1:rsteps-1)
+		r = j * rstep;
+		fprintf(fn, "\ttriangle {");
+		punkt(fn, phi, r, n);			fprintf(fn, ",");
+		punkt(fn,  phi+phistep, r, n);		fprintf(fn, ",");
+		punkt(fn, phi+phistep, r+rstep, n);
+		fprintf(fn, "\n\t}\n");
+		fprintf(fn, "\ttriangle {");
+		punkt(fn, phi, r, n);			fprintf(fn, ",");
+		punkt(fn, phi+phistep, r+rstep, n);	fprintf(fn, ",");
+		punkt(fn, phi, r+rstep, n);
+		fprintf(fn, "\n\t}\n");
+	end
+end
+
+fprintf(fn, "#end\n");
+
+function retval = ring(fn, r, n)
+	phisteps = 100;
+	phistep = 2 * pi / phisteps;
+	for i = (1:phisteps)
+		phi = phistep * i;
+		fprintf(fn, "\tcylinder {");
+		punkt(fn, phi - phistep, r, n);		fprintf(fn, ",");
+		punkt(fn, phi, r, n);			fprintf(fn, ",");
+		fprintf(fn, "\n\t    r");
+		fprintf(fn, "\n\t}\n")
+		fprintf(fn, "\tsphere {");
+		punkt(fn, phi - phistep, r, n);		fprintf(fn, ",");
+		fprintf(fn, "\n\t    r");
+		fprintf(fn, "\n\t}\n")
+	end
+end
+
+function retval = radius(fn, phi, n)
+	rsteps = 100;
+	rstep = 1 / rsteps;
+	for i = (0:rsteps-1)
+		r = i * rstep;
+		fprintf(fn, "\tcylinder {");
+		punkt(fn, phi, r, n);		fprintf(fn, ",");
+		punkt(fn, phi, r+rstep, n);	fprintf(fn, ",");
+		fprintf(fn, "\n\t    r");
+		fprintf(fn, "\n\t}\n")
+		fprintf(fn, "\tsphere {");
+		punkt(fn, phi, r, n);		fprintf(fn, ",");
+		fprintf(fn, "\n\t    r");
+		fprintf(fn, "\n\t}\n")
+	end
+end
+
+fprintf(fn, "#macro phigitter()\n");
+rsteps = 20;
+rstep = 1 / rsteps;
+for j = (1:rsteps-1)
+	ring(fn, rstep * j, n);
+end
+fprintf(fn, "#end\n");
+
+fprintf(fn, "#macro rgitter()\n");
+phisteps = 72;
+phistep = 2 * pi / phisteps;
+for i = (0:phisteps-1)
+	radius(fn, phistep * i, n);
+end
+fprintf(fn, "#end\n");
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/chapters/090-pde/membran/membran.png b/buch/chapters/090-pde/membran/membran.png
new file mode 100644
index 0000000..154a4a7
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/membran/membran.png
diff --git a/buch/chapters/090-pde/membran/membran.pov b/buch/chapters/090-pde/membran/membran.pov
new file mode 100644
index 0000000..d64294f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/membran/membran.pov
@@ -0,0 +1,163 @@
+//
+// membran.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+#include "math.inc"
+#include "membran.inc"
+
+global_settings {
+        assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.037;
+
+camera {
+	location <-33, 20, 50>
+	look_at <0, -0.005, 0>
+	right x * imagescale
+	up (9/32) * y * imagescale
+}
+
+background { color rgbt <0,0,0,1> }
+
+light_source {
+	<10, 15, 40> color White
+	area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
+	adaptive 1
+        jitter
+}
+
+//sky_sphere {
+//	pigment {
+//		color rgb<1,1,1>
+//	}
+//}
+
+//
+// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with
+// color <c>
+//
+#macro arrow(from, to, arrowthickness, c)
+#declare arrowdirection = vnormalize(to - from);
+#declare arrowlength = vlength(to - from);
+union {
+	sphere {
+		from, 1.1 * arrowthickness
+	}
+	cylinder {
+		from,
+		from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+		arrowthickness
+	}
+	cone {
+		from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+		2 * arrowthickness,
+		to,
+		0
+	}
+	pigment {
+		color c
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+#end
+
+//arrow(<-1.1,0,0>, <1.1,0,0>, 0.01, White)
+//arrow(<0,-1.1,0>, <0,1.1,0>, 0.01, White)
+//arrow(<0,0,-1.1>, <0,0,1.1>, 0.01, White)
+
+mesh {
+	flaeche()
+	pigment {
+		color rgb<0.8,0.8,0.8> * 1.2
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+#declare randr = 0.01;
+
+#macro zylinder(k,n,r)
+	cylinder {
+		< cos((2*k+1)*pi/(2*n)), 0, sin((2*k+1)*pi/(2*n)) >,
+		< -cos((2*k+1)*pi/(2*n)), 0, -sin((2*k+1)*pi/(2*n)) >,
+		r
+	}
+#end
+
+#macro ring(R,r)
+	#declare phisteps = 100;
+	#declare phistep = 2 * pi / 100;
+	#declare phimin = 0;
+	#declare phimax = 2 * pi;
+	#declare phi = phimin;
+	#while (phi < phimax - phistep/2)
+		cylinder {
+			<R*cos(phi), 0, R*sin(phi)>,
+			<R*cos(phi+phistep), 0, R*sin(phi+phistep)>,
+			r
+		}
+		sphere {
+			<R*cos(phi), 0, R*sin(phi)>, r
+		}
+		#declare phi = phi + phistep;
+	#end
+#end
+
+#declare nullstelle = 13.0152;
+
+union {
+	ring(1, randr)
+	pigment {
+		color rgb<1.0,0.8,0.6>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+union {
+	zylinder(0, 3, 0.5*randr)
+	zylinder(1, 3, 0.5*randr)
+	zylinder(2, 3, 0.5*randr)
+	ring(6.3802/nullstelle, 0.5*randr)
+	ring(9.7610/nullstelle, 0.5*randr)
+	pigment {
+		color rgb<1.0,0.8,0.6>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+#declare r = 0.2*randr;
+union {
+	phigitter()
+	pigment {
+		color rgb<0.2,0.6,1.0>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+union {
+	rgitter()
+	pigment {
+		color rgb<1.0,0.4,0.6>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
diff --git a/buch/common/teilnehmer.tex b/buch/common/teilnehmer.tex
index 5858e78..c8a28fc 100644
--- a/buch/common/teilnehmer.tex
+++ b/buch/common/teilnehmer.tex
@@ -4,24 +4,26 @@
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
 Joshua Bär,			% E
+Selvin Blöchlinger,		% E
 Marc Benz,			% MSE
-Manuel Cattaneo,		% MSE
-Fabian Dünki%,			% E
+Manuel Cattaneo%,		% MSE
 \\
+Fabian Dünki,			% E
 Robin Eberle,			% E
 Enez Erdem,			% B
 Nilakshan Eswararajah%,		% B
 \\
+Réde Hadouche,			% E
 David Hugentobler,		% E
 Alain Keller,			% E
-Yanik Kuster,			% E
-Marc Kühne%,			% B
+Yanik Kuster%,			% E
 \\
+Marc Kühne,			% B
 Erik Löffler,			% E
 Kevin Meili,			% M-I
-Andrea Mozzini Vellen,		% E
-Patrik Müller%,			% MSE
+Andrea Mozzini Vellen%,		% E
 \\
+Patrik Müller,			% MSE
 Naoki Pross,			% E
 Thierry Schwaller,		% E
 Tim Tönz			% E