typos chapters 1-5

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@@ -131,7 +131,7 @@ untersuchen.
 \subsection{Verallgemeinerte Eigenräume
 \label{buch:subsection:verallgemeinerte-eigenraeume}}
 Wenn $\lambda$ ein Eigenwert der Matrix $A$ ist, dann ist
-ist $A-\lambda I$ injektiv und $\ker(A-\lambda I)\ne 0$.
+$A-\lambda I$ nicht injektiv und $\ker(A-\lambda I)\ne 0$.
 Man kann daher die invarianten Unterräume $\mathcal{K}(A-\lambda I)$
 und $\mathcal{J}(A-\lambda I)$ bilden.
 
@@ -269,7 +269,7 @@ A'
  & &0& 1
 \end{array}\right),
 \]
-die Blöcke gehören zu den invarianten Unterräumen $\mathcal{K}(A-I)$
+die Blöcke gehören zu den invarianten Unterräumen $\mathcal{J}(A-I)$
 und $\mathcal{K}(A-I)$.
 Die aus $A-I$ gewonnenen invarianten Unterräume sind offenbar auch invariante
 Unterräume für $A$.
@@ -312,7 +312,7 @@ in invariante Unterräume,
 wobei $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)\ne 0$ ist.
 Die Matrix $A-\lambda_1 I$ eingeschränkt auf $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)$ ist
 nilpotent.
-Man kann daher sagen, auf dem Unterraum $\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ hat 
+Man kann daher sagen, auf dem Unterraum $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)$ hat 
 $A$ die Form $\lambda_1 I + N$, wobei $N$ nilpotent ist.
 
 Die Zerlegung in invariante Unterräume ist zwar mit Hilfe von $A-\lambda_1I$
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index fa924c8..c204653 100644
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@@ -343,7 +343,7 @@ In $\mathcal{K}(A)$ und $\mathcal{J}(A)$ kann man unabhängig voneinander
 jeweils eine Basis wählen.
 Die Basen von $\mathcal{K}(A)$ und $\mathcal{J}(A)$ zusammen ergeben
 eine Basis von $V$.
-Die Matrix $A'$ in dieser Basis wird die Blockform
+In dieser Basis wird die Matrix $A'$ die Blockform
 \[
 A'
 =
@@ -391,7 +391,7 @@ Obere (oder untere) Dreiecksmatrizen mit Nullen auf der Diagonalen
 sind nilpotent.
 \index{Dreiecksmatrix}%
 Wir rechnen dies wie folgt nach.
-Die Matrix $A$ mit Einträgen $a_{i\!j}$
+Die Matrix
 \[
 A=\begin{pmatrix}
   0   &a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1,n-1}&a_{1n}   \\
@@ -402,6 +402,7 @@ A=\begin{pmatrix}
   0   &  0   &  0   &\dots &  0      &  0
 \end{pmatrix}
 \]
+mit Einträgen $a_{i\!j}$
 erfüllt $a_{i\!j}=0$ für $i\ge j$.
 Wir zeigen jetzt, dass sich bei der Multiplikation die nicht
 verschwinden Elemente bei der Multiplikation noch rechts oben
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index c69329b..132947f 100644
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@@ -336,9 +336,9 @@ Es ist das Polynom geringsten Grades über $\Bbbk'$, welches $m(A)=0$ erfüllt.
 
 \subsection{Reelle Normalform
 \label{buch:subsection:reelle-normalform}}
-Wenn eine reelle Matrix $A$ komplexe Eigenwerte hat, ist die Jordansche
+Wenn eine reelle Matrix $A$ nicht reelle Eigenwerte hat, ist die Jordansche
 Normalform zwar möglich, aber die zugehörigen Basisvektoren werden ebenfalls
-komplexe Komponenten haben.
+nicht reelle Komponenten haben.
 Für eine rein reelle Rechnung ist dies nachteilig, da der Speicheraufwand
 dadurch verdoppelt und der Rechenaufwand für Multiplikationen vervierfacht
 wird.
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index 1ac50a2..470c7f0 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex
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@@ -216,7 +216,7 @@ A^3=
  -4& 108& -48\\
 -12& -36&  28\\
 -24&-126&  83
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix},
 \label{buch:eigenwerte:eqn:A2A3}
 \end{equation}
 und daraus kann man jetzt $p(A)$ berechnen:
@@ -250,7 +250,7 @@ p(A)
 =
 \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}1&-9&4\end{pmatrix}
-\ne 0
+\ne 0.
 \label{buch:eigenwerte:eqn:nichtminimalpolynom}
 \end{equation}
 Daher kann $p(X)$ nicht das Minimalpolynom $A$
@@ -345,7 +345,7 @@ A^{i-k}A^k
 =
 A^{i-k}(-a_{k-1}A^{k-1}+ \dots + a_1 A + a_0I)
 \]
-auf einer Linearkombination kleinerer Potenzen reduzieren.
+auf eine Linearkombination kleinerer Potenzen reduzieren.
 Jedes Polynom vom Grad $\ge k$ kann also reduziert werden in
 ein Polynom vom Grad $<k$ mit dem gleichen Wert auf $A$.
 
@@ -374,7 +374,7 @@ Wie misst man, ob ein Polynom eine Funktion gut approximiert?
 Was bedeutet es genau, dass zwei Matrizen ``nahe beeinander'' sind?
 \item
 In welchem Sinne müssen Polynome ``nahe'' beeinander sein, damit
-auch die Werte auf $A$ nahe beeinander sind.
+auch die Werte auf $A$ nahe beeinander sind?
 \end{enumerate}
 
 Wir wissen bereits, dass nur die Werte und gewisse Ableitungen des
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index 649fcd7..d1a2954 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex
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@@ -362,7 +362,7 @@ Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}
 visualisierte Verfahren, mit dem für jede Zahl $a\in[0,1]$
 die Wurzel $\sqrt{a}$ berechnet werden kann.
 Sei $u < \sqrt{a}$ eine Approximation der Wurzel.
-Die Approximation ist der exakte Wert der Lösung, wenn $a-u^2=0$.
+Die Approximation ist der exakte Wert, wenn $a-u^2=0$.
 In jedem anderen Fall muss $u$ um einen Betrag $d$ vergrössert werden.
 Natürlich muss immer noch $u+d<\sqrt{a}$ sein.
 Man kann die maximal zulässige Korrektur $d$ geometrisch abschätzen,
@@ -534,7 +534,7 @@ und hermitesche Matrizen erhalten.
 Ist $A$ symmetrische oder hermitesche Matrix und $f$ eine Funktion
 auf dem Spektrum $\operatorname{Sp}(A)$ von $A$.
 Dann gibt es genau eine Matrix $f(A)$, die Grenzwert jeder beliebigen
-Folge $p_n(A)$ für Polynomfolgen, die auf $\operatorname{Sp}(A)$
+Folge $p_n(A)$ mit Polynomen $p_n(x)$ ist, die auf $\operatorname{Sp}(A)$
 gleichmässig gegen $f$ konvergieren.
 \end{satz}
 
@@ -586,7 +586,7 @@ gleichmässig approximieren, muss daher verworfen werden.
 
 \subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Funktionen}
 Der Satz von Stone-Weierstrass kann nach dem vorangegangene Abschnitt
-also für komplexe Funktionen nicht gelten, wir haben eine Funktion
+für komplexe Funktionen nicht gelten, denn wir haben eine Funktion
 gefunden, die sich nicht approximieren lässt.
 Um den Beweis des Satzes~\ref{buch:satz:stone-weierstrass}
 auf komplexe Zahlen zu übertragen, muss im ersten Schritt ein Weg
@@ -601,7 +601,7 @@ und Imaginärteil.
 Zum Beispiel kann man Real- und Imaginärteil als
 $\Re z= \frac12(z+\overline{z})$ und $\Im z = \frac12(z-\overline{z})$
 bestimmen.
-Kenntnis von Real- und Imaginärteil ist als gleichbedeutend mit
+Die Kenntnis von Real- und Imaginärteil ist gleichbedeutend mit
 der Kenntnis der komplex Konjugierten $\overline{z}$.
 Der Betrag lässt sich daraus als $|z|^2 = z\overline{z}$ finden.
 Beide Beispiele zeigen, dass man den im Beweis benötigten Betrag
@@ -676,13 +676,13 @@ A\overline{A}
 \]
 zeigt.
 Eine positive Matrix entsteht dagegen immer, wenn man statt
-$A$ die Adjungierte $A^*=\overline{A}^t$ verwendet.
+$A$ die hermitesche Konjugierte $A^*=\overline{A}^t$ verwendet.
 
 Die Substitution von $A$ für $z$ und $A^*$ für $\overline{z}$
 in einem Polynom $p(z,\overline{z})$ ist nicht unbedingt eindeutig.
 Schon das Polynom $p(z,\overline{z})=z\overline{z}$ kann man auch
 als $\overline{z}z$ schreiben.
-Damit die Substition eindeutig wird, muss man also fordern, dass
+Damit die Substitution eindeutig wird, muss man also fordern, dass
 $AA^* = A^*A$ ist.
 
 \begin{definition}
@@ -770,11 +770,11 @@ Der Beweis, dass $A+B$ normal ist, erfolgt durch Nachrechnen:
 \begin{align*}
 (A+B)(A+B)^*
 &=
-AA^* + {\color{red}AB^*} + {\color{blue}BA^*}+BB^*
+AA^* + {\color{red}AB^*} + {\color{blue}BA^*}+BB^*,
 \\
 (A+B)^*(A+B)
 &=
-A^*A + {\color{blue}A^*B} + {\color{red}B^*A} + B^*B
+A^*A + {\color{blue}A^*B} + {\color{red}B^*A} + B^*B.
 \end{align*}
 Die ersten und letzten Terme auf der rechten Seite stimmen überein, weil
 $A$ und $B$ normal sind.
@@ -796,7 +796,7 @@ was zeigt, dass auch $AB$ normal ist.
 
 \subsubsection{Spektralsatz für normale Matrizen}
 Mit dem Begriff der normalen Matrix lässt sich der Spektralsatz nun
-abschliessen formulieren.
+abschliessend formulieren.
 Die vorangegangene Diskussion hat gezeigt, dass man einen solchen
 Satz für nicht normale Matrizen nicht erwarten kann.
 
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index e6e94db..8f3d795 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.m
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.m
@@ -14,13 +14,13 @@ A = [
 eig(A)
 
 
-lambda = 2
+lambda = 3
 B = A - lambda*eye(4)
 rref(B)
 
 D = B*B*B*B
 
-lambda = 3
+lambda = 2
 B = A - lambda*eye(4)
 rref(B)
 
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index b749356..b0753a4 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex
@@ -20,11 +20,11 @@ einiger Rechnung oder mit Hilfe einer Software für symbolische Rechnung:
 =
 x^4-9x^3+30x^2-44x+24
 =
-(x-3)^3(x-2),
+(x-3)(x-2)^2,
 \]
 Eigenwerte sind also $\lambda=3$ und $\lambda=2$.
 
-Der Eigenwert $\lambda=2$ ist ein einfacher Eigenwert, der zugehörige
+Der Eigenwert $\lambda=3$ ist ein einfacher Eigenwert, der zugehörige
 Eigenraum ist daher eindimensional.
 Ein Eigenvektor kann mit Hilfe des linearen Gleichungssystems
 \begin{align*}
@@ -48,10 +48,10 @@ Ein Eigenvektor kann mit Hilfe des linearen Gleichungssystems
 \to
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
 \hline
-1&0&0& 0\\
-0&1&0& 0\\
+1&0&0&0\\
+0&1&0&0\\
 0&0&1&-1\\
-0&0&0& 0\\
+0&0&0&0\\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{align*}
@@ -78,7 +78,8 @@ Ab_1 =
 3b_1
 \]
 ab.
-Diesen  Vektor können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-2I)$
+
+Den Vektor $b_1$ können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-2I)$
 bestimmen.
 Die vierte Potenz von $A-2I$ ist
 \begin{equation}
@@ -111,10 +112,10 @@ b_4
 für den Kern $\mathcal{K}(A-2I)$ ablesen.
 Da $\lambda=2$ der einzige andere Eigenwert ist, muss $\mathcal{K}(A-2I)
 = \mathcal{J}(A-3I)$ sein.
-Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-2I$
+Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-3I$
 berechnen, sie ist
 \[
-(A-2I)^4
+(A-3I)^4
 =
 \begin{pmatrix}
     79&  -26&  152& -152\\
@@ -124,7 +125,7 @@ berechnen, sie ist
 \end{pmatrix}.
 \]
 Die Spaltenvektoren lassen sich alle durch die Vektoren $b_2$, $b_3$
-und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-2I)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$.
+und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-3I)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$.
 
 Indem die Vektoren $b_i$ als Spalten in eine Matrix $T$ schreibt, kann man
 jetzt berechnen, wie die Matrix der linearen Abbildung in dieser neuen
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index ec76c34..40a69af 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex
@@ -94,7 +94,7 @@ Es gilt also $AA^t=A^tA$, die Matrix ist also normal.
 \notag
 \end{align}
 Mit einem Taschenrechner kann man die Nullstellen finden,
-aber man kann das auch die Form \eqref{4005:charpoly}
+aber man kann auch die Form \eqref{4005:charpoly}
 des charakteristischen Polynoms direkt faktorisieren:
 \begin{align*}
 \chi_A(\lambda)
@@ -124,6 +124,7 @@ man mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen finden kann:
 \frac{3}{2} \pm\frac{\sqrt{-3}}{2}
 =
 \frac{3}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}
+&|lambda_{\pm}&=\sqrt{3}.
 \end{align*}
 \item
 Wir müssen $z=A$ und $\overline{z}=A^t$ im Polynom $p(z,\overline{z})$
@@ -139,7 +140,7 @@ B
    2.1547005&  0.42264973&  0.42264973 \\
    0.4226497&  2.15470053&  0.42264973 \\
    0.4226497&  0.42264973&  2.15470053
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}.
 \end{align*}
 \item
 Tatsächlich gibt die Berechnung der Eigenwerte
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
index 7ccc065..69ca9bc 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
@@ -1,4 +1,4 @@
-Man findet eine Basis, in der die Matrix
+Man finde eine Basis, in der die Matrix
 \[
 A=\begin{pmatrix*}[r]
  -5&  2&  6&   0\\